Nếu có một mặt bên vuông góc với đáy thì từ đỉnh hình chóp ta vẽ đường thẳng vuông góc với giao tuyến của mặt bên này với đáy.. Đường thẳng này là đường cao.[r]
(1)Chương I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM, KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Định lý: a/ Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) x a; b - Nếu f’(x)>0, thì hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) x a; b - Nếu f’(x)<0, thì hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) b/ Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) x a; b - Nếu f’(x) 0, thì hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) x a; b - Nếu f’(x) 0, thì hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) Dạng Bài tập: Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu hàm số Cách giải: Bước 1: Tìm txđ, tính đạo hàm cấp Bước 2: Tìm các điểm xi mà đó đạo hàm 0, không xác định Bước 3: Lập bảng biến thiên (sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần ) Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên kết luận Bài tập: Xác định các khoảng đơn điệu các hàm số sau: y 2 y x x x 1 1/ 2/ 3/ y 2 x x 3x x x 1 y y 1 x x 4/ 5/ 6/ y x x x Dạng 2: dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Cách giải: Bước 1: Chọn hàm số thích hợp Bước 2: Xét tính đơn điệu hàm số, suy điều phải chứng minh Bài tập: x3 x sin x x, x x Chứng minh bất đẳng thức sau: 1/ e 1, x 2/ Bài tập vận dụng: Bài 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến các hàm số sau: x 1 y x 1/ y x x 2/ 3/ y x x 3 Bài 2: Cho hàm số f ( x ) x x 3mx Tìm tham số m để: 1/ Hàm số đồng biến trên tập xác định nó 2; 2/ Đồng biến trên khoảng 3/ Nghịch biến trên (0;3) Bài 3: Cho hàm số f ( x ) x x mx Tìm tham số m để: 1/ Hàm số đồng biến trên R (2) 2/ Nghịch biến trên ( 0; ) Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp trên (a; b) f '( x0 ) 0 x0 f ''( x0 ) 1/ gọi là điểm cực tiểu hàm số f(x) f '( x0 ) 0 x0 f ''( x0 ) 2/ gọi là điểm cực đại hàm số f(x) Quy tắc 1: 1/ Tìm tập xác định hàm số 2/ Tính f’(x) Tìm các điểm mà đó f’(x)=0, f’(x) không xác định 3/ Lập bảng biến thiên 4/ Từ bảng biến thiên suy các điểm cực trị hàm số Quy tắc 2: 1/ Tìm TXD 2/ Tính f’(x) Giải pt f’(x) = các nghiệm xi 3/ Tính f ''( xi ) 4/ Dựa vào dấu f ''( xi ) mà kết luận tính chất cực trị xi Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm các điểm cực trị hàm số sau: f ( x) 1/ y x x 2/ f ( x) x x 3/ 2 4/ f ( x) 2 x x 36 x 10 5/ f ( x) x( x 3) f ( x) x x 6/ Bài 2: Tìm các điểm cực trị hàm số sau: 1/ f(x)= sin2x 2/ f(x)= cos2x 3/ f(x)= cosx + x 4/ f(x)= sinx + x Bài tập vận dụng: Dạng 1: Định m để hàm số đạt cực trị x0 Cách giải: Giải phương trình f '( x0 ) 0 để tính m Thử lại điều kiện đủ quy tắc quy tắc Dạng 2: Định m để hàm số đạt cực trị y0 - Cách giải: f '( x0 ) 0 f ( x0 ) y0 - Dùng điều kiện: - Thử lại điều kiện đủ Dạng 3: Điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu 3x x (3) Cách giải: - Tìm TXD, tính y’ - Điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu là y’ phải đổi dấu lần y’ = có hai nghiệm phân biệt thuộc tập xác định Bài tập: f ( x) x (m 1) x (m 3m 2) x Bài 1: Tìm m để hàm số đạt cực đại x = x mx 1 f ( x) x m Tìm m để Bài 2: Cho hàm số 1/ Hàm số đạt cực đại x = 2/ Hàm số có giá trị cực tiểu 3 Bài 3: Cho hàm số f ( x) x 3(m 1) x Xác định m để hàm số 1/ Đạt cực đại x = 2/ Đạt cực tiểu x =2 Bài 4: Chứng minh hàm số f ( x) x 3mx 12 x luôn có cực trị với m x 2mx f ( x) x m Bài 5: Xác định m để hàm số không có cực trị với m mx f ( x) x m không có cực trị với m Bài 6: CMR hàm số Bài GÍA TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ a; b Cách tìm GTLN, GTNN hàm số trên đoạn Bước 1: Tính y’ a; b Bước 2: Giải pt y’ = Giả sử có các nghiệm là xi (i=1,2 ) thuộc đoạn Bước 3: Tính f(a), f(b), f( xi ) Bước 4: So sánh và kết luận Bài tập: Tìm gtln, gtnn hàm số sau: y 2 x x 12 x 10, 3;3 1/ 3/ 5/ 7/ y x3 x 10, y x2 , x y 2 x 1, 2;3 2; 1 0;5 2/ y x 3x x 5, y x , x 4/ 4; 4 1; 2 y sin x x, ; 2 6/ y x ln x 1, 1;3 8/ Bài 4: TIỆM CẬN (4) Tiệm cận đứng: lim y ; lim y ; lim y ; lim y x x0 x x0 x x0 Nếu các điều kiện x x0 thì đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng đồ thị Tiệm cận ngang: lim y y0 ; lim y y0 x Nếu các điều kiện x thì đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang đồ thị Bài tập ứng dụng: Bài 1: Tìm các tiệm cận đứng và tiềm cận ngang (Nếu có) các hàm số sau: 2x 4x 4 y y y y x2 x 1 2x x 1 1/ 2/ 3/ 4/ 1 x y x2 5/ Bài 2: x 3x y x 4 6/ x2 x 1 y x 3x 7/ mx x m qua điểm M(-1;2) 1/ Xác định tham số m để tiệm cận đứng đồ thị xm y x m qua N(-1;0) 2/ Xác định tham số m để tiệm cận đứng đồ thị hs y BÀI 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: Các bước khảo sát hàm số: Tập xác định Sự biến thiên - Chiều biến thiên: +/ Tính y’ +/ Tìm các nghiệm pt y’ = và các điểm mà đó y’ không xác định +/ Chiều biến thiên - Cực trị - Giới hạn - Bảng biến thiên Đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên, lập bảng giá trị và vẽ đồ thị hàm số Bài tập vận dụng: Bài 1: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 1/ y x x 2/ y x x 3/ y x x x 3 4/ y x x 5/ y x x Bài 2: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1/ y x x x4 y x2 4/ 2/ y x x x4 y x2 2 5/ 3/ y x4 x 1 (5) Bài 3: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số x 1 x 1 x 1 y y y x2 x x 1/ 2/ 3/ x 1 2x x 1 y y y 2x x 2x 4/ 5/ 6/ 1 x 1 y 1 y y x 1 x 1 2x 7/ 8/ 9/ Các bài toán liên quan đến khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm pt theo tham số m - Đưa phương trình cần biện luận nghiệm dạng f(x) = g(m) - Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x), nhận xét số giao điểm đồ thị hai hàm số - Kết luận Sự tương giao đường thẳng với đồ thị Tập xác định Lập phương trình hoành độ giao điểm Kết luận Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M ( x0 ; y0 ) (C ) - Phương trình tiếp tuyến có dạng y f '( x0 )( x x0 ) y0 (1) - Tính f '( x0 ), y0 f ( x0 ) Thay vào pt (1), thu gọn Kết luận phương trình tiếp tuyến Dạng 2: Viết pttt đồ thị hàm số, biết y0 - Phương trình tiếp tuyến có dạng y f '( x0 )( x x0 ) y0 (1) - Giải pt f ( x) y0 x0 - Tính f '( x0 ) - Thay vào (1), kết luận pttt Dạng 3: Viết pttt, biết trước hệ số góc k - Phương trình tiếp tuyến có dạng y f '( x0 )( x x0 ) y0 (1) - Giai pt f '( x) k x0 - Tính f '( x0 ) - Thay vào (1), kết luận pttt Bài tập liên quan đến khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Bài 1: Cho hàm số y x mx (Cm ) a Khảo sát hàm số đã cho m = b Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = -x +1 điểm phân biệt A(0; 1), B, C cho tiếp tuyến với (Cm) B và C vuông góc với x4 y a bx (a và b là tham số) Bài 2: Cho hàm số (6) a Khảo sát hàm số a = 1, b = b Dùng đồ thị (C) hàm số biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 2x m c Tìm a và b để đồ thị hàm số đã cho đặt cực trị x = 2 Bài 3: Cho hàm số: y ( x 3) m a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m = b Viết pt tiếp tuyến đường cong (C) các điểm uốn c Tìm m để đường cong (Cm) qua điểm (1; 0), điểm này có đặc điểm gì Bài 4: Cho hàm số y x 3x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số trên b Tìm các giao điểm (C) và đường thẳng y x x y x3 2mx x Bài 5: Cho hàm số a Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu b Khảo biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = c Viết pt tiếp tuyến với đồ thị điểm có hoành đọ x = mx y xm Bài 6: Cho hàm số a Tìm m biết đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ ½ b Khảo sát sbt vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 2 x 1 2 c Dựa vào đồ thị giải bất phương trình x Bài 7: Cho hàm số y x kx k (Ck) a Khảo sát hàm số k = - b CMR (Ck) luôn qua hai điểm cố định k thay đổi Gọi hai điểm cố định đó là A và B c Tìm các giá trị k các tiếp tuyến (Ck) A và B vuông góc với Bài 8: Cho hàm số y (1 m) x 3mx m a Xác định m biết đồ thị có hoành độ điểm uốn -1 b Khảo sát hàm số ứng với m = c Dựa vào đồ thị hàm số vừa khảo sát, biện theo k số nghiệm pt m x x 0 Bài 9: Cho hàm số y x x a Khảo sát hàm số đã cho b Một đường thẳng d qua điểm uốn đồ thị (C) và có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm đồ thị (C) và đường thẳng d, tìm tọa đọ các giao điểm đó trường hợp k = mx (m 3) y xm Bài 10: Cho hàm số: a Với giá trị nào m thì y là hàm số nghịch biến b Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = (7) mx x 3 Bài 11: Cho hàm số: a Khảo sát hàm số ứng với m = b Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y = 2x – hai điểm phân biệt Bài 12: Cho hàm số: y x mx 4m 12 y a Khảo sát hàm số m = 4 b Dùng đthị hàm số biện luận theo k số nghiệm pt x x k c Tìm các điểm cố định đò thị luôn qua m thay đổi Bài 13: Cho hàm số: y 2 x x a Khảo sát hàm số đã cho b Một đường thẳng qua góc tọa độ O có hệ số góc m Biện luận theo m số giao điểm đường thẳng và đò thị hàm số Bài 14: Cho hàm số y x 3x (3 m) x m a Khảo sát hàm số m = b Dùng đồ thị (C) hàm số, biện luận theo k số nghiệm pt x x k 0 c Gọi (Cm) là đồ thị hàm số đã cho Chứng minh tiếp tuyến (Cm) điểm uốn nó qua điểm cố định m thay đổi ax b y x (C) Bài 15 Cho hàm số a Tìm giá trị a và b để đồ thị (C) hàm số cắt trục tung điểm A(0; - 1) và tiếp tuyến a có hệ số góc – Khảo sát hàm số với giá trị a và b vừa tìm b Đường thẳng d có hệ số góc m qua điểm B(-2;2), với giá trị nào m thì d cắt (C) c Nếu d và (C) giao hai điểm, tìm tập hợp trung điểm đoạn thẳng nói hai giáo điểm đó 3x y x (C) Bài 16: Cho hàm số: Viết pt tiếp tuyến đồ thị (C) các trường hợp sau: a Tung độ tiếp điểm 5/2 b Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - x +3 c Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 4x + 10 d Biết tiếp tuyến qua điểm A(2; 0) Bài 17: Cho hàm số: y x x 3mx 3m (Cm) a b c d Tìm m để (Cm) nhận điểm I(1;2) làm điểm uốn Xác định m để hàm số có cực trị Tìm tọa độ điểm cố định mà (Cm) luôn qua m thay đổi Tìm m để (Cm) tiếp xúc trục hoành Bài 18: Cho hàm số: y x x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Chỉ rõ giao (C) với trục hoành, trục tung (8) b Viết pt tiếp tuyến với đồ thị điểm uốn Chứng minh điểm uốn là tâm đối xứng đồ thị c Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm pt x x m 0 x4 ax b Bài 19: Cho hàm số (a,b là tham số) a Tìm a, b để hàm số đặt cực trị -2 x = b Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với giá trị a và b vừa tìm 2x y x (C) Bài 20: Cho hàm số: a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b Biện luận theo m số giao điểm đồ thị (C) và đường thẳng d có phương trình y – 2x – m = y CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT Công thức bản: a n a.a.a a a 1 nchu so a a n an Cho a và b là hai số thực dương, , là hai số thực tùy ý Khi đó ta có: a a a a ; a a (a ) a ; (ab) a b a a b b Một số chú ý: +/ Nếu a>1 thì a a +/ Nếu 0<a<1 thì a a m n n m a a ; n n n a b ab ; ( n a )m n a m Các quy tắc tính đạo hàm: (u v) ' u 'v ' (uv) ' u ' v uv ' / u u ' v uv ' v2 v Các công thức tính đạo hàm: n n a na b b (9) (a x ) ' a x ln a (a u ) ' u '.a u ln a u' log a x ' log a u ' x ln a u ln a Các công thức lôgarit : Định nghĩa: a b log a b, a 1, b log a 0, log a a 1, a loga b b, log a a Quy tắc: log a (b1b2 ) log a b1 log a b2 b log a ( ) log a b1 log a b2 b2 log a log a b b log a b log a b; log a b log a b 1 log a n b log a b; log a b n log b a Ký hiệu lôgarit tự nhiên, lôgarit thập phân log10 x lg x, log10 x l o g x log e x ln x Bài tập vận dụng: Bài 1: Chứng tỏ rằng: 0,75 1 0, 25 40 16 Bài 2: Rut gọn biểu thức: 4 a (a 3 a ) 1/ a (a a ) với a >0 Bài 3: So sánh các cặp số sau: 1 ( )2 ( ) ( )3 ( ) 1/ và 2/ và 5 10 3 1 1 3 Bài 4: Chứng minh Phương trình mũ và phương trình lôgarit: x Phương trình mũ: a b (0 a 1) Số nghiệm: b>0 a x b (0 a 1) Có nghiệm x log a b b<0 Vô nghiệm (10) Phương pháp giải: A( x ) a B ( x ) A( x) B ( x) Cách 1: Đưa cùng số a ( f ( x) 1)( g ( x ) h( x )) 0 g ( x) h( x) f ( x) f ( x) f ( x) Tổng quát: Cách 2: Đặt ẩn phụ: x Đặt t = a , t > - Đưa pt dạng quen thuộc - Giải tìm nghiệm và so sánh với điều kiện - Kết luận Cách 3: Lôgarit hóa: - Lựa chọn số thích hợp - Lấy logarit hai vế theo số đó - Giải tìm nghiệm Phương trình logarit: log a x b, (0 a 1) Số nghiệm: Phương trình luôn có nghiệm x a Cách giải: Cách 1: Đưa cùng số A( x ) B ( x ) log a A( x) log a B( x) 0 a 1 B( x) b Cách 2: Đặt ẩn phụ: - Điều kiện lôgarit Đặt t = log a x - Đưa pt dạng quen thuộc - Giải tìm nghiệm và so sánh với điều kiện - Kết luận Cách 3: Mũ hóa: - Lựa chọn số thích hợp - Mũ hóa - Giải tìm nghiệm Bài tập vận dụng: Bài 1: Giải phương trình sau: x 3 x x2 x 4 a x x x x x x b 16 f x x x g 12 x 8 4.32 x 5 27 0 c x x d (5 24) (5 24) 10 h x x e (2 3) (2 3) 0 x2 2 9.2 x 2 0 k x x j 2.16 15.4 0 x x x l 6.9 13.6 6.4 0 x x 51 x 0 x x x i 6.9 13.6 6.4 0 (11) 1 x1 l x x2 2 x 1 25 m 0, 2 x x 1 5 o 5 x x x x p 3.6 2.9 0 x 1 x x r 6.5 3.5 52 x 1 x2 x 3 x x 1 x2 s 9.5 2x t (2 3) 2 x 1 x u 18.x 29 x 8 4.32 x 5 27 0 v x 1 x w 200 x x 12 80 0 x y 2 x 2 9.2 x 2 0 z 3.2 x 1 4x 1 23 3x 4.x1 x 0 Bài 2: Giải các phương trình sau: 1/ log x log x 2 3/ log (2 x 4) log log 1 2/ log (2 x 1) 1 4/ ln x ln( x 1) ln( x 1) x log ( x 1) log (2 x 5) 5/ Bài 3: Giải các phương trình sau: 11 log x log x log 27 x 1/ 2/ log x log x 0 2 log x log x 0 3/ Bất phương trình mũ – bất phương trình lôgarit: x Bất phương trình mũ: a b Tập nghiệm: Tập nghiệm ax b a>1 R B 0 b>0 (log a b; ) Chú ý: - Nếu a > thì a a - Nếu < a < thì a a 0<a<1 R ( ;log a b) (12) Phương pháp giải: 1/ Đưa cùng số và so sánh 2/ Đặt ẩn phụ 3/ Đặt trực tiếp 4/ Chia đặt ẩn phụ ( Chia cho số bé nhất) Bất phương trình lôgarit: log a x b Tập nghiệm: log a x b Nghiêm a >1 0<a<1 b (0; a b ) (a ; ) Chú ý: - Đưa cùng số - Điều kiện không cần giải Bài tập vận dụng: Bài 1: Giải các bất phương trình sau: 2x log x 1 1/ 2/ log ( x 1) log (5 x) \ log x log x 1 log x log x 3/ 4/ 2x log 0 log 0,5 (4 x 11) log 0,5 ( x x 8) x 1 5/ 6/ Bài 2: Giải các bất phương trình sau: x x x 1/ 6.9 13.6 6.4 0 x 3 x x x 2/ 5.3 1 4/ x 4 3/ Bài tâp: Bài 1: Giải các phương trình sau: 1/ x 4 / 25 x 3 4 x x 2 x 1 / (0, 25)5 x 4 / x 1 27 1 / 9x Bài 2: Giải các phương trình sau: 1/ log x log x 3 / log (2 x 1) 1 / 2x x 2 / ln x ln( x 1) ln( x 1) 1 9 / log 16 x x 1 / log (2 x 4) log x log ( x 1) log (2 x 5) / log3 x log3 x log3 (9 x) / log x log Bài 3: Giải các phương trình sau: x 1 1 (13) / 36 x 5.6 x 0 x 5 x 1 5/5 3.25 0 / e2 x 5.e x 0 / e x 3.e x 0 1/ x 7.3x 18 0 / 3.52 x 1 25 x Bài 4: Tìm GTLN, GTNN các hàm số sau: 1/ y 2 x , 1; 2 / y ( ) x , 1; x / y xe , 1; 2 Bài 5: Chứng minh đẳng thức sau: / 3x 2 x 1 243 / x 3.2 x 0 9/ x 3 3 x / y log x, 2; x 1/ Cho hàm số y e , ( x 0).CMR : y ' y ln y 0 x 2/ Cho hàm số y 2e sin x, ( x 0).CMR : y y ' y '' 0 0 cos x 3/ Cho hàm số y e , ( x 0).CMR : Bài 6: Tính: f ''( ) , biết: f(x) = sin2x 1/ 2/ f ''(1) , biết: f(x) = ln(1 + x) y 'sin x cos x y '' 0 CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Bài 1:Nguyên hàm: Định nghĩa: Hàm số F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên (a;b) nếu: F '( x) f ( x), x ( a; b) Vd: F(x) = x là nguyên hàm hàm số f(x) = 2x, với x thuộc R Định lý: - Nếu F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên (a;b) thì F(x) + C là nguyên hàm hàm số f(x), C R - Ngược lại: Mọi nguyên hàm hàm số f(x) trên (a;b) có thể viết dạng F ( x) C , C R F(x)+C, C R là họ nguyên hàm hàm số f(x) trên (a;b) - Kí hiệu: f ( x)dx 2xdx x Ví dụ: f ( x)dx F ( x) C C Tính chất: 1/ k f ( x)dx k f ( x )dx, k R / ( f ( x) g ( x))dx f ( x) g ( x)dx 6 (14) Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp: x 1 1/ dx x C / x dx C , 1 dx ax x / ln x C , x 0 / a dx C , a 1 x ln a / e x dx e x C / cos xdx sin x C / sin xdx cos x C / dx tan x C cos x / dx cotx C sin x Ví dụ: x11 x8 x2 100 x C 11 x 2 1 / dx dx dx C x x x x x Bài 2: Tích phân: Định nghĩa: 1/ (2 x10 x 3x 100)dx 2 b f ( x)dx F ( x) b a F (b) F (a ) a Tích chất: a b 1/ f ( x)dx 0 / f ( x)dx f ( x)dx a b a a b b b / k f ( x)dx k f ( x )dx a a b c b b / ( f ( x ) g ( x ))dx f ( x )dx f ( x)dx a a a b / f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx a a c Các phương pháp tính tích phân: Phương pháp tích phân phần: Nếu u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn b udv u ( x)v( x) a b a b vdu a Thông thương ta gặp các dạng sau: Dạng 1: a; b thì: (15) u p ( x ) sin x sin x cos x cos x b dx x x p ( x) e dv e dx a sin x sin x cos x cos x I= , ta đặt: Dạng 2: b u ln x p( x) ln xdx I= a , ta đặt: dv p ( x )dx Phương pháp tích phân đổi biến số: b f ( x)dx Tính a Đặt: t = t(x) Khi đó: dt t '( x)dx x a t t (a ) x b t t (b) Đổi cận: t (b ) b f ( x)dx f (t )dt t (a) Suy ra: a Bài tập vận dụng: Bài 1: Tính các tích phân sau phương pháp đổi biến số: 1/ (1 x) dx / x(1 x) dx 4/ 1 dx x 1 5/ x x e e 1dx 10 / sin x cos xdx 0 x x 1dx / sin x cos xdx 11/ (1 sin x) cos xdx 13 / (1 2sin x) cos xdx 6/ / x xdx 3 ln / x xdx / x 1dx 12 / (1 cos x) sin xdx sin x cos xdx 15 / sin 14 / x dx Bài 2: Tính các tích phân sau phương pháp tích phân phần: (16) 1/ x sin xdx / xe x dx / x cos xdx 0 / (1 x) cos xdx / (1 x)sin xdx / (1 x) cos xdx e e / (1 x) ln xdx / (1 x) ln xdx / x ln( x 1) dx e e ln x 10 / dx x 1 ln x 11/ dx x 1 12 / ln(1 )dx x ln(1 x) 13 / dx 1 x Bài 3: Tính các tích phân sau: 2 1/ (1 cos x) dx 4/ 2/ dx x x 1 / (1 x)10 dx dx 3x x3 1 6/ dx x 1 / (1 x) sin x cos xdx 1 e 10 / e x2 8/ dx x 1 / (1 x)e x dx e ln x dx x 11/ / (2 x ln x) dx ln x dx x Bài 3: Ứng dụng tích phân hình học – tính diện tích hình phẳng – tính thể tích khối tròn xoay: Dạng 1: Hình phẳng giới hạn y f ( x), y 0, x a, x b b S f ( x ) dx - Ghi công thức: - Giải phương trình: f(x) = 0, giả sử có các b a x1 x2 x1 , x2 a; b b S f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx a - Áp dụng: a x1 x2 x1 x2 b f ( x )dx a f ( x)dx f ( x)dx x1 x2 Dạng 2: Hình phẳng giới hạn hai đường cong: y f1 ( x), y f ( x), x a, x b (17) b S f1 ( x ) f ( x) dx - Ghi công thức: - x , x a; b Giải phương trình: f1 ( x) f ( x ) = , giả sử có các Áp dụng: a x1 b x2 b S f1 ( x) f ( x) dx f1 ( x) f ( x) dx f1 ( x) f ( x) dx f1 ( x ) f ( x) dx a a x1 x1 x2 x2 ( f1 ( x) f ( x)) dx a b ( f ( x) x1 f ( x))dx ( f1 ( x) f ( x)) dx x2 Dạng 3: Thể tích khối tròn xoay Hình phẳng giới hạn y f ( x), y 0, x a, x b quay quanh trục Ox tạo thể tích có công thức sau: b V ( f ( x))2 dx a - Công thức: - Thay vào công thức trên tính Bài tập vận dụng: Bài 1: Tính diện tích các hình phẳng sau: 1/ y x 1, y 0, x 0, x 1 / y x 3x 1, y x x 1, x 2, x 2 / y 2 x, y x , x 2, x 2 / y 2 x , y x x 1 9/ y , y 0, x 0, x 1 x 1 / y ln x, y 0, x e ,x 2 / y sin x, y 0, x , x 2 / y x , y x / y cos x, y 0, x 10 / y 1 ln x, y 0, x 1, x 3 Bài 2: Tính thể tích khối vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn quay quanh Ox 1/ y x, y 0, x 0, x 3 / y x , y 0, x 0, x 1 / y sin x, y 0, x 0, x / y 4 x x , y 0 / y 2 x , y 1 / y ln x, y 0, x 0, x e / y xe x , y 0, x 0, x 1 CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC Định nghĩa: - Dạng đại số phức z a bi - Modun số phức z a bi a b - Số phức liên hợp số phức z = a + bi là z a bi Chú ý: (18) +/ z z, z z +/ i Cộng trừ và nhân hai số phức: Cho hai số phức: z1 a1 b1i, z2 a2 b2i , đó: z1 z2 (a1 a2 ) (b1 b2 )i z1.z2 ( a1a2 b1b2 ) ( a1b2 b1a2 )i Phép chia hai số phức: - Tổng và tích hai số phức liên hợp: z z 2a z.z z a b - Chia hai số phức: z a b i (a b i )( a b i ) z 1 12 2 z2 a2 b2i a2 b2 (Muốn chia hai số phức, ta nhân tử là mẫu cho số phức liên hợp mẫu) Phương trình bậc hai hệ số thực trên trường số phức: i a - Căn bậc hai số thực âm a là - Phương trình bậc hai với hệ số thực: ax bx c 0; a, b, c R; a 0 b 4ac b Nếu = phương trình có nghiệm x = - 2a b x1,2 2a Nếu > pt có hai nghiệm phân biệt: x1,2 b i 2a Nếu < phương trình có hai nghiệm phức Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm môđun và số phức liên hợp số phức sau: 1/ z 2 3i / (2 3i) ( 5i) / z (2 i 5) (4 i) Bài 2: Tìm x, y biết: 1/ x (1 y )i 2 x (3 y 2)i / x (3 y 2)i y ( x 3)i / x y (2 x y )i 2 x y ( x y )i / x (2 y )i x (3 y 2)i Bài 3: Tính a/ 2i 3( 6i) b/ (2 3i )( 3i) (19) c/ (1 2i ) 15i d/ 2i Bài 4: Thực các phép tính sau: (3 2i ) (4 3i ) (1 2i) 4i a/ (2 5i ) b/ c/ 1 i 2 i (2 3i )(1 2i ) 4 i 2i 4i d/ (1 4i )(2 3i ) Bài 5: Giải Pt sau: a/ (1 i ) z (2 i )(1 3i ) 2 3i b/ (3 4i ) z (1 2i )(4 i ) c/ 2ix 5 x 4i d/ x(2 i ) 2ix(1 i) 3i Bài 6: Giải các phương trình sau: a/ x x 0 b/ x x 0 c/ 3x x 0 j/ (3 4i) z (2 2i )(3 i) k/ x(2 i ) 2ix(3 2i ) 5i l/ (3 4i ) z (1 3i ) 2 5i m/ z 0 d/ x x 0 e/ x x 0 f/ x x 0 g/ x x 0 z 0 Bài 7: Tính giá trị các biểu thức sau: 2005 1977 a/ i , i h/ z z 11 0 i/ (1+2i)z + 3z = (2 i ) b/ (1 i ) HÌNH HỌC CHƯƠNG I : Thể tích khối - đa diện Nhắc lại : Các hệ thức lượng tam giác vuông : 2 BC AB AC A AM BC AB AC AH BC , , Tìm tỷ số lượng giác các góc nhọn B H M C (20) Đường chéo hình vuông cạnh a a a Đường cao tam giác cạnh a A Diện tích tam giác : S ABC AH BC S ABC AB AC.sin BAC B Công thức Hêrong Trường hợp đặc biệt : Diện tích tam giác vuông : C H C S AB AC A Diên tích tam giác cạnh a : 1a a2 S AH BC a 2 1 a2 S AB AC.sin BAC a.a 2 B A B C H Diện tích hình chữ nhật : B S a.b b C a Diện tích hình vuông : D A B C S a a B Diện tích hình thoi : S AC.BD A D A C II Nhắc lại hình chóp : D Các tính chất : Đáy là đa giác (tam giác đều, hình vuông, ) Các cạnh bên Các mặt bên là tam giác cân Hình chiếu đỉnh lên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Các góc hợp các cạnh bên với mặt đáy Các góc hợp các mặt bên với mặt đáy (chỉ nhắc lại cho lớp khá giỏi) (21) Khoảng cách từ tâm đáy đến các mặt bên (chỉ nhắc lại cho lớp khá giỏi) Thứ tự các bước vẽ hình chóp : Vẽ đáy Xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Vẽ đường thẳng vuông góc với đáy O Trên đường thẳng này lấy điểm S Nối S với các đỉnh đa giác đáy ta hình chóp III Một vài chú ý xác định đường cao hình chóp : Nếu có cạnh bên hình chóp vuông góc với đáy thì cạnh bên này là đường cao Nếu có mặt bên vuông góc với đáy thì từ đỉnh hình chóp ta vẽ đường thẳng vuông góc với giao tuyến mặt bên này với đáy Đường thẳng này là đường cao Nếu có hai mặt bên vuông góc với đáy thì giao tuyến hai mặt bên này là đường cao IV Tỷ số thể tích : Cho hình lăng trụ ABC ABC Khi đó : VAABC VABC ABC Chú ý : Công thức trên đúng trường hợp lăng trụ có đáy là đa giác Cho hình hộp ABCD ABC D Khi đó : VAABD VABCD ABC D (chỉ áp dụng cho hs khá ) Cho hình tứ diện SABC Trên các đường thẳng SA, SB, SD lấy các điểm A, B, C Khi đó : VSABC SA.SB.SC VSABC SA.SB.SC IV Hình lăng trụ : Các tính chất : Hai đáy là hai đa giác và nằm trên hai mặt phẳng song song (gọi tắt là hai đáy song song) Các cạnh bên song song và Các mặt bên là hình bình hành Các góc hợp các cạnh bên và mặt đáy (22)