Heä phương trình muõ – loâgarit Nhắc lại các phưong pháp giải hệ đả biết : • Phưong phaùp theá • Phưong phaùp coäng • Phưong pháp đặt ẩn số phụ để biến đổi hệ về các dạng quen thuộc như [r]
(1)1 Chương Ứng dụng đạo hàm Soå Tay Giaûi Tích 12 www.saosangsong.com.vn Tính đơn điệu • Hàm số y = f(x) đồng biến trên K : ∀ x1, x2 ∈ K maø x1 < x2 thì f(x1) < f(x2) • Haøm soá y = f(x) nghòch bieán treân K neáu : ∀ x1, x2 ∈ K maø x1 < x2 thì f(x1) > f(x2) Định lí : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I a) Nếu f’(x) > với x ∈ I thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng I b) Nếu f’(x) < với x ∈ I thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng I c) Nếu f’(x) = với x ∈ I thì hàm số f(x) không đổi trên khỏang I Nhớ :Nếu dấu f’(x) là dấu tam thức ax2 + bx + c f(x) có CĐ (CT) x0 => f ’(x0) = => m Sau đó thử laïi baèng daáu cuûa f’ hay f ” (x0 ) 3.Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số trên đoạn [a ; b] Tìm các điểm x1 ,x2 , … , xn trên [a;b] đó f ’(x) = hay khoâng xaùc ñònh Tính f(a), f(x1) , f(x2) , … , f(xn) , f(b) Tìm số lớn M và số nhỏ m các soá treân thì : M = maxf(x) vaø m= minf(x) [a,b] [a;b] Tieäm caän : (C) : y = f(x) • y = y0 là đường tiệm cận ngang (C) lim f(x) = y o x →∞ ⎧a > thì : a) f(x) đồng biến trên R Ù ⎨ ⎩Δ = b − 4ac ≤ • a<0 b) f(x) nghòch bieán treân R Ù ⎧⎨ ⎩Δ = b − 4ac ≤ Cực trị Định lí : Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị x0 Khi đó, f(x) có đạo hàm x0 thì f’(x0) = Ñònh lí : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khỏang K =(x0 – h ; x0 + h) và có đạo hàm trên K a) Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu điểm x0 • Định lí : Giả sửhàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (x0 – h ; x0 + h) Khi đó a) Nếu f’(x0 ) = , f’’(x0) > thì x0 là điểm cực tiểu b) Nếu f’(x0 ) = , f’’(x0) < thì x0 là điểm cực đại Nhớ: f(x) coù CÑ, CT Ù f ’ (x) = coù ít nhaát nghieäm phaân bieät x = x0 gọi là đường tiệm cận đứng đồ thị haøm soá y = f(x) lim f(x) = ∞ x → xo y = ax + b , a ≠ đường tiệm cận xiên : lim[f(x) - (ax + b)] = x →∞ Phép biến đổi đồ thị 5.1 Phép đối xứng : a) qua trục Ox đồ thị y = f(x) là đồ thị y = - f(x) b) qua trục Oy đồ thị y = f(x) là đồ thị y = f(- x) c) qua gốc tọa độ đồ thị y = f(x) là đồ thị y = - f( - x) 5.2 Công thức đổi trục phép tịnh tiến JJG ⎧ x = X + xo OI = (x ; y ) : ⎨ ⎩y = Y + y o (C) : y = f(x) Ù (C) : Y = f(X + x0) – y0 Cho (C) : y = f(x) : • Đồ thị (C1) : y = f(|x|) gồm phần : Phần (I) trùng với phần (C) ứng với x ≥ Phần (II) đối xứng phần (I) qua Oy • Đồ thị (C2) : y = | f(x) | gồm phần : Phần (I) trùng với phần (C) phía trên O x Phần (II) đối xứng qua Ox với phần (C) phía Ox (2) 6.1 KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ y = ax3 + b x2 + cx + d y Hàm số phân thức y = y ( a ≠ 0) • D = R • y’ = 3ax2 + 2bx + c ; Δ’ = b2 – 3ac Δ’ ≤ : a > => y đồng biến trên R a< => y nghòch bieán treân R Δ’ > : y’ = Ù x = x1,2 : cực trị a>0 a<0 x - oo x1 x2 + oo x - oo x1 x2 + oo y’ + - + y’ - + y y x x y x y x © nhận Oy làm trục đối xứng ax + b ( c ≠ , ad – bc ≠ ) cx + d Taäp xaùc ñònh D = R \ {−d / c} 6.3 Hàm số phân thức y = y • y y’ = ad − bc (cx + d )2 Nếu ad – bc > thì hàm số đồng biến trên khoảng xác định Neáu ad – bc < thì haøm soá nghòch bieán trên khoảng xác định Nhớ: Nếu ad = bc = thì y = a/c • TCN: y = a/c , TCÑ : x = - d/c • BBT ad – bc > ad – bc < x - oo -d/c + oo x - oo -d/.c +oo • x x ( C) nhaän ñieåm uoán laøm tâm đối xứng y y x x 6.2 y = ax4 + b x2 + c (a ≠ 0) • D = R • y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) ab ≥ : 1cực trị ab < : cực trị a > 0, b > x - oo y’ - + y’ + + y’ y + oo - y y’ y x − - oo - −b 2a −b 2a + - + - - + y Tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận y y x x x Một số bài toán KSHS 7.1.Giao điểm hai đồ thị Cho (C1) y = f(x) và(C2) y = g(x) Hệ pt tọa độ giao điểm : ⎧f(x) = g(x) (1) : phương trình hoành độ giao điểm ⎨ ⎩y = f(x) Soá nghieäm cuûa (1) laø soá giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2 + oo + y’ - y x (prb’ ≠ 0) • Taäp xaùc ñònh R \ { - c’/b’} g(x) ab ' x + 2ac' x + bc'− b ' c = • y’ = (b ' x + c')2 (b ' x + c')2 Nếu g(x) VN :y đồng biến ab’ > hay nghịch biến ab’ < trên k xác định Nếu g(x) có nghiệm : y có cực trị • TCÑ: x = - c’/b’, TC X : y = px + q • Đồ thị là hyperbol xiên góc có tâïm đối xứng là giao ñieåm cuûa hai tieäm caän • BBT ( trường hợp có cực trị và p > 0) x - oo x1 - c’/b’ x2 + oo y y a > 0, b < ax + bx + c r =px+q+ b ' x + c' b'x + c' Tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận 7.2 Phöông trình tieáp tuyeán Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) hàm số y = f(x) taïi ñieåm M(x0; f(x0) thuoäc (C ) laø : y – y0 = f’(x0) (x – x0) (3) 7.3 Điều kiện tiếp xúc hai đường cong ⎧ f(x) = g(x) (1) Ñònh lí : (C1) vaø (C2) tieáp xuùc Ù heä ⎨ coù no ⎩ f '(x) = g '(x) Neáu (1) laø pt baäc thì ñktx laø Δ = Aùp duïng : Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) : y = f( x) bieát d qua ñieåm A Bước 1: Pt d qua A có dạng y = k (x – xA) + yA ⎧ f(x) = k(x − x A ) + y A (1) Bước : d tiếp xúc (C) Ù ⎨ ⎩ f '(x) = k (2) Thế k từ (2) vào (1), ta pt tính hoành độ tiếp điểm Giải để tìm x , vào (2), k => pt d 7.4 Họ đồ thị qua các điểm cố định Cho họ đồ thị (Cm) : y = f(x) phụthuộc tham số m M(x0; y0) ∈ (Cm) Ù y0 = f(x0) (*) Biền đổi (*) dạng Am + B = (1) hay Am2 + Bm + C = (2) (Cm) qua đ cố định thoả A = B = (A = B = C = 0) 7.5 Tìm tập hợp điểm M thỏa tính chất nào đó Tìm điều kiện m ∈ K để điểm M tồn Tìm hoành độ x theo tham số m và tung độ y theo x vaø m : y = f(x, m) Tính m theo x và vào y = f(x, m) ta y = g(x ) Giaûi ñieàu kieän m ∈ K thaønh ñieàu kieän cuûa x ∈ D Kết luận : tập hợp là đồ thị hàm số y = g(x) với x ∈ D ÔN ĐẠO HAØM Đạo hàm hàm số y = f ( x ) điểm xo : f ( xo + Δx ) − f ( xo ) Δy = lim Δx → Δ x Δx → Δx f '( xo ) = lim Ý nghĩa hình học đạo hàm : Định lý : Đạo hàm hàm số điểm xo là hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị ( C ) điểm Mo( xo , f(xo)) thuộc ( C ) • Phương trình tiếp tuyến với ( C ) Mo ( xo , yo) thuộc ( C) laø : y = f’( xo) ( x – xo) + f(x0) 3 Các quy tắc tính đạo hàm Ch ương Hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit (u + v – w)’ = u’ + v’ – w’ ; (uv)’ = u’v + uv’ (ku)’ = k.u’ ; (un)’ = nun – u’ ⎛ u ⎞ u ' v − uv ' ⎜ ⎟' = v2 ⎝v⎠ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Với a ∈ R+ và số hữu tỉ r = m/n (tối giản) đó m ∈ Z , ⎛ k ⎞ − kv ' ;⎜ ⎟ ' = v ⎝v⎠ m n∈N* , ta ñịnh nghĩa : Lũy thừa với số mũ vô tỉ a) Ñịnh nghĩa Cho soá voâ tæ α = lim rn , theá thì ( f ⎡⎣u ( x )⎤⎦ ) ' = f '[u ].u '( x) n → +∞ a = lim a α Bảng công thức đạo hàm n →+∞ (a x + b)’ = a (un)’ = nun – u’ u' u '= u u' ⎛1⎞ ⎜ ⎟' = − u u ⎝ ⎠ (sinx)’ = cosx (cosx)’ = - sinx (sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = - u’.sinu ( ) = + tan2x cos x (tanu)’ = sin x (cotgu)’ = − (cotx)’ = − = -(1 + cot2x) rn b) Tính chất Cho a, b > , α , β ∈ R , ta coù : (C’) = (x n ) = nxn - 1 ( x )' = x ⎛1⎞ ⎜ ⎟' = − x x ⎝ ⎠ (tanx)’ = ar = a n = n am u' cos u = (1 + tann ) u’ u' sin u = -(1+ cot2u ) u’ • aα = aα−β aβ α aα ⎛a⎞ (ab)α = aα bβ ; ⎜ ⎟ = β b ⎝b⎠ α α β αβ a > ; (a ) = a • Neáu a > : a > a <=> α > β • Neáu < a < : a > a <=> α < β • • aα aβ = aα+β ; α β α β Hàm số lũy thừa y = xα • Đạo hàm : Với x > và (x α )’ = α x α Toàng quaùt : (u α )’ = α u α - 1u’ Khaûo saùt y = x α treân (0 ; + ∞ ) a) α > : • Hàm số luôn đồng biến từ đến + ∞ • Khoâng coù tiệm cận Đồø thị luôn qua điểm (1 ; 1) y α >1 -1 α =1 0< α <1 1 x (4) α <0 • • • y Haøm soá luoân nghòch biến từ + ∞ đến Tc ngang Ox , tc đứng Oy Đồø thị luôn qua điểm (1;1) a >1 x Quy taéc tính loâgarit Ñònh lí : ∀ a, b1, b2 > vaø a ≠ : log a b1 b = log a b1 + loga b2 ; log a b1 b2 Haøm soá loâgarit y = log a x ( a > , ≠ 1) * Hàm số y = lnx có đạo hàm là y’= 1/ x , ∀ x > * Hàm số y = log a x có đạo hàm y’= ,∀ x > x ln a Toång quaùt : (ln|u||)’ = u’/u ; (loga|u|)’ = u’/(ulna) ; ∀ u ≠ Coù taäp xaùc ñònh laø (0 ; + ∞ ) Đạo hàm y’ = 1/(xlna) , suy : * a > : đồng biến từ (0 ; + ∞ ) đến (- oo ; + oo) * < a < : nghịch biến từ (0 ; + ∞ ) đến (+ oo ; - oo) a <1 y = log a b1 − log a b ; x log a b = α log a b (∀α ∈ R) m = − log a b ; loga n b m = log a b b n Công thức đổi số 1 Ñaëc bieät: log a loga b = log c b 1 ; log aα b = log a b ; log a b = α log c a log b a Haøm soá muõ y = ax ( a > , ≠ 1).õ • Hàm số y = ex có đạo hàm là y’= ex , ∀ x • Hàm số y = ax có đạo hàm là y’= ax lna , ∀ x Tổng quaùt : (eu)’ = eu.u’ ; (au)’= au.lna.u’ Coù taäp xaùc ñònh laø R Đạo hàm : y’ = ax lna , suy : * a > : đồng biến từ ( -oo; + oo) đến (0 ; + oo) * < a < 1: nghịch biến từ ( -oo; + oo) đến (+ oo ; 0) a >1 y α • x Loâgarit O x • Ñịnh nghĩa loâgarit α = loga b Ù a α = b (a , b > , a ≠ 1) (a : số , b đối số) • Tính chất log a = ; log a a = ∀ a, b > , a ≠ : loga b a = b ; logaα aα = α (α ∈ R) • a <1 α<0 y Phương trình loâgarit Daïng 1: Phương trình daïng cô baûn : y x Phöông trình muõ Daïng ⎧b > ax = b (a > , ≠ 1) Ù ⎨ ⎩x = loga b au(x) = av(x) <=> u(x) = v(x) với a > , ≠ Daïng : Ñöa veà daïng : a u(x) = b v(x ) ( a, b > , ≠ 1) Lấy lôgarit cớ số a hai vế : u(x) = v(x) logab Daïng : Baèng caùch ñöa veà cuøng cô soá roài ñặt aån soá phụ để phương trình bậc 2, theo ẩn số phụ Dạng : Sử dụng chiều biến thiên để giải pt f(x) = • Tìm nghiệm x0 phép thử f(x0) = • Nếu f(x) luôn đồng biến hay luôn nghịch biến thì x0 laø nghiệm nhaát ⎧⎪0 < a ≠ log a u(x) = b <=> ⎨ b ⎪⎩ u(x) = a ⎧0 < a ≠ ⎪ log a u(x) = log a v(x) <=> ⎨ u(x) > (hay v(x) > 0) ⎪ u(x) = v(x) ⎩ Daïng : Trong trường hợp tổng quaùt ta ñöa phương trình veà dạng theo các bước sau : ¾ Đặt điều kiện cho các số ( > , ≠ 1) , đối số ( > 0) ¾ Đưa các biểu thức cùng số và dùng quy tắc tính toán để biến đổi phương trình dạng log a u(x) = log a v(x) Giaûi phương trình u(x) = v(x) roài choïn nghiệm thoûa điều kiện đã nêu Daïng 3: Ñöa p trình veà daïng baäc 2, qua pheùp ñặt aån soá phuï Dạng : Sử dụng chiều biến thiên để giải pt f(x) = Heä phương trình muõ – loâgarit Nhắc lại các phưong pháp giải hệ đả biết : • Phưong phaùp theá • Phưong phaùp coäng • Phưong pháp đặt ẩn số phụ để biến đổi hệ các dạng quen thuộc hệ bậc , hệ đối xứng Baát phương trình muõ 1) Baát phương trình muõ cô baûn ¾ ⎧a > ⎧0 < a < hay ⎨ > g(x) f(x) ⎩ ⎩f(x) < g(x) af(x) > ag(x) Ù ⎨ 2) Tương tự nhö ñối với phương trình muõ , ta coù theå biến ñổi bất phương trình dạng cách sử dụng các phưong phaùp : • loâgarit hoùa hai veá • ñặt aån soá phuï 3) Duøng phưong phaùp khaûo saùt haøm soá : • Nếu f là hàm số đồng biến trên K thì ∀ x1, x2 ∈ K: f(x1) < f(x2) Ù x1 < x2 • Nếu f laø haøm soá nghòch bieán treân K thì ∀ x1, x2 ∈ K : f(x1) < f(x2) Ù x1 > x2 (5) 10 Baát phương trình loâgarit 1) Baát phương trình loâgarit cô baûn ⎧⎪a > ⎧⎪0 < a < hay ⎨ b b ⎪⎩0 < f(x) < a ⎩⎪f(x) > a • logaf(x) > b Ù ⎨ • Ñaëc bieät logaf(x) > ⎧a > ⎧0 < a < hay ⎨ Ù⎨ ⎩f(x) > ⎩0 < f(x) < logaf(x) > loga g(x) Ù • ⎧a > ⎧0 < a < hay ⎨ ⎨ > g(x) > f(x) ⎩ ⎩0 < f(x) < g(x) 2) Ñaët aån phuï 3) Dùng phương pháp khảo sát phương trình mũ Ch ương Nguyeân haøm vaø tích phaân §1.Nguyeân haøm I.Ñònh nghóa Haøm soá F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) trên khoảng (a;b) Ù F’(x) = f(x) với x thuộc khoảng (a;b) II Ñònh lyù1 F(x) vaø G(x) laø nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) Ù G(x) = F(x) + C ( C laø moät haèng soá ) Tập hợp tất các nguyên hàm F(x) + C kí hiệu III Tính chaát cuûa nguyeân haøm ( ∫ f ( x) ) ' = f ( x) ; ∫ f ( x)dx ∫ ( f ( x) ) ' dx = f ( x) + C ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ( k laø moät haèng soá ) ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx Phương pháp đổi biến số Ñònh lyù : ∫ f (u ( x ))u '( x ) dx = F (u ( x )) + C Aùp duïng: (ax + b)n +1 + C (n ≠ −1) ∫ a 1 ax + b ax + b ∫ ax + b = a ln | ax + b | +C ∫ e dx = a e + C ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C Tích phaân I Ñònh nghóa tích phaân F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) trên đọan [a,b] Hiệu số F(b) – F(a) gọi là tích phân (ax + b)n dx = b ác định trên đoạn [a.b] f(x)), ký hiệu IV Định lý Mọi hàm số f(x) liên tục trên khoảng a b F ( x) a để hiệu số F(b) – F(a) có có nguyên hàm trên khoảng đó V Baûng nguyeân haøm cuûa moät soá haøm soá sô caáp II Tính chaát cuûa tích phaân 1: ∫ 0dx = C ∫x α dx = ∫ dx = x + C α +1 xα +1 + C (α ≠ −1) 1 ∫ kx dx = k ln x + C ∫ f ( x)dx hay b b a a ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx b ∫ cos kxdx = k sin kx + C ∫ sin kxdx = − k cos kx + C ( k laø moät haèng soá) b b : ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x)dx a 3: a a b c b a a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ( a < c < b ) Nếu hàm số f(x) không âm trên đoạn [a,b] và liên tục trên b kx ∫ e dx = kx e +C k 1 ∫ cos kx dx = k tan kx + C kx ∫ a dx = a kx + C (a > 0; a ≠ 1) k ln a ∫ sin kx dx = − cot kx + C k ∫ f ( x)dx ≥ đoạn này thì : a III.Phöông phaùp tính tích phaân 1.Phương pháp tích phân phần Ñònh lyù : b b ∫ u ( x)v '( x)dx = u ( x)v '( x) a − ∫ u '( x)v( x)dx Hay b a VI Phöông phaùp tìn nguyeân haøm Phương pháp nguyên hàm phần Ñònh lyù : ∫ u ( x )v '( x ) dx = u ( x ).v ( x ) − ∫ u '( x)v ( x) dx hay ∫ udv = u.v − ∫ vdu a b b a a b II ∫Phöông udv = uv a −phaùp ∫ vdu tính nguyeân1 Phöôn Phương pháp đổi biến số Daïng 1: ∫ a u (b ) b f (u ( x)).u '( x) dx = ∫ u(a) f (u )du (6) Daïng Neáu x = ϕ (t ) , b ∫ a ϕ (α ) = a ; ϕ ( β ) = b thì: β f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )].ϕ '(t )dt α Ứng dụng tích phân hình học I Tính dieän tích a Diện tích hình thang cong hạn định (C) y = f(x) , trục Ox , hai đường thẳng x = a ; x = b cho : b S1 S = ∫ f ( x) dx (a < b) a a b S2 Đặc biệt : Diện tích giới hạn (C) y = f(x ) và trục hoành laø l ∫ | f(x) | dx , đó n, l là nghiệm nhỏ và n lớn phương trình hoành độ giao điểm : f(x ) = b Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y = f1(x) ; y = f2(x) l S = ∫ f1 ( x) − f ( x) dx (n < l ) n đó n, l là nghiệm nhỏ và lớn phương trình hoành độ giao điểm : f(x ) – g(x ) = II Tính theå tích khoái troøn xoay ⎧y = f(x) ⎪ a Khi quay hình phaúng ⎨y = (truïc Ox ) quanh truïc O x ta ⎪x = a ; x = b ⎩ khối có thể tích là Vx cho công thức : b Vx = π ∫ [ f ( x) ] dx a b Công thức tương tự cho hình phẳng ⎧x = f(y) ⎪ ⎨x = truïc Oy) quay quanh truïc Oy ⎪y = a ; y = b ⎩ b Vy = π ∫ [ g ( y ) ] dy z + z = (a + bi ) + (a − bi ) = 2a z.z = (a + bi )(a − bi ) = a + b = z IV Nghịch đảo số phức số phức Chương Số phức C = { z = a + bi / a, b ∈ R ; i = −1} a gọi là phần thực z ; b gọi là phần ảo z ⎧a = a ' a + bi = a '+ b ' i ⇔ ⎨ * ⎩b = b ' * Biểu diễn hình học số phức Điểm M(a,b) hệ trục Oxy gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi JJJJG Độ dài vectơ OM gọi là môđun số phức z và JJJJG JJJJG kyù hieäu laø z z = OM hay a + bi = OM = a + b * Số phức liên hợp Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp z = a + bi Ta coù caùc tính chaát sau : •z = z • z = z Trong mặt phẳng phức , các điểm biểu diễn z và z đối xứng qua trục Ox Các phép toán trên số phức I Phép cộïng – Phép trừ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) – (c + di) = (a – c) – (b – d)i II Pheùp nhaân (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) Chuù yù : i = -1 ; i3 = i2 i = -i ; i4 = i2 i2 = (-1).(-1) = v v III.Tổng và tích hai số phức liên hợp vaø : z z a − ib ; = = z z2 a + ib a + b a Số i Căn bậc hai số thực âm * Soá i laø soá thoûa i2 = -1 * Caên baäc hai cuûa soá aâm A laø ± i −A Dạng đại số số phức * Tập hợp các số phức là C : z ≠ laø V Chia hai số phức : Nhân tử và mẫu với (a – bi) c + di (c + di )( a − bi ) ac + bd ad − bc = = + i a + bi a2 + b2 a + b2 a + b2 VI Liên hợp tổng , hiệu , tích , thương hai số phức z1 ± z2 = z1 ± z2 ; z1.z2 = z1.z2 ; ( z1 z ) = ( z2 ≠ 0) ; z2 z2 z n = (z)n z1 z = z1 z ; z z1 = ; z2 z2 zn = z n 4.Khai phöông vaø giaûi phöông trình baäc hai I Cho số thực âm A ( A < ) Hai số bậc hai A là : ± i − A [ ( ± i − A ) = i (− A) = A] II.Căn bậc hai số phức (a + bi) là số phức (x + yi) định : ⎛ a + a + b2 −a + a + b2 +i x + iy = ± ⎜ ⎜ 2 ⎝ ⎞ ⎟ b ≥ ⎟ ⎠ ⎛ a + a + b2 −a + a + b ⎜ −i x + iy = ± ⎜ 2 ⎝ ⎞ ⎟ b < ⎟ ⎠ III.Nghieäm cuûa phöông trình baäc hai ax2 + bx + c = cho công thức : x= đó −b ± ω (a ≠ 0) 2a ω laø moät caên baäc hai cuûa Δ = b − 4ac Ñònh lyù Vi-eùt: x1 + x2 = − b c ; x1 x2 = a a (7) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC I Môđun và argumen số phức M là điểm biểu diễn số phức z: • độ dài OM gọi là môdun số phức z • Góc lượng giác ϕ = ( Ox, OM ) gọi là argumen số phức z và kí hiệu là arg(z) Argumen số phức z xác định sai khác bội số π ta thường coi arg(z) là giá trị không aâm nhoû nhaát cuûa ϕ II .Dạng lượng giác số phức Goïi r vaø ϕ laø moâñun vaø argumen cuûa z = a + bi : ⎧ r = a2 + b ⎪ ⎨ b Ù z = r(cos ϕ + isin ϕ ) a ⎪cos ϕ = ; sin ϕ = ⎩ r r dạng lượng giác số phức z III r1(cos ϕ 1+ isin ϕ 1) = r2 (cos ϕ + isin ϕ 2) r1 = r2 ⎧ ⇔⎨ ϕ = ⎩ ϕ2 + k2π CÔNG THỨC MOA-VRƠ Cho z1 = r1(cos ϕ + isin ϕ 1) vaø z2 = r2 (cos ϕ + isin ϕ 2) • ϕ 2) + isin( ϕ + ϕ 2) z1 / z2 = (r1/r2 )(cos( ϕ - ϕ 2) + isin( ϕ - ϕ 2) • • [r (cos ϕ + i sin ϕ )]n = r n [cos(nϕ ) + i sin(nϕ )] • z1.z2 = r1.r2 (cos( ϕ + 1 = [cos(−ϕ ) + i sin(−ϕ )] r (cos ϕ + i sin ϕ ) r (Moa-vrô) Và nhiều điều khác Hãy bước vào: www.saosangsong.com.vn (8)