Chun đề 10 : BÀI TỐN DỰNG HÌNH Nói đến dựng hình phải nhớ dựng thước compa Ta học phép dựng hình sau: Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước Dựng góc góc cho trước Dựng đường trung trực đoạn thẳng cho trước ,dựng trung điểm đoạn thẳng cho trước Dựng tia phân giác góc cho trước Qua điểm cho trước ,dựng đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước Qua điểm nằm đường thẳng cho trước ,dựng đường thẳng song song với đường thẳng Ta vận dụng phép dựng hình để dựng tam giác biết ba cạnh ,hoặc biết hai cạnh góc xen giữa,hoặc biết cạnh góc kề Trong tốn dựng hình phức tạp hơn,ta phải tuân thủ bước phương pháp dựng sau: Bước 1:Phân tích hình Bước 2: Dựng hình Bước 3:Chứng minh cách dựng thoả mãn yêu cầu đề toán Bước 4:Biện luận: Xem lại phép dựng thực để xem có điều kiện ràng buộc khơng.Từ suy tốn có nghiệm hình Thí dụ 1:Dựng tam giác ABC ,biết cạnh BC = a ,trung tuyến AM = m (a m độ dài cho trước ) góc AM đường cao AH Phân tích:Giả sử tốn giải xong,và ta dựng tam giác ABC thoả mãn yêu cầu đề tốn Phân tích hình theo hướng phát phận hình hội đủ điều kiện để dựng cách xác.Đó tam giác vng AHM có cạnh huyền AM = m,và HAM = cho trước.Tam giác hồn tồn xác định nên dựng Sau dựng xong tam giác vuông AHM ,ta hồn tất hình phải dựng chẳng khó khăn gì.Vậy ta có cách dựng sau : Cách dựng: Dựng đoạn thẳng AM có độ dài m cho trước (phép dựng a) Dựng MAx = cho trước (phép dựng b) Từ M kẻ MH Ax H (phép dựng e) Bây dựng hai đỉnh B,C Cạnh BC nằm đường thẳng MH,nên đường thẳng MH ,ta lấy hai phía khác điểm M hai điểmB,C cho MB = MC = a (phép dựng c a) Chứng minh: Rõ ràng tam giác thoả mãn đầy đủ u cầu đề tốn :có cạnh BC = a cho trước , trung tuyến AM = m cho trước , MAH = cho trước Biện luận :Lần lại khâu dựng hình , khâu thực khơng có trở ngại.Duy có góc cho trước yêu cầu đề MAH tam giác vuông AMH phải ,thì rõ ràng phải góc nhọn Vậy với điều kiện tốn giải có nghiệm hình Thí dụ :Dựng tam giác ABC với trung tuyến AM có độ dài đoạn thẳng m cho trước ,và góc MAB MAC góc cho trước Phân tích : Giảsử tốn giải xong ta dựng tam giác ABC thoả mãn yêu cầu tốn Hình vẽ cho thấy khơng có phận hình hội đủ điều kiện để dựng Thí dụ:Tam giác AMC có hai yếu tố biết MAC = AM = m ,nên dựng được.Đây lúc nhớ lại tốn tương tự q giá Thí dụ ,nhớ :nếu kéo dài trung tuyến AM thêm đoạn MD = AM ,thì hai tam giác AMB DMC (c,g,c) nên A 1= D Từ ,hình thành tam giác ACD với A 2= , D = A 1= AD = 2m Tam giác hội đủ điều kiện để dựng Sau dựng tam giác ,ta dựng điểm B,chẳng khó khăn Cách dựng: Dựng đoạn thẳng AD = 2m Dựng hai góc kề cạnh DAC = ADC = ,hai cạnh AC DC giao C.Sau ta vẽ trung tuyến CA tam giác ACD kéo dài thêm đoạn MB =MC ,từ xác định đỉnh B tam giác ABC cần dựng Chứng minh:Theo cách dựng ,rõ ràng tam giác AMB tam giác DMC nhau(c,g,c).Từ AM = AD = m , A 1= D = , A 2= Cho nên ,tam giác ABC dựng thoả mãn đầy đủ yêu cầu đề Biện luận :Trên ta nói hai cạnh AC DC giao C.Thực chúng giao + < 2v Do tốn ln giải có nghiệm hình Thí dụ 3: Cho góc xOy điểm M bên góc Dựng đoạn thẳng AB cho A Ox , B Oy M trung điểm AB Phân tích :Giả sử toán giải xong ta dựng đoạn thẳng AB thoả mãn yêu cầu đề A Ox, B Oy M trung điểm AB Nếu kéo dài OM thêm đoạn MD = OM AMO = BMD(c,g,c) O 1= D Từ , DB Ox Ngược lại, từ D kẻ DB Ox (B Oy ,rồi BM đến cắt Oxtại A AMO = BMD (g,c,g) với M 1= M (đối đỉnh) , M 1= D (so le ,DB Ox) MD =OM (do dựng ),từ AM = MB 2 Cách dựng :Kéo dài OM thêm đoạn MD= OM ,rồi từ D kẻ đường thẳng song với Ox ,cắt Oy B.Tiếp đến kẻ BM cắt Ox A M trung điểm AB Chứng minh: AMO BMD có : M 1= M (đối đỉnh) MO = MD (cách xác` định điểmD) O 1= MDB (so le –DB Ox) Do : AMO = BMD (g,c.g) AM = MD 4.Biện luận : Bài tốn ln có nghiệm Phụ :Bài tốn phân tích cách khác : Kẻø MN Ox (N Oy) MN= OA Ngược lại, kẻ MN Ox(N Oy),và lấy điểm A Ox cho OA = 2MN,rồi kẻ AM đến cắt Oy B có AM =MB.Quả ,gọi B trung điểm OA OP = PA PM ON.Vậy BM phải qua trung điểm AB,tức AM = MB Qua phân tích ta thấy rõ cách dựng chứng minh Bài tốn ln có nghiệm Thí dụ :Cho góc xOy hai điểm A,B Dựng điểm cách hai cạnh Ox,Oy cách hai điểm A,B Phân tích : Giả sử tốn giải xong ta dựng điểm M cách hai cạnh Ox, Oy cách hai điểm A,B ,nghĩa có MH = MK (MH Ox,H Ox, MK Oy,K Oy) MA=MB Vậy M vưà thuộc tia phân giác Ot xOy, vừa thuộc đường trung trực d AB nên M giao điểm Ot d Cách dựng : Dựng tia phân giác Ot góc xOy đường trung trực d AB ,d cắt Ot M M điểm cần dựng 3.Chứng minh : M Ot nên MH = MK M d nên MA = MB 4.Biện luận : a d cắt Ot AB khơng vng góc với Ot Bài tốn có nghiệm hình b Nếu AB Ot OA OB Ot d :Bài tốn vơ nghiệm c Nếu AB Ot OA = OB d Ot Bài tốn có vơ số nghiệm,nghĩa điểm Ot vừa cách hai cạnh Ox Oy,vừa cách A B Thí dụ :Cho góc nhọn xOy điểm A Oy.Tìm điểm M đoạn OA cho kẻ MP = MA Phân tích :Giả sử toán giải xong ta dựng điểm M theo yêu cầu đề Kẻ PN AM PN = AM AN NP , Có nghĩa AN Ox (1) Mặt khác PN = AM = OP nên tam giác OPN cân : O 1= N Mà O = N 1(góc so le trong-PN Oy) Nên O 1= O Điều có nghĩa N nằm tia phân giác góc xOy Theo (1) N nằm đường thẳng vng góc với Ox hạ từ A.Vậy N giao điểm đường thẳng với tia phân giác góc xOy Vị trí N hồn tồn xác định ,do dựng Cách dựng :Kẻ tia phân giác Ot góc xOy từ A ,kẻ đường thẳng vng góc với Ox , cắt Ot N Từ N kẻ NP Oy ,cắt Ox P Từ P kẻ đường thẳng vng góc với Ox, cắt Oy điểm N cần dựng Chứng minh :NP Oy nên N 1= O (so le ) Mà Ot tia phân giác : O 1= O Từ : O 1= N Tam giác OPN cân P : OP = PN MP AN vng góc với Ox nên MP AN Do đó: PN = AM (đoạn thẳng song song bị chắn hai đường thẳng song song).(2) Từ (1),(2) suy ra: OP = AM 4 Biện luận : Góc xOy nhọn nên tia phân giác Ot cắt đường thẳng kẻ từ A vng góc với Ox điểm N nhất.Do tốn có nghiệm hình BÀI TẬP Bài 1:Cho tam giác ABC vuông cân, cạnh huyền BC = 2a không đổi Gọi H trung điểm BC Hãy dựng điểm M đoạn AH cho khoảng cách từ M đến BC tổng khoảng cách đến AB AC Tính theo a độ dài HM tương ứng HD: 1/ Gọi N điểm đối xứng M qua AB Phân tích :Giả sử dựng M thuộc AH mà khoảng cách từ M đến BC tổng khoảng cách từ M đến AB AC Ta có N AP MH = MK + ML =MN MNH cân M MNH PHN = MHN MHN = Cách dựng :+Dựng điểm P đối xứng điểm H qua AB AHB M AH +Dựng phân giác HN +DỰng NM PH , ta có M điểm cần dựng Chứng minh: Thật : MHN cân M MH = MN = MK+ ML Biện luận:Bi tốn có nghiệm hình 2/Đặt MH = x.TA có : AH = AM + MH MA = a – x MH = 2MK x = (a – x) a x= x = a(2- ) 1 Bài 2: Dựng tam giác ,biết hai góc đường phân giác Biết hai góc tam giác tức biết góc thứ ba ,nên cho biết đường phân giác thuộc góc thơi.Do ta dựng tam giác ABC,biết góc B ,góc C đường phân giác BD đoạn thẳng a cho trước Phân tích :Giả sử tốn giải xong ta dựng tam giác ABC theo yêu cầu đề Ta tìm khâu” đột phá’tức tìm tam giác hội đủ điềåu kiện để dựng được.Dễ dàng phát tam giác BDA có BD =a , ABD = B = 2 Cách dựng : Trước hết dựng góc xBy = Dựng tia phân giác Bt góc đó.Trên tia Bt dựng đoạn BD = a Từ D dựng đường thẳng song song với By cắt Bx E.Dựng góc EDv = BDA = B +C= + Cạnh Dv cắt Bx A tia đối tia Dv cắt By C BDE = DBC = (so le ) Vậy BDA = BDE + EDA = + Từ suy C = Vậy tam giác ABC dựng có B = , C = tia phân giác BD = a Chứng minh : 4.Biện luận :bài tốn ln có nghiệm hình + < 2v Bài :Dựng tam giác cân ABC (AB = AC ),biết chu vi 2p chiều cao AH=h Phân tích :Giả sử toán giải xong ta dựng tam giác ABC theo yêu cầu đề Nếu tia đối tia CB ta dựng đoạn thẳng CD = AC ,và tia đối tia BC dựng đoạn thẳng BE = AB đoạn DE = 2p,và đường cao AH=h dựng Sau dựng tam giác cân DAE ,ta xác định vị trí hai đỉnh B C chẳng khó khăn ,bằng cách dựng đường trung trực AE AD Cách dựng :Dựng đoạn thẳng DE = 2p.Dựng đường trung trực d DE ,vng góc với DE H.Dựng điểm A d cho AH = h Dựng đường trung trực AE AD cắt DE đỉnh B C cần dựng Chứng minh : RoÕ ràng AB = BE , AC = CD nên tam giác ABE ACD tam giác cân D E Mà tam giác AED tam giác cân(AE = AD) nên = D ABC TưØ = ACB ABC =2 E , ACB =2 ,và tam giác ABC tam giác cân với đường cao AH = h MaËt khác , chu vi tam giác ABC = AB +AC +BC =EB + BC + CD = 2p Vậy tam giác cânABC dựng đáp ứng yêu cầu đề Biện luận : Bài tốn ln có nghiệm hình B Bài 4:Dựng tam giác ABC biết chu vi 2p = , C = Phân tích :Giả sử tốn giải xong ta dựng tam giác ABC theo yêu cầu đề Nếu tia đối tia BC ta dựng đoạn thẳng BE = AB , tia đối tia CB dựng đoạn thẳng CD = AC ta đoạn thẳng DE = 2p Hai tam giác ABE ACD tam giác cân nên: giác ADE hội đủ điều kiện để dựng E = E B = góc D = = D = C = Vậy tam Cách dựng : Dựng đoạn thẳng DE = p , dựng góc ,hai cạnh EA DA hai góc E D Chứng minh : Các tam giác ABE vàACD tam giác cân B thuộc đường trung trực AE(AB = BE ) C thuộc 2 cắt A Dựng đường trung trực AE AD , cắt DE B C cần dựng đường trung trực AD (AC = CD ).Từ , B =2 E = góc C =2 D = Mặt khác , chu vi tam giác ABC = AB+AC+BC=BE+CD +BC = 2p Vậy tam giác ABC thoả mãn yêu cầu đề Biện luận : Bài tốn có nghiệm hình + < 2v BÀI TẬP Bài 1:Dựng tam giác ABC ,biết vị trí ba điểm : Đỉnh A ,trung điểm M cạnh AC trọng tâm G tam giác Hướng dẫn :Trường hợp dựng nầy thuận lợi ,vì từ đầu có tam giác AGM làm cơsở để hồn tất hình cần dựng Bài 2:Dựng tam giác ABC ( A = 1v) ,biết đường cao AH trung tuyến AM ứng với cạnh huyền Bài 3: Dựng tam giác vuông biết cạnh huyền trung tuyến ứng với cạnh góc vng Hướng dẫn :Chú ý tam giác vuông ,nếu biết cạnh huyền biết ln trung tuyến ứng với nó,thành biết hai trung tuyến trọng tâm tam giác Baì 4: Dựng tam giác biết cạnh hai trung tuyến xuất phát từ hai mút cạnh Bài 5:Dựng tam giác ABC biết cạnh BC trung tuyến AM,BN Hướng dẫn :Bài 4,5 biết hai trung tuyến tức biết trọng tâm tam giác Bài 6:Dựng tam giác biết độ dài ca ûba trung tuyến AD Chứng minh CI = BG Vậy tam giác CIG hoàn toàn xác định,dựng Hướng dẫn :Kéo dài AD thêm đoạn DI = GD = Từ hồn tất hình cần dựng Bài 7: Dựng tam giác ABC biết giao điểm ba đường cao với đường tròn ngoại tiếp D,E,F Hướng dẫn : Giả sử tam giác ABC dựng xong ,gọi H trực tâm tam giác ABC ,khi ,D,E,F điểm đối xứng H qua BC, CA AB DA,BE, CF ba đường phân giác tam giác DEF cắt (O) A,B,C.Tam giác ABC tam giác cần dựng BaØi 8: Dựng hình thoi ABCD ,biết E điểm AC ,M điểm BD, E cách giao điểm hai đường chéo a ( cm ) Q điểm đối xứng M qua cạnh AD Hướng dẫn : Giả sử hình thoi ABCD dựng xong ,tâm O giao điểm của:-Đường trịn đường kính ME (vì MOE=1v) -Đường trịn (E; a) ,(vì EO = a (cm) ) Các đường thẳng EO MO đường thẳng chứa đường chéo AC BD A D giao điểm EO MO đường trung trực MQ Từ xác định C B đối xứng với A D qua O Bài 9: Cho hai điểm A B phía đường thẳng xy Dựng điểm M cho từ M nhìn đoạn AB góc cho trước hai cạnh AM MB chắn xy đoạn thẳng có độ dài m cho trước Hướng dẫn : Giả sử toán dựng xong Vẽ BC xy BC = m AEC = M = E cung chứa góc dựng đoạn AC E thuộc xy Lấy đoạn ED xy để có ED = m M giao điểm AE BD ... Cách dựng :Dựng đoạn thẳng DE = 2p.Dựng đường trung trực d DE ,vuông góc với DE H.Dựng điểm A d cho AH = h Dựng đường trung trực AE AD cắt DE đỉnh B C cần dựng Chứng minh : RoÕ ràng AB = BE , AC... = AC ta đoạn thẳng DE = 2p Hai tam giác ABE ACD tam giác cân nên: giác ADE hội đủ điều kiện để dựng E = E B = góc D = = D = C = Vậy tam Cách dựng : Dựng đoạn thẳng DE = p , dựng góc ,hai... E.Dựng góc EDv = BDA = B +C= + Cạnh Dv cắt Bx A tia đối tia Dv cắt By C BDE = DBC = (so le ) Vậy BDA = BDE + EDA = + Từ suy C = Vậy tam giác ABC dựng có B = , C = tia phân giác