cac bai hinh co nhieu cach giai

Sau khi đã tìm ra các cách giải khác nhau, giáo viên cần cho học sinh khái quát hoá bài toán bằng cách trả lời đợc một số câu hỏi cụ thế sau : 1 Trong các cách chứng minh những kiến nào [r]

§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dạng toán chứng minh góc với đờng tròn qua nhiều cách giải bài toán Bài toán 1: Cho  ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, với AB > AC Kẻ đờng cao AH, bán    kÝnh OA Chøng minh OAH = ACB - ABC C¸ch gi¶i 1: H×nh Gîi ý: - KÎ OI  AC c¾t AH ë M - ¸p dông kiÕn thøc vÒ gãc ngoµi tam gi¸c - Gãc néi tiÕp,gãc ë t©m Lêi gi¶i: Ta cã:   OMH = ACB (gãc cã c¸c cÆp c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) AOM ABC   = (cïng b»ng s® AC )    OMH AOM OAH Trong OAM th×: = +    (Gãc ngoµi tam gi¸c) Hay ACB = ABC + OAH    VËy: OAH = ACB - ABC (§pcm) C¸ch gi¶i 2: H×nh Gợi ý: Kẻ tiếp tuyến với đờng tròn A c¾t BC ë D Lêi gi¶i:    Ta cã: ABC = CAD (1) (Cïng ch¾n AC )   OAH = ADC (2) (gãc cã c¸c cÆp c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2)     Ta đợc: ABC + OAH = CAD + ADC    Mµ CAD + ADC = ACB (gãc ngoµi tam gi¸c)     ABC + OAH = ACB    VËy: OAH = ACB - ABC (§pcm) C¸ch gi¶i 3: H×nh Gợi ý: - Kẻ đờng kính AOD - KÎ DK  BC Lêi gi¶i:   Ta cãDK // AH  OAH = ODK (1) (so le trong)   ABC = ADC  (2) (gãc néi tiÕp cïng ch¾n AC ) Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2)      Ta đợc OAH + ABC = ODK + ADC = KDC   Mµ: KDC = ACB (gãc cã c¸c cÆp c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc)     OAH + ABC = ACB    VËy OAH = ACB - ABC (§pcm) C¸ch gi¶i 4: H×nh Gîi ý: - Kẻ đờng kính AOD - KÎ CK  AD Lêi gi¶i:   Ta cã: OAH = KCB (1) (gãc cã c¸c cÆp c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc)    ABC = ADC (2) (gãc néi tiÕp cïng ch¾n AC ) Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2)     Ta đợc: OAH + ABC = KCB + ADC   Mµ: ADC = KCA (gãc cã c¸c cÆp c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc)       OAH + ABC = KCB + KCA = ACB    VËy: OAH = ACB - ABC (§pcm) C¸ch gi¶i 5: H×nh Gîi ý: - Kẻ đờng kính AOD - Gäi M lµ giao ®iÓm cña AH vµ DC Lêi gi¶i:   Ta cã: AMC = ACB (1) (gãc cã c¹nh c¸c cÆp c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc)   ADM = ABC (2)  (gãc néi tiÕp cïng ch¾n AC ) Trõ tõng vÕ cña (1) vµ (2)     Ta đợc: AMC - ADM = ACB - ABC    Mµ: AMC - ADM = OAH (gãc ngoµi tam gi¸c)    VËy OAH = ACB - ABC (§pcm) C¸ch gi¶i 6: H×nh Gîi ý: KÎ OI  BC vµ OK  AB Lêi gi¶i:   OAH =O (1) (so le trong)  1 ABC =O Ta cã: (2) (gãc cã c¸c cÆp c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2)     Ta đợc OAH + ABC = O1 + O     Mµ O1 + O = ACB (Cïng b»ng s® AB )     OAH + ABC = ACB    VËy OAH = ACB - ABC (§pcm) C¸ch gi¶i 7: H×nh Gîi ý: T¹i A kÎ tiÕp tuyÕn Ax và đờng thẳng Ay // BC   Lêi gi¶i: Ta cã: OAH = xAy (1) (gãc cã c¸c cÆp c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc)   ABC = BAy (2) (so le trong) Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2)      Ta đợc: OAH + ABC = xAy + BAy = xAB    Mµ: xAB = ACB (gãc néi tiÕp cïng ch¾n AB )     OAH + ABC = ACB    VËy OAH = ACB - ABC (§pcm) §©y lµ mét bµi to¸n cã nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhng ë bµi to¸n nµy viÖc sö dông yếu tố vẽ thêm đờng phụ là vấn đề quan cho việc tìm các lời giải và là vấn đề khó học sinh bài toán trên giáo viên cần cho học sinh kiến thức đã vận dụng vµo gi¶i bµi to¸n - Kiến thức hai đờng thẳng song song, hai đờng thẳng vuông góc - Gãc néi tiÕp, gãc ë t©m, gãc ngoµi tam gi¸c Dạng chứng minh hai đoạn thẳng nhau,đờng thẳng song song,đồng quy Bài toán 2: Trong hình vuông ABCD và đờng tròn đờng kính AD và vẽ cung AC mà tâm là D Nối D với điểm P trên cung AC, DP cắt đờng tròn đờng kính AD K Chứng minh PK khoảng cách từ P đến AB C¸ch gi¶i 1: H×nh Gîi ý : - KÎ PI  AB - XÐt hai tam gi¸c  APK vµ  API Lêi gi¶i: KÎ PI  AB XÐt APK vµ tam gi¸c API  APK vu«ng t¹i K ( V× gãc AKD = 900 góc nội tiếp chắn đờng tròn đờng kính AD)  ADP c©n t¹i D, AD = DP   P = DAP   MÆt kh¸c P1 = DAP ( So le v× AD // PI ) Do đó: ^P1=^P2   APK =  API ( Cã chung c¹nh huyÒn vµ mét cÆp gãc nhän b»ng )  PK = PI C¸ch gi¶i 2: H×nh Gîi ý: - Ngoµi c¸ch chøng minh hai tam gi¸c  APK vµ  API b»ng c¸ch ta chøng minh^P1=^P2 Ta chøng minh ^A1=^A2 - Gọi F là giao điểm AP với đờng tròn đờng kính AD  Lêi gi¶i: Ta cã: AFD = 900 ( Góc nội tiếp chắn đờng tròn) Tam giác ADP cân D có DF là đờng cao nªn DF còng lµ ph©n gi¸c suy ra: ^D1=^D2 mà^A1=^D2 ;^D1=^A2Vì là góc có các cặp cạnh tơng ứng vuông góc Suy ra: ^A1=^A2   APK =  API ( Cã chung c¹nh huyÒn vµ mét cÆp gãc nhän b»ng )  PK = PI C¸ch gi¶i 3: H×nh   Gợi ý: - Cách giải này chúng ta chứng minh A1 = A nhng việc chứng minh đợc áp dụng kiến thức khác - Chú ý AB là tiếp tuyến đờng tròn tâm D nên ta có:    = ADK Ta cã IAK ( Cã sè ®o b»ng s® AK ) Lêi gi¶i:  MÆt kh¸c gãc IAP là góc tạo tiếp tuyến và dây cung AP đờng tròn tâm D nên góc IAP  b»ng sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung lµ gãc ADP 1 1 ADP = IAK  ^ IAP = Suy ra: ^A1=^A2   APK =  API ( Cã chung c¹nh huyÒn vµ mét cÆp gãc nhän b»ng )  PK = PI C¸ch gi¶i 4: H×nh Gîi ý: - Kéo dài K cắt đờng tròn tâm D E - áp dụng định lí góc tạo tiếp tuyến vµ d©y cung   = PE Lêi gi¶i: DK  AE nªn AP BAE Gãc (gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ AE d©y cung )V× AP l¹i ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AE nªn AP lµ tia ph©n gi¸c cña  gãc BAE Suy ra: ^A1=^A2   APK =  API ( Cã chung c¹nh huyÒn vµ mét cÆp gãc nhän b»ng )  PK = PI Đối với bài toán trên để chứng minh hai đoạn thẳng PK và PI ta chứng minh  APK =  API vấn đề giáo viên cần cho học sinh t và vận dụng sáng tạo kiến thøc vÒ : - Trêng hîp b»ng tam gi¸c vu«ng - Gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y cung - Gãc néi tiÕp Dạng bài có quan hệ liên kết phát triển bài đơn giản đến phức tạp Bài toán 3: Cho tam giác ABC, phía ngoài tam giác, dựng các tam giác ABF; ACD; BCE Chứng minh AE; BD; CF đồng quy Bµi gi¶i: Gäi O lµ giao ®iÓm cña BD vµ CF Ta cÇn chøng minh A; O; E th¼ng hµng Ta cã Δ DAB = Δ CAF (bµi to¸n 1) ⇒ ∠ B1 = ∠ F1 ⇒ AOBF néi tiÕp ⇒ ∠ O1 = ∠ B2 = 600 ∠ O2 = ∠ A1 = 600 ⇒ ∠ AOB = 1200 (1) T¬ng tù: ∠ AOC = 1200 ⇒ ∠ BOC = 1200 Mµ ∠ BFC = 600 ⇒ BOCE néi tiÕp ⇒ ∠ O3 = ∠ C1 = 600 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ ∠ AOF = 1800 ⇒ A; O; E th¼ng hµng Hay AE; BD; CF đồng quy D A F 1 2 3O B C E Qua bµi trªn ta nhËn thÊy c¸c gãc AOB; BOC; COA cã sè ®o lµ 1200 Tõ ®©y ta x©y dùng bµi to¸n dùng h×nh kh¸ quen thuéc sau : Bµi to¸n 4: Cho tam gi¸c ABC, vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c, dùng c¸c tam gi¸c ABF; ACD vu«ng c©n t¹i A Chøng minh r»ng CF = BD; CF BD Híng dÉn gi¶i: + CF = BD (t¬ng tù nh bµi to¸n 1) + CF BD: Do Tø gi¸c AOBF néi tiÕp ⇒ ∠ BOF = ∠ BAF = 900 F D A O C B TiÕp tôc bµi to¸n trªn Gäi M; N; I lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BF; CD; BC, ta cã: IM là đờng TB tam giác BCF nên: IM // = CF (1) T¬ng tù ta cã: IN // = BD (2) Mµ: CF = BD (3) Tõ (1); (2) vµ (3) suy ra: IM IN IM = IN Hay Δ MIN vu«ng c©n t¹i I D F A M N O B I C NhËn xÐt r»ng Δ AMB vµ Δ ANC vu«ng c©n t¹i M vµ N Tõ ®©y ta cã bµi to¸n tiÕp Bµi to¸n 5: Cho tam gi¸c ABC, vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c, dùng c¸c tam gi¸c ABM vu«ng c©n t¹i M; ACN vu«ng A c©n t¹i N Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC Δ IMN lµ N tam gi¸c g×? NÕu häc sinh lÇn ®Çu gÆp bµi to¸n nµy mµ cha gÆp M dạng thì khó giải các em C B I Bài toán trên có thể diển đạt cách khác làm cho học sinh dễ chứng minh cách thay các tam giác vuông cân ABM, CAN các hình vuông ABDE và ACHF thì ta đợc bài toán đơn giản hơn.Ta có bài toán tiếp sau : Bµi to¸n 6: F Cho tam gi¸c ABC, dùng vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c c¸c h×nh vu«ng ABDE vµ ACHF E a.Chøng minh r»ng: BF = CE vµ BF CE A b.Gäi I, J lÇn lît lµ t©m H J hai hình vuông đó M lµ trung ®iÓm cña BC I Chøng minh r»ng Δ MIJ lµ tam gi¸c vu«ng c©n D C M B Bài toán 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) M ; N ; P lần lợt là cá điểm    chÝnh gi÷a c¸c cung nhá AB ; BC ; CA MN vµ NP c¾t AB vµ AC theo thø tù ë R vµ S Chứng minh rằng: RS // BC và RS qua tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC C¸ch gi¶i 1: H×nh Gợi ý: Đây là bài toán hình tơng đối khó học sinh không có t tốt h×nh häc Khi ®a bµi to¸n nµy c¶ viÖc vẽ hình là vấn đề khó và các em đã không tìm đợc lời giải Dới hớng dẫn thầy Ta cã AN; BP vµ AN lµ c¸c tia ph©n gi¸c cña tam gi¸c ABC Gäi I lµ giao ®iÓm cña các đờng phân giác Khi đó ta có I chính là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC §Ó chøng minh cho RS // BC vµ I  RS ta ®i chøng minh IR // BC ; IS // BC råi sö dông tiên đề đờng thẳng song song để suy ®iÒu ph¶i chøng minh Sau thời gian ngắn học sinh đã tìm đợc lời giải cho bài toán này Và là lời giải ngắn mà thầy đã tìm Lêi gi¶i:   = CP B    XÐt  NBI ta cã: IBN = B2 + B3 mµ  = NAC   B (Gãc néi tiÕp ch¾n cung NC )    B BAC A  IBN =  NAC 2 = đó ;   B A   + B 1 BIN =A = ( Gãc ngoµi cña tam gi¸c ABI )   Suy : IBN = BIN   NBI c©n t¹i N  N thuéc trung trùc cña ®o¹n th¼ng BI Ta chứng minh đờng trung trực đoạn thẳng này chính là RN Gäi H lµ giao ®iÓm cña MN vµ PB Ta cã  + s®AB  + s®AC  1 s®BC BN + AM   + AP  BHN = s® =    Vì BHN là góc có đỉnh nằm bên đờng tròn và    BC AB AC    BN = AM = AP =   BHN = 3600 = 900 ; ;  RN lµ trung trùc cña ®o¹n th¼ng BI  BR = RI   RBI c©n t¹i R  = RIB  1 = B   B mµ B  = RIB   B  IR // BC ( V× t¹o víi c¸c tuyÕn BI hai gãc so le b»ng ) Cũng chứng minh tơng tự ta đợc IS // BC, từ điểm I ngoài đờng thẳng BC ta có thể kẻ đợc đờng thẳng song song với BC  R ; I ; S th¼ng hµng Vậy RS // BC và RS qua tâm I đờng tròn nội tiếp tam giác ABC ( Đpcm) C¸ch gi¶i 2: H×nh Gîi ý: Trong c¸ch gi¶i nµy yªu cÇu häc sinh ph¶i n¾m l¹i kiÕn thøc cò vÒ Tính chất đờng phân giác tam giác đây là tính chất quan trọng mà các em đã đợc häc ë líp ®a sè häc sinh Ýt thËm trÝ lµ kh«ng hay để ý đến tính chất này Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt ta cã    MA = MB đó MN là phân giác góc ANB áp dụng tính chất đờng phân giác RA NA = NB ( 1) tam gi¸c ABN ta cã: RB T¬ng tù: NP lµ ph©n gi¸c cña tam gi¸c ACN SA NA = SC NC (2) RA SA = BN = CN  SC  RS // BC v× nên BN = CN kết hợp với (1) và (2) ta đợc RB Gäi giao ®iÓm cña RS víi AN lµ I, cña BC vµ AN lµ D v× RS // BC nªn ta cã: AI RA NA RA AI NA =  = ID RB mµ NB RB suy ID NB Hai tam giác BND và tam giác ANB đồng dạng    (v× cã gãc BNA chung vµ BAN NBD ) nªn  ABC Suy BI lµ ph©n gi¸c cña gãc NA AB AI AB  = NB BD VËy ID BD   ë trªn ta cã I thuéc ph©n gi¸c AN cña gãc BAC ta l¹i võa chøng minh I thuéc ph©n gi¸c ABC nên I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC ( Đpcm) Bài toán 8: T điểm trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác bất kì hạ các đờng vuông góc xuống ba cạnh tam giác ABC nội tiếp đờng tròn Chứng minh chân ba đờng vuông góc đó thẳng hàng (Đờng thẳng này gọi là đờng thẳng Simson) C¸ch gi¶i 1:   V× D = E = 90 suy tø gi¸c   = BPD BDPE lµ tø gi¸c néi tiÕp  BED (*) ( Gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung )   vµ F = E = 90 suy tø gi¸c EFCP còng lµ tø gi¸c néi tiÕp   suy FEC = FPC (**) ( Gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung ) Vì tứ giác ABPC nội tiếp đờng tròn    BPC = - A (1) PD  AB     PF  AC   DPF = -A (2)    BPC DPF Tõ (1) vµ (2)  =   BPD = FPC (***)   Tõ (*) ; (**) vµ (***)  BED = FEC  D ; E ; F th¼ng hµng C¸ch gi¶i 2: PE  EC     PF  FC   Tø gi¸c EFCP lµ tø gi¸c néi tiÕp  FEP + PCF = 1800 (1)      ABP + FCP = 1800 ABP + BDP = 1800 Vì tứ giác ABPC nội tiếp đờng tròn Mµ    FCP = DBP (2) PD  BD     PE  BC   Tø gi¸c EPDB lµ tø gi¸c néi tiÕp  DBP = DEP ( 3)   PEF + DEP = 180 Tõ (1) ; (2) vµ (3) ta cã : Suy ba ®iÓm D ; E ; F th¼ng hµng Đối với bài toán trên là bài toán khó yêu cầu học sinh phải huy động nhiều kiến thức có liên quan vì việc tìm lời giải đã khó việc tìm các cách giải khác là vấn đề quá khó, với bài này thân học sinh tôi không làm đợc sau giáo viên gợi ý học sinh đã dần t sáng tạo và tìm đợc hớng bài toán Đơn vị kiến thức đợc áp dụng để giải bài toán.Nh để chứng minh ba điểm thẳng hàng cần chứng minh hai gãc kÒ cã tæng sè ®o b»ng 1800 - Tứ giác nội tiếp đờng tròn - Góc nội tiếp đờng tròn Bµi to¸n 9: Cho tam gi¸c ABC, dùng vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c c¸c h×nh vu«ng ABDE vµ ACHF, vÏ h×nh b×nh hµnh AEQF, Chøng minh r»ng: BH = QC vµ BH QC Bµi gi¶i: Gäi O lµ giao ®iÓm cña BH vµ QC Theo BT 9, ta cã: Δ ABC = Δ FQA, nªn: BC = QA Vµ ∠ ACB = ∠ FAQ ⇒ ∠ BCH = ∠ QAC XÐt hai tam gi¸c: Δ BCH vµ Δ QAC, cã: BC = QA ∠ BCH = ∠ QAC Q F N E H A ⇒ O CH = AC (gt) Δ BCH = Δ QAC (c.g.c) ⇒ BH = QC (1) D Vµ ∠ CBH = ∠ AQC C Mµ ∠ AQC + ∠ QCP = B P M 90 ⇒ ∠ CBH + ∠ QCP = 90 Hay ∠ BOC = 900 Hay BH QC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ®pcm T¬ng tù nh trªn ta còng cã CD QB Ta nhận thấy QP, BH, CD là ba đờng cao tam giác QBC Và từ dây ta xây dựng đợc bài toán đợc phát biểu dạng khác Bµi to¸n 10: Q Cho tam gi¸c ABC, dùng vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c c¸c h×nh vu«ng ABDE vµ ACHF, vÏ h×nh b×nh F hµnh AEQF, Chøng minh r»ng QP, BH và CD đồng quy (ta thấy QP, BH và CD là ba đờng cao tam giác QBC, nên chúng đồng quy) E H A D C B P Dạng chứng minh đờng thẳng song song và tam giác đồng dạng Bµi to¸n 11: §êng trßn (O;R1) vµ (O';R2) tiÕp xóc t¹i P Mét c¸t tuyÕn qua P c¾t (O;R1) t¹i A vµ (O';R2) t¹i B Mét c¸t tuyÕn kh¸c còng qua P c¾t (O;R1) t¹i C vµ (O';R2) D Chứng minh : OA//O'B ; OC//O'D ; AC//BD các tam giác PAC và PBD đồng dạng Sau đọc bài toán này giáo viên cần cho học sinh nhắc lại kiến thức hai đờng tròn tiếp xúc với Và từ đó cần yêu cầu học sinh để giải bài toán trên chung ta phải xét hai trêng hîp s¶y Hai đờng tròn tiếp xúc ngoài và hai đờng tròn tiếp xúc trong.ở đây tôi trình bày hai đờng tròn tiếp xúc ngoài còn trờng hợp hai đờng tròn tiếp xúc ngoài chúng ta chứng minh tơng tù C¸ch gi¶i 1: H×nh Gîi ý: - Tính chất hai đờng tròn tiÕp xóc - áp dụng trờng hợp đồng d¹ng thø hai Lêi gi¶i: Ta cã c¸c tam gi¸c OAP vµ tam gi¸c O'BP lµ c¸c tam gi¸c c©n t¹i O vµ O'       Suy ra: OAP = OPA và O'PB = O'BP mà OPA = O'PB ( Hai góc đối đỉnh) Suy tiÕp c¸c gãc ë vÞ trÝ so le b»ng  OA//O'B ; OC//O'D ; AC//BD   Và  OAP = PBO'  hai tam giác  OAP và  O'BP đồng dạng PA PO R =  PO' R (1)  PB       Tơng tự ta có : OCP = OPC và O'PD = O'DP mà OPC = O'PD ( Hai góc đối đỉnh)    OCP = PDO'  hai tam giác  OCP và  O'DP đồng dạng PC PO R PC R PA =   =   PO' R (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: PB PD R l¹i cã CPA  PD = BPD Suy :  PAC và  PBD đồng dạng C¸ch gi¶i 2: H×nh Gợi ý: - Kẻ tiếp tuyến chung xPy hai đờng tròn - áp dụng trờng hợp đồng dạng thứ ba - áp dụng định lí góc tạo tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung Lêi gi¶i: KÎ tiÕp tuyÕn chung xPy hai đờng tròn     Ta cã CAP = CPy = xPD = PBD ( ¸p dông tÝnh chÊt vÒ gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau)   MÆt kh¸c APC = BPD (hai góc đối đỉnh) Suy :  PA1B1 và  PA2B2 đồng dạng Dạng chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn,hình vuông Bài toán 12: Cho tam giác đờng phân giác BN và tâm O đờng tròn nội tiếp tam gi¸c Tõ A kÎ mét tia vu«ng gãc víi tia BN, c¾t BC t¹i H Chøng minh bèn ®iÓm A; O; H; C nằm trên đờng tròn Đối với bài toán này xảy hai trờng hợp hình vẽ Trêng hîp 1: H vµ O n»m cïng phÝa víi AC H×nh Trêng hîp 2: H vµ O n»m kh¸c phÝa víi AC H×nh Gîi ý: Gäi I lµ giao ®iÓm cña AH vµ BN KÎ AP vu«ng gãc víi CO c¾t AB t¹i P M lµ giao ®iÓm cña OC vµ AB K lµ giao ®iÓm cña OC vµ AP - áp dụng tính chất các đờng( đờng cao, đờng trung trực, đờng trung tuyến, đờng phân giác đờng trung bình,) tam giác - KiÕn thøc vÒ tø gi¸c néi tiÕp - TÝnh chÊt gãc ngoµi tam gi¸c C¸ch gi¶i 1: Xét  ACP có CK vừa là phân giác vừa là đờng cao nên CK là đờng trung tuyến, đờng trung trực  KA = KP (1) Xét  ABH có BI vừa là phân giác vừa là đờng cao nên BI là đờng trung tuyến, đờng trung trực  IA = IH (2) Từ (1) và (2) ta có: IK là đờng trung bình tam giác APH    IKO = OCH ( H×nh 1) IKO + OCH  = 1800 HoÆc (H×nh 2)    XÐt tø gi¸c AKOI cã I = K = 900  AKOI lµ tø gi¸c néi tiÕp  IKO = OAH  Tứ giác AOHC nội tiếp đợc  A; O; H; C cùng nằm trên đờng tròn C¸ch gi¶i 2:     Ta có BN là đờng trung trực AH  BHO = BAO mà BAO = OAC nên   BHO = OAC  Tứ giác AOHC nội tiếp đợc  A; O; H; C cùng nằm trên đờng tròn C¸ch gi¶i 3:    ABI lµ tam gi¸c vu«ng nªn IBA + BAI = 1800 hay   B A  OAI + +      IBA + BAO + OAI = 1800 Suy ra: 2 = 900  OAI b»ng (hoÆc bï) víi gãc OCH  Tứ giác AOHC nội tiếp đợc  A; O; H; C cùng nằm trên đờng tròn C¸ch gi¶i 4:  B  AHC = 900 + Gãc ngoµi tam gi¸c * §èi víi (H×nh 1) ta cã  B 90 +  AOC (Vì O là tâm đờng tròn nội tiếp ) =    AHC = AOC   Tứ giác AOHC nội tiếp đợc * §èi víi ( H×nh 2) XÐt tam gi¸c IBH ta cã  AOC = 900 + A; O; H; C cùng nằm trên đờng tròn  B  AHC = 900  B   + AOC = 180 (Vì O là tâm đờng tròn nội tiếp )  AHC Tứ giác AOHC nội tiếp đợc  A; O; H; C cùng nằm trên đờng tròn C¸ch gi¶i 5:  +B  A  AON = Ta cã ( Góc ngoài đỉnh O tam giác AOB )   + B   AOH    AOH = A + ACH = 1800 ( H×nh 1)    + B  AOH = ACH =A hoÆc ( H×nh 2) Suy Tứ giác AOHC nội tiếp đợc  A; O; H; C cùng nằm trên đờng tròn Bµi to¸n 13 : Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, vÒ phÝa ngoµi h×nh b×nh hµnh, dùng c¸c tam gi¸c ABM vu«ng c©n t¹i M; ACN vu«ng c©n t¹i N; BDP vu«ng c©n t¹i P; CDQ vu«ng c©n t¹i Q Chøng minh r»ng tø gi¸c NMPQ lµ h×nh vu«ng N A M B C I Q D P Bµi to¸n trªn cã thÓ ph¸t biÓu theo d¹ng kh¸c, ta cã bµi tËp 14 Bµi to¸n 14: Cho h×nh b×nh hµnh ABDC, vÒ phÝa ngoµi h×nh b×nh hµnh, dùng c¸c h×nh vu«ng ABEF, ACMN, DBPQ, CDKL, Gäi S, G, R, H lÇn lît lµ t©m cña c¸c F h×nh vu«ng trªn Chøng minh r»ng tø A gi¸c SGHR lµ h×nh vu«ng N G M S E B C L H P D R K Q TiÕp tôc bµi to¸n trªn, NÕu tø gi¸c ABCD kh«ng ph¶i lµ h×nh b×nh hµnh mµ lµ mét tø gi¸c thêng th× liÖu tø gi¸c SGHR cã tÝnh chÊt g× kh«ng? Ta cã bµi to¸n 15 Bµi to¸n 15: Cho h×nh tø gi¸c ABCD, vÒ phÝa ngoµi tø gi¸c, dùng c¸c h×nh vu«ng ABMN, ADEF, DCGH, BCPQ, Gäi V, S, J, K lÇn lît lµ t©m cña c¸c h×nh vu«ng trªn Chøng minh r»ng KS = VJ vµ KS VJ Bµi gi¶i: M Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC, theo bµi toán ta chứng minh đợc tam giác N Q SIJ vµ tam gi¸c VIK vu«ng c©n t¹i I XÐt hai Δ : Δ VIJ vµ Δ KIS, V cã: B VI = KI F A ∠ VIJ = ∠ KIS ⇒ K IJ = IS P VIJ = KIS (c.g.c) ⇒ Δ Δ ⇒ VJ = KS (1) S R I Gäi R lµ giao ®iÓm cña IS vµ VJ E Do ∠ IJV = ∠ ISK ( Δ VIJ = C D Δ KIS) Vµ ∠ IJV + ∠ IRJ = 900 ⇒ ∠ ISK + ∠ VRS = 900 Hay KS VJ (2) Tõ (1) vµ (2) suy ®pcm J H Bµi to¸n 16: Cho tam gi¸c ABC, dùng vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c c¸c h×nh vu«ng ABDE vµ ACHF Gäi I, J lÇn lît lµ tâm hai hình vuông đó M, N lµ trung ®iÓm cña BC vµ EF Chøng minh r»ng tø gi¸c IMJN lµ h×nh vu«ng G F N E A J H I D C B M bài toán trên, ta có thể chứng minh đợc đờng trung tuyến AN tam giác AEF là đờng cao tam giác ABC và đờng trung tuyến AM tam giác ABC là đờng cao tam gi¸c AEF Đối với bài toán này việc vẽ đờng phụ là quan trọng Học sinh cần áp dụng kiến thức hai tam giác đồng dạng, kiến thức tam giác cân, tam giác Tính chất dãy tỉ số đã đợc học lớp vào giải bài toán Hai cách giải trên tơng tự giống Song sau đã tìm đợc lời giải giáo viên cần gîi ý cho häc sinh qua c©u hái VËy nÕu trªn tia BP lÊy mét ®iÓm D cho PD = PC th× ta có thể chứng minh đợc hệ thức trên hay không? Nh vËy th× häc sinh míi t vµ t×m tßi lêi gi¶i Gi¸o viªn kh«ng nªn ®a lêi gi¶i mµ ph¶i để học sinh tìm lời giải cho bài toán Bµi tËp tù luyÖn t¹i nhµ cho häc sinh   = EBA Bµi tËp 1: ë miÒn cña h×nh vu«ng ABCD lÊy mét ®iÓm E cho EAB = 150 Chứng minh tam giác ADE là tam giác Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm đờng chéo AC và BD gọi M và N là trung điểm OB và CD chứng minh A; M; N; D cùng thuộc đờng tròn Bài tập 3:Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O đờng kính AC Trên tia AB lấy điểm D cho AD = 3AB Đờng thẳng Dy vuông góc với DC D cắt tiếp tuyến Ax đờng tròn (O) t¹i E Chøng minh tam gi¸c BDE lµ tam gi¸c c©n Bµi to¸n 4:Cho tam gi¸c ABC, vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c dùng c¸c h×nh vu«ng ABEF; ACMN; BCPQ Chứng minh các đờng cao các tam giác AFN; CMP; BQE xuất phát từ A, B, C đồng quy Bµi to¸n 5: Cho tam gi¸c ABC, dùng vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c c¸c h×nh vu«ng ABDE vµ ACHF Chứng minh đờng trung tuyến AN tam giác AEF là đờng cao AP tam giác ABC và đờng trung tuyến AM tam giác ABC là đờng cao tam giác AEF Kh¸i qu¸t ho¸ bµi to¸n Sau đã tìm các cách giải khác nhau, giáo viên cần cho học sinh khái quát hoá bài toán cách trả lời đợc số câu hỏi cụ sau : 1) Trong các cách chứng minh kiến nào đã đợc vận dụng ? 2) Có cách chứng minh nào tơng tự nhau?Khái quát đờng lối chung các cách ấy? 3) Và cách chứng minh trên kiến thức nào đã vận dụng và kiến thức đó đợc học lớp mấy, và có thể hỏi cụ thể chơng nào tiết nào để kiểm tra nắm vững kiến thức học sinh 4) Cần cho học sinh phân tích đợc cái hay cách và có thể trờng hợp cụ thể ta nên áp dụng cách nào để đơn giản và có thể áp dụng để giải các câu liên quan vì mét bµi h×nh kh«ng chØ cã mét c©u mµ cßn cã c¸c c©u liªn quan 5) Việc khái quát hoá bài toán là vấn đề quan trọng Khái quát hóa bài toán là thể lực t duy, sáng tạo học sinh Để bồi dỡng cho các em lực khái quát hoá đúng đắn phải bồi dỡng lực phân tích, tổng hợp, so sánh, vận dụng kiến thức liên quan để biết tìm cách giải vấn đề các trờng hợp 6)Việc tìm nhiều lời giải cho bài toán là vấn đề không đơn giản đòi hỏi học sinh ph¶i cã n¨ng lùc t logic, kiÕn thøc tæng hîp Kh«ng ph¶i bµi to¸n nµo còng cã thÓ t×m nhiÒu lêi gi¶i Mµ th«ng qua c¸c bµi to¸n víi nhiÒu lêi gi¶i nh»m cho häc sinh n¾m s©u vÒ kiến thức vận dụng kiến thức thành thạo để có thể giải các bài toán khác