Người gửi: Mai Tuấn Anh, GV trường Trung học cơ sở Nga Điền, huyện Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa.. Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là x=4.[r]
(1)Đề bài: Cho số nguyên tố khác có thể viết thành a, b, c, a+b+c, a+b-c, a-b+c, -a+b+c, đó, hai số a, b, c có tổng 800 Gọi d là khoảng cách số lớn và số nhỏ số nguyên tố đó Hỏi giá trị lớn có thể có d? Lời giải: Giả sử a+b=800 và a<b Nếu c 800 thì a+b-c , mâu thuẫn với đề bài Do đó, ta có c<800 Rõ ràng số lớn số nguyên tố là a+b+c Hai số nguyên tố lớn 800 là 787 và 797 Do đó a+b+c 800+797=1597 Rõ ràng a, b, c là các số lẻ, vì là số nguyên tố chẵn, mà số a, b, c là số chẵn thì có số chẵn +số nguyên tố đã cho Suy số nguyên tố lẻ Vì thế, số nhỏ có thể là Lúc đó: d 1597-3=1594 Khi a=13, b=787, c=797, ta có a+b-c=3, a=13, c=797, b=787, a-b+c=23, -a+b+c=1571, a+b+c=1597 là số nguyên tố và d=1594 Vậy dmax=1594 Người gửi: Mai Tuấn Anh, GV trường Trung học sở Nga Điền, huyện Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa Đề bài: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng: (a+ b+c ) 3 a +2 a b b +2 b c c +2 c a ¿ + + ≥❑ 2 2 a + ab+b b +3 bc +c c + ca+ a ❑ Dấu xảy nào? Lời giải: Ta chứng minh: a3 +2 a2 b a2 +3 ab+b 4a−b (1) Thật vậy, (1) tương đương với: ⇔ a3 +10 a b ≥(4 a − b)(a2 +3 ab+ b2) ⇔ a3 +10 a2 b ≥ a 3+ 12a b+ ab − a2 b −3 ab2 −b3 3 2 ⇔ a + b ≥ a b +ab ⇔ (a+b)( a2 − ab+b 2) ≥ ab(a+ b) ¿ ⇔ a2 − ab+b ≥ ab ⇔ a2 − 2ab+ b2 ≥0 a −b ¿2 ≥ ⇔¿ (2) Bất đẳng thức cuối đúng nên BĐT (1) đúng Tương tự ta chứng minh các BĐT sau: b +2 b c b −c ≥ (2) 2 b +3 bc+ c c 3+ 2c a c−a ≥ (3) 2 c +3 ca +a Cộng theo vế các BĐT (1), (2), (3) ta điều phải chứng minh Dấu xảy ⇔ (1), (2), (3) đồng thời xảy dấu ⇔ a=b=c Người gửi: Mai Tuấn Anh, GV trường Trung học sở Nga Điền, huyện Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa Đề bài: Giải phương trình sau: √ x −3+27 √3 x+7=x − x 2+30 x +43 Lời giải: Điều kiện x (1) Với ĐK (1) thì 5x+7>0 Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương x-3 và ta có: ¿ √(x − 3) 1≤ x −3+1 ¿ ⇔ √ x −3 ≤ x − (2) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương 5x+7, 27, 27 ta có: x +7+27 +27 3 ⇔ 27 √5 x+ 27 ≤5 x +61 (3) Cộng (2) và (3) ta có: VT x+ 59 x − x +30 x+ 43 ≤ x +59 Kết hợp với PT ban đầu ta có : ⇔ x3 − x +24 x − 16 ≤ x − ¿ (x − 1) ≤ (4) ⇔ ¿ x − ¿ (x − 1) ≥ Với x ⇒ x-1>0 (5) ⇒¿ x − ¿2=0 Từ (4) và (5) x − ¿ ( x − 1)=0 ⇔ ¿ ⇔ x=4 ⇒¿ √3 (5 x+ 7) 27 27 ≤ Vậy phương trình có nghiệm là x=4 Người gửi: Mai Tuấn Anh, GV trường Trung học sở Nga Điền, huyện Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa (3) (4)