Những đồng tiền vàng Bài toán được giải đơn giản như sau: Giả sử số tiền của người thứ ba là một phần thì số tiền của người thứ 4 sẽ là 4 phần, số tiền của người thứ nhất và người thứ ha[r]
(1)1 Trò chơi cùng qua cầu Đáp số: 17 phút Cách sau: Lượt 1: + sang, quay thời gian: phút Lượt 2: 10 + sang, quay thời gian: 12 phút Lượt 3: + sang thời gian: phút Tổng thời gian: 17 phút Trò chơi bốc sỏi Huy là người thắng Thật số sỏi ban đầu là 101 là số có dạng 5k+1, nghĩa là số chia còn dư Hoàng phải bốc trước, số sỏi Hoàng phải lấy là từ đến đó sau lượt đầu tiên, số sỏi còn lại lớn 96 Huy bốc cho số sỏi còn lại phải là 96, nghĩa là số dạng 5k+1 Tương tự vậy, Huy luôn luôn chủ động để sau lần bốc mình số sỏi còn lại là 5k+1 Lần cuối cùng số sỏi còn lại là và Hoàng bắt buộc phải bốc viên cuối cùng và thua Bài toán tổng quát: có thể cho số viên bi là 5k+1 viên Cân táo Số lần cân ít là Cách cân sau: Lần 1: Chia 27 táo thành phần, phần Đặt phần lên đĩa cân Nếu cân thăng thì táo nhẹ nằm phần chưa cân, cân lệch thì táo nhẹ nằm đĩa cân nhẹ Sau lần cân thứ nhất, ta chọn táo đó có táo nhẹ Lần 2: Chia táo, chọn thành phần, phần Đặt phần lên đĩa cân Nếu cân thăng thì táo nhẹ nằm phần chưa cân, cân lệch thì táo nhẹ nằm đĩa cân nhẹ Sau lần cân thứ 2, ta chọn táo đó có táo nhẹ Lần 3: Lấy số táo chọn đặt lên đĩa cân Nếu cân thăng thì táo nhẹ là táo còn lại, cân lệch thì táo nhẹ nằm đĩa cân nhẹ Sau ba lần cân ta chọn táo nhẹ Dãy số nguyên Dãy đã cho là dãy các số tự nhiên viết liền nhau: Đoạn 1: 123456789 số có chữ số Đoạn 2: 101112 99 số có chữ số Đoạn 3: 100101102 999 số có chữ số Đoạn 4: 100010011002 9999 số có chữ số Đoạn 5: 10000 số có chữ số Vậy (2) 9x1=9 90 x = 180 900 x = 2700 9000 x = 36000 Ta có nhận xét sau: - Đoạn thứ có chữ số; - Đoạn thứ có 180 chữ số; - Đoạn thứ có 2700 chữ số; - Đoạn thứ có 36000 chữ số; - Đoạn thứ có 90000 x = 450000 chữ số Với k = 1000 ta có: k = + 180 + 3.270 + Do đó, chữ số thứ k là chữ số đầu tiên số 370, tức là chữ số Tìm số trang sách sách Để tiện tính toán, ta đánh số lại sách các số 001, 002, 003, , 009, 010, 011, 012, 013, , 098, 099, 100, 101, tức là số ghi đúng chữ số Như ta phải cần thêm 9x2=18 chữ số cho các số trước đây có chữ số và 90 chữ số cho các số trước đây có chữ số, tổng cộng ta phải dùng thêm 108 chữ số Với cách đánh số này, ta phải cần tới 1392+108=1500 chữ số Vì số có đúng chữ số nên có tất 1500:3=500 số, 001 Vậy sách có 500 trang Hội nghị đội viên Để tiện tính toán, cặp bạn trai-bạn gái quen ta nối lại sợi dây Như bạn bị "buộc" đúng N sợi dây vì quen với N bạn khác giới Gọi số bạn trai là T thì tính số dây nối là TxN Gọi số bạn gái là G thì tính số dây nối là GxN Nhưng vì cách tính cho cùng kết là số dây nối nên TxN=GxN, suy T=G Vậy hội nghị đó số các bạn trai và các bạn gái là Bạn Lan hộ số mấy? Ta coi các hộ đánh số từ đến 64 (vì ngôi nhà có tầng, tầng có hộ) Ta có thể hỏi sau: - Có phải số nhà bạn lớn 32? Sau Lan trả lời, dù "đúng" hay "không" ta biết chính xác hộ Lan số 32 hộ nào Giả sử câu trả lời là "không" ta biết chính xác hộ Lan số 32 hộ nào Giả sử câu trả lời là "không", ta hỏi tiếp: (3) - Có phải số nhà bạn lớn 16? Sau câu hỏi này ta biết 16 hộ đó có hộ Lan Tiếp tục hỏi số đứng các số còn lại Sau câu trả lời khoảng cách các số giảm nửa Cứ vậy, cần câu hỏi, ta biết hộ Lan Những trang sách bị rơi Nếu trang bị rơi đầu tiên đánh số 387 thì trang cuối cùng phải đánh số lớn và phải là số chẵn Do trang cuối cùng phải là 738 Như vậy, có 738 - 378 + 1= 352 trang sách (176 tờ) bị rơi Sắp xếp dãy số Có thể xếp dãy số đã cho theo cách sau: Lần thứ Cách đổi chỗ Dãy ban đầu Đổi chỗ và Đổi chỗ và Đổi chỗ và Kết 3, 1, 7, 9, 1, 3, 7, 9, 1, 3, 5, 9, 1, 3, 5, 7, 10 Xây dựng số Có thể làm sau: 1+35+7 = 43 17+35 = 52 11 Đổi tiền Có 10 cách đổi tờ 10 ngàn đồng các đồng tiền 1, và ngàn đồng Số tờ ngàn Số tờ ngàn Số tờ ngàn 0 2 1 5 4 (4) 10 0 0 12 Anh chàng hà tiện Liệt kê số tiền phải trả cho cúc cộng lại, ta bảng sau: Thứ tự 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Số tiền 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 Cộng dồn 15 31 63 127 255 511 1023 2047 4095 8191 16383 32767 65535 131071 262143 (= 218 -1) Như phải trả 262143 đồng và rõ ràng là bị "hố" nặng phải trả gấp 20 lần so với cách thứ 13 Một chút tư số học Giả sử A là số phải tìm, đó A phải có dạng: A = 2k1 + = 3k2 +2 = = 10k9 + (k1, k2, , k9 - là các số tự nhiên) Khi đó A + = 2(k1 + 1) = 3(k2 +1) = = 10(k9+ 1) (5) Vậy A+1 phải là BSCNN (bội số chung nhỏ nhất) (2, 3, , 10) = 2520 Do đó số phải tìm là A = 2519 14 Kim và kim phút gặp bao nhiêu lần ngày Ta có các nhận xét sau: + Kim phút chạy nhanh gấp 12 lần kim Giả sử gọi v là vận tốc chạy kim giờ, đó vận tốc kim phút là 12v + Mỗi kim phút chạy vòng và gặp kim lần Như 24 giờ, kim và kim phút gặp 24 lần Tất nhiên lần gặp 12 đầu các lần gặp 12 sau Và các lần gặp lúc giờ, 12 và 24 là trùng và gặp vào chính xác các đó Do đó, đây ta xét chu kì vòng kim (tức là từ đến 12 giờ) Giả sử kim và kim phút gặp lúc h (h = 0, 1, 2, 3, , 10, 11) và s phút Và giả sử xét quãng đường đo theo đơn vị là phút Do thời gian chạy là nên ta có: 60.h s s 12h h 60h 60h = 11s s = 11 Thay h = 0, 1, 2, 3, , 10, 11 vào ta tính s Ví dụ: Với h = 0, s = Kim và kim phút gặp đúng vào lúc 60 5 h = 1, s = 11 = 11 Kim và kim phút gặp lúc 5 11 phút 10 10 11 Kim và kim phút gặp lúc h = 2, s = 10 10 11 phút (6) h = 11, s = 60; 11 60 phút = 12 Kim và kim phút gặp đúng vào lúc 12 16 Bạn hãy gạch số Chúng ta viết 10 số nguyên tố đầu tiên: 11 13 17 19 23 29 là số có 16 chữ số, có thể chứng minh không khó khăn sau gạch chữ số thì số nhỏ có thể là: 11111229; còn số lớn có thể là: 77192329 Thật vậy: 17 Chọn số Giả sử có m số 1, n số -1 (m, n nguyên dương) theo giả thiết: a) m + n = 2000, suy m, n cùng tính chẵn lẻ + Nếu m chẵn, đó n chẵn, ta chọn m/2 số và n/2 số -1 + Nếu m lẻ, n lẻ: m = 2k +1 = k + (k + 1) n = 2q +1 = q + (q + 1) Luôn có: k - q = (k+1) - (q+1), đó ta chọn k số và q số -1 Vậy ta luôn có thể chọn các số thỏa mãn điều kiện bài toán b) m + n = 2001 -> m và n không cùng tính chẵn lẻ + Nếu m chẵn -> n phải là lẻ: m = 2k = i + j (giả sử chọn i số 1, giữ lại j số 1) n = 2q +1 = t + s (giả sử chọn t số -1, giữ lại s số -1) Theo cách chọn này -> i, j phải cùng tính chẵn lẻ; t, s không cùng tính chẵn lẻ Giả sử i chẵn, j chẵn, t lẻ, s chẵn, đó: i + t ¹ j + s, cách chọn này không thỏa mãn Các trường hợp còn lại xét tương tự Do đó, với trường hợp này không thể có cách chọn nào thỏa mãn điều kiện bài toán 18 Tìm số dư phép chia Vì 1976 và 1977 là số nguyên liên tiếp nên nguyên tố cùng nhau, đó số thoả mãn điều kiện bài toán phải có dạng: n = 1976*1977*k +76 (k là số nguyên) 1976*1977 lại chia hết cho 39 nên phần dư n chia cho 39 là 37 (= 76 - 39) (7) 19 Tìm số nhỏ a Số đó chia hết cho nên tổng các chữ số nó phải chia hết cho Ta thấy tổng + + + + + + + + + = 45 chia hết cho Vậy số nhỏ bao gồm tất các chữ số 0, 1, 2, , mà chia hết cho là: 1023456789 b Số này chia hết cho nên tận cùng phải là Nếu tận cùng là thì số nhỏ là 1023467895 còn số đó tận cùng là thì số nhỏ là123457890 So sánh hai số trên, suy số nhỏ phải tìm là: 1023467895 c Một số chia hết cho 20, đó phải chia hết cho 10 Suy số đó phải là số nhỏ tận cùng là Mặt khác, chữ số hàng chục số đó phải là số chẵn Vì ta tìm số phải tìm là 1234567980 20 Bảng số x Ta điền vào các ô cột thứ năm các số lớn có thể Nếu số lớn các cột còn lại (chưa điền vào bảng) là a, thì số lớn có thể điền vào cột thứ năm là a- vì các số phải điền theo thứ tự tăng dần theo hàng mà sau cột thứ còn có cột Ta thực điền các số giảm dần từ 81 vào nửa phải bảng trước, sau đó dễ dàng điền vào nửa còn lại với nhiều cách khác nhau: 13 17 21 25 29 33 10 14 18 22 26 30 34 11 15 19 23 27 31 35 12 16 20 24 28 32 36 77 72 67 62 57 52 47 42 37 78 73 68 63 58 53 48 43 38 79 74 69 64 59 54 49 44 39 80 75 70 65 60 55 50 45 40 81 76 71 66 61 56 51 46 41 21 Bội số 36 Một số đồng thời chia hết cho và thì chia hết cho 36 (vì và nguyên tố cùng nhau: (4, 9) = 1) Ta thấy, tổng tất các số từ đến = + + + = 45 chia hết cho Một số chia hết cho và hai chữ số cuối cùng nó chia hết cho Mà ta cần tìm số nhỏ chia hết cho 36, đó số đó phải là (8) số nhỏ có đầy đủ các chữ số từ đến và hai số cuối cùng nó phải là số chia hết cho Vậy số phải tìm là: 123457896 22 Bài toán chuỗi số Hai số cuối là 59 và 65 Giải thích: Chuỗi số tạo từ việc cộng các số nguyên tố (ở hàng trên) với các số không phải là nguyên tố (hàng dưới), cụ thể sau: 23 Xoá số trên bảng Có thể thực Sau đây là cách làm cụ thể: ta xoá nhóm hai số từ cuối lên: (23 - 22); (21 - 20); ; (5 - 4); (3 - 2) Như vậy, sau 11 bước này trên bảng còn lại 12 số Do đó, ta việc nhóm 12 số này thành nhóm có hiệu Khi đó, trên bảng còn lại toàn số Nếu thay 23 số 25 số thì bài toán trên không thực Giải thích: Ta có tổng các số từ đến 25 = (1 + 25) x 25 : là số lẻ Giả sử, xoá hai số thì tổng các số trên bảng giảm là: (a + b) - (a - b) = 2b = số chẵn Như vậy, sau số bước xoá hai số thì tổng các số trên bảng còn lại là số lẻ (số lẻ - số chẵn = số lẻ) và đó trên bảng không phải là còn toàn số 24 Cà rốt và chú thỏ Chú thỏ có thể ăn nhiều 120 củ cà rốt Đường chú thỏ sau: 14->12->13->14->13->16->15->10->13 Do đó, số củ cà rốt chú thỏ ăn theo đường này là: 14 + 12 + 13 + 14 + 13 + 16 + 15 + 10 + 13 = 120 (củ) 25 Các đường tròn đồng tâm (9) Đáp số: Các số điền sau: 26 Dãy số tự nhiên logic Số đầu và số cuối cần tìm dãy số logic đã cho là: 10 và 24 Giải thích: dãy số đó là dãy các số tự nhiên liên tiếp không nguyên tố 28 Thay số bảng ô Do tổng các số các ô điền cùng chữ cái ban đầu là nên ta suy ra: 2M = 3I = 4S Vì 4S chia hết cho 4, đó 2M và 3I chia hết cho Suy ra: I chia hết cho 4; M = 2S; 3I = 4S Đặt I = 4k (k = 1, 2, ), ta suy tương ứng: S = 3k, và M = 6k Ví dụ, với k = ta có đáp số sau: I = 4, S = 3, M = 6; Với k = 2, ta có: I = 8, S = 6, M = 12; 29 Trò chơi bắn bi Có đường đạt số điểm lớn là: 32 30 Thay số bảng Ngang - Bội số nguyên 8; a d g b e h C F i (10) - Tích các số tự nhiên liên tiếp đầu tiên; - Tích các số nguyên tố kề Dọc - Bội nguyên 11; - Tích nhiều thừa số 2; - Bội số nguyên 11 Giải: Từ (5) - Tích các số tự nhiên đầu tiên cho kết là số có chữ số có thể là 120 720 (1x2x3x4x5 = 120; 1x2x3x4x5x6 = 720) Do đó, (5) có thể là 120 720 Suy ra: f = 0; e = 2; d = d = Tương tự, ta tìm (6) có thể là 105 385 (3x5x7 = 105; 5x7x11 = 385) Suy ra: i = 5; h = h = 8; g = g = Từ (4) suy c có thể là số chẵn Do f = 0, i = 5, từ (3) ta tìm c = Từ (2) - tích nhiều thừa số cho kết là số có chữ số có thể là các số: 128, 256, 512 Mà theo trên e = nên ta tìm (2) là 128 Vậy b = 1, h = 8, g = Từ (4) - Bội số nguyên 8, đó ta có thể tìm (4) có thể là các số: 216, 416, 616, 816 Tức là, a có thể 2, 4, 6, Kết hợp với (1), giả sử d = 1, ta không thể tìm số nào thoả mãn (1) Với d = 7, ta tìm a = thoả mãn (1) Vậy a = 4, b = 1, c = 6, d = 7, e = 2, f = 0, g = 3, h = 8, i = Và ta có kết sau: 31 Bảng x Ta biểu diễn bảng thành lưới hình chữ nhật kích thước 15x23 ô và đánh dấu các ô chứa kí tự là ô đen, các ô chứa kí tự là ô trắng Khi đó, lưới hình chữ nhật đánh dấu hình a (11) Hình a Và bảng kích thước x biểu diễn hình b Hình b Đối chiếu hai hình trên ta thấy hình a chứa tất hình có hình dạng hình b 32 Dấu phép tính (Dành cho học sinh Tiểu học) Câu hỏi bài toán hình có vẻ "đánh lừa" chúng ta? Các bạn thấy không, bạn nên xét các khả dấu phép toán với phép tính thứ mà hãy để ý đến phép tính thứ hai: A B C = 9, phép tính này có ít khả để trử thành phép tính đúng Ta tìm trường hợp, đó là: - + + = Với các dấu phép toán này thay vào phép tính thứ ta tìm dấu hỏi chấm (?) là số Nhưng thay vào phép tính thứ thì phép tính này không thoả mãn (12) Vậy không tìm các dấu phép toán để thay cho các chữ cái để thực ba phép tính đúng, đó ta không tìm giá trị số thay cho dấu hỏi chấm phép tính cuối cùng 33 Số Palindrom có hai chữ số Trong khoảng từ 10 đến 99 có đúng số thỏa mãn điều kiện Palindrom, đó là các số: 11 >121 22 >484 26 >676 34 Chia lưới ô hình chữ nhật Có nhiều cách để chia ô lưới hình chữ nhật cho thoả mãn đề bài Nhìn vào ô lưới hình chữ nhật Ta dễ dàng tính tổng tất các ô lưới là 189 Để chia lưới phần cho các phần có tổng thì phần có tổng bằng189:7=27 Từ đây ta thực các cách chia ô lưới Dưới đây là cách chia ô lưới bài toán 35 Xoá bớt các chữ số Với số đã cho thì số sau xoá có tối đa chữ số Lần lượt thử với 9,8,7 chữ số không thoả mãn điều kiện bài toán Với chữ số ta số: 865432 là số cần tìm 36 Tìm giá trị số các chữ cái Từ đề bài ta thưc phép tính Y+ 2N=Y, N=0 N=5 Nếu N=5 thì T + 2E + 1=T Không có giá trị nào thoả mãn (loại N=0); Khi đó: T+2E=T+10 hay E=5 Vì O và I cùng hàng nên, R+2T+1= X+10 R+2T+1=X+20; Nếu R+2T+1=X+10 thì O + 1=I+10 (Vì F và S cùng hàng và khác nhau) O=9 và I=0 (loại vì N=0) (13) Nên R+2T+1=X+20 (a) O + 2=I+10, O=9 và I=1 Và phép tính lúc này là: Từ(a) R+2T=X+19 mà R,T,X khác 0,1,9,5 R+2T=20T có thể nhận giá trị 6,7,8 + Với T=6 R=X+7 R=9, X=2 (loại vì O=9) R=8, X=1 (loại vì I=1) + Với T=7 thay vào (a) R=X+5 R=9, X=4 (loại vì O=9) R=8, X=3 R=7, X=2 (loại vì T=7) hoặcR=6, X=1(loại vì I=1); + Với T=8 thay vào (a) R=X+3 R=8, X=5 (loại vì E=5) R=7, X=4 NếuT=7, R=8, X=3 mà F, S là hai số tự nhiên liên tiếp nên F=6, S=7 (loại vì T=7) F=2, S=3 (loại vì X=3) Nếu T=8, R=7, X=4 mà F, S là hai số tự nhiên liên tiếp nên F=2, S=3 Còn lại thì Y=6 Các giá trị nhận là Y=6, T=8, R=7, O=9, F=2, E=5, N=0, I=1, F=2, S=3,X=4 Vậy kết tìm là: 37 Biển đăng ký xe máy Biển xe máy Tùng là số có chữ số nên nó có dạng: abcd Vì đó là số chính phương nên d có thể nhận các giá trị:0,1,4,5,6,9 Theo đề bài thì b,a,c,d làm thành số tự nhiên liên tiếp tăng dần nênd nhận giá trị là 4,5,6,9 Từ điều kiện trên thì ta tìm số thoả mãn sau: 2134 3245 4356 7689 (14) Trong4 số trên có số 4356=662 là số chính phương Vậy biển số xe máy Tùng là 4356 38 Số nào vậy? Các số thoả mãn đề bài là: 77 x 88 = 6776 55 x 99 =4554 88 x 88 = 7744 39 Số kỳ lạ Bài toán thử óc phán xét và kiên trì các bạn Sau nhận xét các bạn cần thử với hữu hạn lần các số có hai chữ số Số lần thử phụ thuộc vào tài phán xét bạn Cuối cùng chúng ta tìm hai số thoả mãn điều kiện bài toán, hai số đó là: số 55 và 99 40 Điền số Số đó là số 71 Quy luật đây là: Mỗi số (trừ số 4) nhân số trước cho trừ cho 1,2,3,4,5 7=(4 x 2) - 1; 12=(7 x 2) - 2; 21=(12 x 2) - 38=(21 x 2) - 4; 71= (38 x 2) - 5; 41 Mừng tuổi Kí hiệu: x là số tiền còn lại sau đứa trẻ thứ đã nhận số tiền là đồng Như vậy, đứa trẻ thứ nhận đồng + 1/10x Và đứa thứ nhận 9/10x Theo điều kiện , đứa trẻ nhận số tiền nhau, đó: +1/10x=9/10x Giải ta x=10 Như đứa trẻ nhận (15) đồng Hay bố đã mừng tuổi cho chị em Hoa tất là 81 đồng 42 Hãy giúp Hoàng tử Ivan Hoàng tử cần nói ba số 1, 10, 100 và đó qua Nếu số thần nói là a,b,c thì sau hoàng tử nói số 1, 10, 100 Hung thần phải nói số có chữ số mà hàng trăm là c, hàng chục là b và hàng đơn vị là a 43 Qua sông Đầu tiên cậu bé qua sông, cậu quay cùng thuyền Một người đàn ông qua sông, cậu bé còn lại bên sông đưa thuyền Như lần thuyền qua sông thì đưa người đàn ông sang bờ bên Để đưa người đàn ông qua sông phải chèo thuyền sang sông 12 lần Lần cuối cùng chở hai cậu bé Tất 13 lần thuyền phải qua sông Vậy thuyền đã bơi quãng đường là 13x100=1300m 44 Những đồng tiền vàng Bài toán giải đơn giản sau: Giả sử số tiền người thứ ba là phần thì số tiền người thứ là phần, số tiền người thứ và người thứ hai cộng lại là phần, tổng số là phần, đó phần là Như người thứ đồng, người thứ tư 20 đồng Người thứ x − = đồng và người thứ x + = 12 đồng 45 Ông thợ cắt tóc Bài toán giải cách đơn giản sau Ta ký hiệu x là số tiền đầu tiên ngăn kéo Theo đầu bài thì: Sau người thứ đặt vào x đồng và lấy đồng, số tiền ngăn kéo còn lại là x+x- 2= 2x-2 Sau người thứ hai đặt vào 2x-2 đồng và lấy đồng, số tiền ngăn kéo còn lại là (2x-2) + (2x-2)?2 = (4x-6)?2 Sau người thứ đặt vào 4x-6 đồng và lấy đồng, ngăn kéo hết tiền, nghĩa là (4x-6) +(4x-6)-2=0 Do đó 8x=14 hay x=1,75 (đồng) Như trứơc người thứ trả tiền thì ông thợ cắt tóc có 1,75 đồng ngăn kéo (16) 46 Những giỏ táo Theo giả thiết bài toán thì số táo hai loại còn lại phải chia hết cho Tổng số táo ban đầu là 150 Do đó số táo bán phải là số chia hết cho 3, đó là số táo giỏ thứ Như số táo còn lại là 150 −30 =120 và vì số táo đỏ ít lần số táo trắng nên số táo đỏ 120:3=40 Vậy số táo đỏ còn lại là 40 47 Người nông dân và táo Bài toán giải khá đơn giản các bạn để ý chút cách lập luận Để còn lại táo sau qua cổng thứ trước qua cổng này (tức là sau qua cổng thứ 2), người nông dân phải có 2(1+1) = Để còn lại táo sau qua cổng thứ 2, trước qua cổng này, người nông dân phải có 2(4+1) = 10 Để còn lại 10 táo sau qua cổng 1, người nông dân phải hái 2(10+1) = 22 Như để còn đúng và đáp ứng các yêu cầu lính canh thì người nông dân phải hái 22 táo 48 Tuổi cha và Ta lập luận sau: Theo giả thiết bài toán thì tuổi người cha phải chia hết cho và 4, đó là bội số 28 Vậy tuổi người cha có thể là 28, 56, 84, 112… Nhưng tuổi người cha lớn 28, nghĩa là 56 84 thì tuổi đứa nhỏ là 12, mà theo giả thiết đứa này học mẫu giáo Vậy tuổi cha có thể là 28 và tuổi các là và 49 Tuổi hai anh em Tuổi học sinh bước vào lớp là 6, nghĩa là tuổi số thứ tự lớp là Do đó Sơn nhiều em tuổi Vậy Sơn học hết lớp 12 thì Dũng học hết lớp 50 Người bạn cũ Để giải bài toán này ta sử dụng dấu hiệu chia hết cho các số 2, 5, Ta có thể phân tích sau: Dùng dấu hiệu chia hết cho ta có 2450=2x1225 Dùng dấu hiệu chia hết cho ta có 1225=5x5x49 Và 49=7x7 Như 2450=2x5x5x7x7 Do tuổi ba mẹ là 64 nên tuổi mẹ (17) có thể là: 35, 49, 50 Xét các trường hợp: Nếu tuổi mẹ là 35 thì tuổi là 10, (loại vì 35+ 10 + khác 64) Nếu tuổi mẹ là 49: có các trường hợp xảy ra: 10 và (thoả mãn); và 25 (loại vì 49+2+25 khác 64) Nếu tuổi mẹ là 50: thì tuổi hai có thể là và (loại vì hai đứa nhỏ không phải là anh em sinh đôi) Kết luận tuổi mẹ (người bạn) là 49 51 Rán bánh Để rán miếng bánh, lúc đầu ta đặt miếng vào chảo, mặt đã chín, ta trở mặt khác miếng, bỏ miếng và đặt miếng còn lại vào chảo Sau phút, miếng đã chín mặt lấy và thay miếng đã chín mặt để ngoài, miếng chín nửa chảo trở sang mặt Sau 30 giây, miếng chảo đã chín hai mặt Tất hết phút 30 giây Như để rán miếng bánh cần phút 30 giây Trên sở này ta có: Để rán 15 miếng bánh, ta rán miếng mặt hết phút, miếng còn lại hết phút 30 giây, tổng cộng hết phút 30 giây Để rán 33 miếng, ta rán 24 miếng hết phút, miếng còn lại hết phút 30 giây, tổng cộng hết phút 30 giây Đáp án: phút 30 giây; phút 30 giây; phút 30 giây 52 Chia đất Bài toán giải cách đơn giản sau: Chia mảnh vườn hình vuông thành phần nhau, lấy hình vuông có diện tích hình vuông vừa chia, sau đó đặt hình vuông này vào tâm mảnh vườn (như hình vẽ dưới) Hình a hình b Đánh dấu phần đất ông bố để lại, đó ta thu kết qủa (hình b): Với cách chia này đảm bảo mảnh đất chia thành phần có hình dáng và kích thước giống 53 Từ nhà tới trờng (18) Nếu Tuấn không rời khỏi nhà sớm phút, thì quay nhà, Tuấn đã bị muộn không phải là 10 phút mà là 18 phút Đấy là quãng thời gian để Tuấn lần quãng đường Như vậy, Tuấn nhớ mình bị quên bút, Tuấn đã phút, 9/20 quãng đường 54 Cân cặp Bài toán giải cách đơn giản sau: Giả sử cái kim trên cân bị lệch x kg Khi đó theo đề bài ta có (2+x) + (3+x) = 6+x, đó x=1; Nghĩa là1 cái cặp nặng kg, cái cặp nặng kg 55 Đàn gia súc Gọi x,y,z là số trâu, bò, nghé tương ứng, theo điều kiện ta phải tìm nghiệm nguyên không âm hệ phương trình Vì y là số nguyên không âm, 1− x phải chia hết cho và đó 1-x=9k, k là số nguyên Nếu x=1 thì y=9 và z=90 Nếu x >1 thì đề 1-x chia hết cho 9, x phải bằng10,19,… đó 19x>100 và y là số âm Vậy đàn gia súc có: trâu, bò, 90 nghé 56 Những trứng giỏ Gọi số trứng giỏ màu đỏ là n Khi đó trứng trong giỏ màu nâu là n +1 giỏ màu hồng là n+3 Vì tổng số trứng ba giỏ là 10 nên ta có: n + (n+1) + (n+3) = 10, 3n + = 10, 3n = 6, n = Vậy giỏ màu nâu có qủa trứng, giỏ màu đỏ qủa, giỏ màu hồng qủa 57 Các học sinh vòng tròn Đây là bài toán khá dễ, có nhiều cách giải khác nhau, sau đây là cách giải các bạn có thể tham khảo: Xếp học sinh vào vòng tròn thoả mãn điều kiện bài toán Sau xếp tất các học sinh, ta thu biểu đồ sau: (19) Quan sát hình trên ta rút các kết quả: - Sau ghế có học sinh - Các học sinh mang số 9, 15, 21, 27 đứng sau học sinh mang số 58 Gà và Thỏ Gọi số gà là x, số thỏ là y theo đầu bài ta có Từ đây ta có số thỏ là 200 con, số gà là 500 59 Những đứa trẻ gia đình John Smith Chúng ta ký hiệu sau: Kate – K, Sally – S, Tom – T, Ben – B Dựa vào điều kiện bài toán ta có các phép tính sau: T=B+2 (1) K+S=T+B (2) K = 2S (3) T – = (S - 1) (4) Phép tính (4) có thể viết lại sau: T –1 = 2S – hayT = 2S – (5) Thay K từ (3) vào (2) ta có: 3S = T+B (6) (20) Bây ta thay T từ (1) vào (6) đó ta có: 3S = 2B + (7) Tiếp tục thay T từ (5) vào (6) ta có: 3S = 2S – + B Vì B = S+1 (8) Thay B từ (8) vào (7): 3S = 2(S + 1) + 3S = 2S + và cuối cùng ta có S = Và từ (8) ta có B = Từ (1) ta tính T = Từ (3) ta suy K =8 Vậy tuổi đứa trẻ sau: Kate: tuổi Sally: tuổi Tom: tuổi Ben: tuổi 60 Cửa hàng bán kẹo Liam mua kẹo mút hết 84p vì kẹo mút giá 28p Kenny mua choco bar, bánh trứng và kẹo mút hết 54p, vì choco bar + bánh trứng = 54p − 28p −26p Ta có choco + bánh trứng + kẹo chew =61p từ đó kẹo chew giá 61p − 26p = 35p Mady mua bánh trứng, kẹo mút và kẹo chew hết 80p bánh trứng giá 80p − 35p −28p =17p Từ đó kẹo choco + bánh trứng = 26p suy bánh trứng là 17p, choco bar giá 9p Vậy giá các loại kẹo sau: Kẹo mút = 28p Kẹo chew = 35p Bánh trứng 17p Choco bar = 9p Vì Nathan mua loại cái thì tổng số tiền phải trả là 89p, Nathan còn lại 11p 61 Xếp hàng chào cờ Đầu tiên ta xếp lại các học sinh lớp theo chiều cao giảm dần và xếp lại các học sinh lớp Bắt đầu từ học sinh lớp cao Ta đưa cậu bé này vị trí số và đưa cậu bé đứng vị trí số vị trí cậu bé cao Khi đó điều kiện bài toán (mỗi học sinh lớp cao học sinh lớp đứng phía trước) thực Sau đó ta đưa cậu bé lớp cao thứ vị trí số và đưa cậu bé đứng vị trí số vào vị (21) trí mà cậu bé cao thứ đứng Tiếp tục làm ta có học sinh lớp đếu cao học sinh lớp đứng phía trước (22)