Lời giới thiệu Giáo dục THPT nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả giáo dục THCS, hoàn thiện học vấn phổ thông, có những hiểu biết thông thường vể kỷ thuật và hướng nghi[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP TRƯỜNG THPT NHA MÂN ĐỀ TÀI NHỮNG SAI LẦM MẮC PHẢI TRONG CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNHBẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ @ GV : Nguyễn Đăng Hòa (2) NHỮNG SAI LẦM MẮC PHẢI TRONG CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Lời giới thiệu Giáo dục THPT nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển kết giáo dục THCS, hoàn thiện học vấn phổ thông, có hiểu biết thông thường vể kỷ thuật và hướng nghiệp, có điều kiện lựa chọn hướng phát triển và phát huy lực cá nhân, tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung cấp, học nghề vào sống lao động.Với mục tiêu đó, thực việc dạy đúng chuẩn kiến thức, kỹ năng, yêu cầu thái độ chương trình Toán Đại số 10 đặt móng ban đầu cho việc hình thành tri thức đại số cho Đại số-Giải tích 11 và Giải tích 12 bậc THPT + Chuẩn kiến thức, kỹ là các yêu cầu bản, tối thiểu kiến thức toán; kỹ môn toán mà học sinh cần phải đạt và có thể đạt được.Vì vậy, bước hạn chế sai lầm, ngộ nhận việc giải toán phương trình- bất phương trình là việc làm thường xuyên người dạy và người học để đạt chuẩn kiến thức, kỹ đã nói + Chương trình toán đại số 10 hành bao gồm sáu chương , tài liệu này liên quan trực tiếp đến chương III và IV và đương nhiên có kiến thức tảng chương II , trước đó bậc THCS Để có thêm hiểu biết phần Phương trình - Bất phương trình , cách hiểu đề bài, phân tích giả thiết đề bài, sai lầm mắc phải quá trình biến đổi tương đương, biến đổi hệ tài liệu này xin đề cập đến vấn đề thuộc kỹ giải các bài toán, phân tích-đánh giá cách giải nhằm rõ số khác biệt cách nhận và loại các nghiệm, giúp người dạy và người học có trước cách tiếp cận khác nhau, nhằm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy toán Đại số 10 nói riêng và môn Toán nhà trường THPT nói chung Tài liệu này xem xét và nêu các bài toán phương trình, bất phương trình đại số có tính chất đặc trưng, dạng khác chúng ; phân tích, đánh giá cách giải và mức độ yêu cầu chúng theo các nội dung chuẩn kiến thức và kỹ năng; Nêu lên tính chất độ khó bài tập liên quan; kỹ khác để giải cùng vấn đề mà bài toán đặt (3) A- PHẦN MỞ ĐẦU I- Lý chọn đề tài Trong môn Đại số 10 yêu cầu là đảm bảo việc thực chuẩn kiến thức, kỹ chương trình giáo dục phổ thông theo quan điểm : sát thực, trực quan,đúng chuẩn và đổi Trên tính thần đó tính sát thực hiểu cần rèn luyện kỹ giải toán đạt chuẩn hóa và phân hóa theo mức độ yêu cầu chương trình chuẩn và chương trình nâng cao; thực chuẩn gắn với chương trình tự chọn môn; đảm bảo hai yêu cầu : 1-Tính trực quan là yêu cầu cần thiết nhằm làm giảm tính hàm lâm, thể ứng dụng gần gũi đời sống 2-Đúng chuẩn là đúng kiến thức, kỹ năng, mức độ phức tạp dạng toán cụ thể Đổi dạy học toán là tất yếu thay đổi chương trình-sách giáo khoa lại là vấn đề tương đối khó nhận biết thời; là đổi phương pháp người dạy Trong phương pháp dạy học toán, người thầy giáo thường trình bày bài toán rõ ràng, chi tiết, dễ hiểu không sâu sắc việc cách phát “mấu chốt” bài toán, để học sinh tự giải bài toán đó theo trình tự nào đó hướng dẫn và cuối cùng là nhận xét thầy cô Cần đa dạng các hình thức học để nhanh chóng phát khiếu toán sẳn có học sinh yếu kém mắc phải Điều này hoàn toàn phù hợp với mục tiêu Chương trình GDPT ( ban hành theo Quyết định : 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 05-5-2006) là : Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc trung môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học; khả hợp tác; rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh Học toán Đại số cần có hứng thú và đam mê và nữa; vì phát khác biệt hai cách giải vấn đề thật là tinh tế, đầy lý thú; qua đó giúp người dạy người học chủ động hơn, bám sát nội dung, mức độ việc làm mình Do vậy, việc dạy đúng bài toán là việc khó, không lường trước ẩn chứa bài, thì dễ đến sai sót- hạn chế kiến thức và kinh nghiệm học sinh khó phát ra- cách làm đó gây hậu lâu dài Tìm hiểu cấu trúc chương trình, mục tiêu chương trình giúp ta thuận lợi cho việc biên soạn giáo trình dạy lớp; tìm hiểu kỹ thực trạng học sinh giúp ta có phương pháp giảng dạy có hiệu Thực tế cho thấy số ví dụ bài học, số bài tập sau bài học thường mang tính giới thiệu, minh họa cho nội dung đề cập, chưa phản ánh sâu sắc, chưa tạo thành kỹ cần thiết cho người học Điều này có ý nghĩa định nó, nhiên cái cốt lõi cuối cùng là hiệu giáo dục; nói chính xác là kết mang lại từ quá trình dạy người thầy- kết học tập trò, kể mặt tư lẫn phương pháp Do dạy phương trình- bất phương trình cần nắm vững chuẩn kiến thức, kỹ nó đồng thời đặt bài toán cần thiết để củng cố khái niệm bản, phát triển kỹ thực hành, khắc phục sai lầm thường mắc phải Đây là nguyện vọng chính yếu tài liệu này (4) II- Đối tượng –nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu 1- Đối dượng nghiên cứu -Phương pháp học tập, kỹ thực hành, khả lĩnh hội tri thức môn Đại số lớp 10 học sinh lớp 10 từ các trường THCS khác xét tuyển thi tuyển vào trường THPT Nha Mân -Cấu trúc Chương trình-sách giáo khoa Toán Đại số lớp 10 ( ban CB) Nội dung Chương Phương trình- hệ phương trình và bất đẳng thức –bất phương trình; các bài toán qui định tài liệu sách giáo khoa và sách giáo viên 2- Nhiệm vụ nghiên cứu - Cách giải số bài toán phương trình-bất phương trình - Những thuận lợi và khó khăn từ phía học sinh quá trình thiếp thu bài giảng, cách hiểu và thực hành bài toán Những sai lầm học sinh quá trình đó - Phương pháp và thao tác trình bày, cách lý giải các vấn đề bài toán để học sinh nắm biết 3- Phương pháp nghiên cứu Thực đề tài này tôi sử dụng số phương pháp sau : 3.1-Phương pháp nghiên cứu lý luận 3.2-Phương pháp khảo sát thực tiễn 3.3-Phương pháp phân tích và tổng hợp 3.4-Phương pháp quan sát- kiểm tra -Thời gian thực : Từ ngày 15-8-2011-tháng 3-năm 2012 B- PHẦN NỘI DUNG I- Thực trạng - Việc thực bài tập đại số dạng hàm số phương trình đại số yêu cầu phân tích, đánh giá đúng điều kiện ẩn số biến số x - Học sinh còn nhiều sai sót quá trình giải phương trình, bất phương trình – là loại phương trình có chứa ẩn mẫu, biểu thức chứa x dấu dấu giá trị tuyệt đối - Học sinh chưa vững tiếp cận khái niệm tập xác định và định nghĩa “giá trị tuyệt đối” ; vì quá trình giải bài tập đến kết thường có kết luận sai lầm tập nghiệm ( nhận loại) - Trong quá trình dạy chưa đánh giá hết điều kiện nghiệm thực phép biến đổi tương đương phép biến đổi hệ Một số bài tập có chương trình chưa phản ánh hết vấn đề mắc phải mắc phải mà không phát 1-Thuận lợi - Trong môn toán lớp 10, yêu cầu là đảm bảo việc thực chuẩn kiến thức, kỹ chương trình giáo dục phổ thông theo quan điểm: sát thực, trực quan, đúng chuẩn và đổi Học sinh khối 10 Trường THPT Nha Mân nắm vững kiến thức toán THCS - Đa số học sinh có tinh thần học tập, có động đúng đắn và mong muốn học tập điều kiện ngày càng nâng cao kiến thức Nhiều học sinh tự học tập, nghiên cứu và tìm hiểu kiến thức - Nhà trường có đội ngũ giáo viên toán tận tình và nhiều kinh nghiệm; có nhiều hiểu biết bồi dưỡng học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh giỏi Mối quan hệ thân ái, hài hòa giáo viên và học sinh là hội để học sinh tìm hiểu bài học và để giáo viên thấy nhu cầu học tập học sinh (5) - BGH và Tổ chuyên môn quan tâm và có biện pháp đạo chuyên môn; bước đánh giá sát đúng và chủ trương thực chế độ tăng tiết; năm tỉ lệ trên trung bình học kỳ I cao đầu vào 2- Khó khăn -Về điều kiện khách quan : Là trường nhỏ, ít lớp Điều kiện sở vật chất hạn chế, công nghệ- thông tin cho giảng dạy chưa phổ biến rộng rãi - Chất lượng đầu vào thấp, số lớp cuối còn nhiều học sinh yếu kém Phương pháp học học sinh còn nặng tiếp thu, ghi chép; ít thắc mắc và còn thụ động hoạt động nhóm hoạt động nhóm thiếu tác dụng -Giáo viên chậm nắm bắt trình độ lớp, khó phân biệt học sinh nào toán lĩnh vực nào Giáo viên thường bám vào chuẩn kiến thức kỷ chương trình chưa có bài tập riêng cho nhóm học sinh - Còn có học sinh yếu kém lòng tin vào việc học chưa động viên, khuyến khích hợp lý II- Giải pháp Để bước nâng cao kết bồi dưỡng học sinh yếu kém và phân loại để bồi dưỡng , phát triển khiếu toán đại số cho học sinh khối 10 , tôi xin phép trình bày số vấn đề sau : 1- Một số bài toán phương trình đại số 2 x x x 4( x x 2) (1) Bài số 1: Giải bất phương trình : Cách 1: Phân tích (1) ta thấy : Nếu theo qui tắc biến đổi tương đương thông thường, đến: (1) x( x 3x 2) 4( x x 2) x 4 x 2 Thay x = vào phương trình (1) ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = Nếu xét bài toán theo gốc độ trên rõ ràng ta đã làm cho phương trình (1) thiếu nghiệm x = Thật , biến đổi theo hướng sau : Cách 2: (1) x( x x 2) 4( x x 2) x( x 3x 2) 4( x x 2) 0 (2 x 4)( x x 2) 0 x 2 2 x 0 x 1 x 3x 0 x 2 x 1 x 2 Thay x = và x = vào phương trình (1) ta thấy hai thỏ mãn Vậy phương trình có hai nghiệm c- Kết luận :Từ hai cách giải trên đến nhận xét : +Theo cách 1, ta phải rút gọn phần x 3x hai vế và không quan tâm đến biểu thức đó có hay khác hay không ! (6) +Theo cách 2, ta không rút gọn phần x 3x mà đặt thành thừa số chung để xuất dạng phương trình tích, giải phương trình tích đó hai nghiệm -Từ nhận xét trên giáo viên có thể khẳng định lại nột tính phép biến đổi tương đương ( SGK-Đại số 10, trang 55) :” Nếu thực phép biến đổi … nhân hay chia hai với cùng số khác với cùng biểu thức luôn có giá trị khác ” Do đó sai lầm mắc phải cách giải là mặc nhiên xem biểu thức : x( x x 2) 4( x x 2) có thừa số x x luôn khác Bài số : Giải a)-Cách 1: 2x x 1 (1) x x x -Phân tích điều kiện nghiệm ta thấy : Khi đó : (1) x x 2 x 10 x 12 1 3x 2 x 10 x 12 x 36 x 36 4(2 x 10 x 12) x 36 x 36 8 x 40 x 48 x x 12 0 x 6 x Từ đó kết luận : Phương trình có nghiệm x = và x = -2 ( thỏa mãn điều kiện nghiệm x ) -Nhưng thay x = -2 và ta thấy không thỏa mãn (1) và có x = thỏa mãn (1) , x = ( loại) b)-Cách 2: Ta có thể giải cách sau : x x x Điều kiện nghiệm : (1) x 1 x x 1 x x x x x x 2 x x 4( x 3) (*) (x ) x x 12 0 x (l ) x 6 (n) Từ đó kết luận phương trình có nghiệm x = c-Kết luận -Nhận xét và đánh gíá sau : (7) +Khi bình phương hai vế ( cách 1) ta không quan tâm đến biểu thức x 10 x 12 có hay không và mặc nhiên xem nó khác Nhưng thật : x 10 x 12 0 x x 0 x x +Ở cách giải 2, ta quan tâm việc xét điều kiện nghiệm x > từ biểu thức x 2 x Nghĩa là thực phép bình phương biểu thức có các vế luôn dương +Từ nhận xét trên giáo viên có thể khẳng định lại nội dung phương trình hệ ( SGK- Đại số 10 trang 56) : “ Trong nhiều trường hợp ta phải thực các phép biến đổi đưa rới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương hai vế, nhân hai vế phương trình với đa thức “ -Ta hãy xét minh họa sau : Giải: x dễ nhận x = Nhưng thực phép bình phương hai vế : ( x 1)2 ( 1) x x 1 x( x 2) 0 x 0 x 2 Thay x = ta thấy nghiệm này thỏa mãn thay x = ta thấy nghiệm này không thỏa mãn Bài số 3- Giải phương trình : x x 3x 3 a)-Cách x3 3x 0 x 0 -Điều kiện nghiệm : ( x 1) ( x 2) 0 x (1) x 0 x x x -Gọi S1=(-;-2] và S2 =[-1;+) S1S2 = Cho thấy không tồn nghiệm (1).Vậy phương trình vô nghiệm b)-Cách x 1 x 3x 0 ( x 1) ( x 2) 0 x x 1 x 0 x x -Điều kiện nghiệm Thay x = vào phương trình (1) , ta thấy x = thỏa mãn phương trình đã cho: 2 Vậy x = là nghiệm phương trình c)- Nhận xét và đánh giá các giải +Khi xét điều kiện phương trình theo cách giải 1, ta xem (x - 1)2 là số luôn dương , từ đó xét (x + 2) ≤ +Nếu xét điều kiện nghiệm theo cách giải 2, ta xem ( x 1) ( x 2) 0 tích hai thừa số mà thừa số có thể (do điều kiện có thể có đẳng thức 0) Do đó cần phải xét đến ( x 1) 0 x 1 , làm ta không bỏ sót nghiệm x = (8) Bài số : Giải phương trình : x x x (1) a)- Cách -Điều kiện nghiệm x 0 ( x 1)( x 1) 0 x 0 x 1 x 1 x 0 x 0 x x 0 ( x 1) Chia hai vế ( 1) cho x x2 x 1 x 1 (1) x x 1 x 1 x 1 x 1 Do x x Nên không tồn x để x x 1 x Vậy phương trình trên vô nghiệm b)-Cách giải x 0 x x 1 x 1 x x x -Điều kiện nghiệm +Khi x > : phương trình vô nghiệm +Khi x = -1 , ta thay vào (1) , : - = Vậy x = - là nghiệm phương trình c)-Nhận xét và đánh giá cách giải +Nếu lập luận theo cách , ta bỏ qua ( x - 1) = , ( x 1)( x 1) 0 , nên xét dấu hiệu ( x - ) và ( x + 1) và đến điều kiện x +Theo cách 1, ta vội vã kết luận phương trìn vô nghiệm; với cách ta nghiệm x = -1 là điều kiện x +1 ≥ 2- Một số bài toán bất phương trình đại số Bài số –Chứng minh với x > 0, ta luôn có : ( hệ –SGK- trang 76) a- Cách giải Đặt x a ; x 2 x b x , áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số ta được: a b 1 1 1 a.b ( x ) x ( x ) 1 x 2 2 x x x x x x 1 x 1 x -Đẳng thức xảy -Rõ ràng thay x = ta thấy (1) thỏa mãn , với x = -1 thì không thể b- Cách giải -Bất đẳng thức Cô-si áp dụng cho các số dương , điều kiện cần thiết là : x 0 , 0 x (9) x vô nghĩa .Khi x 0 thì Khi x Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số không âm : f ( x) x a b 1 1 1 a.b ( x ) x ( x ) 1 x 2 2 x x x x -Đẳng thức xảy x = ( x > 0) x 02 x -Thật : Khi x < thì : Từ đó ta kết luận có trường hợp : .khi x0 .khi x0 .khi x 1 .khi x 0 2 x :x 2 ( x 1) x : x 2 x :x x : vô nghĩa :x Do đó bất đẳng thức trên đúng x > y f ( x) x Bài số 6- Với x 3.Tìm giá trị nhỏ a- Cách giải -Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai só không âm 1 x 2 x 2 ymin 2 x x b- Cách giải x x, 1 8x x x 8x x x 9 x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si hai số 1 không âm x và x , x 8.3 10 x 8x x 8x 2 2 x 9 x 9 9 Ta được: x x 3 Dấu = xảy khi: x 10 ymin x x x = Vậy c- Nhận xét và đánh giá cách giải -Trong cách giải ta xem thiết x x và x là hai số không âm mà không xét đến giả (10) -Trong cách giải ta vửa xem x và x không âm và x m(1 m) Bài số : Chứng minh với m, ta có : a)-Cách giải 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số m và (1 - m) m 1 m m(1 m) 2 m(1 m) m(1 m) Vậy : với m ta luôn có : b)-Cách giải 2: m(1 m) , ta biến đổi : -Từ bất đẳng thức đã cho 1 1 m(1 m) m m m m 0 (m ) 0 (m R) 4 m(1 m) với m R Vậy c)-Nhận xét và đánh giá cách giải : +Theo cách giải ta mặc nhiên xem m và (1-m ) là hai số không âm và áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cô- si Như vậy, có thể đạt điều cần chứng minh đã giới hạn giả thiết bài toán +Theo cách giải : Xuất phát từ bất đẳng thức đã cho ta thực biến đổi tương đương và đến bất đẳng thức đúng, ta không giới hạn giả thiết bài toán mà chứng minh bất đẳng thực đúng với m (11) C- PHẦN KẾT LUẬN I- Kết luận đề tài - Với ý thức trách nhiệm ngày càng cao công việc mình, người dạy luôn quan tâm, nghiên cứu đến vấn đề chi tiết bài giảng Cần cập nhật thông tin liên quan đến lĩnh vực kiến thức môn toán - Thường xuyên và trực tiếp “ đọc “ ý nghĩ học sinh qua bài làm và qua cách trình bày các em ; qua đó phát thiếu sót hay chổ ‘mất “ nhằm kịp thời dạy lại, bồi dưỡng lại phần - Do trình độ và điều kiện sống học sinh phân hóa rõ nét, nhiều học sinh có điều kiện học tập đồng thời có phương tiện- kỷ thuật hỗ trợ học tập; các học sinh khác không có Nhưng với mong muốn học sinh học tập và đạt yêu cầu chuẩn kiến thức- kỷ năng, nên từ năm lớp 10 các em cần quan tâm và nắm bắt đúng thực trạng trình độ để có phương pháp dạy đạt hiệu II- Kiến nghị –đề xuất -Đối với Sở Giáo dục : -Tăng cường, mở rộng hoạt động Hội đồng môn đạo chuyên môn khối 10 hàng năm -Đối với nhà trường - Đánh giá sát thực chất lượng đầu vào khối 10, đó có môn toán để có chủ trương, đạo chuyên môn đúng hướng - Giáo viên toán khối 10 dành nhiều thời gian, công sức và tâm và có phương pháp dạy hiệu / GV: Nguyễn Đăng Hòa (12) D-MỤC LỤC Lời giới thiệu trang A- PHẦN MỞ ĐẦU I- Lý chọn đề tài II- Đối tượng –nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu 1- Đối dượng nghiên cứu 2- Nhiệm vụ nghiên cứu 3- Phương pháp nghiên cứu -Thời gian thực : B- PHẦN NỘI DUNG I- Thực trạng 1-Thuận lợi 2- Khó khăn II- Giải pháp trang trang trang trang 1- Một số bài toán phương trình đại số 2 Bài số 1: Giải bất phương trình : x x x 4( x x 2) Bài số : Giải 2x x 1 trang Bài số 3- Giải phương trình : x x 3x 3 x2 trang trang x 1 x 1 trang 2- Một số bài toán bất phương trình đại số trang Bái số : Giải phương trình : Bài số –Chứng minh với x > 0, ta luôn có : Bài số 6- Với x 3.Tìm giá trị nhỏ Bài số : Chứng minh với m, ta có : C- PHẦN KẾT LUẬN I- Kết luận đề tài II- Kiến nghị –đề xuất -Đối với Sở Giáo dục -Đối với nhà trường x 2 x y f ( x) x m(1 m) trang x trang trang 10 trang 11 (13) D- Mục lục E- Danh mục tham khảo trang 12 trang 13 E-DANH MỤC THAM KHẢO 1-Thiết kế bài dạy học trắc nghiệm khách quan Toán THPT-Trần Vui –NXBGD-2006 2-Tài liệu hướng dẫn thực Chương trình- Sách giáo khoa lớp 10 -Ngô Trần Ái –NXBGD-2007 3-Tài liệu hướng dẫn nhiệm vụ GDTH năm học 2010-2011-Sở GD-ĐT Đồng Tháp 4-Tài liệu hướng dẫn nhiệm vụ GDTH năm học 2010-2011 -Sở GD-ĐT Đồng Tháp 5- Sách giáo khoa : Đại số lớp 10 ( Ban NC và Ban CB ) -NXB GD – tháng 7-2007 6-Tài liệu Luyện giải và ôn tập Đại số 10 – -Đoàn Minh Cường-NXBGD-2006 Nha Mân, ngày 20 tháng năm 2012 Người soạn Nguyễn Đăng Hòa (14)