Toan nang cao 6

Chuyên đề 1: DĂY CÁC SỐ NGUYÊN – PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT.. a Tìm số hạng tổng quát của dãy b Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy.[r]

  Chuyên đề 1: DĂY CÁC SỐ NGUYÊN – PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT (1) Dãy = = = = = = = = = = = = &*&*& = = = = = = = = = = = = = 1: Sử dụng công thức tổng quát n 1   a.(a  n) a a  n - - - Chứng minh - - n ( a  n)  a an a 1      a.(a  n) a.(a  n) a.(a  n) a.(a  n) a a  n Bài 1.1: Tính 3 3     5.8 8.11 11.14 2006.2009 a) 10 10 10 10 C     7.12 12.17 17.22 502.507 c) A 1 1     6.10 10.14 14.18 402.406 b) 4 4 D     8.13 13.18 18.23 253.258 d) B Bài 1.2: Tính: 1 1 1 1     B     2.9 9.7 7.19 252.509 10.9 18.13 26.17 802.405 a) b) 3 C       4.7 5.9 7.10 9.13 301.304 401.405 c) A Bài 1.3: Tìm số tự nhiên x, thoả mãn: x 1 1       120 a) 2008 10 15 21 1 1 15      (2 x  1)(2 x  3) 93 c) 3.5 5.7 7.9 4 4 29       41.45 45 b) x 5.9 9.13 13.17 Bài 1.4: Chứng minh với số tự nhiên n khác ta có: 1 1 n      (3n  1)(3n  2) 6n  a) 2.5 5.8 8.11 5 5 5n      (4n  1)(4n  3) 4n  b) 3.7 7.11 11.15 Bài 1.5: Chứng minh với n  N ; n 2 ta có: 3 3      9.14 14.19 19.24 (5n  1)(5n  4) 15 4 16 16 A     A 15.19 19.23 399.403 chứng minh: 81 80 Bài 1.6: Cho 2 ; ; ; Bài 1.7: Cho dãy số : 4.11 11.18 18.25 a) Tìm số hạng tổng quát dãy b) Gọi S là tổng 100 số hạng đầu tiên dãy Tính S Bài 1.8: Bài 1.9: 1 1      A 9 Chứng minh Cho 2 2 1003 A      A 2008 2007 Chứng minh: Cho A Bài 1.10: Bài 1.11: Bài 1.12: Bài 1.13: Bài 1.14: 1 1 334     B 2 2007 2006 Chứng minh: Cho 1 1 S     S 12 409 Chứng minh: Cho 9 9 A      A 11 17 305 Chứng minh: Cho 24 48 200.202 B     25 49 2012 Chứng minh: B  99,75 Cho 11 18 27 1766 20 20 A     40  A  40 16 25 1764 Chứng minh: 43 21 Cho B Bài 1.15: Cho Bài 1.16: Cho Bài 1.17: Cho 2 32 42 52 99 B      98.100 Tìm phần nguyên B 15 2499 C      16 2500 Chứng minh C > 48 1 M     M 1  1       59 Chứng minh 1.4 2.5 3.6 98.101 N     2.3 3.4 4.5 99.100 Chứng minh 97 < N < 98 Bài1.18: Cho  Mở rộng với tích nhiều thừa số: 2n 1   a (a  n)(a  2n) a (a  n) (a  n)(a  2n) Chứng minh: 2n ( a  n)  a a  2n a 1      a(a  n)( a  2n) a(a  n)( a  2n) a(a  n)(a  2n) a(a  n)( a  2n) a(a  n) (a  n)( a  2n) 3n 1   a(a  n)(a  2n)(a  3n) a(a  n)(a  2n) (a  n)(a  2n)(a  3n) 2 S    1.2.3 2.3.4 37.38.39 Bài 1.19: Tính 1 1 A    A 1.2.3 2.3.4 18.19.20 Chứng minh Bài 1.20: Cho 36 36 36 B    1.3.5 3.5.7 25.27.29 Chứng minh B < Bài 1.21: Cho 5 C    C 5.8.11 8.11.14 302.305.308 Chứng minh 48 Bài 1.22: Cho Bài 1.23: Chứng minh với n  N; n > ta có: 1 1 A       4 n 1 M     1.2.3.4 2.3.4.5 27.28.29.30 Bài 1.24: Tính 1    51 52 100 P 1 1     1.2 3.4 5.6 99.100 Bài 1.25: Tính Bài 1.26: Tính: Q 1.3 2.4 3.5 (n  1)(n  1) 1002.1004       3.5 5.7 7.9 (2n  1)(2n  1) 2005.2007 2 32 42 2006 R     1.3 2.4 3.5 2005.2007 Bài 27: Tính: 22 23 n 1 2006 S       n 2005 2005  20052  20052  20052  20052  Bài 1.28: Cho So sánh S với 1002  Hướng dẫn: m m mk  m  mk  m 2m m m 2m       k  k 1 (k  1)(k  1) k2  k 1 k  k2  Áp dụng vào bài toán với m  {2; , …., } và k  { 2005, 2005 , … 2005 ta có: 2 22   2005  2005  20052  22 22 23   20052  20052  20052  ……………… 1  n (2) Dãy 2: Dãy luỹ thừa  a  với n tự nhiên 1 1 A      100 2 2 Bài 2.1 Tính : 1 1 1 B       99  100 2 2 2 Bài 2.2 Tính: 1 1 C      99 2 2 Bài 2.3 Tính: 1 1 D     10   58 2 2 Bài 2.4: Tính: 26 3n  A     n An 27 Chứng minh Bài 2.5: Cho 98 10 28 1 B     98 27 Bài 2.6: Cho Chứng minh B < 100 5 5 C      99 C 4 4 Chứng minh: Bài 2.7: Cho 19 D  2  2  2   2 2 3 10 Chứng minh: D < Bài 2.8: Cho 100 E      100 E 3 3 Chứng minh: Bài 2.9: Cho 10 3n  11 F      n F 3 3 Bài 2.10: Cho với n  N* Chứng minh: 2006 } Bài 2.11: Cho Bài 2.12: Cho Bài 2.13: Cho Bài 2.14: Cho Bài 2.15: Cho 11 302 G      100 G 3 3 3 Chứng minh: 13 19 601 H      100  H 5 3 3 Chứng minh: 11 17 23 605 I      100 3 3 Chứng minh: I < 13 22 904 17 K      101 K 3 3 Chứng minh: 11 15 403 L      100 3 3 Chứng minh: L < 4,5 (3) Dãy 3: Dãy dạng tích các phân số viết theo quy luật: Bài 3.1: 15 24 2499 A  16 25 2500 Tính: 1 1 1 ,1 ,1 ,1 ,1 , Cho dãy số: 15 24 35 Bài 3.2: a) Tìm số hạng tổng quát dãy b) Tính tích 98 số hạng đầu tiên dãy  1      B                    10   15   780  Bài 3.3: Tính: 199 C  C2  200 Chứng minh: 201 Bài 3.4 Cho 99 1 D  D 100 Chứng minh: 15 10 Bài 3.5: Cho       E   1   1   1   1        99  Bài 3.6: Tính:       F   1   1   1   1        100  Bài 3.7: Tính: 15 899 G  2 30 Bài 3.8: Tính: 30 31 H  10 62 64 Bài 3.9: Tính: I 101.10001.100000001 100   000  Bài 3.10: Tính: n  1c / s       1 K   1   1   1   1 2     100  So sánh K với Bài 3.11: Cho       L                    20  với 21 Bài 3.12: So sánh 1       11 M                16   100  với 19 Bài 3.13: So sánh 2 32 50 N 1.3 2.4 3.5 49.51 Bài 3.14: Tính:        10  P                   Bài 3.15: Tính       Q             2007         Bài 3.16: Tính:  1  1  1   1  T                    99  Bài 3.17: Tính: 1.3.5.7 39 U V  20 21.22.23 40 và 1 Bài 3.18: So sánh:       V   1        2.4   3.5   99.101  Chứng minh V <  1.3   Bài 3.19: Cho 200 S  199 Chứng minh: 201  S  400 Bài 3.20 Cho 10 208 A  A 12 210 Chứng minh: 25 Bài 3.21: Cho 2 2 100 B 1.2 2.3 3.4 100.101 Bài 3.22: Tính:  1999   1999   1999   1999  1              1000   C  1000   1000   1000   1000  1                 1999  Bài 3.23: Tính:        D                 25   (2n  1)   Bài 3.24 Tính: , với n  N, n 1      E                     n  Bài 3.25: Cho n2 E n với n  N* Tính F và        G               1024  H  2047    16   256    và  Bài 3.26: Cho F Tính: G + H n n 1.3  3.5  15.17  255.257  (2  1)(2  1)  I n 16 256 65536 22 Bài 3.27: Cho với n  N I Chứng minh: 1 1 1 ;1 ;1 ;1 ;1 16 ; Bài 3.28: Cho dãy số: 3 3 a) Tìm số hạng tổng quát dãy b) Gọi A là tích 11 số hạng đầu tiên dãy Chứng minh  A là số tự nhiên B  2A c)Tìm chữ số tận cùng n n 13 97 32  2 A  B  2n 1  2n 6 6 Bài 3.29: Cho và với n  N A M  B là số tự nhiên a) Chứng minh : b) Tìm n để M là số nguyên tố n 37 1297 62 1 A  2n 3 3 Bài 3.30: Cho   1     B         .     2n            với n  N a) Chứng minh : 5A – 2B là số tự nhiên b) Chứng minh với số tự nhiên n khác thì 5A – 2B chia hết cho 45 n n 13 97  2 A  n 3 32 Bài 3.31 Cho ( với n  N ) Chứng minh: A < (4) Tính hợp lý các biểu thức có nội dung phức tạp:  (1  2)  (1   3)   (1     98) A 1.2  2.3  3.4   98.99 Bài 4.1 Tính: 1.98  2.97  3.96   98.1 B 1.2  2.3  3.4   98.99 Bài 4.2 Tính: 1 1     101.400 C  1.300 2.301 3.302 1 1     1.102 2.103 3.104 299.400 Bài 4.3 Tính: Bài 4.4 Bài 4.5   1 100        100   D 99     100 Tính: 1 1     100 E  51 52 53 1 1     1.2 3.4 5.6 99.100 Tính: Bài 4.7 5 15 15   15   27 11 121 F : 8 16 16 8   16   27 11 121 Tính  1  1 1,2 :  1  3   : 15   4 G    43  0,32  5   : 25  56  Bài 4.8 98 99 92      92      : 10 11 100 H  99 98 97 1 1 1 1         100 45 50 55 500 Tính 5 Bài 4.6 Tính 2 4   4   19 43 1943 : 29 41 2941 I 3 5 3   5   19 43 1943 29 41 2941 Tính 12 12 12 3 12    3   289 85 : 13 169 91 K 4 7 4   7   289 85 13 169 91 Tính 1.2  2.4  3.6  4.8  5.10 L 3.4  6.8  9.12  12.16  15.20 Tính 2 Bài 4.9 Bài 4.10 Bài 4.11 Bài 4.12 Bài 4.13 Bài 4.14 Bài 4.15 Bài 4.16     1,6 :  1,25   1,08  : 25     M    0,6.0,5 : 1  0,64    .2 25  17  Tính 1 94 38  11 N 8  11   :8 1591 1517   43 Tính   P 10101.     111111 222222 3.7.11.13.37  Tính 1 1      99 Q 1 1      1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 Tính 1 1     200 R 198 199      199 198 197 Tính