BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ NỬA LIÊN TỤC DƯỚI VÀ NỬA LIÊN TỤC TRÊN TÁCH BIẾN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN ĐÌNH NGOAN BÀI TỐN TỰA CÂN BẰNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ NỬA LIÊN TỤC DƯỚI VÀ NỬA LIÊN TỤC TRÊN TÁCH BIẾN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Bùi Thế Hùng THÁI NGUYÊN - 2021 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021 Người viết luận văn Nguyễn Đình Ngoan Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn TS Bùi Thế Hùng Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, toàn thể thầy giáo khoa Tốn- Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi ý kiến đóng góp q báu suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021 Người viết luận văn Nguyễn Đình Ngoan ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iv Mở đầu Chương Bài toán cân ánh xạ nửa liên tục nửa liên tục 1.1 Tập lồi tính chất tập lồi 1.2 Ánh xạ đa trị 1.3 Tính nửa liên tục nửa liên tục ánh xạ đa trị 1.4 Sự tồn nghiệm toán cân 11 Chương Bài toán tựa cân ánh xạ nửa liên tục nửa liên tục tách biến 18 2.1 Bài toán tựa cân 18 2.2 Sự tồn nghiệm toán tựa cân 19 2.3 Một số áp dụng 29 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt R tập số thực R+ tập số thực không âm R− tập số thực không dương Rn không gian véctơ Euclide n− chiều Rn+ tập véctơ không âm Rn Rn− tập véctơ không dương Rn 2X tập tất tập X f :X→Y ánh xạ đơn trị từ tập X vào tập Y F : X → 2Y ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y dom F miền định nghĩa ánh xạ đa trị F gph F đồ thị ánh xạ đa trị F A := B A định nghĩa B ∅ tập rỗng A⊆B A tập B A⊆B A không tập B A∪B hợp hai tập hợp A B A∩B giao hai tập hợp A B A\B hiệu hai tập hợp A B iv B tích Descartes hai tập hợp A B A bao đóng tơpơ tập hợp A int A phần tôpô tập hợp A conv A bao lồi tập hợp A cone A nón sinh tập A (EP ) toán cân véctơ (QEP ) toán tựa cân véctơ (GQEP ) toán tựa cân tổng quát (M GQEP ) toán tựa cân tổng quát hỗn hợp usc nửa liên tục lsc nửa liên tục ✷ kết thúc chứng minh v Mở đầu Bài tốn cân vơ hướng E Blum W Oettli [3] nghiên cứu vào năm 1994 Từ tốn ta suy toán khác lý thuyết tối ưu toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán bù, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa, toán điểm bất động, Sau tốn mở rộng cho trường hợp tập ràng buộc ánh xạ mục tiêu ánh xạ đa trị Bài toán cân trường hợp thường gọi với tên khác toán tựa cân vectơ đa trị, tốn đóng vai trị trung tâm lý thuyết cân vectơ hay gọi lý thuyết cân đa mục tiêu Lý thuyết hình thành từ ý tưởng cân kinh tế, lý thuyết giá trị Edgeworth, gắn liền với tên tuổi số nhà toán học lớn, ta kể đến Hausdorff, Cantor, Borel, Von Neumann, Koopmans, Nhưng phải năm 1954 với công trình Deubreu giá trị cân tối ưu Pareto, lý thuyết cân vectơ công nhận ngành tốn học quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Khi nghiên cứu toán cân người ta thường quan tâm đến tồn nghiệm Hầu hết kết tồn nghiệm toán tựa cân thiết lập cho hàm mục tiêu nửa liên tục nửa liên tục nặng liên tục (xem [3]-[11]) Năm 2018, phương pháp sử dụng định lý phân hoạch đơn vị kết hợp với định lý điểm bất động Kakutani- Fan- Glicksberg, N X Tan [13] thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân với hàm mục tiêu nửa liên tục nửa liên tục tách biến Mục đích luận văn trình bày cách hệ thống kết Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương luận văn dành cho việc trình bày số kiến thức sở giải tích lồi, giải tích đa trị khái niệm ánh xạ đa trị, tính nửa liên tục tính nửa liên tục ánh xạ đa trị Ngồi ra, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân ánh xạ nửa liên tục ánh xạ nửa liên tục Chương trình bày điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân ánh xạ mục tiêu nửa liên tục nửa liên tục tách biến Một số áp dụng vào toán tựa cân tổng quát toán tựa cân tổng quát hỗn hợp trình bày Chương Bài tốn cân ánh xạ nửa liên tục nửa liên tục Trong chương này, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân ánh xạ đa trị nửa liên tục ánh xạ nửa liên tục Ngồi ra, chúng tơi trình bày số kiến thức kết quen biết giải tích đa trị chúng tơi trích từ sách chuyên khảo giải tích đa trị [1] [2] 1.1 Tập lồi tính chất tập lồi Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X khơng gian tuyến tính Tập A ⊆ X gọi lồi với x1 , x2 ∈ A ta ln có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A với λ ∈ [0, 1] Mệnh đề 1.1.2 Giả sử Aα ⊆ X tập lồi với α ∈ I , với I tập số Khi tập A = ∩ Aα lồi α∈I Chứng minh Lấy x, y ∈ A Khi x, y ∈ Aα , với α ∈ I Do Aα lồi với α ∈ I nên λx + (1 − λ)y ∈ Aα , với λ ∈ [0, 1], α ∈ I Do λx + (1 − λ)y ∈ A với λ ∈ [0, 1] Vậy A tập lồi Mệnh đề 1.1.3 Giả sử Ai ⊆ X tập lồi λi ∈ R (i = 1, 2, , m) Khi λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λm Am tập lồi Chứng minh Đặt A = λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λm Am Lấy x, y ∈ A λ ∈ [0, 1] Khi tồn xi ∈ Ai , yi ∈ Ai , i = 1, 2, , m cho x = λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λm xm , y = λ1 y1 + λ2 y2 + · · · + λm ym Ta có λx + (1 − λ)y = λ(λ1 x1 + · · · + λm xm ) + (1 − λ)(λ1 y1 + · · · + λm ym ) = λ1 [λx1 + (1 − λ)y1 ] + · · · + λm [λxm + (1 − λ)ym ] Do Ai tập lồi nên λxi + (1 − λ)yi ∈ Ai , với λ ∈ [0, 1], i ∈ {1, 2, , m} Suy λx + (1 − λ)y ∈ A, với λ ∈ [0, 1] Vậy A tập lồi Định nghĩa 1.1.4 Giả sử X khơng gian tuyến tính, A tập X Khi giao tất tập lồi chứa A gọi bao lồi tập A kí hiệu conv A Định lí 1.1.5 Giả sử A tập không gian tuyến tính X Khi conv A trùng với tập tất tổ hợp lồi tập A, tức n n αi xi : xi ∈ A, αi ≥ 0, conv A = i=1 αi = i=1 Chứng minh Ta có conv A tập lồi Vì A ⊆ conv A nên conv A chứa tất tổ hợp lồi A Hơn tập tất tổ hợp lồi A lồi chứa A, chứa conv A (vì conv A tập lồi nhỏ chứa A) Vậy conv A trùng với tập tất tổ hợp lồi A Chứng minh Giả sử G(x, y) = ∅ với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y) Áp dụng Hệ 2.2.4, tồn (¯ x, y¯) ∈ D ×K cho x¯ ∈ P (¯ x, y¯), y¯ ∈ Q(¯ x, y¯) (¯ x, y¯) ∈ G(¯ x, y¯) Điều mâu thuẫn với giả thiết Hệ chứng minh Định lí 2.2.7 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) D, K tập không rỗng, lồi compact; (ii) P : D × K → 2D ánh xạ liên tục với giá trị không rỗng, lồi đóng; (iii) Q : D × K → 2K ánh xạ usc với giá trị không rỗng, lồi đóng; (iv) F : D × K → 2X×Z ánh xạ usc lsc tách biến; (v) Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), F (x, y) khơng rỗng, lồi đóng F (x, y) ∩ TP (x,y)×Q(x,y) (x, y) = ∅ Khi tốn tựa cân (QEP) có nghiệm Chứng minh Đặt B := {(x, y) ∈ D × K : (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y)} Theo chứng minh Định lí 2.2.3, B tập khơng rỗng compact Giả sử tốn tựa cân (QEP ) khơng có nghiệm Khi với (x, y) ∈ B , ta có θX×Z ∈ F (x, y) Từ F (x, y) không rỗng, lồi đóng nên theo định lí Hahn -Banach, tồn p ∈ (X × Z)∗ cho sup p(w) < w∈F (x,y) 25 Ta định nghĩa hàm c1p (., y) : D → R ∪{+∞}, c2p (x, ) : K → R ∪{−∞} c1p (x , y) = sup p(u), u∈F (x ,y) c2p (x, y ) = inf p(w) w∈F (x,y ) Theo Mệnh đề 1.4.3 Mệnh đề 1.4.4 ta suy c1p (., y), c2p (x, ) hàm usc tập D, K , tương ứng Chứng minh cách hoàn toàn tương tự Định lí 2.2.3 ta điều phải chứng minh Định lí 2.2.8 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) D, K tập không rỗng, lồi compact; (ii) P : D × K → 2D ánh xạ liên tục với giá trị khơng rỗng, lồi đóng; (iii) Q : D × K → 2K ánh xạ usc với giá trị khơng rỗng, lồi đóng; (iv) F : D × K → 2X×Z ánh xạ usc tách biến; (v) Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), F (x, y) khơng rỗng, lồi đóng F (x, y) ∩ TP (x,y)×Q(x,y) (x, y) = ∅ Khi tốn tựa cân (QEP) có nghiệm Chứng minh Đặt B := {(x, y) ∈ D × K : (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y)} Theo chứng minh Định lí 2.2.3, B tập khơng rỗng compact Giả sử tốn tựa cân (QEP ) khơng có nghiệm Khi với (x, y) ∈ B , ta có θX×Z ∈ F (x, y) 26 Từ F (x, y) không rỗng, lồi đóng nên theo định lí Hahn -Banach, tồn p ∈ (X × Z)∗ cho sup p(w) < w∈F (x,y) Ta định nghĩa hàm c1p (., y) : D → R ∪{+∞}, c2p (x, ) : K → R ∪{+∞} c1p (x , y) = sup p(u), u∈F (x ,y) c2p (x, y ) = sup p(w) w∈F (x,y ) Theo Mệnh đề 1.4.3 Mệnh đề 1.4.4 ta suy c1p (., y), c2p (x, ) hàm usc tập D, K , tương ứng Chứng minh cách hoàn toàn tương tự Định lí 2.2.3 ta điều phải chứng minh Hệ 2.2.9 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) D, K tập không rỗng, lồi compact; (ii) F : D × K → 2D×K ánh xạ usc tách biến; Khi tồn (¯ x, y¯) ∈ D × K cho (¯ x, y¯) ∈ F (¯ x, y¯) Định lí 2.2.10 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) D, K tập không rỗng, lồi compact; (ii) P : D × K → 2D ánh xạ liên tục với giá trị không rỗng, lồi đóng; (iii) Q : D × K → 2K ánh xạ usc với giá trị không rỗng, lồi đóng; (iv) F : D × K → 2X×Z ánh xạ lsc tách biến; (v) Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), F (x, y) khơng rỗng, lồi đóng F (x, y) ⊆ TP (x,y)×Q(x,y) (x, y) 27 Khi tốn tựa cân (QEP) có nghiệm Chứng minh Đặt B := {(x, y) ∈ D × K : (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y)} Theo chứng minh Định lí 2.2.3, B tập khơng rỗng compact Giả sử tốn tựa cân (QEP ) khơng có nghiệm Khi với (x, y) ∈ B , ta có θX×Z ∈ F (x, y) Từ F (x, y) khơng rỗng, lồi đóng nên theo định lí Hahn -Banach, tồn p ∈ (X × Z)∗ cho sup p(w) < w∈F (x,y) Ta định nghĩa hàm c1p (., y) : D → R ∪{−∞}, c2p (x, ) : K → R ∪{−∞} c1p (x , y) = c2p (x, y ) = inf p(u), u∈F (x ,y) inf p(w) w∈F (x,y ) Theo Mệnh đề 1.4.3 Mệnh đề 1.4.4 ta suy c1p (., y), c2p (x, ) hàm usc tập D, K , tương ứng Chứng minh cách hồn tồn tương tự Định lí 2.2.3 ta điều phải chứng minh Hệ 2.2.11 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) D, K tập không rỗng, lồi compact; (ii) G : D × K → 2D×K ánh xạ lsc tách biến với giá trị không rỗng, lồi đóng; Khi tồn (¯ x, y¯) ∈ D × K cho (¯ x, y¯) ∈ G(¯ x, y¯) Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị F : D × K → 2X×Z F (x, y) = G(x, y) − (x, y) với (x, y) ∈ D × K 28 Khi F lsc tách biến với giá trị không rỗng, lồi đóng Hơn nữa, với (x, y) ∈ D × K , ta có F (x, y) = G(x, y) − (x, y) ⊆ D × K − (x, y) ⊆ TD×K (x, y) Áp dụng Định lí 2.2.10, tồn (¯ x, y¯) ∈ D × K cho θX×Z ∈ F (¯ x, y¯) Điều kéo theo (¯ x, y¯) ∈ D × K cho (¯ x, y¯) ∈ G(¯ x, y¯) 2.3 Một số áp dụng Giả sử X, Z, Y, Y1 , Y2 không gian vectơ tôpô Hausdorff thực Giả sử D ⊆ X, K ⊆ Z tập không rỗng Cho ánh xạ đa trị P, P0 : D × K → 2D , Q, T : D × K → 2K , N : K × D × D → 2K , F : K × K ×K ×D → 2Y , F1 : K ×K ×K ×D → 2Y1 F2 : K ×K ×D×D → 2Y2 Xét toán sau: Bài toán tựa cân tổng quát, kí hiệu (GQEP ), tìm (¯ x, y¯) ∈ D × K cho x¯ ∈ P (¯ x, y¯), y¯ ∈ Q(¯ x, y¯) ∈ F (¯ y , y¯, v, x¯) với v ∈ Q(¯ x, y¯) Bài toán (GQEP ) nghiên cứu [4], [6] Bài tốn tựa cân tổng qt hỗn hợp, kí hiệu (M GQEP ), tìm (¯ x, y¯) ∈ D × K cho x¯ ∈ P (¯ x, y¯), y¯ ∈ T (¯ x, y¯); ∈ F1 (¯ y , y¯, v, x¯) với v ∈ T (¯ x, y¯) ∈ F2 (¯ y , v, x¯, t), với t ∈ P0 (¯ x, y¯) v ∈ N (¯ y , x¯, t) 29 Bài toán (M GQEP ) nghiên cứu [7] Định lí cho ta điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát (GQEP ) Định lí 2.3.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) D K tập không rỗng, lồi compact; (ii) P : D × K → 2D ánh xạ liên tục tách biến với giá trị không rỗng, lồi đóng; (iii) Q : D × K → 2K ánh xạ usc tách biến với giá trị không rỗng, lồi đóng; (iv) Ánh xạ đa trị F : K × K × D × D → 2Y thỏa mãn (iv)0 Với (x, y) ∈ D × K , tập A0 := {z ∈ P (x, y) : ∈ F (y, x, z, t) với t ∈ P (x, y)} không rỗng lồi; (iv)1 Với y ∈ K , tập A1 := {(x, z, t) ∈ K × D × D : ∈ F (y, x, z, t)} đóng K × D × D; (iv)2 Với x ∈ D, tập A2 := {(y, z, t) ∈ K × D × D : ∈ F (y, x, z, t)} đóng K × D × D; Khi tốn tựa cân tổng qt (GQEP ) có nghiệm Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị H : D × K → 2D H(x, y) = {z ∈ P (x, y) : ∈ F (y, x, z, t), với t ∈ P (x, y)}, 30 với (x, y) ∈ D × K Từ giả thiết (v), ta suy H có giá trị không rỗng lồi Với y ∈ K , dãy xα → x wα ∈ Q(xα , y), wα → w Ta w ∈ H(x, y) Thật vậy, ta có w ∈ P (x, y) ∈ F (y, xα , wα , t) với t ∈ P (xα , y) Với t ∈ P (x, y), P (., y) lsc nên tồn tα ∈ P (xα , y) cho tα → t Do ∈ F (y, xα , wα , tα , ) với α Vì tập A đóng nên kéo theo ∈ F (y, w, v, x) với t ∈ P (x, y) Vậy w ∈ Q(x, y) Điều chứng tỏ ánh xạ H(., y) đóng Từ suy H(., y) usc D Chứng minh cách hoàn toàn tương tự, ta H(x, ) usc K Vậy H usc tách biến D × K Ta định nghĩa ánh xạ đa trị G : D × K → 2D×K G(x, y) = H(x, y) × Q(x, y), (x, y) ∈ D × K Khi tất giả thiết Hệ 2.2.9 thỏa mãn Áp dụng Hệ 2.2.9, tồn (¯ x, y¯) ∈ D × K cho (¯ x, y¯) ∈ G(¯ x, y¯) Điều kéo theo x ¯ ∈ P (¯ x, y¯), y¯ ∈ Q(¯ x, y¯) ∈ F (¯ y , y¯, v, x¯) với v ∈ Q(¯ x, y¯) Vậy định lí chứng minh Định nghĩa 2.3.2 Cho ánh xạ đa trị F : K × K × D × D → 2Y N : K × D × D → 2K Ta nói F N - KKM với tập hữu hạn {x1 , x2 , , xn } ⊆ D x ∈ conv{x1 , x2 , , xn }, tồn số j ∈ {1, 2, , n} cho ∈ F (y, v, x, xj ) với y ∈ K, v ∈ N (y, x, xj ) Tiếp theo, chúng tơi trình bày điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát hỗn hợp (M GQEP ) Định lí 2.3.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) D K tập không rỗng, lồi compact; 31 (ii) P : D × K → 2D ánh xạ usc tách biến với giá trị không rỗng lồi; (iii) P0 : D × K → 2D ánh xạ lsc tách biến với giá trị không rỗng conv P0 (x, y) ⊆ P (x, y) với (x, y) ∈ D × K ; (iv) T : D × K → 2K ánh xạ usc lsc tách biến với giá trị không rỗng; (v) Ánh xạ đa trị F1 : K × K × K × D → 2Y1 cho (v)1 Tập A := {(y, w, v, x) ∈ K × K × K × D|0 ∈ F1 (y, w, v, x)} đóng; (v)2 Với (y, x) ∈ K × D, tập B := {w ∈ T (x, y) : ∈ F1 (y, w, v, x) với v ∈ T (x, y)} không rỗng lồi; (vi) Ánh xạ đa trị F2 : K × K × D × D → 2Y2 cho (vi)1 Với (t, y) ∈ D × K , tập A1 := {x ∈ ×D : tồn v ∈ N (y, x, t) cho ∈ F2 (y, v, x, t)} mở D; (vi)2 Với (t, x) ∈ D × D, tập A2 := {y ∈ K : tồn v ∈ N (y, x, t) cho ∈ F2 (y, v, x, t)} mở K ; (vii) Ánh xạ F2 N - KKM Khi tốn tựa cân tổng qt hỗn hợp (M GQEP ) có nghiệm Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị Q : D × K → 2K Q(x, y) = {w ∈ T (x, y) : ∈ F1 (y, w, v, x), với v ∈ T (x, y)}, 32 với (x, y) ∈ D×K Từ giả thiết (v), ta suy Q có giá trị khơng rỗng lồi Với y ∈ K , dãy xα → x wα ∈ Q(xα , y), wα → w Ta chứng minh w ∈ Q(x, y) Thật vậy, ta có ∈ F1 (y, wα , u, xα ) với u ∈ T (xα , y) α Với v ∈ T (x, y), T (., y) lsc nên tồn vα ∈ T (xα , y) cho vα → v Do ∈ F1 (y, wα , vα , xα ) với α Vì tập A đóng nên kéo theo ∈ F1 (y, w, v, x) với v ∈ T (x, y) Vậy w ∈ Q(x, y) Điều chứng tỏ ánh xạ Q(., y) đóng Từ suy Q(., y) usc D Chứng minh cách hoàn toàn tương tự, ta Q(x, ) usc K Vậy Q usc tách biến Đặt B := {(x, y) ∈ D × K : (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y)} Bởi Hệ 2.2.9, B = ∅ Tiếp theo xét ánh xạ đa trị M : D × K → 2D xác định M (x, y) := {t ∈ D : tồn v ∈ N (y, x, t) cho ∈ F2 (y, v, x, t)} Nếu tồn (¯ x, y¯) ∈ B cho M (¯ x, y¯) ∩ P0 (¯ x, y¯) = ∅ (¯ x, y¯) nghiệm toán (M GQEP ) Bây ta giả sử M (x, y) ∩ P0 (x, y) = ∅ với (x, y) ∈ B Với y ∈ K , tập M (., y)−1 (t) = A1 mở D với x ∈ D, tập M (x, )−1 (t) = A1 mở K Vậy M lsc tách biến D × K Vì P0 có ảnh ngược mở M lsc tách biến nên ánh xạ conv(M ∩ P0 ) lsc tách biến với giá trị không rỗng lồi Ta định nghĩa ánh xạ đa trị H : D × K → 2D×K H(x, y) = conv(M (x, y) ∩ P0 (x, y)) × {y}, x ∈ P (x, y), conv P0 (x, y) × {y}, x ∈ P (x, y) Khi H lsc tách biến D × K Áp dụng Hệ 2.2.11, tồn (¯ x, y¯) ∈ D × K cho (¯ x, y¯) ∈ H(¯ x, y¯) Nếu x¯ ∈ P (¯ x, y¯), x¯ ∈ conv(M (¯ x, y¯) ∩ P0 (¯ x, y¯)) Từ suy x¯ ∈ conv(M (¯ x, y¯)) Do tồn n x1 , x2 , , xn ∈ M (¯ x, y¯) cho x¯ = αi xi với αi ≥ 0, i = 1, 2, , n i=1 n αi = Bởi định nghĩa M , với i ∈ {1, 2, , n}, tồn i=1 33 v ∈ N (¯ y , x¯, xi ) cho ∈ F2 (¯ y , v, x¯, xi ) Vì F2 N - KKM nên tồn số j ∈ {1, 2, , n} cho ∈ F2 (¯ y , v, x¯, xj ) với v ∈ N (¯ y , x¯, xj ) Điều mâu thuẫn Vậy định lí chứng minh Hệ 2.3.4 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) D K tập không rỗng, lồi compact; (ii) P : D × K → 2D ánh xạ lsc tách biến với giá trị không rỗng lồi; (iii) Q : D × K → 2K ánh xạ lsc tách biến với giá trị không rỗng lồi; (iv) Hàm φ : K × K × D × D → R cho (iv)1 Với (x, t, y) ∈ D×D×K , hàm φ(y, , , t) φ(., , x, t) usc; (iv)2 Với tập hữu hạn {x1 , x2 , , xk } ⊆ D x ∈ conv{x1 , x2 , , xk }, tồn số j ∈ {1, 2, , k} cho φ(y, v, x, xj ) ≥ với y, v ∈ K Khi tồn (¯ x, y¯) ∈ D × K cho 1) x ¯ ∈ P (¯ x, y¯); 2) y¯ ∈ Q(¯ x, y¯); 3) φ(¯ y , v, x¯, t) ≥ 0, với (t, v) ∈ P (¯ x, y¯) × Q(¯ x, y¯) Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị N : K × D × D → 2K F : K × K × D × D → 2R N (y, x, t) = Q(x, y), F (y, v, x, t) = φ(y, v, x, t) − R+ 34 Khi tập A1 = {x ∈ D : tồn v ∈ N (y, x, t) cho ∈ F (y, v, x, t)} = {x ∈ D : tồn v ∈ Q(x, y) cho φ(y, v, x, t) < 0} mở D Thật vậy, giả sử {xα } ⊆ D\A1 , xα → x Lấy v ∈ Q(x, y) tùy ý Bởi Q(., y) lsc nên tồn vα ∈ Q(xα , y) cho vα → v Từ xα ∈ D\A1 nên φ(y, vα , xα , t) ≥ với α Do φ(y, , , t) usc nên φ(y, v, x, t) ≥ Điều chứng tỏ x ∈ D\A1 Vậy A1 mở Chứng minh cách hoàn toàn tương tự, ta tập A2 = {y ∈ K : tồn v ∈ N (y, x, t) cho ∈ F (y, v, x, t)} = {y ∈ K : tồn v ∈ Q(x, y) cho φ(y, v, x, t) < 0} mở K Áp dụng Định lí 2.3.3 với P0 = P, N F2 = F , tồn (¯ x, y¯) ∈ D × K cho 1) x ¯ ∈ P (¯ x, y¯); 2) y¯ ∈ Q(¯ x, y¯); 3) φ(¯ y , v, x¯, t) ≥ 0, với (t, v) ∈ P (¯ x, y¯) × Q(¯ x, y¯) Vậy hệ chứng minh Hệ 2.3.5 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) D K tập không rỗng, lồi compact; (ii) P : D × K → 2D ánh xạ lsc tách biến với giá trị không rỗng lồi; (iii) Q : D × K → 2K ánh xạ lsc tách biến với giá trị không rỗng lồi; (iv) Hàm φ : K × K × D × D → R cho (iv)1 Với (x, t, y) ∈ D×D×K , hàm φ(y, , , t) φ(., , x, t) usc; 35 (iv)2 Với (x, y) ∈ D×K , tồn z ∈ P (x, y) cho φ(y, x, z, t) ≥ với t ∈ P (x, y); (iv)3 Với y, v ∈ K , φ(y, v, x, x) = với x ∈ D hàm φ(y, v, x, ) tựa lồi Khi tồn (¯ x, y¯) ∈ D × K cho 1) x ¯ ∈ P (¯ x, y¯); 2) y¯ ∈ Q(¯ x, y¯); 3) φ(¯ y , v, x¯, t) ≥ 0, với (t, v) ∈ P (¯ x, y¯) × Q(¯ x, y¯) Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị N : K × D × D → 2K F : K × K × D × D → 2R N (y, x, t) = Q(x, y), F (y, v, x, t) = φ(y, v, x, t) − R+ Với họ hữu hạn {x1 , x2 , , xn } ⊆ D x ∈ conv{x1 , x2 , , xn }, giả thiết (iv)2 (iv)3 nên tồn số j ∈ {1, 2, , n} cho φ(y, v, x, xj ) ≥ với y, v ∈ K Áp dụng Hệ 2.3.4, tồn (¯ x, y¯) ∈ D × K cho 1) x ¯ ∈ P (¯ x, y¯); 2) y¯ ∈ Q(¯ x, y¯); 3) φ(¯ y , v, x¯, t) ≥ 0, với (t, v) ∈ P (¯ x, y¯) × Q(¯ x, y¯) Vậy hệ chứng minh 36 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số kết sau: Trình bày số định lí tồn nghiệm toán cân (EP ) cho ánh xạ nửa liên tục (Định lí 1.4.6) ánh xạ nửa liên tục (Định lí 1.4.8) Trình bày điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân (QEP ) ánh xạ nửa liên tục nửa liên tục tách biến (Định lí 2.2.3), ánh xạ nửa liên tục nửa liên tục tách biến (Định lí 2.2.7), ánh xạ nửa liên tục tách biến (Định lí 2.2.8) ánh xạ nửa liên tục tách biến (Định lí 2.2.10) Trình bày số ứng dụng vào toán tựa cân tổng quát (GQEP ) (Định lí 2.3.1) tốn tựa cân tổng quát hỗn hợp (M GQEP ) (Định lí 2.3.3) 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2006), "Một số vấn đề lý thuyết tối ưu véctơ đa trị", Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Đông Yên (2007), "Giải tích đa trị", Nhà xuất khoa học tự nhiên công nghệ Tiếng Anh [3] E Blum and W Oettli (1993), "From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems", The Mathematical Student, 64, 1-23 [4] T T T Duong and N X Tan (2010), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems of type I and Related Problems", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 13, No 1, 29-47 [5] T T T Duong and N X Tan, "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems of type II and Related Problems", Acta Mathematic Vietnamica, 36, No 2, 231 - 248 [6] T T T Duong and N X Tan (2012), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems", J Global Optim, 52, No 4, 711-728 38 [7] T T T Duong (2013), "Mixed generalized quasi-equilibrium problems", J Global Optim, 56, 647- 667 [8] A Gurraggio and N X Tan (2002), "On General Vector QuasiOptimization Problems", Mathematical Methods of Operation Research, 55, 347-358 [9] B T Hung, N X Tan (2011), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 14, No 1, 1-16 [10] X B Li and S J Li (2010), ”Existence of solutions for generalized vector quasi-equilibrium problems", Optimization Letters, 4, 17 -28 [11] L J Lin and S Park (1998), "On some generalized quasi-equilibrium problems", J Math Anal Appl, 224, 167-181 [12] L J Lin (2010), "Some results on systems of quasi-variational inclusion problems and systems of generalized quasi-variational inclusion problems", Nonlinear Analysis, 72, 37-49 [13] N X Tan (2018), Quasi-equilibrium problems and fixed point theorems of separately l.s.c and u.s.c mappings Numer Funct Anal Optim 39, 233–255 [14] Tian G Q, and Zhou J X (1993), "Quasi- variational inequalities without the concavity assumption", J Math Anal Appl 172, 289299 [15] W Rudin (2000), Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-hill 39 ... nghiệm toán tựa cân ánh xạ mục tiêu nửa liên tục nửa liên tục tách biến Một số áp dụng vào toán tựa cân tổng quát toán tựa cân tổng quát hỗn hợp trình bày Chương Bài tốn cân ánh xạ nửa liên tục nửa. .. 2.2.3), ánh xạ nửa liên tục nửa liên tục tách biến (Định lí 2.2.7), ánh xạ nửa liên tục tách biến (Định lí 2.2.8) ánh xạ nửa liên tục tách biến (Định lí 2.2.10) Trình bày số ứng dụng vào tốn tựa cân. .. tốn cân (EP ) cho ánh xạ nửa liên tục (Định lí 1.4.6) ánh xạ nửa liên tục (Định lí 1.4.8) Trình bày điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân (QEP ) ánh xạ nửa liên tục nửa liên tục tách biến