Đề 1 Câu1 : Cho biểu thức A= Với x ;1 .a, Ruý gọn biểu thức A .b , Tính giá trị của biểu thức khi cho x= c. Tìm giá trị của x để A=3 Câu2.a, Giải hệ phương trình: b. Giải bất phương trình: x= Câu 2 : a)Đặt xy=a ta được pt: a2+3a=4 => a=1;a=4 Từ đó ta có (1) (2) Giải hệ (1) ta được x=3, y=2 Giải hệ (2) ta được x=0, y=4 Vậy hệ phương trình có nghiệm là x=3, y=2 hoặc x=0; y=4 b) Ta có x34x22x15=(x5)(x2+x+3) mà x2+x+3=(x+12)2+114>0 với mọi x Vậy bất phương trình tương đương với x5>0 =>x>5 Câu 3: Phương trình: ( 2m1)x22mx+1=0 • Xét 2m1=0=> m=12 pt trở thành –x+1=0=> x=1 • Xét 2m10=> m 12 khi đó ta có = m22m+1= (m1)20 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (1,0) với m 12 pt còn có nghiệm x= = pt có nghiệm trong khoảng (1,0)=> 1< =>m E,F thuộc đường tròn đường kính BK hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đường tròn đường kính BK. b. BCF= BAF Mà BAF= BAE=450=> BCF= 450 Ta có BKF= BEF Mà BEF= BEA=450(EA là đường chéo của hình vuông ABED)=> BKF=450 Vì BKC= BCK= 450=> tam giác BCK vuông cân tại B Đề 2 Bài 1: Cho biểu thức: P = a,Rút gọn P b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên. Bài 2: Cho phương trình: x2( 2m + 1)x + m2 + m 6= 0 () a.Tìm m để phương trình () có 2 nghiệm âm. b.Tìm m để phương trình () có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn =50 Bài 3: Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2Chứng minh: a,Phương trình ct2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt t1 và t2. b,Chứng minh: x1 + x2 + t1 + t2 4 Bài 4: Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . H là trực tâm của tam giác. D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành. b, Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đường thẳng AB và AC . Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng. c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất. Bài 5: Cho hai số dương x; y thoả mãn: x + y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = Đáp án Bài 1: (2 điểm). ĐK: x a, Rút gọn: P = P = b. P = Để P nguyên thì Vậy với x= thì P có giá trị nguyên. Bài 2: Để phương trình có hai nghiệm âm thì: b. Giải phương trình: Bài 3: a. Vì x1 là nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0 nên ax12 + bx1 + c =0. . Vì x1> 0 => c. Chứng tỏ là một nghiệm dương của phương trình: ct2 + bt + a = 0; t1 = Vì x2 là nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0 => ax22 + bx2 + c =0 vì x2> 0 nên c. điều này chứng tỏ là một nghiệm dương của phương trình ct2 + bt + a = 0 ; t2 = Vậy nếu phương trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dương phân biệt x1; x2 thì phương trình : ct2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt t1 ; t2 . t1 = ; t2 = b. Do x1; x1; t1; t2 đều là những nghiệm dương nên t1+ x1 = + x1 2 t2 + x2 = + x2 2 Do đó x1 + x2 + t1 + t2 4 Bài 4 a. Giả sử đã tìm được điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình bình hành . Khi đó: BDHC; CDHB vì H là trực tâm tam giác ABC nên CH và BH => BD và CD . Do đó: ABD = 900 và ACD = 900 . Vậy AD là đường kính của đường tròn tâm O Ngược lại nếu D là đầu đường kính AD của đường tròn tâm O thì tứ giác BHCD là hình bình hành. b) Vì P đối xứng với D qua AB nên APB = ADB nhưng ADB = ACB nhưng ADB = ACB Do đó: APB = ACB Mặt khác: AHB + ACB = 1800 => APB + AHB = 1800 Tứ giác APBH nội tiếp được đường tròn nên PAB = PHB Mà PAB = DAB do đó: PHB = DAB Chứng minh tương tự ta có: CHQ = DAC Vậy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 1800 Ba điểm P; H; Q thẳng hàng c). Ta thấy APQ là tam giác cân đỉnh A Có AP = AQ = AD và PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt giá trị lớn nhất AP và AQ là lớn nhất hay AD là lớn nhất D là đầu đường kính kẻ từ A của đường tròn tâm O Đề 3 Bài 1: Cho biểu thức: a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P. b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn ph¬ơng trình P = 2. Bài 2: Cho parabol (P) : y = x2 và đ¬ờng thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm M(1 ; 2) . a). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A , B phân biệt b). Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung. Bài 3: Giải hệ ph¬ơng trình : Bài 4: Cho đ¬ường tròn (O) đ¬ờng kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đ¬ường tròn . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đ¬ờng tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N. a). Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân . b). Khi MB = MQ , tính BC theo R. Bài 5: Cho thỏa mãn : Hãy tính giá trị của biểu thức : M = + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) . Đáp án Bài 1: a). Điều kiện để P xác định là :; . ). Rút gọn P: Vậy P = b). P = 2 = 2 Ta có: 1 + x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả mãn Bài 2: a). Đư¬ờng thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm M(1 ; 2) . Nên ph¬ơng trình đ¬ờng thẳng (d) là : y = mx + m – 2. Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của ph¬ơng trình: x2 = mx + m – 2 x2 + mx + m – 2 = 0 () Vì ph¬ơng trình () có nên ph¬ơng trình () luôn có hai nghiệm phân biệt , do đó (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. b). A và B nằm về hai phía của trục tung ph¬ơng trình : x2 + mx + m – 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu m – 2 < 0 m < 2. Bài 3 : ĐKXĐ : Thay vào (1) => x = y = z = 3 . Ta thấy x = y = z = 3 thõa mãn hệ ph¬ơng trình . Vậy hệ ph¬ơng trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 3. Bài 4: a). Xét và . Ta có: AB là đ¬ờng kính của đ¬ờng tròn (O) nên :AMB = NMB = 90o . M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC nên ABM = MBN => BAM = BNM => cân đỉnh B. Tứ giác AMCB nội tiếp => BAM = MCN ( cùng bù với góc MCB). => MCN = MNC ( cùng bằng góc BAM). => Tam giác MCN cân đỉnh M b). Xét và có : MC = MN (theo cm trên MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt)
Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Đề Câu1 : Cho biểu thức x3 x x(1 x ) : x x A= Với x ;1 x x2 x a, Ruý gọn biểu thức A b , Tính giá trị biểu thức cho x= 2 c Tìm giá trị x để A=3 Câu2.a, Giải hệ phương trình: ( x y ) 3( x y ) 4 x y 12 b Giải bất phương trình: x x x 15 x= 42 62 17 Câu : a)Đặt x-y=a ta pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4 ( x y ) 3( x y ) 4 Từ ta có x y 12 x y 1 (1) x y 12 x y * (2) x y 12 * Giải hệ (1) ta x=3, y=2 Giải hệ (2) ta x=0, y=4 Vậy hệ phương trình có nghiệm x=3, y=2 x=0; y=4 b) Ta có x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3) Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 mà x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 với x Vậy bất phương trình tương đương với x-5>0 =>x>5 Câu 3: Phương trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1 Xét 2m-10=> m 1/2 ta có 2 , = m -2m+1= (m-1) 0 m=> pt có nghiệm với m ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0) m m 1 = 2m 2m 1 pt có nghiệm khoảng (-1,0)=> -1< 2m =>m E,F thuộc đường trịn đường kính BK B hay điểm E,F,B,K thuộc đường trịn đường kính BK O � � b BCF= BAF Mà � BAF= �BAE=450=> � BCF= 450 Ta có �BKF= � BEF Mà � BEF= � BEA=450(EA đường chéo hình vng ABED)=> �BKF=450 Vì � BKC= � BCK= 450=> tam giác BCK vuông cân B Đề x x x x 2 x x 1 : Bài 1: Cho biểu thức: P = x x x x x a,Rút gọn P b,Tìm x ngun để P có giá trị nguyên Bài 2: Cho phương trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*) a.Tìm m để phương trình (*) có nghiệm âm b.Tìm m để phương trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mãn Một số đề tham khảo 3 x1 x2 =50 Nguyễn Văn Thuận A C Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Bài 3: Cho phương trình: ax2 + bx + c = có hai nghiệm dương phân biệt x 1, x2Chứng minh: a,Phương trình ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dương phân biệt t1 t2 b,Chứng minh: x1 + x2 + t1 + t2 4 Bài 4: Cho tam giác có góc nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O H trực tâm tam giác D điểm cung BC không chứa điểm A a, Xác định vị trí điẻm D để tứ giác BHCD hình bình hành b, Gọi P Q điểm đối xứng điểm D qua đường thẳng AB AC Chứng minh điểm P; H; Q thẳng hàng c, Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dài lớn Bài 5: Cho hai số dương x; y thoả mãn: x + y 1 501 Tìm giá trị nhỏ của: A = x y xy Đáp án Bài 1: (2 điểm) ĐK: x 0; x 1 x 1z a, Rút gọn: P = x x 1 : x x 1 x b P = P= x1 ( x 1) x 1 x1 x 1 1 x1 x1 Để P nguyên x 1 x x 2 x x x 4 x 0 x 0 x 3 x 9 x 1( Loai ) Vậy với x= 0;4;9 P có giá trị ngun Bài 2: Để phương trình có hai nghiệm âm thì: Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 25 (m 2)( m 3) m m 2m 1 m m 0 x1 x m m x x 2m 3 b Giải phương trình: m 2 (m 3) 50 5(3m 3m 7) 50 m m 0 1 m1 m 1 2 Bài 3: a Vì x1 nghiệm phương trình: ax2 + bx + c = nên ax12 + bx1 + c =0 1 1 Vì x1> => c b a 0 x1 x Chứng tỏ x nghiệm dương phương trình: ct2 + bt + a = 0; t1 = x Vì x2 nghiệm phương trình: ax2 + bx + c = => ax22 + bx2 + c =0 1 1 x2> nên c b. a 0 điều chứng tỏ x nghiệm dương x2 x2 phương trình ct2 + bt + a = ; t2 = x Vậy phương trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dương phân biệt x 1; x2 phương trình : ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dương phân biệt t ; t2 t1 = x ; 1 t2 = x b Do x1; x1; t1; t2 nghiệm dương nên t1+ x1 = x + x1 2 1 t2 + x2 = x + x2 2 Do x1 + x2 + t1 + t2 4 Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Bài a Giả sử tìm điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB H trực tâm tam giác ABC nên A CH AB BH AC => BD AB CD AC Q Do đó: �ABD = 900 �ACD = 900 Vậy AD đường kính đường trịn tâm O H Ngược lại D đầu đường kính AD O P C B đường trịn tâm O tứ giác BHCD hình bình hành D b) Vì P đối xứng với D qua AB nên �APB = �ADB �ADB = �ACB �ADB = �ACB Do đó: �APB = �ACB Mặt khác: �AHB + �ACB = 1800 => �APB + �AHB = 1800 Tứ giác APBH nội tiếp đường tròn nên �PAB = �PHB Mà �PAB = �DAB đó: �PHB = �DAB Chứng minh tương tự ta có: �CHQ = �DAC Vậy �PHQ = �PHB + �BHC + � CHQ = �BAC + �BHC = 1800 Ba điểm P; H; Q thẳng hàng c) Ta thấy APQ tam giác cân đỉnh A Có AP = AQ = AD �PAQ = �2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt giá trị lớn AP AQ lớn hay AD lớn D đầu đường kính kẻ từ A đường tròn tâm O Đề Bài 1: Cho biểu thức: P ( x x y )(1 y ) y x y) x 1 xy a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = Một số đề tham khảo x 1 Nguyễn Văn Thuận y Tài liệu ôn thi toán vào lớp 10 Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(1 ; -2) a) Chứng minh với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm A , B phân biệt b) Xác định m để A,B nằm hai phía trục tung Bài 3: Giải hệ phơng trình : x y z 9 1 1 1 x y z xy yz zx 27 Bài 4: Cho đường trịn (O) đờng kính AB = 2R C điểm thuộc đường tròn (C A ; C B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn (O), gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N a) Chứng minh tam giác BAN MCN cân b) Khi MB = MQ , tính BC theo R 1 1 x y z x yz Hãy tính giá trị biểu thức : M = + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) Bài 5: Cho x, y, z R thỏa mãn : Đáp án Bài 1: a) Điều kiện để P xác định :; x ; y ; y 1 ; x y x(1 *) Rút gọn P: P x ) y (1 x ( x y ) x x y y xy x x y y 1 x x x 1 y x 1 y y x xy y xy x 1 y y y x x 1 y x 1 y x x 1 x 1 y x 1 y 1 y y 1 y x y y y x 1 y 1 y x y y ) xy y 1 x 1 x xy y Vậy P = x xy y b) P = x xy y = Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 x1 y x 11 y 1 y 1 � x x = 0; 1; 2; ; Ta có: + y �1 x �1 ۣ Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) thoả mãn Bài 2: a) Đường thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) Nên phơng trình đờng thẳng (d) : y = mx + m – Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phơng trình: - x2 = mx + m – x2 + mx + m – = (*) Vì phơng trình (*) có m 4m m m nên phơng trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt , (d) (P) ln cắt hai điểm phân biệt A B b) A B nằm hai phía trục tung phơng trình : x2 + mx + m – = có hai nghiệm trái dấu m – < m < x y z 9 1 1 1 Bài : 1 (2) x y z xy yz xz 27 3 ĐKXĐ : x , y , z � x y z 81 � x y z xy yz zx 81 � x y z 81 xy yz zx � x y z 27 � x y z xy yz zx � 2( x2 y z ) xy yz zx � ( x y)2 ( y z )2 ( z x)2 � ( x y) � �� ( y z) � ( z x) � �x y � � �y z � �z x � x y z Thay vào (1) => x = y = z = Ta thấy x = y = z = thõa mãn hệ phơng trình Vậy hệ phơng trình có nghiệm x = y = z = Q Bài 4: a) Xét ABM NBM Ta có: AB đờng kính đờng trịn (O) N nên :AMB = NMB = 90o M điểm cung nhỏ AC C nên ABM = MBN => BAM = BNM M BAN => cân đỉnh B Tứ giác AMCB nội tiếp => BAM = MCN ( bù với góc MCB) A O Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận B Tài liệu ôn thi toán vào lớp 10 => MCN = MNC ( góc BAM) => Tam giác MCN cân đỉnh M b) Xét MCB MNQ có : MC = MN (theo cm MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt) � BMC = � MNQ ( : �MCB = �MNC ; �MBC = �MQN ) => MCB MNQ (c g c) => BC = NQ Xét tam giác vng ABQ có AC BQ AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ) => AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R) => 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = ( 1) R Bài 5: 1 1 1 1 Từ : x y z x y z => x y z x y z 0 => xy xyz z 0 xy z x y z 0 z y xy z x y z zx zy z xy x y xyz ( x y z ) x y y z ( z x) Ta có : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5) Vậy M = 3 + (x + y) (y + z) (z + x).A = 4 Đề Bài 1: 1) Cho đường thẳng d xác định y = 2x + Đường thẳng d / đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng y = x là: A.y = x+2; B.y = x - ; C.y = x-2; D.y = - 2x - Hãy chọn câu trả lời 2) Một hình trụ có chiều cao gấp đơi đường kính đáy đựng đầy nước, nhúng chìm vào bình hình cầu lấy mực nước bình cịn lại bán kính hình trụ bán kính hình cầu A.2 ; B ; C khác 3 ; D kết Bìa2: 1) Giải phương trình: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + = 2) Cho x + y = (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn A = Một số đề tham khảo bình Tỉ số x + Nguyễn Văn Thuận y Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Bài 3: 1) Tìm số nguyên a, b, c cho đa thức : (x + a)(x - 4) - Phân tích thành thừa số : (x + b).(x + c) 2) Cho tam giác nhọn xây, B, C điểm cố định tia Ax, Ay cho AB < AC, điểm M di động góc xAy cho MA = MB Xác định vị trí điểm M để MB + MC đạt giá trị nhỏ Bài 4: Cho đường trịn tâm O đường kính AB CD vng góc với nhau, lấy điểm I đoan CD a) Tìm điểm M tia AD, điểm N tia AC cho I lag trung điểm MN b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua hai điểm cố định Hướng dẫn Bài 1: 1) Chọn C Trả lời 2) Chọn D Kết khác: Đáp số là: Bài : 1)A = (n + 1)4 + n4 + = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1) = (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1) = (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2 Vậy A chia hết cho số phương khác với số nguyên dương n 2) Do A > nên A lớn A2 lớn Xét A2 = ( x + y )2 = x + y + xy = + xy (1) Ta có: x y xy (Bất đẳng thức Cơ si) => > xy (2) Từ (1) (2) suy ra: A2 = + xy < + = Max A2 = x = y = , max A = 2 x = y = Bài3 Câu 1Với x ta có (x + a)(x - 4) - = (x + b)(x + c) Nên với x = - = (4 + b)(4 + c) Có trường hợp: + b = 4+b=7 4+c=-7 4+c=-1 Trường hợp thứ cho b = - 3, c = - 11, a = - 10 Ta có (x - 10)(x - 4) - = (x - 3)(x - 11) Trường hợp thứ hai cho b = 3, c = - 5, a = Ta có (x + 2)(x - 4) - = (x + 3)(x - 5) Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ôn thi toán vào lớp 10 Câu2 (1,5điểm) Gọi D điểm cạnh AB cho: x AD = AB Ta có D điểm cố định MA AD Mà = (gt) = AB MA B Xét tam giác AMB tam giác ADM có MâB (chung) A D M MA AD = = AB MA Do Ä AMB ~ Ä ADM => MB MA = =2 MD AD C => MD = 2MD (0,25 điểm) Xét ba điểm M, D, C : MD + MC > DC (khơng đổi) Do MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC Dấu "=" xảy M thuộc đoạn thẳng DC Giá trị nhỏ MB + MC DC * Cách dựng điểm M AB - Dựng D tia Ax cho AD = AB - Dựng đường tròn tâm A bán kính M giao điểm DC đường tròn (A; AB) Bài 4: a) Dựng (I, IA) cắt AD M cắt tia AC N Do MâN = 900 nên MN đường kính Vậy I trung điểm MN b) Kẻ MK // AC ta có : ÄINC = ÄIMK (g.c.g) => CN = MK = MD (vì ÄMKD vng cân) Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA A => AM = AN = AD + AC khơng đổi M c) Ta có IA = IB = IM = IN Vậy đường tròn ngoại tiếp ÄAMN qua hai điểm A, B cố định N C I K O D Đề Bài Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời : x2 y y 2z z 2x Tính giá trị biểu thức : A x 2007 y 2007 z 2007 Bài 2) Cho biểu thức : M x x y xy y 2014 Với giá trị x, y M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ Bài Giải hệ phương trình : Một số đề tham khảo 10 Nguyễn Văn Thuận B Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 + S AIC AI bSin ; 2 + S ABC bcSin ; S ABC S ABI S AIC bcSin AISin (b c ) 2bcCos bcSin bc Sin (b c) Câu 4: a) Nˆ Nˆ Gọi Q = NP (O) ) ) � QA QB Suy Q cố định b) Aˆ Mˆ ( Aˆ ) AI 1 Tứ giác ABMI nội tiếp c) Trên tia đối QB lấy điểm F cho QF = QB, F cố định Tam giác ABF có: AQ = QB = QF ABF vuông A Bˆ 45 AFˆB 45 Lại có Pˆ1 45 AFB Pˆ1 Tứ giác APQF nội tiếp N 2 APˆ F AQˆ F 90 Ta có: APˆ F APˆ M 90 90 180 M1,P,F Thẳng hàng A M I 1 P 1 xyz 2 = 2 xyz x y z Câu 5: Biến đổi B = xyz Q F Đề 13 Bài 1: Cho biểu thức A = x 4(x 1) x 4(x 1) � � � 1 � � x 1� x2 4(x 1) a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn A Bài : Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) B(3; -4) a) Viết phương tình đường thẳng AB b) Xác định điểm M trục hoành để tam giác MAB cân M 29 Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận B Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Bài : Tìm tất số tự nhiên m để phương trình ẩn x sau: x2 - m2x + m + = có nghiệm nguyên Bài : Cho tam giác ABC Phân giác AD (D BC) vẽ đường tròn tâm O qua A D đồng thời tiếp xúc với BC D Đường tròn cắt AB AC E F Chứng minh a) EF // BC b) Các tam giác AED ADC; àD ABD tam giác đồng dạng c) AE.AC = à.AB = AC2 Bài : Cho số dương x, y thỏa mãn điều kiện x2 + y2 x3 + y4 Chứng minh: x3 + y3 x2 + y2 x + y Một số đề tham khảo 30 Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Đáp án Bài 1: a) Điều kiện x thỏa mãn �x �0 � �x 4(x 1) �0 � �x 4(x 1) �0 �2 �x 4(x 1) �x �1 �x �1 � � �x �1 � �x �2 x > x KL: A xác định < x < x > b) Rút gọn A A= ( x 1)2 ( x 1)2 x x (x 2)2 x 1 x 1 x x x1 Với < x < A= 1 x A= Với x > A= x Kết luận Với < x < A = Với x > A = 1 x x1 Bài 2: a) A B có hồnh độ tung độ khác nên phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b A(5; 2) AB 5a + b = B(3; -4) AB 3a + b = -4 Giải hệ ta có a = 3; b = -13 Vậy phương trình đường thẳng AB y = 3x - 13 b) Giả sử M (x, 0) xx’ ta có MA = (x 5)2 (0 2)2 MB = (x 3)2 (0 4)2 DMAB cân MA = MB (x 5)2 (x 3)2 16 (x - 5)2 + = (x - 3)2 + 16 x=1 Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0) Bài 3: Phương trình có nghiệm ngun D = m4 - 4m - số phương Một số đề tham khảo 31 Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ôn thi tốn vào lớp 10 Ta lại có: m = 0; D < loại m = D = = 22 nhận m 2m(m - 2) > 2m2 - 4m - > D - (2m2 - 2m - 5) < D < D + 4m + m4 - 2m + < D < m4 (m2 - 1)2 < D < (m2)2 D không phương Vậy m = giá trị cần tìm A F E Bài 4: � EFD � ( sdED � ) (0,25) a) EAD B � FDC � ( sdFD � ) (0,25) FAD � FAD � � EFD � FDC � mà EDA (0,25) D C EF // BC (2 góc so le nhau) � DF � b) AD phân giác góc BAC nên DE 1 � � sđ AE = sđ ADE 2 � ADE � � DAC � ACD EAD � sđ( � � )= sđ ACD AED DF DDAE ~ DADC (g.g) � sdAF � sd(AFD � DF � ) = (sdAFD � DE � ) sdABD � � ABD � Tương tự: sđ ADF ADF 2 DAFD ~ đAB (g.g c) Theo trên: + DAED ~ DADB AE AD hay AD2 = AE.AC (1) AD AC AD AF + DADF ~ DABD AB AD AD2 = AB.AF (2) Từ (1) (2) ta có AD2 = AE.AC = AB.AF Bài (1đ): Ta có (y2 - y) + 2y3 y4 + y2 (x3 + y2) + (x2 + y3) (x2 + y2) + (y4 + x3) mà x3 + y4 x2 + y3 x3 + y3 x2 + y2 (1) + Ta có: x(x - 1)2 0: y(y + 1)(y - 1)2 x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y (x2 + y2) + (x2 + y3) (x + y) + (x3 + y4) Một số đề tham khảo 32 Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 mà x2 + y3 x3 + y4 x2 + y2 x + y (2) (x + 1)(x - 1) (y - 1)(y3 -1) x3 - x2 - x + + y4 - y - y3 + (x + y) + (x2 + y3) + (x3 + y4) mà x2 + y3 x3 + y4 x+y2 Từ (1) (2) (3) ta có: x3 + y3 x2 + y2 x + y Đề 14 Câu 1: x- 4(x-1) + x+ 4(x-1) cho A= (12 x - 4(x-1) ) x-1 a/ rút gọn biểu thức A b/ Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu 2: Xác định giá trị tham số m để phương trình x2-(m+5)x-m+6 =0 Có nghiệm x1 x2 thỗ mãn điều kiện sau: a/ Nghiệm lớn nghiệm đơn vị b/ 2x1+3x2=13 Câu 3Tìm giá trị m để hệ phương trình mx-y=1 m3x+(m2-1)y =2 vơ nghiệm, vơ số nghiệm Câu 4: tìm max biểu thức: x2+3x+1 x2+1 Câu 5: Từ đỉnh A hình vng ABCD kẻ hai tia tạo với góc 45 Một tia cắt cạnh BC E cắt đường chéo BD P Tia cắt cạnh CD F cắt đường chéo BD Q a/ Chứng minh điểm E, P, Q, F C nằm đường tròn b/ Chứng minh rằng: SAEF=2SAQP c/ Kẻ trung trực cạnh CD cắt AE M tính số đo góc MAB biết CPD=CM hướng dẫn Câu 1: a/ Biểu thức A xác định x≠2 x>1 ( x-1 -1)2+ ( x-1 A= Một số đề tham khảo +1)2 x-2 ( 33 ) Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ôn thi toán vào lớp 10 x- -1 + = x-2 (x-2)2 x-1 + x- 2 x- = x-1 x-1 x-1 = x-1 b/ Để A nguyên x- ước dương * x- =1 x=0 loại * x- =2 x=5 với x = A nhận giá trị nguyên Câu 2: Ta có ∆x = (m+5)2-4(-m+6) = m2+14m+1≥0 để phương trìnhcó hai nghiệmphân biệt vàchỉ m≤-7-4 m≥-7+4 (*) a/ Giả sử x2>x1 ta có hệ x2-x1=1 (1) x1+x2=m+5 (2) x1x2 =-m+6 (3) Giải hệ tađược m=0 m=-14 thoã mãn (*) b/ Theo giả thiết ta có: 2x1+3x2 =13(1’) x1+x2 = m+5(2’) x1x2 =-m+6 (3’) giải hệ ta m=0 m= Thoả mãn (*) Câu 3: *Để hệ vơ nghiệm m/m3=-1/(m2-1) ≠1/2 3m3-m=-m3 m2(4m2- 1)=0 m=0 m=0 2 3m -1≠-2 3m ≠-1 m=±1/2 m=±1/2 ∀m *Hệvơ số nghiệm thì: m/m =-1/(m -1) =1/2 3m3-m=-m3 m=0 3m -1= -2 m=±1/2 Vơ nghiệm Khơng có giá trị m để hệ vô số nghiệm Câu 4: Hàm số xác định với ∀x(vì x2+1≠0) x2+3x+1 gọi y0 giá trịcủa hàmphương trình: y 0= x2+1 (y0-1)x2-6x+y0-1 =0 có nghiệm *y0=1 suy x = y ≠ 1; ∆’=9-(y0-1)2≥0 -2 ≤ y0 ≤ Vậy: ymin=-2 y max=4 A Câu 5: Giải a/ �A1 � B1 nhìn đoạn QE góc 450 tứ giác ABEQ nội tiếp �FQE = �ABE =1v chứng minh tương tự ta có �FBE = 1v Một số đề tham khảo 34 (y0-1)2≤ suy B M P E Q Nguyễn Văn Thuận D F C Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Q, P, C nằm đường tròn đường kinh EF b/ Từ câu a suy ∆AQE vuông cân AE AQ = (1) tương tự ∆ APF AF = AB vuông cân (2) từ (1) (2) AQP ~ AEF (c.g.c) S AEF S AQP = ( ) hay SAEF = 2SAQP c/ Để thấy CPMD nội tiếp, MC=MD �APD= �CPD �MCD= �MPD= �APD= �CPD= �CMD MD=CD ∆MCD �MPD=600 mà �MPD góc ngồi ∆ABM ta có �APB=450 �MAB=600-450=150 Đề 15 Bài 1: Cho biểu thức M = x x x 6 x 1 x x 3 2 x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x Z để M Z 2: a) Tìm x, y ngun dơng thỗ mãn phơng trình 3x2 +10 xy + 8y2 =96 b)tìm x, y biết / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = 1 + y+ =4 x z 1 Chứng ming rằng: x y z + x y z + x y z 1 Bài 3: a Cho số x, y, z dơng thoã mãn x x 2006 (với x 0 ) x2 Bài 4: Cho hình vng ABCD Kẻ tia Ax, Ay cho xAˆ y = 45 b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = Tia Ax cắt CB BD lần lợt E P, tia Ay cắt CD BD lần lợt F Q a Chứng minh điểm E; P; Q; F; C nằm đờng tròn b S AEF = S APQ Kẻ đờng trung trực CD cắt AE M Tính số đo góc MAB biết CPˆ D = CMˆ D Một số đề tham khảo 35 Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Bài 5: (1đ) 1 0 a b c Cho ba số a, b , c khác thỗ mãn: ; Hãy tính P = ac bc ac c2 a2 b2 đáp án Bài 1:M = x x x 6 x 1 x a.ĐK x 0; x 4; x 9 Rút gọn M = x 3 2 x 0,5đ x 9 Biến đổi ta có kết quả: M = x x x x 1 x x x x1 b M 5 x x x3 M= x x 3 x 1 M x 2 x x 1 x3 5 x 5 x x 5 x 15 16 4 x 16 x 4 x 16 c M = x 1 x3 x 34 x3 1 x3 Do M z nên x ớc x nhận giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; x 1;4;16;25;49 x 4 x 1;16;25;49 Bài a 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 < > 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96 < > (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96 < > 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96 < > (x + 2y)(3x + 4y) = 96 Do x, y nguyên dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng 3x + 4y > x + 2y 3 Một số đề tham khảo 36 Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 mà 96 = 25 có ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu diễn thành tích thừa số không nhỏ là: 96 = 3.32 = 4.24 = 16 = 12 Lại có x + 2y 3x + 4y có tích 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y số chẳn x y 6 Hệ PT vô nghiệm 3x y 24 x y 6 x 4 x y 16 y 1 Hoặc x y 8 Hệ PT vô nghiệm 3x y 12 Hoặc Vậy cấp số x, y nguyên dơng cần tìm (x, y) = (4, 1) b ta có /A/ = /-A/ AA Nên /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/ / x 2005 2008 x / / / 3 (1) mà /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = Kết hợp (1 (2) ta có / x - 2006/ + / y - 2007/ 0 / x 2006 / 0 / y 2007 / 0 x 2006 y 2007 (3) sảy Bài a Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ a b a b (*) b Với a, b thuộc R: x, y > ta có x y xy < >(a2y + b2x)(x + y) a b xy � a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy �a2xy + 2abxy + b2xy � a2y2 + b2x2 �2abxy � a2y2 – 2abxy + b2x2 �0 � (ay - bx)2 �0 (**) bất đẳng thức (**) với a, b, x,y > a b Dấu (=) xảy ay = bx hay x y Một số đề tham khảo 37 Nguyễn Văn Thuận (2) (3) Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có 2 �1 � �1 � �1 � �2 � �2 � �2 � � �� � � � � 2x y z 2x y z x y x z 2 2 �1 � �1 � �4 � �4 � � � � � x y xz �1 � �1 � �1 � �1 � � � � � � � � � �2 1 � 4 4 �� � � � � � � � � � x y x z 16 �x y z � Tơng tự 1 �1 � � � � x y z 16 �x y z � 1 �1 � � � � x y z 16 �x y z � Cộng vế bất đẳng thức ta có: 1 1 �2 1 � �1 � �1 � � � � � � � � x y z x y z x y z 16 �x y z � 16 �x y z � 16 �x y z � �4 4 � �1 1 � � � �� � �� 16 �x y z � 16 �x y z � 1 Vì x y z x x 2006 B x �0 x2 Ta có: B x x 2006 B x2 B x 2006x 2.2006 x 2006 2006x x 2006 2005 2005 2006 2005 x 2006 x 2006 x 2 Vì (x - 2006)2 �0 với x x2 > với x khác x 2006 2005 2005 � B B khix 2006 x 2006 2006 ) ) ) Bài 4a EBQ EAQ 450 �Y EBAQ nội tiếp; 2006 0 Bˆ = 90 góc AQE = 90 gócEQF = 900 Một số đề tham khảo 38 Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Tơng tự góc FDP = góc FAP = 450 Tứ giác FDAP nội tiếp góc D = 900 góc APF = 900 góc EPF = 900 …… 0,25đ Các điểm Q, P,C ln nhìn dới 1góc900 nên điểm E, P, Q, F, C nằm đờng trịn đờng kính EF …………………0,25đ b Ta có góc APQ + góc QPE = 1800 (2 góc kề bù) góc APQ = góc AFE Góc AFE + góc EPQ = 1800 Tam giác APQ đồng dạng với tam giác AEF (g.g) S APQ S AEF �1 � k � � � SAPQ SAEE �2� 2 c góc CPD = góc CMD tứ giác MPCD nội tiếp góc MCD = góc CPD (cùng chắn cung MD) Lại có góc MPD = góc CPD (do BD trung trực AC) góc MCD = góc MDC (do M thuộc trung trực DC) góc CPD = gócMDC = góc CMD = gócMCD tam giác MDC góc CMD = 600 tam giác DMA cân D (vì AD = DC = DM) Và góc ADM =gócADC – gócMDC = 900 – 600 = 300 góc MAD = góc AMD (1800 - 300) : = 750 gócMAB = 900 – 750 = 150 Bài 5Đặt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c x + y + z = (vì 1/a = 1/b + 1/c = 0) x = -(y + z) x3 + y3 + z3 – xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz -( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz = Từ x3 + y3 + z3 – 3xyz = x3 + y3 + z3 = 3xyz 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 1/ a3 1/ b3 1/ c3 = 3/abc Do P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = Một số đề tham khảo 39 Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 1/a + 1/b + 1/c =o P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = Đề 16 Bài 1Cho biểu thức A = ( x 3) 12 x + x2 ( x 2) x a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị nguyên x cho biểu thức A có giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) Cho đường thẳng: y = x-2 (d1) y = 2x – (d2) y = mx + (m+2) (d3) a Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d3 ) qua với giá trị m b Tìm m để ba đường thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy Bài 3: Cho phương trình x2 - 2(m-1)x + m - = (1) a Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt b Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình (1) mà khơng phụ thuộc vào m c Tìm giá trị nhỏ P = x21 + x22 (với x1, x2 nghiệm phương trình (1)) Bài 4: Cho đường trịn (o) với dây BC cố định điểm A thay đổi vị trí cung lớn BC cho AC>AB AC > BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D C cắt E Gọi P, Q giao điểm cặp đường thẳng AB với CD; AD CE a Chứng minh DE// BC b Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp c Gọi giao điểm dây AD BC F Chứng minh hệ thức: Bài 5: 1 = CQ + CE CE Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: Một số đề tham khảo 40 a b c 2 a b b c c a Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 đáp án Bài 1: - Điều kiện : x 0 x4 6x2 a Rút gọn: A x2 x2 4x x2 x x x2 2x - Với x x = 1; 3;1;3 Bài 2: a (d1) : y = mx + (m +2) m (x+1)+ (2-y) = Để hàm số qua điểm cố định với m x 0 x =.> y 0 y 2 Vậy N(-1; 2) điểm cố định mà (d3) qua b Gọi M giao điểm (d1) (d2) Tọa độ M nghiệm hệ y x x 2 => y 2 x y 0 Vậy M (2; 0) Nếu (d3) qua M(2,0) M(2,0) nghiệm (d3) Ta có : = 2m + (m+2) => m= - (d1); (d2); (d3) đồng quy 3 Bài 3: a ' = m2 –3m + = (m - )2 + >0 m Vậy m = - Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x1 x2 2(m 1) x1 x2 2m => x1 x2 m x1 x2 2m b Theo Viét: x1+ x2 – 2x1x2 – = không phụ thuộc vào m a P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – (m-3) Một số đề tham khảo 41 Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 = (2m VậyPmin = 15 15 ) + m 4 15 với m = 4 Bài 4: Giải a Sđ CDE = 1 Sđ DC = Sđ BD = BCD 2 => DE// BC (2 góc vị trí so le) sđ (AC - DC) = AQC APQC nội tiếp (vì APC = AQC b APC = => nhìn đoan AC) c.Tứ giác APQC nội tiếp CPQ = CAQ (cùng chắn cung CQ) CAQ = CDE (cùng chắn cung DC) Suy CPQ = CDE => DE// PQ DE Ta có: PQ CE = CQ (vì DE//PQ) (1) QE DE = QC (vì DE// BC) (2) FC DE DE CE QE CQ Cộng (1) (2) : PQ FC CQ CQ 1 1 => PQ FC DE (3) ED = EC (t/c tiếp tuyến) từ (1) suy PQ = CQ 1 Thay vào (3) : CQ CF CE Bài 5:Ta có: a a a c < < a b c ba a b c b b ba < < a b c bc a bc c c c b < < a b c ca a b c Một số đề tham khảo 42 (1) (2) (3) Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ôn thi toán vào lớp 10 Cộng vế (1),(2),(3) : 1< a b c + +