BDHSG

chứng minh đó là nghiệm duy nhất.. Giải phương trình Giải: điều kiện.[r]

Båi dìng Häc sinh giái Ph¬ng tr×nh v« tØ Phương pháp nâng lên lũy thừa g(x) 0  f (x) g(x) f (x) [g(x)]2  a) Dạng 1: Ví du Giải phương trình: x  x  (1)  x 1    x  x   x 1    x  3x 0  x 1   x 3 Giải: (1)  Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = b) Dạng 2: f (x)  g(x) h(x) Ví du Giải phương trình: x  5  x  (2) Giải Với điều kiện x ≥ Ta có: (2)  x   x  5  2x   (x  3)(x  2) 25  (x  3)(x  2) 12  x 2 x 12 2 x 12   x 6  2 25x 150 x  x  144  x  24x    Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = c) Dạng 3: f (x)  g(x)  h(x) Ví du Giải phương trình: x   x   12  x (3) Giải: Với điều kiện ≤ x ≤ 12 Ta có: (3)  x   12  x  x   x  5  (12  x)(x  7)  19x  x  84 x   4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16  76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 =  5x2 – 84x + 352 = 84 352  42 1764 1764 352    5 x2  x    5  x   x   5  25 25    42  44    5  x     5  x    x   (x  8)  5x  44   25    44  x1 = ; x2 = 44 Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = d) Dạng 4: f (x)  g(x)  h(x)  k(x) Ví du Giải phương trình: x  x   x   x  0 (4) Giải: Với điều kiện x ≥ Ta có: (4)  x   x  x   x   2x   x(x  9) 2x   (x  4)(x  1)   x(x  9)  (x  1)(x  4) 2  49  x  9x  14 x(x  9) x  5x   45 + 14x + 14 x(x  9) = Với x ≥  vế trái của phương trình luôn là một số dương  phương trình vô nghiệm 2) Phương pháp trị tuyệt đối hóa Ví du Giải phương trình: x  4x   x 8 (1) Giải: (1)  (x  2) 8  x Với điều kiện x ≤ Ta có: (1)  |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1)  – x = – x (vô nghiệm) – Nếu ≤ x ≤ 8: (1)  x – = – x  x = HD: Đáp số: x = Ví du Giải phương trình x   x   x  10  x  2 x   x  (2) Giải: (2)  x   x    x   2.3 x   2 x   x    x   1 | x   |2.| x   1| Đặt y = x  (y ≥ 0)  phương trình đã cho trở thành: y  1 | y  |2 | y  1| – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y  y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y –  y = – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y =  x + =  x = Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 3) Phương pháp sử dung bất đẳng thức a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, đó phương trình vô nghiệm Ví du Giải phương trình x   5x   3x  Cách điều kiện x ≥ Với x ≥ thì: Vế trái: x   5x   vế trái luôn âm Vế phải: 3x  ≥  vế phải luôn dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm Cách Với x ≥ 1, ta có: x   5x   3x  x  8x   (5x  1)(3x  2)    7x 2 (5x  1)(3x  2) Vế trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥  phương trình vô nghiệm b) Sử dung tính đối nghịch ở hai vế 2 Ví du Giải phương trình: 3x  6x   5x  10x  14 4  2x  x (1) Giải: Ta có (1)  4 9    x  2x      x  2x 1    (x  2x  1)  3 5   2  3(x  1)   5(x  1)  5  (x  1) Ta có: Vế trái ≥  2  5 Dấu “=” xảy  x = –1 Vế phải ≤ Dấu “=” xảy  x = –1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 c) Sử dung tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là nhất) Ví du Giải phương trình: x 7  2x  2x  x 1 Giải: điều kiện x ≥ Dễ thấy x = là một nghiệm của phương trình x  – Nếu : VT = – Nếu x > 2: VP = 2x2 + 8  8 x 1 Mà: VP >  2x  > 2.22 + =  VT <  1 x   x 1  1 6 1 1 3 x 1 1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm nhất là x = 2 2 Ví du Giải phương trình: 3x  7x   x   3x  5x   x  3x  Giải: Thử với x = Ta có: 3.4  7.2    1  3 22   3.22  5.2   22  3.2  2 2 (1)  (3x  5x  1)  2(x  2)  (x  2)  3(x  2)  3x  5x   x  Nếu x > 2: VT < VP Nếu x < 2: VT > VP Vậy: x = là nghiệm nhất của phương trình Ví du Giải phương trình:  6 3 x 2 x Giải: ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x = là nghiệm của phương trình Ta cần chứng 2 4 3 x 2 x minh đó là nghiệm nhất Thật vậy: Với x < : và   6 3 x 2 x  6 3 x 2 x Tương tự với < x < 2: 2 Ví du Giải phương trình: 3x(2  9x  3)  (4x  2)(1   x  x ) 0 (1)      3x  (3x)   (2x  1)  (2x  1)  0 Giải: (1)     3x  (3x)   (2x  1)  (2x  1)   Nếu 3x = –(2x + 1)  x = thì các biểu thức ở hai vế Vậy x =      ; 0 là một nghiệm của phương trình Hơn nghiệm của (1) nằm khoảng   Ta  chứng minh đó là nghiệm nhất Với  1 x : 3x < –2x – < 2  (3x)2 > (2x + 1)2   (3x)    (2x  1)  Suy ra:     3x  (3x)   (2x  1)  (2x  1)    (1) không có nghiệm khoảng này Chứng minh tương tự, ta đến kết luận (1) không có nghiệm d) Sử dung điều kiện xảy dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt Ví du Giải phương trình Giải: điều kiện x x 4x   2 x 4x  1 a b  2 Áp dụng bất đẳng thức b a với ab > x   x 4x   Với điều kiện Nên: x 4x   2 x 4x  Dấu “=” xảy  x  4x   x  4x  0 2  x  4x   0  (x  2) 3  x    x 2  Phương pháp đưa về phương trình tích Ví du Giải phương trình: 2x   x  x   1 x Giải ĐK: x ≥ Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế của phương trình: (x  3)( 2x   x   1) 0   x  0   2x   x  1  PT vô nghiệm Ví du Giải phương trình: x   2(x  1)  x    x   x (1) Giải ĐK: | x | ≤ 1: (1)   x 1   x  x1 = 0; x2 =  2  x    x  0 24 25 Ví du Giải phương trình: x   x  x  x  1  x  (1) Giải Chú ý: x4 – = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1)  (1)   x   1  x  x  x  0 x=2 5) Phương pháp đặt ẩn phu a) Sử dung một ẩn phu Ví dụ Giải phương trình: x  x  1 (1) Giải Đặt x  = y (y ≥ 0) y2 = x +  x = y2 –  x2 = (y2 – 1)2  (2)  (y2 – 1)2 + y – =  y(y  1)(y2 + y  1) =    0;  1;     Từ đó suy tập nghiệm của phương trình là: Ví du Giải phương trình:   x    x  2  x (1) HD: ĐK: x ≥ Đặt x   = y (1)     x  1   x    0  y3 + y2 – =  (y – 1)(y2 + 2y + 2) =  y =  x = b) Sử dung hai ẩn phu Ví du Giải phương trình: 2(x2 + 2) = x  (3) Giải Đặt u = x  , v = x  x  (ĐK: x ≥ 1, u ≥ 0, v ≥ 0) Khi đó: u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 +  (3)  2(u2 + v2) = 5uv  (2u  v)(u  2v) =   37  37  ;   2    Giải ra, xác định x Kết quả là: x   x   x     x  7x  10  3 (1) Ví dụ Giải phương trình: x   x     (x  5)(x  2)  3 Giải ĐK: x ≥ –2 (1)   Đặt: x  = u, x  = v (u, v ≥ 0) u2 – v2 = (1)  (a – b)(1 + ab) = a2 – b2  (a – b)(1 – a + ab – b) =  (a – b)(1 – a)(1 – b) = Giải ra: x = –1 là nghiệm nhất Ví dụ Giải phương trình: x   3x 2x  (1) Giải ĐK: x ≥ Đặt x  = u, 3x = v (u, v ≥ 0): (1)  b – a = a2 – b2  (a – b)(a + b + 1) =0 Mà a + b + >  a = b  x = là nghiệm nhất của phương trình  x  x  2x  x x (1) Ví du Giải phương trình: x 2x  x = u, x = v (u, v ≥ 0) Giải Đặt  5   x     2x     x     2x  0 x  x  x  x (1)   u – (v2 – u2) – v = x  (u – v)(1 + u + v) = Vì + u + b > nên: u = v Giải ta được: x = c) Sử dung ba ẩn phu 2 Ví du Giải phương trình: x  3x   x   x   x  2x  (1) Giải ĐK: x ≥ (1)  (x  1)(x  2)  x   x   (x  x)(x  3) Đặt: x  = a, x  = b, x  = c (a, b, c ≥ 0): (1)  ab + c = b + ac  (a – 1)(b – c) =0  a = hoặc b = c Thay ngược trở lại ta x = là nghiệm nhất của phương trình Ví dụ Giải phương trình : x   x  x   x  x   x  x Giải Đặt : u   x ; v   x ; t   x (u ; v ; t ≥ 0)  x = − u2 = − v2 = − t2 = uv + vt + tu (u  v)(u  t) 2 (1)  (v  u)(v  t) 3 (2) (t  u)(t  v) 5 (3)  Từ đó ta có hệ: Nhân vế của (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Vì u ; v ; t ≥ nên: (u  v)(v  t)(t  u)  30 (4) Kết hợp (4) với (1) ; (2) ; (3) dẫn đến:  v  t    u  t    u  v   30 (5) 30 (6) 30 (7) Cộng vế của (5) ; (6) ; (7) ta có: 2(u  v  t)  31 30 31 30  u v  t  30 60 (8) Kết hợp (8) với (5) ; (6) ; (7) ta có:  30 u  60  11 30   x 2  v  60   19 30 t  60   30  239    120  60  d) Sử dung ẩn phu đưa về hệ phương trình Ví dụ Giải phương trình x   2x  5 Cách 1: Giải tương tự bài Ta x = Cách 2: Đặt x  u 0 và u  v 5  u 2  2  2x  v Ta có hệ:  v  2u 1   u  12  x = Ví dụ Giải phương trình:  x   x 5 Giải ĐK: ≤ x ≤ 25 Đặt  x = u ,  x v (u, v ≥ 0): u  v 5 u 2 u=3   v   2 u  v  13 v     v=2 Giải ta có x = là nghiệm nhất  2 Ví du Giải phương trình: 25  x   x 2 2 Giải ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt 25  x = u,  x = v (u, v ≥ 0) u  v 2  2  u  v 16  u  v 2   u  v 8 u 5   v 3 Thế ngược trở lại: x = là nghiệm nhất Ví du Giải phương trình:  x   x 3 Giải ĐK: – ≤ x ≤ Đặt  x u ; u  v 3  2  u  v 5   x v (u, v ≥ 0)  x 0  x   Ví dụ Giải phương trình:  x   x   x 2 (u  v)  2uv 4  (u  v)  uv 2 Giải ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt  x u,  x v (u, v ≥ 0)  Giải ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)} Từ đó thế ngược trở lại: x = ±2 4 Ví dụ Giải phương trình: 97  x  x 5 (1) 4 Giải Đặt 97  x = u, x = v (u, v ≥ 0) u  v 5   4 u  v  97   (1)   u 2  u 3      v 3  v 2  x 81   x 16 3 Ví du Giải phương trình: x  2x   12(x  1) 3 Giải Đặt x u, 2x  v (1) 3 3 3  u  v  4(u  v )  u  v  3uv(u  v) 4(u  v )  u  v  3.(u  v).(u  2uv  v ) 0  3.(u  v).(u  v) 0    u  v  kết quả 6) Giải và biện luận phương trình vô ti Ví dụ Giải và biện luận phương trình: x  x  m  x m  x m    2 2 2mx  (m  4) 0 x  x  m   x  x  4xm  m Giải Ta có: – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm m2  m2  2m Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  2m ≥ m – Nếu m ≠ 0: + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2  m2 ≤   m 2 x + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2  m2 ≥  m ≤ –2 Tóm lại: – Nếu m ≤ –2 hoặc < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm – Nếu –2 < m ≤ hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm Ví du Giải và biện luận phương trình với m là tham số: √ x2 −3=x − m m2  2m (Đề thi học sinh giỏi cấp tinh năm học 1999 – 2000)  x m x  x  m    2 x   x  m  2mx  Giải Ta có: – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm x x  x m  2mx  (m  3) 0 m2  m2  m 2m Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  2m – Nếu m ≠ 0: + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2  m2 ≤  m  + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2  m2 ≥  m ≤  Tóm lại: x – Nếu m  hoặc m  Phương trình có một nghiệm: – Nếu   m 0 hoặc m  : phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải và biện luận theo tham số m phương trình: x  x m  m Giải Điều kiện: x ≥ – Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm m2  2m – Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x  1) 0  có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = – Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với ( x m)( x  m  1) 0  x  m 0   x 1  m + Nếu < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = (1  m) + Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m