Kết cấu của Luận văn này gồm có 3 chương: Chương 1 - Giới thiệu tổng quan về đề tài nghiên cứu tấm FGM và các phương pháp số; Chương 2 - Cơ sở lý thuyết của phương pháp số Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu gọn (S-FSDT); Chương 3 - Kiểm chứng số; Chương 4 - Kết luận và kiến nghị. Mời các bạn cùng tham khảo!
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ XÂY DỰNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN CAO THẮNG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO TẤM FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI VÀ LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT THU GỌN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT XÂY DỰNG TP HỒ CHÍ MINH 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ XÂY DỰNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN CAO THẮNG PHÂN TÍCH DAO ĐỢNG TỰ DO TẤM FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI VÀ LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT THU GỌN Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng Mã số : 8.58.02.01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT XÂY DỰNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.KS VŨ TÂN VĂN TP HỒ CHÍ MINH 2020 MỤC LỤC TÓM TẮT LUẬN VĂN PHẦN MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ VẬT LIỆU BIẾN ĐỔI CHỨC NĂNG (FGM) VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ Giới thiệu tổng quan về tấm FGM (Functionally Graded Material) 1.1 Khái niệm: 1.2 Mục tiêu nghiên cứu: 1.3 Phương pháp nghiên cứu: 1.4 Ý nghĩa của đề tài 1.5 Tóm tắt chương luận văn Các phương pháp số 2.1 Lý thuyết tấm cổ điển (Classical Plate Theory - CTP) 2.2 Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (First-orther Shear Deformation Theory - FSDT) 2.3 Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (Higher-orther Shear Deformation Theory - HSDT) CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP SỐ LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT THU GỌN (S-FSDT) Tính chất vật liệu tấm FGM 1.1 Tấm phân loại chức (FGM) 1.2 Xây dựng S-FSDT dựa Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) Phân tích tấm FGM nền đàn hồi theo phương pháp không lưới 10 2.1 Hàm dạng Move Kriging (MK) 10 2.2 Các phương trình rời rạc 12 2.3 Lý thuyết tấm nền đàn hồi: 13 CHƯƠNG 3: KIỂM CHỨNG SỐ 17 Ví dụ 3.1 Khảo sát tần sớ dao động riêng tấm có điều kiện biên khác nhau: 17 Ví dụ 3.2: Phân tích sự ảnh hưởng thông số nền Kw và Ks lên tần số dao động riêng tấm 18 Ví dụ 3.3: Phân tích sự ảnh hưởng tỷ lệ kích thước tấm lên tần số dao động riêng tấm 21 Ví dụ 3.4 So sánh sự ảnh hưởng cấu trúc vật liệu tấm FGM lên tần dao động riêng tấm 19 CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20 Kết luận 20 Kiến nghị 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO I/ DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU Bảng 3.1 Tần số dao động đầu tiên không thứ nguyên của tấm FGM………………… Bảng 3.2 Tần số dao động riêng không thứ nguyên đầu tiên của tấm FGM với điều kiện biên có cạnh gối tựa đơn (SSSS)…………………………………………………… Bảng 3.3.1 Sự ảnh hưởng tỷ lệ b⁄a của tấm (vừa) lên tần số dao động riêng 𝜔 ̅……… Bảng 3.3.2 Sự ảnh hưởng tỷ lệ b⁄a của tấm (mõng) lên tần số dao động riêng 𝜔 ̅…… Bảng 3.4 Bảng so sánh tần số dao động riêng của tấm FGM và tấm FGM 2……… II/ DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU Hình 2.1.1 Ký hiệu hình học và tọa độ của tấm FGM tựa nền đàn hồi………… Hình 2.1.2 Mối quan hệ giữa 𝑉𝑐 và tỷ lệ chiều dày z/h của tấm theo chỉ số 𝑛……… Hình 2.3.1: Mơ hình nền biến dạng đàn hời mợt hệ sớ (mơ hình nền Winkler)……… Hình 2.3.2: Mơ hình nền biến dạng đàn hời hai hệ sớ (mơ hình nền Pasternak)…… Hình 3.1 Dạng dao đợng riêng của tấm có điều kiện biên: (a) SCSC, (b) SFSF, (c) SSSS ứng với tỷ số a/b=1,; a/h = 0.1, chỉ số 𝑛 = 1, thông số nền 𝐾𝑤 = 100, 𝐾𝑠 = 10………………………………………………………………………………………………… ̅𝑤 và 𝐾 ̅𝑠 ảnh hưởng đến tần số dao động riêng của tấm Hình 3.2 Mối quan hệ giữa 𝐾 Hình 3.3.1 Sự ảnh hưởng của tỷ lệ b⁄a lên tần số dao động đầu tiên của tấm (với a⁄h = 10)……………………………………………………………………………………… Hình 3.3.2 Sự ảnh hưởng của b⁄a lên tần số doa động đầu tiên của tấm …………… Hình 3.4 Tần số dao động đầu tiên của tấm FGM (AL/Al2O3) và tấm FGM (Al/ZrO2)……………………………………………………………………………………… TÓM TẮT LUẬN VĂN Luận văn này phân tích dao đợng tự của tấm vật liệu biến đổi chức nămg FGM nền đàn hồi dựa mơ hình nền Winkler, lý thút biến dạng cắt bậc cao thu gọn và phương pháp Meshless sử dụng hàm nội suy Moving Kriging (MK) Tấm vật liệu FGM mô hình một tấm vật liệu hỗn hợp với các đại lượng học thay đổi theo chiều dày tấm với quy luật hàm mũ liên tục Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao thu gọn sử dụng ý tưởng phân tích chuyển vị đứng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao truyền thống thành hai thành phần chuyển vị đứng uốn chuyển vị đứng cắt gây Phương trình chủ đạo phân tích ứng xử học của tấm vật liệu chức thiết lập áp dụng phương pháp không lưới nội suy Moving Kriging để giải phương trình này Mợt chương trình máy tính viết ngơn ngữ lập trình Matlab để giải qút tốn này; kết từ chương trình này có kiểm chứng với một số kết từ nghiên cứu khác Các khảo sát số thực hiện để nghiên cứu yếu tố ảnh hưởng đến ứng xử chịu uốn của tấm vật liệu chức như: điều kiện biên, tỷ lệ cạnh dài/ ngắn, qui luật vật liệu khác PHẦN MỞ ĐẦU Vật liệu có tính biến thiên (Functionally Graded Materials – FGM) là hỗn hợp của hai vật liệu thành phần với tỉ lệ nhất định để đạt một chức mong muốn tùy theo mục đích sử dụng Vật liệu FGM có tính chất lý thay đổi liên tục vật thể nhằm nâng cao đặc tính kỹ thuật Các tính chất của FGM biến đổi trơn từ bề mặt này sang bề mặt khác nên tránh tập trung ứng suất thường gặp các kết cấu vật liệu composite lớp Để tính toán và thiết kế các loại kết cấu tấm và vỏ làm vật liệu FG, nhiều mơ hình tính toán đã đề x́t và phát triển Các lý thuyết tính toán này có thể chia làm ba nhóm chính: Lý thút tấm cở điển ( Classical Plate Theory - CPT), Lý thuyết tấm bậc nhất (First-orther Shear Deformation Theory - FSDT) và Lý thuyết tấm bậc cao (Higher-orther Shear Deformation Theory - HSDT) Do ảnh hưởng của biến dạng cắt tấm dày hoặc tấm FGM lớn so với tấm đẳng hướng và đồng nhất Vì các lý thuyết biến dạng cắt áp dụng để dự đoán đáp ứng của tấm FGM Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) sử dụng trường chuyển vị bậc cao mặt phẳng dọc theo chiều dày của tấm, hoặc theo mặt phẳng ngang của tấm nhằm xét đến ảnh hưởng của biến dạng cắt ngang Tuy nhiên, việc phân tích ứng xử của tấm các lý thuyết HSDT này rất phức tạp Để giảm số lượng ẩn số, lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản (S-FSDT) đề xuất với hàm chuyển vị gồm ẩn số để phân tích dao đợng của tấm FGM tựa nền đàn hồi Vì việc phân tích dao đợng tấm FGM tựa nền đàn hồi sử dụng phương pháp không lưới và lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu gọn sẽ đem lại kết xác và đơn giản CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ VẬT LIỆU BIẾN ĐỔI CHỨC NĂNG (FGM) VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP SỚ Giới thiệu tởng quan về tấm FGM (Functionally Graded Material) 1.1 Khái niệm: Vật liệu biến đổi chức (Functionally Graded Material) đã xuất hiện vào năm 1984 một nhóm nhà khoa học Nhật Bản [1] đã tìm một mô hình vật liệu với tính vượt trợi so với các loại vật liệu trước Tính ưu việt của nó thông qua làm việc của kết cấu dạng dầm, tấm hay vỏ chịu tải trọng học, nhiệt đợ, đợ ẩm…Với tḥc tính ưu việt của FGM nhiều ứng dụng thực tiển nên FGM đã nhiều nhà khoa học thế giới quan tâm và đào sâu nghiên cứu nhiều phương pháp khác như: Bằng các thí nghiệm vật liệu để xác định các đặc trưng vật liệu của chúng, Bằng các thí nghiệm kết cấu dạng tấm hay dầm để biết các nguyên lý ứng xử của kết cấu, Bằng các mô hình mô phỏng vật liệu hay kết cấu để rút các nguyên tắc ứng xử chung hay Bằng các mô hình toán lý thuyết nhằm túy thơng qua phân tích làm việc của các kết cấu cụ thể để từ đó có cái nhìn tổng quát nhất FGM là một loại hỗn hợp của nhiều loại vật liệu với nhiều tính vượt trội có khả chịu môi trường nhiệt độ cao và loại bỏ hiện tượng tập trung ứng suất tại vị trí tiếp xúc các lớp vật liệu khác FGM phổ biến thường gồm hai thành phần là gốm (Ceramic) và kim loại (Metal) với đặc trưng học như: Đối với Gốm - Chịu nhiệt cao, Chống oxy hóa cao, Dẫn nhiệt thấp; Nhơm- Tính chịu lực cao, Hệ số dẫn nhiệt cao, Độ dẻo dai cao Vật liệu gốm chọn cho vùng tiếp xúc mặt nóng với nhiệt độ cao lên tới 2000k môi trường oxy hóa; và vùng tiếp xúc mặt lạnh với nhiệt độ 1000k thì vật liệu kim loại chọn vì có tính dẫn nhiệt, bền và dẻo Vật liệu FGM ứng dụng nhiều các ngành lĩnh vực hàng không chế tạo thân vỏ máy bay, các ngành chế tạo máy, động cơ, chế tạo các thiết bị tiếp xúc với nguồn điện công suất lớn, xây dựng, ngành y tế dùng để chế tạo xương nhân tạo, xây dựng… 1.2 Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu của luận văn này là phân tích dao động tự của tấm FGM tựa nền đàn hồi 1.3 Phương pháp nghiên cứu: Mô hình hóa các phương trình của tấm nền đàn hồi lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu gọn (S-FSDT) kết hợp với phương pháp không lưới (MK) và sử dụng phương pháp số (phần mền Matlab) để kiểm chứng và đánh giá kết 1.4 Ý nghĩa đề tài Nghiên cứu, phân tích dao đợng của tấm FGM tựa nền đàn hồi, đó lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản (S-FSDT) xây dựng dựa HSDT kết hợp với phương pháp không lưới đề xuất với hàm chuyển vị chỉ gồm 04 ẩn số để phân tích dao đợng của tấm FGM tựa nền đàn hồi nhằm giảm số lượng ẩn số so với các lý thuyết biến dạng khác Việc đề x́t các mơ hình tính toán xác, hiệu và đáng tin cậy phân tích dao đợng của tấm tựa nền đàn hồi ln là mợt thách thức tính toán học Kết nghiên cứu sẽ tạo sở làm tiền đề cho nghiên cứu sâu thêm về phân tích dao đợng của tấm tựa nền đàn hồi với các ẩn số đơn giản cho kết xác 1.5 Tóm tắt chương luận văn Tóm tắt luận văn Phần mở đầu Chương 1: Giới thiệu tổng quan về đề tài nghiên cứu tấm FGM và các phương pháp số Chương 2: Cơ sở lý thuyết của phương pháp số Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu gọn (S-FSDT) Chương 3: Kiểm chứng số Chương 4: Kết luận và kiến nghị Chương này trình bày ngắn gọn các kết luận dựa kết tính toán đạt đồng thời nêu kiến nghị cho các nghiên cứu tiếp theo Các phương pháp số 2.1 Lý thuyết tấm cổ điển (Classical Plate Theory - CTP) Mơ hình tính toán dựa giả thuyết của Love – Kirchhoff [2], không xét đến ảnh hưởng của biến dạng cắt ngang đến ứng xử của tấm mỏng Khi chiều dày tấm tăng lên, biến dạng cắt ngang có ảnh hưởng đáng kể đến đáp ứng của tấm Trường chuyển vị của lý thuyết tấm cổ điển thể hiện sau: 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝜕𝑤 𝑢2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑣(𝑥, 𝑦) − 𝑧 𝜕𝑦 𝑢3 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤(𝑥, 𝑦) Trong đó 𝑢, 𝑣, 𝑤 là các thành phần chuyển vị theo 𝑥, 𝑦, 𝑧 tại vị trí mặt trung hòa 2.2 Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (First-orther Shear Deformation Theory - FSDT) Là lý thuyết cải tiến từ Lý thuyết tấm cổ điển (CPT) đó xét đến ảnh hưởng biến dạng cắt cách xây dựng trường chuyển vị tuyến tính bậc nhất mặt phẳng dọc theo chiều dày của tấm Tuy nhiên các phương trình cân dựa lý thuyết này đều không thỏa mãn điều kiện biên về triệt tiêu ứng suất mặt và mặt của tấm Để khắc phục nhược điểm này Mindlin R.D (1951) [3], Reissner E (1945) [4] đã đưa một hệ số hiệu chỉnh biến dạng cắt sử dụng để điều chỉnh mối quan hệ kết hợp ứng suất cắt và biến dạng cắt ngang và giá trị hệ số này phụ thuộc vào các thông số như: hình học, tải trọng tác dụng, điều kiện biên của tấm Trường chuyển vị của tấm (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) biểu diễn sau: 𝜕𝑤𝑏 (𝑥, 𝑦) 𝑢1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) − 𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑤𝑏 (𝑥, 𝑦) 𝑢2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑣(𝑥, 𝑦) − 𝑧 𝜕𝑦 𝑢3 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤(𝑥, 𝑦) Trong đó 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦), 𝑤(𝑥, 𝑦) là ẩn số chuyển vị của mặt của tấm theo phương 𝑥, 𝑦, 𝑧 tương ứng; 𝜑𝑥 (𝑥, 𝑦), 𝜑𝑦 (𝑥, 𝑦) là các góc xoay của pháp tuyến của mặt phẳng tấm theo trục 𝑥, 𝑦 2.3 Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (Higher-orther Shear Deformation Theory - HSDT) Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) là phần mở rộng của nhóm lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, ưu điểm của lý thuyết này là khắc phục nhược điểm của FSDT, không sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt để tính toán các thành phần ứng suất cắt tấm, thành phần 𝑢1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) − 𝑧 biến dạng cắt là số theo chiều dày tấm và mặt biến dạng là mặt cong theo chiều dày tấm Các phương trình cân bằng, ổn định dựa trường chuyển vị đã thỏa mản tất các điều kiện biên Tuy nhiên tính xác mức đợ hiệu của phương pháp này phụ thuộc vào việc lựa chọn hàm dạng biến dạng cắt, việc phân tích ứng xử của tấm dựa các lý thuyết HSDT này rất phức tạp số lượng biến số các phương trình cân bằng, ổn định tăng lên Chẳng hạn hàm chuyển vị xây dựng lý thuyết HSDT đề xuất Pradyumna và Bandyopadhyay [5], Neves và cộng [6,7,8] sử dụng ẩn số; Reddy [9] đã phát triển lý thuyết biến dạng cắt bậc (Thirt-orther Shear Deformation Theory - TSDT) với các thành phần chuyển vị màng biến thiên theo hàm bậc và một số lý thuyết HSDT sử dụng hàm chuyển vị gồm ẩn số tương tự lý thuyết FSDT như: Lý thuyết biến bạng cắt hàm sin [10], Lý thuyết biến dạng cắt hàm lượng giác [11-13] Trường chuyển vị của tấm (𝑢, 𝑣, 𝑤) (theo Reddy [14]) biểu diễn sau: 4𝑧 4𝑧 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢0 + (𝑧 − 𝜃 − 𝜑 ) 3ℎ2 𝑦 3ℎ2 𝑥 4𝑧 4𝑧 ℎ ℎ 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑣0 − (𝑧 − 3ℎ2 ) 𝜃𝑥 − 3ℎ2 𝜑𝑦 (− ≤ 𝑧 ≤ ) 𝑤(𝑥, 𝑦, 0) = 𝑤0 Trong đó, ℎ là chiều dày của tấm 𝑢0 , 𝑣0 , 𝑤0 là các chuyển vị tại điểm của tấm; 𝜃𝑥 , 𝜃𝑦 là các góc xoay quanh trục 𝑥, 𝑦 tương ứng 𝜑𝑥 = 𝜕𝑤0 , 𝜑𝑦 𝜕𝑥 = 𝜕𝑤0 𝜕𝑦 là góc xoay ảo theo trục 𝑥, 𝑦 Bảng 3.1 Tần số dao động đầu tiên không thứ nguyên của tấm FGM ̅̅̅ 𝐾𝑠 ̅̅̅ 𝐾𝑠 Luận văn Baferani et al [23] h/a n=0 n = 0.5 n=1 n=2 n=5 n=0 n = 0.5 n=1 n=2 n=5 0.0285 (2.05%) 0.1113 (1.88%) 0.4091 (1.51%) 0.0402 (0.95%) 0.1585 (0.89%) 0.6041 (0.63%) 0.0292 (1.99%) 0.1141 (1.79%) 0.0242 (2.99%) 0.0945 (3.10%) 0.3494 (3.10%) 0.0384 (1.32%) 0.1517 (1.51%) 0.5831 (1.70%) 0.0251 (2.83%) 0.0982 (3.00%) 0.0218 (4.06%) 0.0852 (4.35%) 0.3157 (4.30%) 0.0376 (1.57%) 0.1487 (1.97%) 0.5734 (2.42%) 0.0228 (4.03%) 0.0895 (4.06%) 0.0198 (5.26%) 0.0774 (5.46%) 0.2862 (5.11%) 0.0372 (2.00%) 0.1473 (2.30%) 0.5685 (3.01%) 0.0210 (4.84%) 0.0824 (4.97%) 0.0187 (4.82%) 0.0731 (4.74%) 0.2673 (3.32%) 0.0375 (1.49%) 0.1484 (2.03%) 0.5723 (2.65%) 0.0201 (4.18%) 0.0786 (4.24%) SSSS 0 100 100 0.05 0.0291 0.0249 0.0227 0.0209 0.0197 0.1 0.1134 0.0975 0.0891 0.0819 0.0767 0.2 0.4154 0.3606 0.3299 0.3016 0.2765 0.05 0.0406 0.0389 0.0382 0.0380 0.0381 0.1 0.1599 0.1540 0.1517 0.1508 0.1515 0.2 0.6080 0.5932 0.5876 0.5861 0.5879 0.05 0.0298 0.0258 0.0238 0.0221 0.0210 0.1 0.1162 0.1012 0.0933 0.0867 0.0821 100 100 0.2 0.4273 0.3758 0.3476 0.3219 0.2999 0.05 0.0411 0.0395 0.0388 0.0386 0.0388 0.1 0.1619 0.1563 0.1542 0.1535 0.1543 0.2 0.6162 0.6026 0.5978 0.5970 0.5993 0.4212 (1.44%) 0.0407 (0.94%) 0.1605 (0.87%) 0.6123 (0.63%) 0.3648 (2.92%) 0.0390 (1.35%) 0.1540 (1.47%) 0.5925 (1.68%) 0.3335 (4.04%) 0.0382 (1.48%) 0.1512 (1.94%) 0.5834 (2.41%) 0.3068 (4.69%) 0.0379 (1.79%) 0.1500 (2.29%) 0.5790 (3.01%) 0.2906 (3.11%) 0.0382 (1.45%) 0.1512 (1.99%) 0.5835 (2.64%) 0.0142 (0.16%) 0.0560 (0.34%) 0.2140 (0.04%) 0.0246 (0.31%) 0.0979 (0.12%) 0.3831 (0.07%) 0.0155 (0.35%) 0.0120 (0.75%) 0.0475 (0.85%) 0.1821 (0.83%) 0.0243 (0.31%) 0.0968 (0.41%) 0.3802 (0.08%) 0.0138 (0.32%) 0.0108 (0.69%) 0.0428 (0.89%) 0.1643 (1.15%) 0.0243 (0.52%) 0.0966 (0.70%) 0.3798 (1.24%) 0.0128 (0.52%) 0.0098 (0.59%) 0.0389 (0.99%) 0.1491 (1.25%) 0.0244 (0.33%) 0.0972 (0.92%) 0.3820 (1.64%) 0.0121 (0.56%) 0.0093 (0.80%) 0.0368 (0.79%) 0.1402 (0.44%) 0.0249 (0.60%) 0.0989 (0.81%) 0.3755 (2.09%) 0.0119 (0.41%) SFSF 0 100 100 0.05 0.0142 0.0121 0.0109 0.0099 0.0094 0.1 0.0562 0.0479 0.0432 0.0393 0.0371 0.2 0.2141 0.1836 0.1662 0.1510 0.1408 0.05 0.0247 0.0244 0.0244 0.0245 0.025 0.1 0.0980 0.0972 0.0973 0.0981 0.0997 0.2 0.3834 0.3833 0.3846 0.3884 0.3835 0.05 0.0156 0.0138 0.0129 0.0122 0.0119 100 100 0.1 0.0617 0.0549 0.0513 0.0486 0.0474 0.2 0.2366 0.2124 0.1993 0.1889 0.1831 0.05 0.0255 0.0253 0.0253 0.0256 0.026 0.1 0.1013 0.1009 0.1011 0.1021 0.104 0.2 0.3965 0.3980 0.4001 0.4047 0.3834 0.0615 (0.30%) 0.2366 (0.02%) 0.0254 (0.25%) 0.1011 (0.16%) 0.3962 (0,09%) 0.0545 (0.71%) 0.2106 (0.83%) 0.0252 (0.26%) 0.1004 (0.47%) 0.3947 (0.83%) 0.0509 (0.82%) 0.1970 (1.14%) 0.0252 (0.26%) 0.1005 (0.64%) 0.3951 (1.25%) 0.0481 (1.03%) 0.1863 (1.36%) 0.0254 (0.67%) 0.1012 (0.85%) 0.3980 (1.66%) 0.0470 (0.95%) 0.1814 (0.91%) 0.0259 (0.37%) 0.1031 (0.86%) 0.3755 (2.06%) 0.0414 (1.77%) 0.1585 (0.23%) 0.5530 (3.11%) 0.0510 (0.99%) 0.1978 (0.28%) 0.7211 (2.53%) 0.0353 (1.80%) 0.1356 (0.74%) 0.4774 (2.00%) 0.0472 (0.87%) 0.1839 (0.20%) 0.6813 (1.31%) 0.0320 (1.19%) 0.1233 (0.52%) 0.4352 (2.08%) 0.0454 (0.59%) 0.1775 (0.14%) 0.6590 (0.52%) 0.0293 (0.65%) 0.1127 (0.18%) 0.3965 (3.16%) 0.0443 (0.08%) 0.1730 (0.06%) 0.6475 (0.84%) 0.0277 (0.52%) 0.1057 (1.32%) 0.3657 (6.09%) 0.0439 (0.14%) 0.1714 (0.56%) 0.6411 (1.63%) SCSC 0 100 0.05 0.0421 0.0359 0.0324 0.0259 0.0278 0.1 0.1589 0.1366 0.1239 0.1125 0.1043 0.2 0.5363 0.4680 0.4263 0.3844 0.3447 0.05 0.0515 0.0476 0.0457 0.0443 0.0440 0.1 0.1972 0.1843 0.1777 0.1729 0.1705 0.2 0.7033 0.6725 0.6556 0.6421 0.6308 100 100 100 0.05 0.0426 0.0365 0.0332 0.0304 0.0288 0.1 0.1609 0.1393 0.1269 0.1161 0.1084 0.2 0.5457 0.4799 0.4402 0.4007 0.3639 0.05 0.0519 0.0481 0.0462 0.0449 0.0446 0.1 0.1988 0.1862 0.1799 0.1752 0.1730 0.2 0.7105 0.6809 0.6647 0.6521 0.6416 0.0418 (1.78%) 0.1606 (0.22%) 0.5620 (2.99%) 0.0514 (0.98%) 0.1994 (0.29%) 0.7280 (2.47%) 0.0359 (1.69%) 0.1382 (0.80%) 0.4888 (1.86%) 0.0477 (0.92%) 0.1858 (0.19%) 0.6894 (0.86%) 0.0327 (1.37%) 0.1263 (0.50%) 0.4484 (1.86%) 0.0460 (0.54%) 0.1796 (0.19%) 0.6590 (0.86%) 0.0302 (0.81%) 0.1162 (0.06%) 0.4118 (2.77%) 0.0448 (0.16%) 0.1753 (0.05%) 0.6569 (0.74%) 0.0286 (0.68%) 0.1096 (1.10%) 0.3832 (5.31%) 0.0445 (0.13%) 0.1739 (0.51%) 0.6512 (1.50%) Ghi chú: Giá trị ngoặc đơn là sai số tương đối của lời giải luận văn với lời giải của Baferani et al [23] 18 Ví dụ 3.2: Phân tích sự ảnh hưởng thông số nền 𝑲𝒘 và 𝑲𝒔 lên tần số dao động riêng tấm Xét mợt tấm FGM có kích thước b (với 𝑎 = 𝑏) và chiều dày h làm từ vật liệu Al Al2O3 tựa nền đàn hồi có các 𝐾𝑤 𝑏 ̅̅̅̅ thông số ( 𝐾 𝑤 = 𝐷𝑚 𝐾𝑏 ̅̅̅ 𝐾𝑠 = 𝑠 , 𝐷𝑚 = 𝐷𝑚 𝐸𝑚 ℎ , 12 ( 1−𝑣 ) 𝐸𝑚 = 70 GPa, 𝜌𝑚 = 2707 Kg/m , 𝐸𝑐 = 380 GPa, 𝜌𝑐 = 3800 Kg/m3, 𝑣 = 0.3 Tấm sử dụng số điểm nút là 17 × 17, thông số 𝛼 =2.1, điều kiện biên là SSSS) Tần số dao động riêng của tấm FGM chuẩn hóa theo 𝜌 công thức sau: 𝜔 ̅ = 𝜔ℎ √𝐸𝑚 𝑚 Kết tính tốn, phân tích ảnh hưởng của thông số nền 𝐾𝑤 và 𝐾𝑠 lên tần số dao động riêng của tấm thể hiện Bảng 3.2 và Hình 3.2 Bảng 3.2 Tần số dao động riêng không thứ nguyên đầu tiên của tấm FGM với điều kiện biên có cạnh gối tựa đơn (SSSS) b/a=1 Ks a/h=10 Kw 25 50 100 200 400 800 1000 𝝆 ̅ = 𝝎𝒉√ 𝒎 Tần số dao động 𝝎 𝑬 𝒎 n=1 0.0852 0.1048 0.1212 0.1487 0.2107 0.2582 0.3550 0.3946 10 0.0857 0.1051 0.1215 0.1490 0.1925 0.2583 0.3551 0.3947 50 0.0874 0.1065 0.1227 0.1500 0.1932 0.2589 0.3555 0.3950 100 0.0895 0.1083 0.1243 0.1512 0.1942 0.2596 0.3561 0.3955 500 0.1049 0.1213 0.1358 0.1608 0.2018 0.2653 0.3602 0.3993 1000 0.1215 0.1359 0.1489 0.1721 0.2109 0.2723 0.3654 0.4039 ̅𝑤 và 𝐾 ̅𝑠 ảnh hưởng đến tần số dao động Hình 3.2 Mối quan hệ giữa 𝐾 riêng của tấm 000 Tần số dao động 𝜔 000 000 000 000 Kw = Kw = 10 Kw = 50 Kw = 100 Kw = 500 000 000 000 000 100 200 300 400 500 Ks 600 700 800 900 1000 Ví dụ 3.3: Phân tích sự ảnh hưởng tỷ lệ kích thước tấm lên tần số dao động riêng tấm Xét mợt tấm FGM có kích thước b và chiều dầy h làm từ vật liệu Al Al2O3 tựa nền đàn hồi có các thơng số tương tự Ví dụ 1(điều kiện biên là SSSS) Tần số dao động riêng của tấm 𝜌𝑚 𝐸𝑚 FGM chuẩn hóa theo công thức sau: 𝜔 ̅ = 𝜔ℎ √ Kết phân tích ảnh hưởng tỷ lệ b/a lên tần số dao động riêng thứ nhất của tấm Bảng 3.3.1; 3.3.2 và Hình 3.3.1; 3.3.2 Bảng 3.3.1 Sự ảnh hưởng tỷ lệ b⁄a của tấm (vừa) lên tần số dao động riêng 𝜔 ̅ 𝒂⁄ 𝒉 10 10 10 𝑲𝒘 10 100 100 𝑲𝒔 0 𝒏 5 𝒃⁄𝒂 ̅ 𝝎 0.50 Bảng 3.3.2 Sự ảnh hưởng tỷ lệ b⁄a của tấm (mỏng) lên tần số dao động riêng 𝜔 ̅ 𝒂⁄ 𝒉 𝒃⁄𝒂 ̅ 𝝎 0.1802 0.50 0.5987 0.75 0.1140 0.75 0.3960 1.00 0.0736 1.00 0.2697 1.25 0.0649 1.25 0.2394 1.50 0.0578 1.50 0.2150 1.75 0.0507 1.75 0.1904 2.00 0.0496 2.00 0.1865 0.50 0.1823 0.50 0.6081 0.75 0.1173 0.75 0.4104 1.00 0.0786 1.00 0.2906 1.25 0.0705 1.25 0.2629 1.50 0.0641 1.50 0.2410 1.75 0.0577 1.75 0.2193 2.00 0.0568 2.00 0.2160 0.50 0.1933 0.50 0.6577 5 𝑲𝒘 10 100 100 𝑲𝒔 0 𝒏 5 0.75 0.1269 10 10 100 100 10 100 5 100 10 0.75 0.4520 1.00 0.0886 1.00 0.3319 1.25 0.0798 1.25 0.3010 1.50 0.0731 1.50 0.2777 1.75 0.0668 1.75 0.2561 2.00 0.0656 2.00 0.2483 0.50 0.2732 0.50 0.9938 0.75 0.1926 0.75 0.6629 1.00 0.1512 1.00 0.5835 1.25 0.1372 1.25 0.5317 1.50 0.1280 1.50 0.4961 1.75 0.1208 1.75 0.4715 2.00 0.1180 2.00 0.4608 100 100 Tần số dao động 𝜔 Hình 3.3.1 Sự ảnh hưởng của tỷ lệ b⁄a lên tần số dao động đầu tiên của tấm (với a⁄h = 10) 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Kw=10,Ks=0 Kw=100,Ks=0 Kw=100,Ks=10 Kw=100,Ks=100 ,500 ,750 1,000 1,250 b/a 1,500 1,750 2,000 Hình 3.3.2 Sự ảnh hưởng của b⁄a lên tần số doa động đầu tiên của tấm (với a⁄h = 5) 001 Tần số dao động 𝜔 001 Kw=10,Ks=0 Kw=100,Ks=0 Kw=100,Ks=10 Kw=100,Ks=100 001 000 000 000 ,500 ,750 1,000 1,250 b/a 1,500 1,750 2,000 19 Ví dụ 3.4 So sánh sự ảnh hưởng cấu trúc vật liệu tấm FGM lên tần dao động riêng tấm Xét tấm FGM có kích thước b và chiều dầy h làm từ vật liệu Al Al2O3 Thuộc tính vật liệu của Nhơm ( Al ) gồm mơđun đàn hồi Em = 70 GPa, mật độ khối lượng ρm = 2707 Kg/m3 Tḥc tính vật liệu của Nhơm ô-xít ( Al2O3 ) gồm môđun đàn hồi Ec = 380 GPa, mật độ khối lượng ρc = 3800 Kg/m3 Tấm FGM có kích thước b và chiều dầy h làm từ vật liệu Al ZrO2 Thuộc tính vật liệu của Zirconi dioxide ( ZrO2 ) gồm môđun đàn hồi Ec = 200 GPa, mật độ khối lượng ρc = 5700 𝐾𝑤 𝑏4 ̅̅̅̅ Kg/m3 Tựa nền đàn hồi có thơng số: 𝐾 𝑤 = ̅̅̅ 𝐾𝑠 = 𝐾𝑠 𝑏2 𝐷𝑚 (𝑣ớ𝑖 𝐷𝑚 = 𝐸𝑚 ℎ 12 ( 1−𝑣 ) 𝐷𝑚 là độ cứng uốn của tấm) Hệ số Poisson của tấm giả định là không đổi v = 0.3 Tấm sử dụng số điểm nút là 17x17, thông số α = 2.1 Tần số dao động riêng của tấm FGM và FGM ch̉n hóa theo cơng 𝜌𝑐 𝐸𝑐 thức sau: 𝜔 ̅ = 𝜔ℎ √ Từ kết Bảng 3.4 và Hình 3.4 ta thấy tần số dao động riêng của tấm đều tăng dần theo chỉ số suy biến 𝑛 Tuy nhiên tần số dao động riêng tương ứng với chỉ số 𝑛 của tấm FGM làm vật liệu 𝐴𝑙/𝑍𝑟𝑂2 thì lại cao tấm FGM làm vật liệu 𝐴𝑙⁄𝐴𝑙2 𝑂3 Từ đó tính chất, đặc tính của vật liệu tác động đến tần số dao động riêng của tấm Bảng 3.4 Bảng so sánh tần số dao động riêng của tấm FGM và tấm FGM 𝑲𝒘 𝑲𝒔 100 100 100 100 𝒏 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 10.0 ̅ Tần số dao động 𝝎 Tấm FGM Tấm FGM Al/Al2O3 Al/ZrO2 0.1483 0.1483 0.1519 0.1601 0.1542 0.1679 0.1559 0.1735 0.1572 0.1777 0.1582 0.1810 0.1590 0.1836 0.1597 0.1857 0.1603 0.1874 0.1607 0.1889 0.1611 0.1902 0.1632 0.1967 Hình 3.4 Tần số dao động đầu tiên của tấm FGM (AL/Al2O3) và tấm FGM (Al/ZrO2) 000 Tần số dao động - 𝜔 000 000 000 Al/Al2O3 Al/ZrO2 000 000 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10 Giá trị n 20 CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Qua sở lý thuyết đã trình bày chương và kiểm chứng ví dụ số chương 3, phần mềm lập trình Matlab ta có thể rút mợt số kết luận kiến nghị hướng phát triển cho đề tài sau: Kết luận Phương pháp phân tích dao động tự của tấm FGM lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu gọn (S-FSDT) cho kết xác giải quyết vấn đề về dao động tự của tấm tựa nền đàn hồi Kết tính toán thực hiện chương cho thấy phương pháp tính lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu gọn cho kết các trường hợp như: Các điều kiện biên khác tấm có cạnh gối tựa đơn, tấm có cạnh gối tựa đơn và cạnh tự do, tấm có cạnh gối tựa đơn và cạnh ngàm; thay đổi các tham số nền; biến thiên của chỉ số hàm mũ 𝑛 phù hợp so với các nghiên cứu đã công bố trước Tỷ lệ kích thước hình học và chiều dày của tấm càng tăng sẽ ảnh hưởng lên tần số dao động riêng của tấm theo hướng giảm dần Sự thay đổi cấu trúc của vật liệu sẽ ảnh hưởng lên tần số dao động của tấm Phương pháp lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu gọn đã giảm số lượng ẩn số, với hàm chuyển vị gồm ẩn số để phân tích dao đợng của tấm FGM tựa nền đàn hồi Kiến nghị Luận văn đã đưa một số kết luận quan trọng vẫn cịn mợt số hạn chế cần nghiên cứu thêm như: Nên xem xét, khảo sát tỷ lệ kích thước b/a của tấm theo hướng tăng dần để kiểm tra tính ởn định của tấm Các điều kiện biên (SCSF, SSSC, SFFF, SSSC) chu vi tấm chưa nghiên cứu luận văn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] Koizumi M FGM activities in Japan Composites, 28 (1997) 1–4 Kirchhoff G (1850), “Über das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe", J Reine und Angewante Mathematik (Crelle), 40:51-88 Mindlin R D (1951), “Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates”, J Appl Mech., 18:31–38 Reissner E (1945), “The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates”, J Applied Mechanics, 12:68-77 Pradyumna S., Bandyopadhyay J.N (2008), “Free vibration analysis of functionally graded curved panels using a higherorder finite element formulation”, J.Sound Vib.; 318(1– 2):176–192 Neves A M A ,Ferreira A J M ,Carrera E., Cinefra M., Roque C.M.C., Jorge R M N (2013), “Static, free vibration and buckling analysis of isotropic and sandwich functionally graded plates using a quasi-3D higher-order shear deformation theory and a meshless technique” Compos PartB: Eng ;44(1):657–674 Neves A M A ,Ferreira A J M ,Carrera E., Roque C M C., Cinefra M., Jorge R M N (2012), “A quasi-3D sinusoidal shear deformation theory for the static and free vibration analysis of functionally graded plates” Compos PartB:Eng; 43(2):711–725 Neves A M A ,Ferreira A J M., Carrera E., Cinefra M., Roque C M C., Jorge R M N (2012) “A quasi-3D hyperbolic shear deformation theory for the static and free vibration analysis of functionally graded plates” Compos Struct ;94(5):1814–1825 Reddy J.N (2011), “A general nonlinear third-order theory of functionally graded plates”, Int J Aerosp Lightweight Struct 1(1):1–21 [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] Zenkour A M (2006), “Generalized shear deformation theory for bending analysis of functionally graded plates” Appl Math Model 30(1):67–84 Mantari J L ,Oktem A S ,Guedes Soares C ,(2012) “A new higher order shear deformation theory for sandwich and composite laminated plates” Compos PartB: Eng; 43(3):1489–1499 Mantari J L , Oktem A S , GuedesSoares C.(2012), “A new trigonometric shear deformation theory for isotropic,laminated composite and sandwich plates” Int J Solids Struct.; 49(1):43–53 Mantari J L ,Oktem A S , GuedesSoares C., (2012), “Bending response of functionally graded plates by using a new higher order shear deformation theory” Compos Struct.; 94(2):714–723 N D Phan & J N Reddy (1985), “Analysis of laminated composite plates using a higher-order shear deformation theory,” International journal for numerical methods in engineering, Vol 21,2201-2219 Bui QT, Do VT, Ton THL, Doan HD, Tanaka S, Pham TD, Nguyen-Van T.-A, Yu TT, Hirose S On the high temperature mechanical behaviors analysis of heated functionally graded plates using FEM and a new third-order shear deformation plate theory Compos Part B: Eng 2016; 92:218-241 Senthilnathan N.R.,Lim S.P.,Lee K.H.,Chow S.T.,Buckling of Shear-Deformable Plates ,AIAA J., 1987;25 (9) 1268– 1271 Reddy JN Analysis of functionally graded plates Int.J.Numer.Meth.Eng., 2000;684:663–84 Castellazzi G, Gentilini C,Krysl P, Elishakoff I Static analysis of functionally graded plates using a nodal integrated finite element approach Compos Struct.,2013;103:197–200 Singha MK, Prakash T, Ganapathi M Finite element analysis of functionally graded plates under transverse load Finite Elem Anal Des., 2011;47(4):453–60 [20] [21] [22] [23] Reddy JN, Chin C Thermo mechanic alanalysis of functionally graded cylinders and plates J.Therm.Stress.,1998;212(6):593–626 Gu L Moving Kriging interpolation and element free Galerkin method Int J Num Methods Eng 2003; 56:1–11 Bui QT, Nguyen NT, Nguyen-Dang H A moving Kriging interpolation-based meshless method for numerical simulation of Kirchhoff plate problems Int J Numer Meth Eng 2009; 77:1371-1395 A Hasani Baferani, A.R Saidi, H Ehteshami (2011), “Accurate solution for free vibration analysis of functionally graded thick rectangular plates resting on elastic foundation”, Composite Structures, 93 (7), 1842-1853 ... BỘ XÂY DỰNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN CAO THẮNG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO TẤM FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI VÀ LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC... để phân tích dao đợng của tấm FGM tựa nền đàn hồi Vì việc phân tích dao đợng tấm FGM tựa nền đàn hồi sử dụng phương pháp không lưới và lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu gọn. .. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP SỐ LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT THU GỌN (S-FSDT) Tính chất vật liệu tấm FGM 1.1 Tấm phân loại chức (FGM) Xét một tấm FG nằm nền đàn hồi với