pp giai quan he vuong goc

ABCD là hình vuông cạnh a. Tính diện tích của CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. Cho hình lăng trụ đứng. Gọi M là trung điểm của đoạn. thẳng BC. Tính chi[r]

PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VNG GĨC

 Để chứng minh đường thẳng vng góc với đường thẳng ta theo định lí , hệ sau :

  

 ; 900

a b  a b  .

 / / b c a b a c       .

 a b  a b 0                            

Nếu a b,                            

vectơ phương hai đường thẳng a vàb  Khi hai đường thẳng cắt ta dùng kết luận có hình học phẳng : tính chất

đường trung trực , định lí Pitago đảo … để chứng minh chúng vng góc

 ( ) ( ) a a b b          ; / / a b a b           ' '

a hch a

b b a

b a              ' '

a hch a

b b a

b a             ;

ABC a AB

a BC a AC        

 Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta sử dụng định lí , hệ sau :

 a  a  b 

a b

a c a

b c O

              

 a b/ /   a  / /  a a

 AB    M MA MB|   ( là mặt phẳng trung trực AB).

 

 

ABC

MA MB MC MO

OA OB OC               .             P Q

a P a Q

a c P Q

                         P R

Q R a R

P Q a

 



  



  

 Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với ta sử dụng định lí , hệ sau :



   P  Q     P , Q  900         P a P Q a Q               / /     R Q P Q P R       

 Tính góc hai đường thẳng

Phương pháp : Có thể sử dụng cách sau:  Cách 1: (theo phương pháp hình học)

 Lấy điểm O tùy ý (ta lấy O thuộc hai đường thẳng) qua vẽ đường thẳng song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng cho

 Tính góc góc tạo hai đường thẳng cắt O

 Nếu góc nhọn góc cần tìm , góc tù góc cần tính góc bù với góc tính  Cách : (theo phương pháp véc tơ)

 Tìm u1 , u2                            

 Khi

 2  2

1

cos , cos u u, u u

u u



   

    

 

 Tính góc đường thẳng mặt phẳng

Phương pháp :

  



 ,  900

a   a   ;



 

/ /

, 0

a

a a



 



 

 

 ;



  

 ,   , '

' a

a a a

a hch a





 

 



 

o Để tìm a'hch a ta lấy tùy ý điểm M a , dựng MH   H , suy

 

 

' ,

hch a a  AH A a    a , MAH  Xác định góc hai mặt phẳng

Phương pháp :

 Cách : Dùng định nghĩa :

    

 P , Q   a b,

:

   

a P

b Q

 



 

 Cách : Dùng nhận xét :

               

   

 ,   , 

R P Q

R P p P Q p q

R Q q

    



   



  

 Cách : Dùng hệ :

 

 

   

     ,  

P

M Q

H hch M P Q MNH

HN m P Q

 



  



    .

 Tính khoảng cách điểm mặt phẳng

Phương pháp : Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng , ta phải tìm đoạn vng góc vẽ từ điểm đến mặt phẳng , ta hay dùng hai cách sau :

 Cách :

Tìm mặt phẳng (Q) chứa M vng góc với (P) Xác định m   P  Q

Dựng MH m   P  Q ,

 MH  P

suy MH đoạn cần tìm  Cách 2: Dựng MH / /   d   o Chú ý :

 Nếu MA  I

 

 

 

 

, ,

d M IM

d A IA

 

 

 Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng:

 Khi

 

   ,  0

a P

d a P

a P

 

 

 



 Khi a/ / P

 d a P ,  d A P , với A P  Khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng :

 Khi

   

       ,  0

P Q

d P Q

P Q

 

 







 Khi  P / / Q

   

 ,   , 

d P Q d M Q

 

với A P

 Khoảng cách hai đường thẳng

 Khi

   

       

'

, ' 0

' d

   

   



  



 Khi   / /  ' d    , '  d M , '  d N ,   với M    , N  '  Khoảng cách hai đường thẳng chéo :

 Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo

   ' đường thẳng  a cắt   ở M và cắt

 ' N đồng thời vng góc với   và  ' .

 Đoạn MN gọi đoạn vng góc chung hai đường

thẳng chéo    '

 Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn

vng góc chung hai đườngthẳng Phương pháp :

 Cách : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a song song với b .Tính khoảng cách từ b đến

mp(P)

 Cách : Dựng hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Khoảng cách hai mặt phẳng khoảng cách cần tìm

 Cách : Dựng đoạn vng góc chung tính độ dài đoạn Cách dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo :

 Cách 1: Khi a b

 Dựng mp P  b P,  atại H  Trong (P) dựng HK btại K

 Đoạn HK đoạn vng góc

chung a b  Cách 2:

 Dựng a'hch a P , cách lấy M a

dựng đoạn MN   , lúc a’ đường thẳng qua N song song a

 Gọi H  a' b, dựng HK / /MN

HK

 là đoạn vng góc chung cần tìm

Một số tập ơn tập chương

Bài 1. Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD hình thang vng A B, ,

AB BC a AD   a, mặt phẳng SAB và

SAD

vng góc với mặt phẳng ABCD a) Chứng minh SAABCD

b) Chứng minh SAC ABCD

c) Chứng minh mặt bên hình chóp S ABCD tam giác vng

d) Khi SA a Tính góc SD với mặt phẳng ABCD

góc hai mặt phẳng ABCD SCD

d) Tính khoảng cách :

 

 ,  ;  ,  ;  , 

d A SCD d CD SAB d SD AC

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh

đáy a , tâm O, cạnh bên a a) Tính đường cao hình chóp

b) Tính góc cạnh bên mặt bên với mặt đáy

c) Tính d(O, (SCD))

d) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung BD

và SC

e)Gọi () mặt phẳng chứa AB () vng góc với

(SCD) , () cắt SC, SD C’ D’ Tứ giác

ABC’D’ hình gì? Tính diện tích thiết diện

Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCDcó

6, 3

AD AB Lấy điểm M cạnh ABsao cho MB2MBvà N trung điểm AD Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ABCD M lấy điểm S cho SM 2

a) Chứng minh ADSAB ; SBC SAB ; b) Chứng minh SBN SMC ;

c) Tính góc đường thẳng SN mặt phẳng SMC :

d) Xác định vị trí điểm P SM cho    

 PNC , SMC  600



(Thi Học kì Trường chuyên Lê Hồng Phong HCM)

Bài 4. (*) Cho hình chóp S.ABC có đáy

ABC cạnh a I trung điểm BC, SA vng góc

với (ABC)

a) Chứng minh (SAI) vng góc với (SBC)

b) Gọi M, N trung điểm AC, AB BE, CF đường cao SBC Chứng minh (MBE) vuông

góc với (SAC) (NFC) vng góc với (SBC) c) Gọi H, O trực tâm SBC ABC

Chứng minh OH vng góc với (SBC)

d) Cho () qua A song song với BC () vng góc

với (SBC) Tính diện tích thiết diện S.ABC ()

khi SA = 2a

e) Gọi K giao điểm SA OH Chứng minh AK.AS

khơng đổi Tìm vị trí S để SK ngắn

a Khi SA = a 3. Tính góc hai mặt phẳng (SBC)

và (ABC) , (SAC) (SBC)

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy

hình vng SAB cạnh a, (SAB) vng góc với

(ABCD)

a) Chứng minh SCD cân

b) Tính số đo góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) c) Tính đoạn vng góc với chung AB SC

Bài 6. Cho OAB cân O OA = OB =

a , AOB1200 Trên hai nửa đường thẳng Ax , By vng góc với (OAB) phía , lấy M , N cho

,

AM x BN y

a) Tính cạnh OMN theo a, x, y Tìm hệ thức

x, y để OMN vuông O

b) Cho OMN vuông O và x + y =

3a

. Tính x, y ( x < y )

c) Với kết câu b) Tính góc 

OMN OAB, 

d) Giả sử M , N lưu động cho y2x Chứng minh

(OMN) quay quanh đường thẳng cố định

Bài 7. (*) Cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I điểm thuộc cạnh AB ; đặt

 

,

AI x  x a

a) Chứng minh x4 15a góc DI AC’

bằng 600

b) Xác định tính diện tích thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (B’DI) Tìm x để diện tích nhỏ

c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(B’DI) theo a x

Bài 8. Cho hình chóp tứ giác

đường thẳng MN vng góc với đường thẳng SP Tính khoảng cáh từ P đến SAB

(CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009)

Bài 9. Cho hình lăng trụ đứng

' ' '

ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông B , , ' ,

AB a AA  a A C' 3a GọiM là trung điểm

đoạn thẳng A C' ', I giao điểm AM A C' Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC

(KHỐI D NĂM 2009)

Bài 10. Cho hình lăng trụ tam giác

' ' '

ABC A B C có BB'a, góc đường thẳng BB' mặt phẳng ABCbằng 600 ; ABC tam giác vuông tại

C BAC600

Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng ABCtrùng với trọng tâm tam giác ABC Tính khoảng cách ttừ A'đến mặt phẳng ABC diện tích tam giác ABC

(KHỐI B NĂM 2009).

Bài 11. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy

ABCD hình thang vng A D, ,

ABAD a CD a , ; góc hai mặt phẳng SBCvà ABCDbằng 600 Gọi I trung điểm

cạnh AD Biết hai mặt phẳng SBI SCI vng góc với mặt phẳng ABCD, tính khoảng cách từ

S đến mặt phẳng ABCDvà diện tích hình thang

ABCD (KHỐI A NĂM 2009).

Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H

thuộc đoạn AC,

AC

AH 

Gọi CM là đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính

khoảng cách từ M đến mặt phẳng SBCtheo a

(KHỐI D NĂM 2010)

Bài 13. Cho hình lăng trụ tam giác

' ' '

ABC A B C có AB a , góc hai mặt phẳng

A BC'  ABCbằng 600 Gọi G trọng tâm tam giác

'

A BC Tính koảng cách hai mặt phẳng ABC và

A B C' ' '

Tìm điểm M cách bốn điểm G A B C, , , tính khoảng cách từ M đến điểm theo a

Bài 14. Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCDlà hình vng cạnh a Gọi M N

trung điểm cạnh AB AD ; Hlà giao điểm

CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng

ABCD SH a 3 Tính diện tích CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a

Bài 15. Cho hình lăng trụ đứng

' ' '

ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông ,

, '

AB BC a AA  a GọiM là trung điểm đoạn

thẳng BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng

AM B C' (KHỐI D NĂM 2008)

Bài 16. Trong mặt phẳng  P cho nửa

đường tròn đường kính AB2R điểm C thuộc nửa đường trịn cho ACR Trên đường thẳng vng góc với  P A lấy điểm S cho

   

 SAB , SBC  600



Gọi H K, hình chiếu A SB SC, Chứng minh tam giác AHK vng tính diện ABC khoảng cách từ S đến  P .

Bài 17. Bài : Hình chóp S.ABCD có

đáy ABCD hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a SA = a SA vng góc (ABCD)

1) Chứng minh (SBC) vng góc (SAB) (SCD) vng góc (SAD)

2) Tính góc (SCD) (ABCD)

Bài : Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng C , mặt bên SAC tam giác vuông góc (ABC)

1) Xác định chân đường cao H kẻ từ S hình chóp 2) Chứng minh (SBC) vng góc (SAC)

3) Gọi I trung điểm SC , chứng minh (ABI) vng góc (SBC)

Bài : Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh (SBC) vng góc (SAI)

2) Biết góc (SBC) (ABC)là a Tính chiều cao SH cua hình chóp

Bài : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a 1) Tính độ dài đường cao hình chóp 1) M trung điểm SC Chứng minh (MBD) vuông góc (SAC)

2) Tính góc mặt bên mặt đáy hình chóp Bài : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Có SA = SB = SD = a.1) Chứng minh (SAC) vng góc (ABCD) SB vng góc BC 2) Tính tang góc (SBD) (ABCD)

Bài : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D ,

AB = 2a , AD = CD =a , cạnh SA vng góc với đáy SA = a

1) Chứng minh (SAD) vng góc (SCD) (SAC) vng góc (SBC)

Bài 7: Tứ diện ABCD, AD  (BCD) Gọi E chân

đường cao DE tam giác BCD a/Chứng minh (ADE)  (ABC)

b/Kẻ đường cao BF tam giác ABC, đường cao BK (BCD)

Chứng minh (BFK) (ABC)

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a,SA=SB=SC=SD=a

Gọi I,J trung điểm AD BC

a/Chứng minh (SIJ) (SBC) b/ Tính khoảng

cách AD SB

Bài9: Tứ diện S.ABC có ABC tam giác vng cân đỉnh B ; AC=2a Cạnh SA vng góc với (ABC) SA=a

a/Chứng minh (SAB) (SBC) b/Tính khảng cách từ

A đến (SBC)

c/Gọi O trung điểm AC Tính khoảng cách từ O đến (SBC)

B10/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a,

SA  (ABCD), SA = h Gọi O tâm hình vuông ABCD Tính khoảng cách:

a) Từ B đến (SCD) b) Từ O đến (SCD)

B11) Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng vạnh a, mặt bên (SAB)  đáy SA = SB = b Tính khoảng cách:

a) Từ S đến (ABCD) b) Từ AD đến (SBC)

c) Từ trung điểm I CD đến (SHC), H trung điểm AB

B12) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  (ABCD), SA = a Tính khoảng cách hai đờng thẳng:

a) SA vµ BD b) SC vµ BD c) AC vµ SD

B13) Cho hai tam giác cân không đồng phẳng ABC ABD có đáy chung AB

a) CM: AB  CD b) Xác định đoạn vng góc chung AB CD

Bài14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a,cạnh SA  (ABCD) ; SA=2a Tính

khoảng cách hai đường thẳng AB SC Bài15: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a,SA (ABCD) SA=a Tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng :

a/ SC BD b/ AC SD

Bài 16:Cho tứ diện OABC, OA ,OB,OC đơi vng góc OA=OB=OC=a Gọi I trung điểm BC.Hãy xác định tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng :