Đang tải... (xem toàn văn)
VÏ AH vu«ng gãc víi BC.[r]
(1)Phòng Gd & Đt
Ngọc Lặc Đề thi học sinh giỏi lớp cấp huyệnnăm học 2010 2011
Môn : Toán
Thi gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao )
Câu (3,5 điểm): Cho biểu thức: A =
:
b ab a b a b
a
a b ab b ab a ab
a) Rót gọn A
b) Tính giá trị A biết: a b5 Câu (3,5 điểm):
Cho đờng thẳng (d) có phơng trình : 2(1 m x) (2 m y) 2 (m tham số) a) Tìm m để đờng thẳng (d) qua điểm A(2;1)
b) Chứng minh đờng thẳng (d) qua điểm cố định với giá trị m
c) Tìm m để đờng thẳng (d) cách gốc tọa độ mt khong ln nht
Câu (2,0 điểm): Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: 5x7y112
Câu (3,0 ®iĨm): Cho a > 0; b > vµ a + b =
Chøng minh r»ng:
1
1
a b
Câu (2,5 điểm): Cho hình thang ABCD (AB//CD) cã diƯn tÝch lµ S,
3 CD AB
Gäi E, F theo thø tù trung điểm AB, CD Gọi M giao ®iĨm cđa AF vµ DE, N lµ giao ®iĨm cđa BF CE Tính diện tích tứ giác EMFN theo S
Câu (4,5 điểm): Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính BC = 2R A điểm nửa đờng trịn Vẽ AH vng góc với BC Gọi I K lần lợt điểm đối xứng H qua AB AC
a) Chứng minh ba điểm: I, A, K thẳng hàng
b) Chứng minh IK tiếp tuyến nửa đờng trịn (O)
c) Xác định vị trí điểm H BC để diện tích tứ giác BIKC đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn ú
Câu (1,0 điểm): Cho hai đa thức P x( ) 1 x x9x25x49x81 vµ Q x( )x3 x Tìm đa thức d phép chia P(x) cho Q(x)
(2)Hä tªn thÝ sinh: ……… ………. Sè b¸o danh: ……… ……
Phòng GD& ĐT Ngọc Lặc
ỏp ỏn v hng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi cấp huyện Môn Toỏn lp nm hc 2010-2011
Câu ý Đáp án Điểm
Câu 3,5đ
a 2,5đ
+ ĐKXĐ: a>0; b>0 a b + Ta có
( ) ( ) ( )( )
:
( )
a ab b ab a a b a b b b a a b b a A
a b ab b a
( )
:
( )
a b ab a b a b ab b a
a b b a
b a a b
a b
0,5® 0,5®
0,5® 1,0®
b 1,0®
Ta cã: a 6 ( 1) vµ b = Suy
2
5 ( 1) 5 1
A
1,0đ
Câu 3,5 điểm
a 10đ
Vì (d) qua điểm A(2;1) nên thỏa mÃn:
2(1 ).2 (2 ).1
5
m m m
1®
b 1,25®
Gọi điểm cố định mà (d) qua M(x0;y0) ta có
0
2(1 m x) (2 m y) 2 (2x0y m0) 2(x0y01) 0 m
0 0
0 0
2
1
x y x
x y y
Vậy điểm cố định mà đờng thẳng (d) qua M(1;-2)
0,5®
0,75®
c
1,25đ Vì (d) khơng qua gốc tọa độ O(0;0) Nên (d) giao với trục Oy Q(0;
2 m ) giao víi trơc Ox t¹i P(
1 ;0 m ) (m1; 2)
Kẻ OH PQ
Trong tam giác vuông POQ ta cã:
2
;
2
OQ OP
m m
2
2 2
2
1 1
1
OH
OH OP OQ
OP OQ
2
2
2 2
5
6 4
( 2) 4( 1) 5( )
5 5
OH
m m m
Với m = 1, ta có (d): y = -2, khoảng cách từ O đến (d) <
0,25®
0,25®
0,5®
0,25® y
1
x P
O
(3)Với m = 2, ta có (d): x = 1, khoảng cách từ O đến (d) < Vậy giá trị lớn OHmax=
6 m
C©u 2,0
®iĨm 2®
Ta cã: 5x7y112
112 112
5 y
x y x
110 2(1 ) 2(1 )
22
5
y y y
x y
Vì x nguyên
2(1 )
y
là số nguyên
Vì (2;5)=1
1 5
y
t Z y t
21
x t
y t
víi t Z Do
1
0; 2; 1;0
5
x y t t Khi: t = -2 => x = vµ y = 11 Khi: t = -1 => x = 14 vµ y = Khi: t = => x = 21 vµ y =
Vậy phơng trình có nghiệm nguyên dơng là: ( ; )x y (7;11);(14;6);(21;1)}
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 3,0
®iĨm 3,0đ
Ta cã
1
3( 1) 4( 1)( 1)
1 a b a b
a b 4( ab a b 1) (v× a+ b = 1)
4 ab 8 4ab (a b )24ab a b; 0 Dấu “=” xẩy a = b
1,0đ 1,0đ 1,0đ
Câu 2,5
điểm 2,5đ
Đặt SAEM= x
Do
3 MF MD DF MA ME AE
nªn
3
2
EMF AEM
S S x
(1)
(vì tam giác chung đờng cao)
3
,
2
AMD DMF AMD
S x S S x
Từ
25
AEFD
S x
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy
6 25
EMF AEFD
S S
T¬ng tù,
6 25
ENF BEFC
S S
Suy
6
25 25
EMFN ABCD
S S S
N M
A B
D C
E
F
0,25® 0,25®
0,5®
0,5®
(4)Câu 4,5 điểm
a 2,0đ
1 2; 3 4
ó :ΔAIB=ΔAHB(c.c.c);ΔAKC=ΔAHC(c.c.c) A =A A =A
Ta
c
2
à : HAI+HAK=2(A +A ) 2.BAC=180
M
Suy I, A, K thẳng hàng
B C
I
K
O A
H
0,5® 0,5đ 0,5đ 0,5®
b 1,5®
AIB=AHB=90 ;AKC=AHC=90 Theo cmt :
Suy BI IK CK; IK BI // CK =>BCKI hình thang Mặt khác AI = AK (=AH); OB = OC (=R)
Vậy OA // CK => OAIK, IK tiếp tuyến nửa đờng trịn (O)
0,5® 0,5® 0,5®
c 1,0đ
Ta có BCKI hình thang
Suy
( )
2
BCKI
BI CK IK R IK
S R IKR BC
2
S R DÊu “=” xÈy IK / /BC OABC H O VËy maxS= 2R2 H O
0,25đ 0,25đ 0,5đ
Câu
®iĨm 1®
Ta cã: P(x) = (x9- x) +( x25- x)+(x49- x)+(x81-x)+5x+1
= x(x8-1)+ x(x24-1)+ x(x48-1)+ x(x80-1)+5x +1
Q(x)= x(x2-1)
VËy P(x) chia cho Q(x) ®a thøc d: R(x) = 5x+1
0,5® 0,5®