Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có).. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 1..[r]
(1)Khơng có đường dài q người bước thong thả, không vội vàng Khơng có lợi xa xơi q người kiên nhẫn học tập.
CHUYÊN ĐỀ 12 TÍCH PHÂN CƠNG THỨC
Bảng ngun hàm
Nguyên hàm
hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số hợp
C x dx= + ∫
( 1) 1 ≠ + + = + ∫ α α α αdx x C
x
( 0) ln + ≠ =
∫ x C x
x dx
C e dx ex = x + ∫
(0 1) ln + < ≠ =
∫ C a
a a dx
ax x
C x
xdx= +
∫ cos sin C x xdx= − + ∫sin cos
C x dx
x = +
∫ tan cos C x dx
x = − +
∫ cot
sin
2
( ) (ax b) C
a b ax
d + = + +
∫
( ) ( ) ( 1)
1 1 ≠ + + + = + + ∫ α α α
α ax b C
a dx b ax
( 0) ln
1 + + ≠
= +
∫ ax b C x
a b ax dx C e a dx
eax+b = ax+b +
∫
( ) (ax b) C
a dx b
ax+ = + +
∫ cos 1sin
( ) (ax b) C
a dx b
ax+ = − + +
∫ sin 1cos
(ax+ b)dx= a (ax+ b)+ C
∫ 1tan
cos
2
(ax+ b)dx= − a (ax+ b)+ C
∫ 1cot
sin
2
C u du= + ∫
( 1) 1 ≠ + + = + ∫ α α α αdu u C
u
( 0) ln + ≠ =
∫ u C u
u du
C e du eu = u + ∫
(0 1) ln + < ≠ =
∫ C a
a a dx
au u
C u
udu= +
∫ cos sin
C u udu= − + ∫sin cos
C u du
u = +
∫ tan cos C u du
u = − +
∫ cot
sin
2
I ĐỔI BIẾN SỐ
TĨM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 1 Đổi biến số dạng 2
Để tính tích phân b
/ a
f[u(x)]u (x)dx
̣ ta thực bước sau:
Bước Đặt t = u(x) tính dt u (x)dx= /
Bước Đổi cận: x = a t u(a)= = a, x = b t u(b)= = b
Bước b
/ a
f[u(x)]u (x)dx b f(t)dt a
=
̣̣
Ví dụ Tính tích phân e
e
dx I = ̣ x ln x
Giải
Đặt t ln x dt dx
x
= =
2
x = e t 1, x= = e t 2=
2
2 1
dt
(2)Ví dụ Tính tích phân
3
cos x
I (sin x cos x) dx p
= ̣ +
Hướng dẫn:
4
3
0
cos x dx
I dx
(sin x cos x) (tan x 1) cos x
p p
= =
+ +
̣̣ Đặt t = tan x 1+
ĐS: I
8 =
Ví dụ Tính tích phân
1
dx
I= ̣ (1 x) 2x 3+ + .
Hướng dẫn: Đặt t= 2x 3+ ĐS: I= ln 23
Ví dụ 10 Tính tích phân
0
3 x I= ̣ 1 x+- dx Hướng dẫn:
Đặt
3 2
2
1
3 x t dt
t
1 x (t 1)
-=
+ L ̣ + ; đặt t = tan uL
ĐS: I = -p3 2+ Chú ý:
Phân tích
0
3 x
I = ̣ 1 x+- dx, đặt t = x+ tính nhanh
2 Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b], để tính ( )
b
a
f x dx
̣ ta thực bước sau: Bước Đặt x = u(t) tính dx = u t dt/( ) .
Bước Đổi cận: x = a t = α , x = b t = β
Bước ( ) [ ( )] ( )/ ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
β β
α α
= =
̣̣̣
Ví dụ Tính tích phân
2
1
I dx
1 x =
-̣
Giải
Đặt x sin t, t ; dx cos tdt
2 p p
é ù
= Ỵ -̃=êë úû =
x = t 0, x= = 2 t= p6
6
2
0
cos t cos t
I dt cos t dt
1 sin t
p p
= =
-̣̣ 6
0
dt t 6 6
p
p p p
= ̣ = = - =
(3)Ví dụ Tính tích phân
2
I= ̣ x dx- Hướng dẫn:
Đặt x sin t= ĐS: I= p
Ví dụ Tính tích phân
2
dx I= ̣ 1 x+
Giải
Đặt x tan t, t ; dx (tan x 1)dt2
2 ổ p pữử ỗ
= ẻ -=ỗỗố ữữữứ = +
x = t 0, x 1= = t = p4
4
2
0
tan t
I dt dt
4 tan t
p p
+ p
= = =
+
̣̣
Vậy I= p4 Ví dụ Tính tích phân
3
dx
I x 2x 2
-= ̣ + +
Hướng dẫn:
3
2
0
dx dx
I x 2x 2 1 (x 1)
-
-= ̣̣ + + = + +
Đặt x tan t+ = ĐS: I= 12p
Ví dụ Tính tích phân
2
dx I
4 x =
-̣
ĐS: I= p2
Ví dụ Tính tích phân
3
dx I= ̣- x +2x 2+ ĐS: I= 12p
3 Các dạng đặc biệt 3.1 Dạng lượng giác
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ) Tính tích phân 2
0
I cos x sin xdx p
= ̣
Hướng dẫn: Đặt t cos x= ĐS: I
15
=
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ) Tính tích phân
0
I cos xdx
p
= ̣
(4)Đặt t sin x= ĐS: I
15
=
Ví dụ 13 (bậc sin cosin chẵn) Tính tích phân
0
I cos x sin xdx p
= ̣
Giải
2
4 2
0
1
I cos x sin xdx 4 cos x sin 2xdx
p p
= ̣̣ = 2
0
1 (1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx
16
p p
= ̣̣ - +
2
2
0
1 (1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)
16
p p
= ̣̣ - +
0
x sin 4x sin 2x
16 64 24 32
p
ổ ửữ p
ỗ
=ỗỗố - + ữữứ =
Vy I = 32p
Ví dụ 14 Tính tích phân
0
dx
I cos x sin x 1 p
= ̣ + +
Hướng dẫn: Đặt t tanx
2
=
ĐS: I= ln 2
Biểu diễn hàm số LG theo tan
2
a
t= : 22
2
sin ; cos ; tan
1 1
t t t
a a a
t t t
−
= = =
+ + −
3.2 Dạng liên kết
Ví dụ 15 Tính tích phân
xdx
I sin x 1
p
= ̣ +
Giải
Đặt x = p -̃=t dx = -̃=dt
x = t= p, x = p t 0=
( )
0
0
( t)dt t
I sin( t) 1 p sin t sin t 1 dt p
p - p
= -̃=̣̣ p - + = + -̃= +
0
dt I I dt
sin t sin t
p p
p
= p̣̣ + -̃= = +
( )2 ( )
2
0
dt dt
t
t t
2 sin cos 4 cos
2
2
p p
p p
= = p
-+
̣̣
2
0
t d
2 tan t
2 cos t 2
2
p ổỗ - ữỗỗ pữửữữ ổ ửp
ố ứ
p p ỗ pữ
= ổ ử = ỗỗố - ữữữứ = p pữ
ỗ - ữ
ỗ ữữ
ỗố ứ
Vy I = p Tổng quát:
0
xf(sin x)dx 2 f(sin x)dx
p p
p =
̣̣
Ví dụ 16 Tính tích phân 2007
2007 2007
0
sin x
I sin x cos xdx
p
(5)Giải
Đặt x = -̃=p2 t dx = -̃=dt
x = t= p2, x = 2p t 0= ( )
( ) ( )
2007
2007 2007
2
sin 2 t
I dx
sin 2 t cos 2 t
p
p
-= -̃-= p p
- +
-̣ 2007
2007 2007
0
cos t dx J
sin t cos t p
= ̣ + = (1)
Mặt khác
0
I J dx 2
p
p
+ = ̣ = (2) Từ (1) (2) suy I = p4 Tổng quát:
2 n n
n n n n
0
sin x dx cos x dx , n
sin x cos x sin x cos x
p p
+ p
= = Ỵ
+ +
̣̣ Z
Ví dụ 17 Tính tích phân
0
sin x
I sin x 3 cos xdx p
= ̣ +
0
cos x
J sin x 3 cos xdx p
= ̣ +
Giải
I 3J 1- = - (1)
( )
6
0
dx dx
I J sin x 3 cos xdx 2
sin x 3
p p
+ = + = p
+ ̣̣
Đặt t x= + p3 dt dx= ⇒I J 1ln
+ = (2)
Từ (1) (2)⇒I = 163 ln 3+1-4 3, J = 161 ln 3-1-4 Ví dụ 18 Tính tích phân
1
2
ln(1 x) I= ̣ 1 x++ dx
Giải
Đặt x = tan t dx (1 tan t)dt= +
x = t 0, x 1= = t = p4
( )
4
2
0
ln(1 tan t)
I tan t dt ln(1 tan t)dt
1 tan t
p p
+
= + = +
+
̣̣
Đặt t = -̃=4p u dt = -̃=du
t 0= u = p4, t = p4 u =
0
0
4
I ln(1 tan t)dt ln tan u du
4 p
p
ộ ỗp ữ
ờ ỳ
= + = -= ờ + ỗỗố -= ữữữứỳ
ë û
̣̣
4
0
1 tan u
ln du ln du
1 tan u tan u
p p
ổ - ửữ ổ ửữ
ỗ ỗ
(6)( )
4
0
ln 2du ln tan u du ln I
p p
p
= ̣̣ - + = -
Vậy I= p8ln Ví dụ 19 Tính tích phân
4
x
cos x
I 2007 1dx
p
p
-= ̣ +
Hướng dẫn: Đặt x = -t
ĐS: I
2
=
Tổng quát:
Với a > 0, a > 0, hàm số f(x) chẵn liên tục đoạn [-a a; ] x
0
f(x) dx f(x)dx
a
a a
-a
= +
̣̣
Ví dụ 20 Cho hàm số f(x) liên tục ¡ thỏa f( x) 2f(x) cos x- + = Tính tích phân
2
2
I f(x)dx p
p
-= ̣
Giải Đặt
2
2
J f( x)dx
p
p
-= ̣ - , x = -̃=t dx = -̃=dt
x = -̃=2p t = p2, x = 2p t = -̃=2p
[ ]
2
2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
p p
p p
-
-= ̣̣ -̃= = = + = -̃= +
2
0
cos xdx cos xdx
p p
p
-= ̣̣ = =
Vậy I
3 =
3.3 Các kết cần nhớ
i/ Với a > 0, hàm số f(x) lẻ liên tục đoạn [–a; a] a
a
f(x)dx
-=
̣
ii/ Với a > 0, hàm số f(x) chẵn liên tục đoạn [–a; a]
a a
a
f(x)dx f(x)dx
-=
̣̣
(7)2
n n
0
(n 1)!!, n!! cos xdx sin xdx
(n 1)!! , n!!
p p ́
-ïïï ïï
= = íï - p
ïïïïỵ
̣̣ n lẻ n chẵn
Trong
n!! đọc n walliss định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn:
0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = =
6!! 2.4.6; !! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10= = = = =
Ví dụ 21 11
0
10!! 2.4.6.8.10 256 cos xdx 11!! 1.3.5.7.9.11 693 p
= = =
̣
Ví dụ 22 10
0
9!! 1.3.5.7.9 63
sin xdx 10!! 2 2.4.6.8.10 2 512 p
p p p
= = =
̣
II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1 Công thức
Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục có đạo hàm đoạn [a; b] Ta có
(uv)/ = u v uv/ + / (uv dx)/ = u vdx uv dx/ + /
( )
b b b
a a a
d uv = vdu udv+ ̣̣̣d(uv)= vdu+ udv
b b b b
b b
a a
a a a a
uv = ̣̣̣̣vdu+ udv udv = uv -̃= vdu Công thức:
b b
b a
a a
udv = uv - vdu
̣̣ (1)
Cơng thức (1) cịn viết dạng:
b b
b
/ /
a
a a
f(x)g (x)dx = f(x)g(x) - f (x)g(x)dx
̣̣ (2)
2 Phương pháp giải tốn
Giả sử cần tính tích phân b
a
f(x)g(x)dx
̣ ta thực
Cách 1.
Bước Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) cho dễ tìm nguyên hàm v(x) vi phân /
du = u (x)dx khơng q phức tạp Hơn nữa, tích phân b
a
vdu
̣ phải tính Bước Thay vào cơng thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt: i/ Nếu gặp
b b b
ax
a a a
P(x)sin axdx, P(x)cos axdx, e P(x)dx
̣̣̣ với P(x) đa thức đặt u = P(x)
ii/ Nếu gặp b
a
P(x)ln xdx
̣ đặt u = ln x
(8)Viết lại tích phân
b b
/
a a
f(x)g(x)dx = f(x)G (x)dx
̣̣ sử dụng trực tiếp cơng thức (2)
Ví dụ Tính tích phân
x
I= ̣ xe dx
Giải
Đặt x x
u x du dx
dv e dx v e
= ́ =
́ ï
ïï ï
í = í
ï ï =
ï ï
ỵ ỵ (chọn C 0= )
1
1
x x x x
0
0
xe dx = xe -̃= e dx (x 1)e= -̃= =1
̣̣
Ví dụ Tính tích phân e
1
I= ̣ x ln xdx
Giải
Đặt 2
dx du
u ln x x
dv xdx v x
2 ́ï = ï =
́ï ï
ï ï
í í
ï = ï
ï ï
ỵ ïïỵ =
e 2 e e 2
1
1
x e
x ln xdx = 2 ln x -̃=2 xdx = 4+
̣̣
Ví dụ Tính tích phân x
0
I e sin xdx p
= ̣
Giải
Đặt ïïḯídvu ==sin xe dxx ïí́ïïduv ==excos xdx
ï ï
ỵ ỵ
2
x x x
0
0
I e sin xdx e sin x e cos xdx e J
p p
p p
= ̣̣ = -̃= = -̃=
Đặt x x
u cos x du sin xdx
dv e dx v e
= ́ =
-́ ï
ïï ï
í = í
ï ï =
ï ï
ỵ ỵ
2
x x x
0
0
J e cos xdx e cos x e sin xdx I
p p
p
= ̣̣ = + = -̃= +
2
2 e
I e ( I) I 2
p
p +
= -̃= -̃= + =
Chú ý:
Đôi ta phải đổi biến số trước lấy tích phân phần Ví dụ Tính tích phân
2
0
I cos xdx
p
= ̣
Hướng dẫn:
Đặt t= x
0
I t cos tdt
p
= ̣ = = p -̃=
(9)Ví dụ Tính tích phân e
1
I= ̣ sin(ln x)dx ĐS: I (sin1 cos1)e
2
- +
=
III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán
1 Dạng 1
Giả sử cần tính tích phân b
a
I= ̣ f(x) dx, ta thực bước sau
Bước Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
x a x1 x2 b
f(x) + - + Bước Tính
1
1
b x x b
a a x x
I = ̣̣̣̣f(x) dx = f(x)dx- f(x)dx + f(x)dx Ví dụ Tính tích phân
2
I x 3x dx
-= ̣ - +
Giải Bảng xét dấu
x -3 2
x -3x 2+ + -
( ) ( )
1
2
3
59
I x 3x dx x 3x dx 2
-= ̣̣ - + - - + =
Vậy I 59
2
=
Ví dụ 10 Tính tích phân 2
0
I cos x sin xdx p
= ̣ - -
ĐS: I 6= - -p
2 Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân [ ]
b
a
I= ̣ f(x) ± g(x) dx, ta thực Cách 1.
Tách [ ]
b b b
a a a
I= ̣̣̣f(x) ± g(x) dx = f(x) dx ± g(x) dx sử dụng dạng Cách 2.
Bước Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) g(x) đoạn [a; b]. Bước Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) g(x).
Ví dụ 11 Tính tích phân ( )
2
1
I x x dx
-= ̣ - -
(10)Cách 1.
( )
2 2
1 1
I x x dx x dx x dx
- -
-= ̣̣̣ - - = -
-0 2
1 1
xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx
-
-= -̣̣̣̣ + + - -
-0 2
2 2
1 1
x x x x x x 0
2 - 2 -
ỉ ư÷ ỉ ư÷
ỗ ỗ
= - + +ỗốỗ - ứữữ -ốỗỗ - ÷÷ø = Cách 2.
Bảng xét dấu
x –1 x – + + x – – – +
( ) ( ) ( )
0
1
I x x dx x x dx x x dx
-= ̣̣̣- + - + + - + - +
( )1
0
1
x- x x x
= - + - + =
Vậy I =
3 Dạng 3
Để tính tích phân { }
b
a
I= ̣ max f(x), g(x) dx { }
b
a
J = ̣ f(x), g(x) dx, ta thực bước sau:
Bước Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x)= - đoạn [a; b] Bước
+ Nếu h(x) 0> max f(x), g(x){ } = f(x) f(x), g(x){ }= g(x) + Nếu h(x) 0< max f(x), g(x){ } = g(x) f(x), g(x){ }= f(x)
Ví dụ 12 Tính tích phân { }
4
2
I= ̣ max x +1, 4x dx- Giải
Đặt h(x)=(x2 + -1) (4x 2- )= x2 -4x 3+ Bảng xét dấu
x h(x) + – +
( ) ( ) ( )
1
2
0
80 I = ̣̣̣x +1 dx + 4x dx- + x +1 dx = 3
Vậy I 80
3
=
Ví dụ 13 Tính tích phân { }
2
x
I= ̣ , x dx- Giải
Đặt h(x) 3= x - -(4 x)= 3x + -x 4. Bảng xét dấu
x h(x) – +
( )
1 x 2
x
0
0
3 x
(11)Vậy I
ln
= +
IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải tốn
1 Dạng 1
Để chứng minh b
a
f(x)dx 0³
̣ (hoặc
b
a
f(x)dx 0£
̣ ) ta chứng minh f(x) 0³ (hoặc f(x) 0£ ) với
[ ]
x a; b " Ỵ
Ví dụ 14 Chứng minh
3
0
1 x dx 0- ³
̣
Giải
Với [ ]
1
3
6 6
0
x 0; : x 1 x x dx
" Ỵ £̃- -̃= ³̃-³沒 ̣ -̃= ³̃-³沒
2 Dạng 2
Để chứng minh
b b
a a
f(x)dx ³ g(x)dx
̣̣ ta chứng minh f(x) g(x)³ với " Ỵx [a; b]
Ví dụ 15 Chứng minh 2
10 11
0
dx dx
1 sin x sin x
p p
£
+ +
̣̣
Giải
Với x 0; : sin x sin x sin x11 10
2 p
é ù
" Ỵ êë úû £̃- £̃- £̃-
£̃-10 11
10 11
1
1 sin x sin x 0+ ³̃-³沒 + >̃£ 1 sin x+ £̃- 1 sin x+
Vậy 2
10 11
0
dx dx
1 sin x sin x
p p
£
+ +
̣̣
3 Dạng 3
Để chứng minh
b
a
A £ ̣ f(x)dx B£ ta thực bước sau
Bước Tìm giá trị lớn nhỏ f(x) đoạn [a; b] ta m f(x) M£ £ Bước Lấy tích phân
b
a
A= m(b a)- £ ̣ f(x)dx M(b a) B£ - = Ví dụ 16 Chứng minh
1
2
2 £ ̣ x dx+ £ Giải
Với " Ỵx [0; : 4 x] £̃- + £̃- 5 2 £̃- 4 x+ £̃- 5. Vậy
1
2
2 £ ̣ x dx+ £ Ví dụ 17 Chứng minh
3
2
dx
4 sin x
p
p
p £ £ p
-̣
(12)Với x ; 3 : sin x 1 sin x 12
4 2
p p
é ù
" Ỵ ê ú £̃- £̃- £̃-
£̃-ë û
2
2
1
1 sin x 2£̃- -̃= £̃- 2 £̃- 3 sin x- £̃-1
( ) 34 ( )
2
1 dx 1
2 4 sin x 4
p
p
p p-̃= £̃- £̃- p p-̃=
-̣
Vậy
4
2
dx
4 sin x
p
p
p £ £ p
-̣
Ví dụ 18 Chứng minh
3
4
3 cotxdx
12 x
p
p
£ ̣ £
Giải
Xét hàm số f(x) cotx, x ;
x
ép pù
ê ú
= Ỵ ê ú
ë û ta có
2 /
2
x cotx sin x
f (x) x ;
4 x
- - ép pù
ê ú
= < " Ỵ ê ú
ë û
( ) ( )
f p3 £̃- f(x) f£̃- p4 x" Ỵ êëép p4 3; ùúû cotx 4 x ;
x
ép pù
ê ú
£̃- £̃- " Ỵ ê ú
p p ë û
3
4
3 cotxdx
3 x
p
p
ổp pửữ ổp pửữ
ỗ -= ữÊ- Ê- ỗ -= ữ
ỗ ữữ ỗ ữữ
ỗ ỗ
è ø è ø
p ̣ p
Vậy
3
4
3 cotxdx
12 x
p
p
£ ̣ £
4 Dạng (tham khảo)
Để chứng minh
b
a
A £ ̣ f(x)dx B£ (mà dạng không làm được) ta thực Bước Tìm hàm số g(x) cho
[ ] b
b
a a
f(x) g(x) x a; b
f(x)dx B g(x)dx B
́ £ " Ỵ ïïï
ï
£̃-íï =
ïïïỵ̣ ̣
Bước Tìm hàm số h(x) cho
[ ] b
b
a a
h(x) f(x) x a; b
A f(x)dx h(x)dx A
́ £ " Ỵ ïïï
ï
£̃-íï =
(13)Ví dụ 19 Chứng minh
2
2007
2 dx
2 £ ̣ 1 x- £ p4
Giải
Với x 0; : x2007 x2
2
é ù
" Ỵ êê úú £ £ £
ë û
2 2007
2007
1 1 x 1 x 1 1 1
2 £̃- -̃= £̃- -̃= £̃- £̃- 1 x- £̃- 1 x
-2 2
2 2
2007
0 0
dx dx
dx
1 x x
£̃-
£̃
-̣̣̣
Đặt x = sin t dx = cos tdt
2
x = t 0, x= = 2 t = p4
2
2
2
0
dx cos tdt
cos t x
p
p
= =
-̣̣
Vậy
2
2007
2 dx
2 £ ̣ 1 x- £ p4
Ví dụ 20 Chứng minh
1
3 xdx
4+ £ ̣ x + -2 £ 2+
Giải
Với " Ỵx [0; : 1] - £ x2 + - £2 1 3 1 -2
x x x
3 1- £̃- x + -2 1£̃-
-1 1
2
0 0
xdx xdx xdx
3 1- £̃- x + -2 1£̃-
-̣̣̣
Vậy
1
3 xdx
4+ £ ̣ x + -2 £ 2+ V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1 Diện tích hình thang cong
Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đường
y = f(x), x = a, x = b trục hoành b
a
S = ̣ f(x) dx Phương pháp giải toán
Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) đoạn [a; b]. Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) dx
̣
Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = ln x, x 1, x= = e Ox Giải
(14)( )
e e
e
1
S= ̣̣ln x dx = ln xdx = x ln x 1- =1 Vậy S 1= (đvdt)
Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = - +x2 4x 3, x- = 0, x = Ox Giải
Bảng xét dấu
x y – +
( ) ( )
1
2
0
S = - - +̣̣ x 4x dx- + - +x 4x dx
-1
3
2
0
x 2x 3x x 2x 3x
3 3
ỉ ư÷ ỉ ửữ
ỗ ỗ
= - -ỗốỗ + + ứữữ + -ốỗỗ + + ữữứ = Vy S
3
= (đvdt)
2 Diện tích hình phẳng 2.1 Trường hợp 1.
Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường
y = f(x), y = g(x), x = a, x = b b
a
S= ̣ f(x) g(x) dx- Phương pháp giải toán
Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x)- đoạn [a; b] Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) g(x) dx
-̣
2.2 Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường
y = f(x), y = g(x) S f(x) g(x) dx
b
a
= ̣ - Trong a b, nghiệm nhỏ lớn phương trình f(x) g(x)= (a £ a < b £b)
Phương pháp giải toán
Bước Giải phương trình f(x) g(x)=
Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x)- đoạn [a b; ]
Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx
b
a
-̣
Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y= x3 +11x 6, y- = 6x2,
x = 0, x 2=
Giải
Đặt h(x) (x= +11x 6) 6x- - = x3 -6x2 +11x
-h(x) 0= Û = Ú = Ú =x x x (loại) Bảng xét dấu
(15)( ) ( )
1
3
0
S = -̣̣x -6x +11x dx- + x -6x +11x dx
-1
4
3
0
x 2x 11x 6x x 2x 11x 6x
4 2
ỉ ư÷ ỉ ư÷
ỗ ỗ
= -ỗốỗ - + - ữứữ +ỗỗố - + - ữữứ = Vy S
2
= (đvdt)
Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3 +11x 6, y 6x- = Giải
Đặt h(x) (x= +11x 6) 6x- - = x3 -6x2 +11x
-h(x) 0= Û = Ú = Ú =x x x Bảng xét dấu
x h(x) + –
( ) ( )
2
3
1
S= ̣̣x -6x +11x dx- - x -6x +11x dx
-2
4
3
1
x 2x 11x 6x x 2x 11x 6x
4 2
ỉ ư÷ ổ ửữ
ỗ ỗ
= ỗốỗ - + - ữứữ -ỗỗố - + - ữữứ = Vy S
2
= (đvdt) Chú ý:
Nếu đoạn [a b; ] phương trình f(x) g(x)= khơng cịn nghiệm ta dùng công thức f(x) g(x) dx [f(x) g(x) dx]
b b
a a
- =
-̣̣
Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x , y3 = 4x Giải
Ta có x3 = 4x Û = - Ú = Ú =x 2 x 0 x 2
( ) ( )
0
3
2
S x 4x dx x 4x dx
-= ̣̣ -̃= + -̃=
0
4
2
2
x 2x x 2x 8
4 -
ổ ửữ ổ ửữ
ỗ ỗ
= ỗốỗ - ứữữ + ỗỗố - ữữứ = Vy S 8= (đvdt)
Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x2 -4 x +3 trục hồnh Giải
Ta có x2 -4 x + = Û - + =3 t2 4t 0, t= x ³0
t x x
t x x
= = = ±
é é é
ê ê ê
Û ê = Û ê = Û ê = ±
ë ë ë
3
2
3
S x x dx x 4x dx
-= ̣̣ -̃= + = -̃= +
( ) ( )
1
2
0
2éê x 4x dx x 4x dx ùú
= ê - + + - + ú
ê ú
ë ̣̣ û
1
3
2
0
x x 16
2ộờ ỗổ 3 2x 3xửữ ổỗ 3 2x 3xửữ ựỳ 3 = ờ ỗốỗ - + ứữữ + ốỗỗ - + ữữứ ỳ =
(16)Vậy S 16
3
= (đvdt)
Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x2 -4x 3+ y= +x Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm
x -4x 3+ = +x
2
x
x
x 4x x
x
x 4x x
+ ³
́ïï é =
ïïé - + = + ê
Û íê Û ê =
ïïê ë
ïê - + = -ïỵë
Bảng xét dấu
x
x -4x 3+ + – +
( ) ( ) ( )
1
2 2
0
S= ̣̣̣x -̃=5x dx+ -̃= +x 3x dx-̃= + x -̃=5x dx
1
3 3
0
x 5x x 3x 6x x 5x 109
3 3
ỉ ư÷ ổ- ửữ ổ ửữ
ỗ ỗ ỗ
= ỗỗố - ứữữ +ỗỗố + - ứữữ +ốỗỗ - ữữứ = Vậy S 109
6
= (đvdt)
Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x2 -1 , y = x +5 Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm
2
x - =1 x + Û5 t - = +1 t 5, t= x ³0
2
t x
t x
t t x 3
t
t t
= ³
́ïï ́ = ³
ï ï
ïé - = + ï
Û íïê Û íï = Û = ±
ïê ïỵ
ïê = -ïỵë
( ) ( )
3
2
3
S x x dx x x dx
-= ̣̣ -̃= -̃= + = -̃= -̃= +
Bảng xét dấu
x
x -1 – +
( ) ( )
1
2
0
S 2= ̣̣-̃= -̃= -̃=x x dx + x -̃= -̃=x dx
1
3
0
x x x x 73
2 ỗổ-3 2 4xửữ ổỗ 3 2 6xửữ 3 = ỗốỗ - - ứữữ +ốỗỗ - - ÷÷ø =
Vậy S 73
3
= (đvdt) Chú ý:
Nếu hình phẳng giới hạn từ đường trở lên vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH khơng có)
(17)Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y = f(x) x³ " Î[a;b], y= 0,
x = a x = b (a <b) quay quanh trục Ox
b a
V = p̣ f (x)dx
Ví dụ Tính thể tích hình cầu hình trịn (C) : x2 +y2 = R2 quay quanh Ox Giải
Hoành độ giao điểm (C) Ox x2 = R2 Û = ±x R. Phương trình (C) : x2 +y2 = R2 Û y2 = R2 -x2
( ) ( )
R R
2 2
R
V R x dx R x dx
-= p̣̣ -̃= = p -̃=
R
3
2
0
x R
2 R xổỗ 3 ửữ p3 = pỗỗố - ữữứ =
Vậy V R3
3 p
= (đvtt)
2 Trường hợp 2.
Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x = g(y) y³ " Ỵ[c;d], x = 0,
y = c y= d (c d)< quay quanh trục Oy
d c
V = p̣ g (y)dy Ví dụ 10 Tính thể tích hình khối ellipse (E) : x22 y22
a + b = quay quanh Oy
Giải
Tung độ giao điểm (E) Oy y22 y b
b = Û = ±
Phương trình (E) : x22 y22 x2 a2 a y2 22
a + b = Û = - b
b 2 2 b 2 2
2
2
b
a y a y
V a b dy a b dy
-ỉ ư÷ ỉ ư÷
ỗ ỗ
= pỗỗố -= ữứữ = p ỗỗố -̃= ÷÷ø
R
2
2
2
a y a b
2 a yổỗ 3b ửữ p3 = pỗỗố - ữữứ =
Vậy V a b2
3 p
= (đvtt)
3 Trường hợp 3.
Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y = f(x), y = g(x), x = a
[ ]
x = b (a < b, f(x) 0,g(x) x³ ³ " Ỵ a; b ) quay quanh trục Ox b
2
a
V = p̣ f (x) g (x) dx-
Ví dụ 11 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y = x2, y2 = x quay quanh Ox
Giải
Hoành độ giao điểm x 04 xx 10
x x
³ =
́ é
ïï Û ê
í ê =
ï =
ï ë
ỵ
( )
1
4
0
(18)( )1
5
0
1x 1x
5 10p
= p - =
Vậy V
10p
= (đvtt)
4 Trường hợp 4.
Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x = f(y), x = g(y), y = c
[ ]
y = d (c < d, f(y) 0,g(y) y³ ³ " Ỵ c; d ) quay quanh trục Oy
d
2
c
V = p̣ f (y) g (y) dy
-
Ví dụ 12 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường x = - +y2 5, x = -3 y quay quanh Oy
Giải
Tung độ giao điểm - + = - Û ê =y2 y éêyy 2= -1
ë
( ) ( )
2
2
2
V y y dy
-= p̣ -̃= + -̃= -̃=
( )
2
4
1
y 11y 6y 16 dy
-= p ̣ - + +
2
5
2
1
y 11y 3y 16y 153
5 -
ổ ửữ p
ỗ
= p ççè - + + ÷÷÷ø =
Vậy V 153
5p
= (đvtt)
VI TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP 1. Tính I= ( )
1
10
1−
̣ x dx Áp dụng kết tính tổng sau: 10
10 10 10
1 1
1
2 11
= − + − +
S C C C
2. Tính: ( )
1
19
1
I= ̣ x − x dx Áp dụng kết tính tổng sau:
0 18 19
19 19 19 19 19
1 1 1
2 20 21
S= C − C + C − + C − C
3. Chứng minh rằng:1 1 1
2 1
n n
n n n
C C C
n n
+ −
+ + + + =
+ +
BÀI TẬP TỰ GIẢI
1. Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=sinsinxx+− coscosxx, biết ln
F π ÷
− = 2. Tính tích phân sau:
A=
1
2 5-
e x x
dx x
+
̣ B=
2 -2
-1
x dx
̣ C=
2
0
2 ln 2x dx
̣
3. Tính tích phân sau: A=3 cos
0
sin
x
e xdx
π
̣ B=
4
1
ln
e x
dx x
̣ C*=
2
5
dx x x +
̣ D*=
2
11 -1
x dx x +
̣
(19)I= sin(ln ) e x dx x ̣ J= sin cot dx x x π π ̣ K= 10 lgxdx ̣ L= ln
ln 3
x x
dx e + e− −
̣ M=2
2
0
sin
cos sin
xdx x x π + ̣ N= 2 -
dx x ̣ C=2 2 sin (1 cos )
x dx
x
π
+
̣
5. Tính tích phân sau: A=
1
-dx x ̣ B= 3 dx x + ̣ C=
16 -x dx
̣ D= ln 1-1 x x e dx e + ̣ E= 2 1dx x − ̣
6. Tính tích phân sau: A= ln e x dx x
̣ B*=
2
sin cos
x x dx
x π
+
̣ C*=
2 lnx dx x ̣
D*=
1 cos(ln ) e x dx π ̣ E=
3x 2x dx x
−
̣ *
4 1 x F dx x − − = + ̣ 7. Tính:
A=
0
cos xdx π
̣ B=
0 cos xdx π ̣ C= x xe dx ̣ D= x e dx x ̣ E= ln x xdx ̣ F= ln e x dx x + ̣ G= 2 x + x dx
̣ H=
4
1 x + xdx
̣ I= 1 x dx x+ ̣ J= 01 x dx x + ̣
8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a x=1; x=e; y=0 y= lnx
x
+ b y=2x; y=3−x x=0
c y=sin2xcos3x, trục Ox x=0, x=
3
π
9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y=0, y=x3−2x2+4x−3 (C) tiếp tuyến với đường
cong (C) điểm có hồnh độ
10. Cho hình phẳng D giới hạn đường y=tanx, x=0, x=π/3, y=0 a Tính diện tích hình phẳng D
b Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng D quay quanh trục Ox
11. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong y2=x3 y=0, x=1
khi quay quanh: a)Trục Ox b)Trục Oy
TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC & CAO ĐẲNG
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2005
∫ + + =
0 3cos
sin sin π dx x x x
I KQ:34
27
(20)dx x
x x
I ∫
+ =
0 cos
cos sin
π
KQ: 2 ln2 1−
Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2005
( )
∫ +
=
0
sin cos cos
π
xdx x
e
I x KQ: e
4
π + − Bài 4. Tham khảo 2005
dx x x
I ∫
+ + =
0
2
KQ: 141
10
Bài 5. Tham khảo 2005
∫ =
0
sin
π
xtgxdx
I KQ: ln
8
− Bài 6. Tham khảo 2005
( )
∫ +
=
0
sin .cos
π
dx x e
tgx
I x KQ: 12
ln e+ −1
Bài 7. Tham khảo 2005
∫ =
e
xdx x
I
1 2ln
KQ: 2e3
9 +
Bài 8. CĐ Khối A, B – 2005
dx x
x
I= ∫1 +
0
2 3. 3
KQ: 6
5
− Bài 9. CĐ Xây Dựng Số – 2005
∫
− + + +
− =
13
3 dx
x x
x
I KQ: 6 ln3 8−
Bài 10. CĐ GTVT – 2005
dx x x
I= ∫1 −
0
2 1
KQ:
105
Bài 11. CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005
∫ =
0
3 sin5
π
xdx e
I x KQ:
3
3.e
34
π + Bài 12. CĐ Tài Chính Kế Tốn IV – 2005
dx x x
I
0
3 1.
∫ +
= KQ: 848
105
Bài 13. CĐ Truyền Hình Khối A – 2005
∫ −+
=
0
2
2 sin
sin π
dx x
x
I KQ: 1 ln22
Bài 14. CĐSP Tp.HCM – 2005
∫
− + +
=
1
2 2x 4
x dx
I KQ:
18
(21)∫
= e dx x x I ln
KQ: 1
e
− Bài 16. CĐSP Vĩnh Long – 2005
dx x x I ∫ + + =
0 3
1 KQ: 46
15
Bài 17. CĐ Bến Tre – 2005
∫ +
=
0 sin
3 cos π dx x x
I KQ: 2 3ln 2−
Bài 18. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005
∫ ∫ = + = 2
0 2
cos sin sin cos cos sin sin π π x x xdx x J x x x xdx I KQ: I ln2 J π = = −
Bài 19. CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005
∫
= ex xdx I ln KQ: e + Bài 20. CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005
dx x x I sin ∫ = π KQ: π − Bài 21. CĐSP Hà Nội – 2005
dx x x x x I ∫ + + + + = 2
KQ: 6
8
π + Bài 22. CĐ Tài Chính – 2005
( ) ∫ + = x xdx
I KQ: 1
8
Bài 23. CĐSP Vĩnh Phúc – 2005
∫ − = e x x dx I
1 ln2
KQ:
6
π Bài 24. CĐSP Hà Nội – 2005
∫ + = 2004 2004 2004 cos sin sin π dx x x x I KQ: π Bài 25. CĐSP KonTum – 2005
∫ + = cos sin π dx x x
I KQ: 2
Bài 26. ĐH, CĐ Khối A – 2006
2
0
sin 2x
I dx
cos x 4sin x
π =
+
̣ KQ: 2
(22)Bài 27. Tham khảo 2006
2
dx I
2x 4x
=
+ + +
̣ KQ: ln3
2 12−
Bài 28. ĐH, CĐ Khối D – 2006
( )
1
2x
I= ̣ x e dx− KQ:
2
5 3e
− Bài 29. Tham khảo 2006
( )
2
I x sin 2x dx
π
= ̣ + KQ:
4
π + Bài 30. Tham khảo 2006
( )
2
I= ̣ x ln x dx− KQ: 5 ln4
4−
Bài 31. ĐH, CĐ Khối B – 2006 ln5
x x
ln3
dx I
e 2e−
=
+ −
̣ KQ: ln3
2
Bài 32. Tham khảo 2006 10
5
dx I
x x
=
− −
̣ KQ: 2 ln 1+
Bài 33. Tham khảo 2006 e
1
3 ln x
I dx
x ln x
− =
+
̣ KQ: 10 11
3 −
Bài 34. CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006
( )
1
2
I= ̣ x ln x dx+ KQ: ln
2
−
(Đổi biến t x= + 2, phần)
Bài 35. CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006
( )
2
ln x
I dx
x
+
= ̣ KQ: 3ln 3ln3
2
− Bài 36. CĐ Nông Lâm – 2006
1
I= ̣ x x 1dx+ KQ: 2
3
− Bài 37. ĐH Hải Phòng – 2006
1
x
I dx
1 x
= +
̣ KQ: 1 ln2
2
Bài 38. CĐ Y Tế – 2006
2
4
sin x cosx
I dx
1 sin2x
π
π
− =
+
̣ KQ: ln 2
Bài 39. CĐ Tài Chính Kế Tốn – 2006
( )
3
2
I= ̣ x ln x + dx KQ: 1 14ln14 5ln5 9( )
2 − −
(23)( )
2
3
cos2x
I dx
sin x cosx
π =
− +
̣ KQ:
32
Bài 41. Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương – 2006
( )
4
I x cosx dx
π
= ̣ − KQ:
8
π −
Bài 42. CĐ KTKT Đông Du – 2006
0
cos2x
I dx
1 2sin 2x
π =
+
̣ KQ: 1 ln3
4
Bài 43. CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 2006 ln2 2x
x
e
I dx
e
=
+
̣ KQ: 2
3
− Bài 44. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006
3
4sin x
I dx
1 cosx
π =
+
̣ KQ: 2
Bài 45. CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 2006
2
x
I dx
cos x
π
= ̣ KQ: ln
4
π + Bài 46. CĐ Bán Công – Công Nghệ - Tp.HCM – 2006
3
x
I dx
3 x x
−
− =
+ + +
̣ KQ: 6 ln3 8−
Bài 47. CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006
3
I= ̣ x x dx− KQ: 468
7
− Bài 48. CĐ Bến Tre – 2006
e
x
I ln x dx
x
+
= ÷
̣ KQ:
3
2e 11
9 + 18
Bài 49
1
2
0
I= ̣ x x dx+ KQ: 2 3 2( )
9 −
Bài 50
( )
∫ −
=
0
2
cos
π
xdx x
I KQ:
2
1 1
2
π π − +
÷
Bài 51.
( )
∫ + −
=
0
3
2 x 1dx
e x
I x
KQ:
e
4 14−
Bài 52. CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006
2
sin3x
I dx
2 cos3x
π
=
+
̣ KQ: Không tồn tại
(24)( )
1
2
I= ̣ x ln x dx+ KQ: ln
2
− Bài 54. CĐ Xây dựng số – 2006
2
x x
I dx
x 5−
= −
̣ KQ: 32 10ln3
3 −
Bài 55. CĐ Xây dựng số – 2006
( )
1
3
I= ̣ x cos x sin x dx+ KQ: 5
4
Bài 56. CĐ GTVT III – 2006
2
cosx
I dx
5 2sinx
π
= −
̣ KQ: 1 5ln
2
( ) ( )
2
J= ̣ 2x ln x dx+ + KQ: 24 ln3 14−
Bài 57 CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006
( )
4
8
I tg x dx
π
= ̣ − KQ: 76
105
Bài 58 CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006
2
4x
I dx
x 3x
+ =
− +
̣ KQ: 18ln 7ln3−
Bài 59. CĐSP Hưng Yên - Khối B– 2006
3
0
sin3x sin 3x
I dx
1 cos3x
π
− =
+
̣ KQ: 1 ln2
6
− + Bài 60. CĐSP Hưng Yên - Khối D1 , M– 2006
e
1
ln x ln x
I dx
x
+
= ̣ KQ: 3 3 2( )
8 −
Bài 61. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006
( )
4
4
I cos x sin x dx
π
= ̣ − KQ: 1
2
Bài 62. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006
4
cos2x
I dx
1 2sin2x
π
= +
̣ KQ: 1 ln3
4
Bài 63. CĐSP Trung Ương – 2006
0
I sin xsin 2xdx
π
= ̣ KQ: 2
3
Bài 64. CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006
( )
1
2
x
I dx
x
= +
̣ KQ : ln4
3 4−
(25)2
I x cosxdx
π
= ̣ KQ:
2
2
π − Bài 66. CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006
( )
e
2
dx I
x ln x
=
+
̣ KQ:
4
π Bài 67. CĐKT Y Tế I – 2006
2
4
sin x cosx
I dx
1 sin2x
π
π
− =
+
̣ KQ: ln 2
Bài 68. CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006
( )
3
ln tgx
I dx
sin 2x
π
π
= ̣ KQ: ln 32
16
Bài 69 CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006
( )
2 3
2
I sin2x sin x dx
π
= ̣ + KQ: 15
4
Bài 70. CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006
e
lnx
I dx
x
= ̣ KQ: 4 e−
Bài 71. CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006
1
1
I dx
x 2x
=
+ +
̣ KQ:
4
π Bài 72. CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006
7 3
x
I dx
3x
+ =
+
̣ KQ: 46
15
Bài 73. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– 2006
4
x
I dx
cos x
π
= ̣ KQ: ln
4
π −
Bài 74. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D1 – 2006
( )
2
I= ̣ 4x lnx dx− KQ: 6 ln 2−
Bài 75. CĐSP Hà Nội Khối D1 – 2006
3
dx I
sin x.sin x
π
π π
=
+
÷
̣ KQ: ln2
3 .
Bài 76. ĐH, CĐ khối A – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y= (e x, y+ ) = (1 e x+ x) . KQ:
(26)Bài 77. ĐH, CĐ khối B – 2007
Cho hình phẳng H giới hạn đường y x ln x= , y 0, y e= = Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox.
KQ: ( )
3
5e
27
π −
Bài 78. ĐH, CĐ khối D – 2007 Tính tích phân
e
I= ̣ x ln x dx
KQ:
4
5e 32
− Bài 79. Tham khảo khối A – 2007
4
0
2x dx
1 2x
+
+ +
̣ KQ: 2 ln2+
Bài 80. Tham khảo khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường (12 ) −
= =
+
x x
y v y
x . KQ: 4 2π + 1ln2 1−
Bài 81. Tham khảo khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x v y= à = 2− x2 . KQ:
2 π + Bài 82. Tham khảo khối D – 2007
( )
1
x x dx
x
− −
̣ KQ: 1 ln2 3ln3
2
+ −
Bài 83. Tham khảo khối D – 2007
2
x cosx dx
π
̣ KQ:
2
2 π − Bài 84. CĐSPTW – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình y x= − 2;
y x; x= = −1; x 0= .
KQ: 7
6 Bài 85. CĐ GTVT – 2007
3
0
4cos x dx sin x π
+
̣ KQ: 2
Bài 86. CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007
7
x dx x
+ +
̣ KQ: 231
10 Bài 87. CĐ Khối A – 2007
2007
2
1 1 dx
x + x÷
̣ KQ:
2008 2008
3
2008 − Bài 88. CĐ Cơ khí luyện kim – 2007
( )
e
2
x ln x dx
̣ KQ: 5e 2( )
27 −
(27)( )
4
2
x sin x dx π
̣ KQ:
3 1
384 32 π − π + Bài 90. CĐ Khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x= , y x cos x= + , x 0= , x = π . KQ:
2 π Bài 91. CĐ Khối D – 2007
0
2
x dx −
+
̣ KQ: 1
Bài 92. CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007
( )
3
2
1
dx
x x +
̣ KQ: 1
3 12
π
− −
Bài 93. CĐ Hàng hải – 2007
3
3
1
x x − 1dx
̣ KQ: 14
5 Bài 94. CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007
( )
0 2x
x e x dx
−
+ +
̣ KQ: 3e 31
4 60
− − Bài 95. CĐ Công nghiệp Phúc Yên – 2007
1 x
xe dx
̣ KQ: 1