Mọi số hữu tỉ đều được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng một liên phân số bậc n... Giải phương trình và hệ phương trình..[r]
(1)TÀI LIỆU ÔN HS GIỎI
GIẢI TỐN BẰNG MÁY TÍNH CASIO. I.Các tập rèn luyện kỹ bản:
1) Tính giá trị biểu thức xác đến 0,01
a)
3,75 1,25(¿¿2+4,152)
5,35 7,05❑
¿
b)
2,23
22,15(¿¿2+3,452)
15,252.6,453
¿
Quy trình ấn phím sau:
Ấn MODE nhiều lần đến hình xuất Fix Sci Norm Ấn tiếp
Ấn tiếp (Kết phép tính làm trịn đến chữ số thập phân thứ 2) a) Ấn tiếp 1,25 ( 3,75 x2 + 4,15 x2) : 5,35 : 7,05 =
KQ : 1,04
b) Tương tự ta KQ : 166,95
2) Thực phép tính :
A =
0,8:(4
5.1,25) 0,64−
25
+
(1,08−
25):
(65
9−3 4)
2 17
+(1,2 0,5):4
5
Ấn ( 0,8 : (
5.1,25¿ ) : (0,64 -
25 ) = SHIFT STO A Ấn tiếp ( (1,08 - 252 ) : 47 ) : ( 65
9−3 4¿:2
2
17 = SHIFT STO B Ấn tiếp 1,2 0,5 :
5 = + ALPHA A + ALPHA B =
KQ:2,333333333
B = :
3 - 0,8 :
1,5 0,4
50 :1
2
+1
4+ 1+1
2 0,25 6−46
1+2,2 10
Ấn 1,5 : (
2 0,4 50 :(1:
2)¿ = SHIFT STO A Ấn tiếp (1 + 12
0,25¿:(6− 46
1+2,2 10)=¿ SHIFT STO B
Ấn tiếp :
3−0,8=¿ : ALPHA A + ALPHA B + =
KQ : 173 3) Tính xác đến 0, 0001
(2)Ấn tiếp +
3+√3
¿ ¿
3+√¿ ¿
3+√¿ ¿
√¿
) =
KQ : 5,2967
5+7 5+7√¿
¿ ¿ ¿
5+7√¿ ¿
5+7√¿ ¿
√¿
=
KQ :53,2293 4) Khơng cần biến đổi tính trực tiếp giá trị biểu thức
A = (2√3−√6
√8−2 −
√216
3 )
√6 B = (
√14−√7
1−√2 +
√15−√5
1−√3 ):
√7−√5
A) ((2 √3−√6¿:(√8−2)−√216 :3¿ 1:√6 =
KQ : - 1,5
B) ((
2 1−√¿
√14−√7¿:(¿+(√15−√5):(1−√3)).(√7−√5)
=
KQ : - Bài tập :
1) a) Tìm 2,5% (85 30 −83
5 18):2
2 0,04
b) Tìm 5% (6 5−3
3 14)
5
(21−1,25):2,5
2) Tìm 12% 4a+
b
3 , biết
a = 3−
5−0,09 :(0,15 :2 2) 0,32 6+0,03−(5,3−3,88)+0,67
b = (2,1−1,95):(1,2 0,045) 0,00325 :0,013 -1 :0,25
1,6 0,625 3) Tính
√5
√(243,5+0,125)2+108√2 + √424,12: 4,016−2√35 KQ : 1,745780316 4) Giải phương trình :
a)
(17,125+19,38 :x) 0,2+3
12:2 18
(517
32−4 11 27 :2+2
1
3
8):27,74+
(3)b)
(1,252−3,2672)(3x+23
5−4,23): 4−
3 5+6
4 4,235: 0,3262 2,75
+45
7−0,73 2,45
6:2,73 =
4,63:(43
5+2,4) c) 4,5649x+2,8769
−3,9675x+11,9564=
2,4838x+5,3143
7,5379x −8,3152 II Liên phân số.
Mọi số hữu tỉ biểu diễn cách dạng liên phân số bậc n a
b=q0+ q1+
q2+
q0 , q1 , q2 ,….qn nguyên dương qn >
Liên phân số ký hiệu : [q0, q1, ,qn] Thí dụ : Liên phân số :
[3,2,4,5]=3+
2+
4+1
5 Thí dụ :
Biểu diễn A dạng phân số thường số thập phân
A = 3+
5
2+
2+
2+
2+5
3 Giải
Tính từ lên
Ấn x-1* +2 = x-1*4 +2 = x-1*5 +2 = x-1 * +2 = x-1 * + = ab/c SHIFT d/c
KQ : A = 4,6099644 = 4233 382=
1761 382 Thí dụ : Tính a , b biết :
B = 329 1051=
1 3+
5+
a+1
(4)Giải
329 ↵ 1051 = x-1 = - = x-1 = - = x-1 =
KQ : 71 Vậy a = , b =
Thí dụ : Cho số : 365 +
1 4+
7+
a+1
b
=176777
484
Tìm a b
Giải : 117 ↵ 484 = x—1 = = x-1 = = x-1 =
KQ : 31 Vậy a =3, b =
Chú ý 176777 – (484 * 365) = 117 Bài tập:
1) Giải phương trình : 20 2+
3+ 4+1
x
=2003 2+
4+ 6+7
8 (1)
Bằng cách tính ngược từ cuối theo vế , ta có : (1) ⇔260x+60 30x+7 =
104156 137
⇔ 35620x + 8220 = 3124680x +729092 ⇒ x −720872
3089060 ≈ −0,2333629 2) Tính giá trị biểu thức sau viết kết dạng phân số hỗn số :
A = +
5
2+
2+
2+
2+5
3
; B = +
1 3+
3+ 3+1
(5)Kết : A = 1782382 ; B = 1037142
3) Tính giá trị biểu thức sau viết kết dạng phân số hỗn số :
A = 20
2+
3+
4+1
5
;B=
5+
6+
7+1
8
4) Tìm số tự nhiên a b, biết : 329 1051=
1 3+
5+
a+1
b
5) Tính giá trị x y từ phương trình sau:
a +
x 1+
2+
3+1
4
− x
4+
3+
2+1
2
=0;b y
1+
3+1
5
+ y
2+
4+1
6
=1
Đặt M =
1 1+
2+ 3+1
4
vàN= 4+
3+ 2+1
2
Khi đó, a có dạng : + Mx – Nx = hay + Mx = Nx
Suy : x = N − M4
Ta M = 30 43; N=
17
73 cuối tính x
Kết x = −8884 1459=
12556 1459
6) Tìm số tự nhiên a b biết 1719 3976=
1
2+
3+
5+
a+1
(6)7) Tìm số tự nhiên a , b, c , d, e biết :
20032004 243 =a+
1 b+
c+
d+1
e 8) Cho A = 30 +
12 10+
2003
Hãy viết lại A dạng A = [a0 , a1 , …., an ]
III.Phép chia có số dư:
a) Số dư A chia cho B A – B * phần nguyên (A : B) Ví dụ : Tìm số dư phép chia 9124565217 : 123456
Ghi vào hình 9124565217 : 123456 ấn = máy thương số 73909,45128
Đưa trỏ lên dòng biểu thức sửa lại 9124565217 - 123456 * 73909 = Kết quả: Số dư 55713
b) Khi đề cho số lớn 10 chữ số
Nếu số bị chia số thường lớn 10 chữ số : cắt thành nhóm đầu chữ số ( kể từ bên trái) tìm số dư phần a
Viết liên tiếp sau số dư lại tối đa đủ chữ số tìm số dư lần , cịn tính lien tiếp
Ví dụ : Tìm số dư phép chia 2345678901234 cho 4567
Ta tìm số dư phép chia 234567890 cho 4567 Được kết 2203 Tìm tiếp số dư phép chia 22031234 cho 4567 Kết cuối 26 Bài tập : 1) Tìm số dư phép chia 143946 cho 23147 Kết : 5064
2) Tìm số dư phép chia 143946789034568 cho 134578 Kết 3) Tìm số dư phép chia 247283034986074 cho 2003 Kết : 401
IV Phép nhân : Tính 8567899 * 654787
(7)8567 * 103 * 654 * 103 = 602 818 000 000 8567 * 103 * 787 = 742 229 000 899 * 654 * 103 = 587 946 000 899 * 787 = 707 513 Cộng dọc ta 610 148 882 513
Bài tập : 1) Tính xác giá trị A = 14142135622 ; B = 2012200092 2) Tính giá trị gần N = 13032006 * 13032007
M = 3333355555 * 3333377777 V Chia đa thức :
1)Tìm số dư phép chia đa thức P(x) cho (x – a) Cơ sở lý luận : P(x) = Q(x) (x – a ) + r
Khi x = a r = P(a) Ví dụ
a) Tìm số dư phép chia : 3x3 – 2,5x2 + 4,5x – 15 : (x – 1,5) b) b) Tìm số dư phép chia : 3x3 – 5x2 + 4x – : ( 2x – ) Giải :
a) Tính P(1,5) :
Ấn * 1,53 – 2,5 * 1,52 + 4,5 * 1,5 – 15 = KQ : P(1,5) = - 3,75 Vậy r = - 3,75
b) Tính P(2,5) : ( 2,5 nghiệm phương trình 2x – = 0) Ấn * 2,53 – * 2,52 + * 2,5 – =
KQ : P(2,5) = 9,8125 Vậy r = 9,8125 2) Điều kiện để P(x) chia hết cho (x – a )
P(x) + m ⋮ (x – a ) ⇔P(a)+m=0⇔m=− P(a)
Ví dụ :
a) Tìm giá trị m để cho đa thức P(x) = 3x3 – 4x2 + 5x + +m chia hết cho (x – )
b) Tìm giá trị m để đa thức P(x) = 2x3 – 3x2 – 4x + + m chia hết cho (2x – 3) Giải :a) Gọi P1(x) = 3x3 – 4x2 + 5x + , ta có:
P(x) = P1(x) + m
Vậy P(x) hay P1(x) + m chia hết cho (x – 2) m = - P1(2) Tính P1(2) :
Ấn * 23 – * 22 + * + = P1(2) = 19 Vậy m = - 19
c) Gọi P1(x) = 2x3 – 3x2 – 4x + , ta có : P(x) = P1(x) + m
Vì P(x) chia hết cho (2x +3) nên ta có P( −3
2¿=p1(−
2)+m=0⇒m=− p1(− 2) Tính P1( −3
(8)Ấn * (−3
2)❑
- * (−3
2)❑ 2−4∗
(−3
2)+5=¿ KQ : P1( −3
2¿ = -2,5 ⇒m=2,5
Ví dụ : Cho hai đa thức 3x2 – 4x +5 + m x3 + 3x2 – 5x + + n Hỏi với điều kiện nào m n hai đa thức có nghiệm chung a ?
Giải :
Gọi P(x) = 3x2 – 4x +5 ; Q(x) = x3 + 3x2 – 5x + 7.
Đa thức P(x) + m đa thức Q(x) + n có nghiệm chung a m = - P(a) n = - Q(a) Áp dụng vào toán với nghiệm chung a = 0,5
KQ : P(0,5) = 3,75 Vậy m = -3,75 Q(0,5) = 5,375 Vậy n = - 5,375 Bài tập
1) Tìm số dư phép chia a) x14− x9− x5+x4+x2+x❑−723
x −1,624
❑ ❑ b) x5−6,723x3
+1,857x2−6,458x❑+4,319
x❑
+2,318
2) Tìm a để x4 + 7x3 + 2x2 +13x + a chia hết cho x + 6 3) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625
a) Tính P( 2√2¿
b) Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3
4) Chứng tỏ đa thức sau chia hết cho x + P(x) = 3x4 – 5x3 + 7x2 – 8x – 465.
5) Cho hai đa thức P(x) = x4 +5x3 – 6x2 + 3x +m Q(x) = 5x3 – 4x2 + 3x + 2n. a) Tìm giá trị m n để P(x) Q(x) chia hết cho x –
b) Với m n vừa tìm , giải phương trình P(x) - Q(x) =
6) Cho phương trình : 2,5x5 – 3,1x4 +2,7x3 +1,7x2 – (5m – 1,7)x + 6,5m – 2,8 có nghiệm x = 0,6 Tính giá trị m xác đến chữ số thập phân
VI USCLN , BCNN Nếu A
B= a
b (tối giản) USCLN A ,B A : a ; BCNN A ,B A * b Ví dụ :Tìm USCLN BSCNN 209865 283935
Ghi vào hình 209865 ↵ 283935 ấn = Màn hình 17 ↵ 23
Đưa trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 209865 : 17 ấn = KQ : USCLN = 12345
Đưa trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 209865 * 23 ấn = KQ : BSCNN = 4826895
Ví dụ : Tìm USCLN BSCNN 2419580247 3802197531 2419580247 * 11 ấn =
Màn hình 2.661538272 * 1010
Ở lại gặp tình trạng hình Muốn ghi đầy đủ số đúng, ta đưa trỏ lên dịng biểu thức xóa chữ số để cịn 419580247 *11 ấn =
Màn hình 4615382717 Ta đọc kết
(9)1) Tìm USCLN hai số : 168599421 2654176 ĐS : 11849 2) Tìm USCLN 100712 68954 ; 191 473
3) Cho P(x) = x4 +5x3 – 4x2 + 3x – 50 Gọi r1 phần dư phép chia P(x) cho x – r2 phần dư phép chia P(x) cho x – Tìm BCNN r1 r2
VII Giải phương trình hệ phương trình !) giải phương trình bậc hai ẩn :
Phương trình bậc hai ẩn có dạng ax2 + bx + c = (a 0) Ví dụ : Gpt : 1,8532x2 – 3,21458x – 2,45971 = 0
Ấn MODE lần hình EQN Ấn tiếp
Màn hình Unknowns ?
Ấn tiếp → hình Degree ? Ấn tiếp
Ấn tiếp 1,8532 = ( - ) 3,21458 = ( - ) 2, 45971 =
Ta x1 = 2,309350782 , ấn tiếp = , ta x2 = - 0,574740378 2) Giải phương trình bậc ba ẩn
Phương trình bậc ba ẩn có dạng ax3 + bx2 + cx + d = (a 0) Ví dụ : Gpt x3 + x2 – 2x – = 0
Quy trình ấn phím giống ví dụ đến hình Degree ?
Ấn tiếp , nhập hệ số a , b , c , ta x1 = 1,246979604 ; x2 = - 1,801937736 ; x3 = - 0,445041867
Bài tập
1) Giải phương trình : a)3x2 – 2x
√3 - = b) 1,9815x2 + 6,8321x + 1,0581= 0 c) 4x3 – 3x +6 = 0
3) Giải hệ phương trình bậc hai ẩn :
Hệ phương trình bậc ẩn có dạng
¿
a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2
¿{ ¿
Ví dụ : Giải hệ phương trình :
¿
83249x+16751y=108249
16751x+83249y=41751 ¿{
¿
Vào Unknowns ? nhập hệ số ta kết x = 1,25 ; y = 0,25
3) Giải hệ phương trình bậc ba ẩn
Hệ phương trình bậc ba ẩn có dạng
¿
a1x+b1y+c1z=d1 a2x+b2y+c2z=d2 a3x+b3y+c3z=d3
(10)Ví dụ : giải hệ phương trình :
¿
x+2y+3z=26
2x+3y+z=34
3x+2y+z=39 ¿{ {
¿
Vào Unknowns ? nhập hệ số ta kết x =9,25; y =4,25; z =2,75
Bài tập :
Giải hệ phương trình bậc
¿
13,241x+17,436y=−25,168
23,897x −19,372y=103,618 ¿{
¿
Giải hệ ba phương trình bậc
¿
2x+5y −13z=1000
3x −9y+3z=0
5x −6y −8z=600 ¿{ {
¿
VII Lượng giác
Ví dụ : Tính
a) sin 360 b)cos 420 c) tg 780 d) cotg 620 Giải :
Ta chọn hình D (độ)
a) Sin 36 0 = KQ : 0,5878 b) Cos 420 = KQ : 0,7431
c) tan 780 = KQ : 4,7046 d) tan 620 = 0,5317 ( ( tan 620) x-1 = ) Ví dụ : Tính
a) cos 43027’43” b) tg 6900’57”
Ví dụ : Tìm góc nhọn X độ , phút , giây biết a) Sin X = 0.5 b) cos X = 0,3561
c) tg X = 34 d) cotg X = √5 Giải :
a) ấn Shift sin-1 0,5 = o,,, KQ : 300 b) ấn Shift cos-1 0,3561 = o ,,, KQ : 6908’21” c) ấn Shift tan-1
4 = o ,,, KQ : 36052’12” d) ấn Shift tan-1 (
√5 = o ,,, KQ : 2405’41” Bài tập:
1) Tính giá trị biểu thức lượng giác xác đến 0,0001 a) A = sin 54
036'−sin 35040'
sin 72018'+sin 20015' ĐS : A 0,1787 b)
B=cos 36
0
25'−cos 63017'
cos 40022'+cos 52010' ĐS : B 0,2582
c) C=tg 30
050'−tg 42030'
tg 43025'−tg34012' ĐS : C 0,9308 ( Dấu – thay + )
d) D = ( tg 25015'−tg 15027'¿cotg35025'−cotg278015' ĐS :D 0,2313
(11)Tính A =
cos2α
+sin2α
tg2α¿
cos3α
(1−sin3α)+cotg3α ¿
ĐS : 0,008193027352
c) Biết sin α = 0, 5678 ( 00 < α < 900 ) Tính B = sin
2α
(1+cos3α)+cos2α(1+sin3α)
(1+tg3α)(1+cotg3α)√1+cos4α ĐS : 0,296355054
3) Cho tg α=(tg 63025')(cos226035'42'')(cotg352035')
Tính M=sin
6
α(1−cos3α)+sin2α(1+cos3α)
(1+tg4α)(2+cotg3α)4√1+sin3α ĐS : M ≈0,16218103
4) Tính a)
s=cos
0
(cos 10−cos 20)(cos 10−cos 30)+
cos 20
(cos 20−cos 10)(cos 20−cos 30)+¿
cos 30
(cos 30−cos 10)(cos 30−cos 20)
b) √32cos2π +
3
√4 cos2π +
3
√8 cos2π
7 ĐS a) s = b) 4,847 5) a) Cho sinx =
√5 siny =
√10 Tính x + y Cho tgx = 0,17632698
Tính sinx −
√3
cosx
VIII Một số dạng toán thường gặp
Phần số học A-Dãy số :
Dãy phi-bô-na-xi(Fibonacci):
Dạng : u1 = ; u2 = ; un+1 = un + un-1 (n = 2;3….)
Bài toán : Cho dãy số u1 = 144 : u2 = 233 : un+1 = un + un-1 (n = 2;3….) với n a) Hãy lập qui trình bấm phím để tính un+1
b) Tính u22 : u37 : u38 : u39 Qui trình ấn phím :
233 SHIFT STO A + 144 SHIFT STO B KQ :u3 = 377 + ALPHA A SHIFT STO A KQ :u4 = 610 + ALPHA B SHIFT STO B KQ :u5 = 987 Và lập lại dãy phím
+ ALPHA A SHIFT STO A + ALPHA B SHIFT STO B Kết : u22 = u37 =
u38 = u39 = Bài toán : Cho dãy số : x1 =
2 : xn+1 =
xn3+1
3 với n a) Hãy lập qui trình bấm phím để tính xn+1
b) Tính : x30 , x31, x32 Qui trình ấn phím :
(12)Bài toán : Dãy truy hồi :
Cho dãy số u1 = ; u2 = ; un+1 = un + un-1 (n = 2;3….) Nhờ truy hồi chứng minh cơng thức : un =
√5[[
1+√5 ]
n
−[1−√5 ]
n
] Qui trình : SHIFT STO A + SHIFT STO B
Và lập lại dãy phím
+ ALPHA A SHIFT STO A + ALPHA B SHIFT STO B Kết ta 49 số hạng dãy sau:
1 ; ; ; ; ; ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; … 7778742049 Qui trình ấn phím theo cơng thức :
Ghi lên hình biểu thức
√5[[
1+√5
2 ]
n
−[1−√5 ]
n
] thay n =1; ; 3… Ta kết