các phương án “khôn ngoan” nhất thì có cách nào để xác định được 3 vị thần sau 1 sốít nhất câu hỏi được không ?Rõ ràng là không thể đặt câu hỏi như nhà hiền triết được.Phải hỏi như[r]
(1)MỘT VÀI CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Bài
:
CHỨNG MINH MỘT SỐ KHƠNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Trong chương trình Tốn lớp 6, em học bài toán liên quan tới phép chia hết số tự nhiên cho số tự nhiên khác và đặc biệt là đượcgiới thiệu số phương, là số tự nhiên bình phương số tựnhiên (chẳng hạn : ; ; ; ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …).Kết hợp kiến thức trên, em giải bài tốn : Chứng minh sốkhơng phải là số phương Đây là cách củng cố kiến thức màcác em học Những bài tốn này làm tăng thêm lịng say mê mơn tốn cho em Nhìn chữ số tận
Vì số phương bình phương số tự nhiên nên thấy số phương phải có chữ số tận là chữ số ; ; ; ; ; Từ em giải bài tốn kiểu sau
Bài toán :
Chứng minh số : n = 20042+20032+20022-20012
khơng phải là số phương Lời giải :
Dễ dàng thấy chữ số tận số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012lần lượt là ; ; ; Do số n có chữ số tận là nên n khơng phải là sốchính
phương Chú ý :
Nhiều số cho có chữ số tận là số ; ; ; ;6 ; là số phương Khi bạn phải lưu ý thêmmột chút : Nếu số phương chia hết cho số nguyên tố p phải chia hết cho p2
Bài toán :
Chứng minh số 1234567890 khơng phải là số phương Lời giải :
Thấy số 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận là 0)nhưng khơng chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận là 90) Do số 1234567890khơng phải là số phương
Chú ý :
Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận là 0), nhưngkhơng chia hết cho (vì hai chữ số tận là 90) nên 1234567890 không là sốchính phương
Bài tốn :
Chứng minh số có tổng chữ số là 2004 số khơng phải là số phương
Lời giải : Ta thấy tổng chữ số số 2004 là nên 2004 chia hết cho màkhơng chia hết nên số có tổng chữ số là 2004 chia hết cho mà khơngchia hết cho 9, số này khơng phải là số phương
(2)Chẳng hạn em gặp bài toán sau : Bài toán :
Chứng minh số có tổng chữ số là 2006 khơng phải là sốchính
phương.Chắc chắn em dễ bị “choáng” Vậy bài tốn này ta phải nghĩ tới điều gì? Vì cho giả thiết tổng chữ số nên chắn em phải nghĩ tới phép chia cho cho Nhưng lại khơng gặp điều “kì diệu” bài tốn Thế ta nói điều số này ? Chắc chắn số này chia cho phải dư Từ ta có lời giải
Lời giải : Vì
số phương chia cho có số dư là
mà (coi bài tập để em tự chứng minh !) Do tổng chữ số số là 2006 nên số chiacho dư Chứng tỏ số cho là số phương
Tương tự em tự giải bài toán : Bài toán :
Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 không phảilà số phương
Xét 1995 số có dạng : 1994 ; 19941994 ; ; Nếu số chia hết cho 1995 dễ dàng có đpcm Nếu số khơng chia hết cho 1995 chia số cho 1995 chỉcó 1994 khả dư là ; ; ; ; 1994.Vì có 1995 số dư mà có 1994 khả dư, theo ngun lí Đi-rích-lê tồn ítnhất số chia cho 1995 có số dư, hiệu chúng chia hết cho 1995 Giảsử hai số là :Khi : = 1994 199400 chia hết cho 1995 (đpcm)
Bài toán :
Chứng minh tồn số tự nhiên k cho (1999^k - 1) chia hếtcho104 Lời giải :
Xét 104 + số có dạng : 19991 ; 19992 ; ; 1999104 + 1.Lập luận tương tự bài toán ta : (1999m - 1999n) chia hết cho 104 (m > n)hay 1999n (1999m-n - 1) chia hết cho 104Vì 1999n và 104 nguyên tố nhau, (1999m-n - 1) chia hết cho 104.Đặt m - n = k => 1999^k - chia hết cho 104 (đpcm)
Bài toán :
Chứng minh tồn số viết hai chữ số chia hết cho2003 Lời giải :
Xét 2004 số có dạng ; 11 ; 111 ; ;Lập luận tương tự bài toán ta :hay 11 100 chia hết cho 2003 (đpcm)
Một số bài toán tự giải : Bài toán :
Chứng minh số ngun tố p ta tìm số viết hai chữ số chia hết cho p
(3)Chứng minh số tự nhiên không chia hết cho và tồn bội củanó có dạng : 111
Bài toán :
Chứng minh tồn số có dạng 1997k (k thuộc N) có tận là0001
Bài toán :
Chứng minh số nguyên m và n nguyên tố thìtìm số tự nhiên k cho mk - chia hết cho n
Các bạn đón đọc số sau :
Nguyên lí Đi-rích-lê với bài tốn hình họcthú vị Bài 6:
NGUN LÍ ĐI-RÍCH-LÊ& NHỮNG BÀI TỐN HÌNH HỌC THÚ VỊ Ngun lí mở rộng sau : Nếu có m vật đặt vào n ngăn kéo và m >k.n có ngăn kéo chứa k + vật Với mở rộng này, ta cịn cóthể giải thêm nhiều bài toán khác Sau xin giới thiệu để bạn đọc làmquen việc vận dụng nguyên lí Đi-rích-lê với số bài tốn hình học Bài tốn :
Trong tam giác có cạnh (đơn vị độ dài, hiểu đếncuối bài viết) lấy 17 điểm Chứng minh 17 điểm có hai điểmmà khoảng cách chúng không vượt
Lời giải : Chia tam giác có cạnh thành 16 tam giác có cạnh 1(hình 1) Vì 17 > 16, theo ngun lí Đi-rích-lê, tồn tam giác
đềucạnh có chứa điểm số 17 điểm cho Khoảng cách haiđiểm ln khơng vượt q (đpcm).Bài tốn : Trong hình vuông cạnh 7, lấy 51 điểm Chứng minh có3 điểm 51 điểm cho nằm hình trịn có bán kính
Lời giải :
Chia hình vng cạnh thành 25 hình vng nhau, cạnh củamỗi hình vng nhỏ 5/7
(hình 2)
Vì 51 điểm cho thuộc 25 hình vng nhỏ, mà 51 > 2.25 nên theo ngun lí Đi-rích-lê, có hình vng nhỏ chứa điểm (3 = + 1) số 51điểm cho Hình vng cạnh có bán kính đường trịn ngoại tiếp là : Vậy bài tốn chứng minh Hình trịn này là hình trịn bán kính 1,chứa hình vng ta
Bài toán :
Trong mặt phẳng cho 2003 điểm cho điểm có 2điểm cách khoảng không vượt Chứng minh : tồn mộthình trịn bán kính chứa 1002 điểm
Lời giải :
(4)tâm A bán kính 1.+ Nếu tất điểm nằm hình trịn C1 hiển nhiên có đpcm.+ Nếu tồn điểm B mà khoảng cách A và B lớn ta vẽ đườngtrịn C2
tâm B bán kính 1.Khi đó, xét điểm C số 2001 điểm lại Xét điểm A, B, C, vìAB > nên theo giả thiết ta có AC ≤ BC ≤ Nói cách khác, điểm C phải thuộc C1hoặc C2
=> 2001 điểm khác B và A phải nằm C1 C2
Theo ngun lí Đi-rích-lê ta có hình trịn chứa 1001 điểm Tính thêm tâm hình trịn này hình trịn này là hình trịn bán kính chứa nhất1002 điểm 2003 điểm cho
Bài toán :
Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 đường thẳng cho đườngthẳng chia ABCD thành hai hình thang có tỉ số diện tích 1/3 Chứng minhrằng, 17 đường thẳng có đường thẳng đồng quy
Lời giải :
Gọi M, Q, N, P là trung điểm AB, BC, CD, DA (hình 3)
Vì ABCD là hình bình hành => MN // AD // BC ; PQ // AB // CD.Gọi d là 17 đường thẳng cho Nếu d cắt AB E ; CD F ; PQ tạiL LP, LQ là đường trung bình hình thang AEFD, EBCF Ta có:S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3 => LP / LQ = 1/3 hoặclà LQ / LP = 1/3.Trên PQ lấy hai điểm L1, L2thỏa mãn điều kiện L1P / L1Q = L2Q / L2P = 1/3 L trùng với L1hoặc L trùng với L2.Nghĩa là d cắt AB và CD d phải qua L1hoặc L2.Tương tự, MN lấy hai điểm K 1, K2thỏa mãn điều kiện K 1M / K 1N = K N /K 2M = 1/3 d cắt AD và BC d phải qua K K
Tóm lại, đường thẳng số 17 đường thẳng cho phải qua 4điểm L1; L2; K1; K2
Vì 17 > 4.4 nên theo ngun lí Đi-rích-lê, 17 đường thẳng có 5đường thẳng (5 = + 1) qua điểm L1; L2:K1:K2(5 đường thẳng đồng quy, đpcm)
Sau là số bài tập tương tự Bài :
Trong hình chữ nhật có kích thước x 5, lấy điểm Chứng minhrằng có hai điểm cách khoảng khơng vượt
Bài :
Trong mặt phẳng tọa độ, cho ngũ giác lồi có tất đỉnh là điểmnguyên (có hoành độ và tung độ là số nguyên) Chứng minh cạnh bên ngũ giác cịn điểm ngun khác
Bài :
Tờ giấy hình vng có cạnh bé là để cắt 5hình trịn có bán kính
(5)Trên tờ giấy kẻ ô vng, chọn 101 Chứng minh trong101 có 26 khơng có điểm chung
Bài :
BÀN LUẬN VỀ BÀI TOÁN "BA VỊ THẦN"
Chúng ta biết bài toán thú vị : “Ba vị thần” sau : Ngày xưa, ngơi đền cổ có vị thần giống hệt Thần thật thà (TT)ln ln nói thật, thần dối trá (DT) ln ln nói dối và thần khơn ngoan (KN)lúc nói thật lúc nói dối Các vị thần trả lời câu hỏi khách đến lễ đền nhưngkhơng xác định xác vị thần Một hơm có nhà hiền triết từ xađến thăm đền Để xác định vị thần, ông hỏi thần bên trái :- Ai ngồi cạnh ngài ?- Đó là thần TT (1)Ơng hỏi thần ngồi :- Ngài là ?- Ta là thần KN (2)Sau ông hỏi thần bên phải :- Ai ngồi cạnh ngài ?- Đó là thần DT (3) Nhà hiền triết lên :- Tôi xác định vị thần.Hỏi nhà hiền triết suy luận nào ?
Lời giải :
Gọi vị thần theo thứ tự từ trái sang phải là : A, B, C
Từ câu trả lời (1) => A là thần TT.Từ câu trả lời (2) => B là thần TT.Vậy C là thần TT Theo (3) đ B là thần DT đ A là thần KN
Nhận xét :
Cả câu hỏi tập trung xác định thần B, phải là cách hỏi“thơng minh” nhà hiền triết để tìm vị thần ? Câu trả lời khơng phải, mà lànhà hiền triết gặp may vị thần trả lời câu hỏi không “khôn ngoan” ! Nếu vị thần trả lời “khôn ngoan” mà đảm bảo tính chất vị thầnthì sau câu hỏi, nhà hiền triết xác định vị thần nào Ta sẽthấy rõ qua phân tích sau cách hỏi nhà hiền triết :1 Hỏi thần X :- Ngài là ?Có khả trả lời sau :- Ta là thần TT => không xác định X (Cách trả lời khôn nhất)- Ta là thần KN => X là thần KN DT- Ta là thần DT => X là KN2 Hỏi thần X :- Ai ngồi cạnh ngài ?Cũng có khả trả lời sau :- Đó là thần TT => thần X khác thần TT- Đó là thần KN => không xác định X (cách trả lời khơn nhất)- Đó là thần DT => khơng xác định X (cách trả lời khôn nhất)Trong cách hỏi nhà hiền triết có cách trả lời khiến nhà hiền triếtkhơng có thơng tin nào ba vị thần làm mà xác định cácvị thần Nếu gặp may (do trả lời ngờ nghệch) cần sau câu hỏi nhà hiềntriết đủ để xác định vị thần Các bạn tự tìm xem trường hợp câu trảlời vị thần là nào
Bài toán cổ này thật là hay và dí dỏm, vị thần trả lời theo
(6)số câu hỏi nhiều là Các bạn rút số câu hỏi xuống 4được không ? Xin mời bạn giải trí bài tốn này phương án tuyệt vời nào