hsg lop 9

[r]

Buæi 1

:

I> P

2

chứng minh đẳng thức

: A = B

P2 : Biến đổi trực tiếp : B đổi vế vế : A = A

1=A2=…….=B

: So s¸nh : A=A1=A2=………=C ; B=B1=B2=….=C ; =>A =B

:Dùng định nghĩa : A-B=0

:Biến đổi tơng đơng : A=B  A1=B1 A2=B2….<=> An=Bn =>A=B

:sử dụng giả thiết để biến đổi ( Sd đẳng thức ) :P2 quy nạp toán học

:Sư dơng biĨu thøc phơ

II> P

2

chứng minh đẳng thức

: A > B

1.Dùng định nghĩa : A>B

 A – B >

Biến đổi trực tiếp : A=A

1=A2=….=B + m2> B ( m0)

Sử dụng giả thiết đẳng thức chứng minh

So s¸nh : A>A

1>A2>….>C ; B<B1<B< … <C => A >B

Bắc cầu A > C ; C > B => A>B

Biến đổi tơng đơng : A>B

 A1>B1 A2>B2….<=> An>Bn =>A>B

P2 quy nạp toán học

P2 phn chứng : gỉa sử A B phép biến đổi tơng đơng vô lý => A>B

9.Sử dụng BĐT Cô Si : Với a,b  0 a b ab DÊu = xÈy a=b

10 BĐT Bunhiacỗpki : Cho cặp số ( a;b ) ( x; y ) th× ( · + by )2  ( a2 + b2 )( x2 + y2 ) DÊu = xÈy

a b

x y víi x; y 0 11 a b  a b DÊu = xÈy ab0

a  b  a b DÊu = xÈy a b 0 hc a b

12 Sử dụng BĐT tam giác : a+b >c > a-b 13 (a-b)2 0  a2 +b2 2ab

14

1

a b a b DÊu = xÈy a=b

15 a b

b a  (a ; b > 0)

Bài tập đẳng thức

B1: Cho a + b + c = CMR a a3 + b3 + c3 = 3abc

c ( ab + bc + ac )2 = a2b2 + b2c2 + a2c2

d a 4 + b4 + c4 =2( ab + bc + ac )2

e a 4 + b4 + c4 =

1

2 Víi a2 + b2 + c2 =1

f a 4 + b4 + c4 =

1

2( a2 + b2 + c2 )2

B2: Cho a + b + c + d =0 CMR a3 + b3 + c3 + d3 = 3( b + c )( ad – bc )

B3 :CMR nÕu a 4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd a,b,c,d > Thì a = b = c = d

B4 : a > CMR nÕu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac Th× a = b= c

b > Cho ( a + b + c )2 = 3( ab + bc + ac ) CMR a = b= c

B5 : Cho sè a,b,c Tho¶ m·n : a + b + c = ;

1 1

a b c  = CM a2 + b2 + c2 =1

B6 : CMR nÕu a = b +1 Th× ( a + b)( a2 + b2 )( a4 + b4 ) = a8 – b8

B7 :Cho a,b,c vµ x,y,z Tho¶ m·n

x y z

a b c = vµ

a b c

x yz = CMR

x y z a b c  = 1 B8 : Cho x,y,z > CM ( x2 + 1)( y2 + 2)( z2 + 8) = 32xyz

B9 : Cho sè a,b,c 0 Tho¶ m·n : a + b + c =

1 1

a b c  vµ abc = CM mét sè a,b,c cã Ýt nhÊt mét sè =

B10 : a> T×m a,b biÕt a+b = ab = a

b ( b0) b>T×m a,b,c BiÕt ab = ; bc = ; ac = 54 B11: a> Cho sè a,b,c T/m·n a + b + c = 2008 vµ

1 1

a b c  =

1

2008 th× sè ph¶I cã sè =

2008

b> Cho sè a,b,c T/m·n a + b + c = 2009 vµ

1 1

a b c  =

1

2009 số phảI có sè =

2009

c> Cho sè a,b,c T/m·n a + b + c = n vµ

1 1

a b c  =

1

n th× sè ph¶I cã sè = n

Bi + 3

bài tâp bất đẳng thức

Bµi 1: a> Cho : a + b =2 CMR a2 + b2  2

b> Cho : a + b + c + d = CMR a2 + b2 + c2 + d2  1

Bµi : CMR : a> a2 + b2 

a b

 

 

  : b> a2 + b2 + c2

a b c 

 

 

 

Bµi : Cho a,b,c  R ; CMR : 4 a

+ b2 + c2  ab – ac + 2bc

Bµi : Cho a,b,c  R vµ abc = ; a3 > 36 CMR: a2/3 + b2 + c2 > ab + ac + bc

Bµi : CMR víi mäi a,b,c  R ta lu«n cã : a4 + b4 + c2 +  2a(ab2 –a +c +1)

Bµi : Cho a + 2b + 3c  14 CMR : a2 + b2 + c2 14

Bµi : CMR

a b c a b c b c a   c a b

Bµi : a> CMR : a2 + b2 + c2  ab + ac + bc

b>Cho a,b,c > CMR ;

bc ac ab

a b c

a  b  c   

c> Cho abc = CMR : a4 + b4 +c4  a + b + c

Bµi 10 : Cho a,b,c > CMR: ( a2 + b2 )c + (b2+ c2)a + (a2+c2 )b  6abc

Bµi 11 : Cho a + b > CMR : a4 + b4 >

1

Bµi 12 : Cho a,b R ; CMR : ( a + b )2  2( a2 + b2)

Bµi 13 : Cho a,b  R ; CMR : a3 + b3 + ab 

1

Bµi 14 : a> Cho a,b > CMR : a3 + b3  ab( a +b )

b> Cho a,b,c  R ; CMR : a2 + b2 + c2  a( b + c)

Bµi 15 : Cho a,b,c,d > CMR : (a b c d )(  ) ac bd Bµi 16 : Cho a,b,c  R ; CMR : ab





a b a b

 

Bµi 17 : Cho a + b + c =1 CMR : a2 + b2 + c2 

1

Bµi 18 : Cho a,b,c  vµ a + b + c =1 CMR : b + c  16abc

Bµi 19 : Cho a,b  R vµ a + b  CMR : a2 + b2

1 

Bài 20 : CMR a,b,c > <

a b c

a b b c a c     < 2

Bài 21 : CMR số dơng a,b,c thoả mÃn BĐT :

1 1

2; 2;

a b c

b c a

     

Bµi 22 : Cho a,b,c  R vµ abc > tho¶ m·n : a2 + b2 + c2 =

5

3 C/m:

1 1

a b c   abc Bµi 23 : Cho a,b > vµ a + b = CMR :

1

1

a b

   

  

   

   

Dùng BĐT Cô Si để C/m Các BĐT sau

:

Bµi 24 : Cho a,b,c  CMR : ( a + b)( b + c )( a + c )  8abc

Bµi 25 : Cho sè a,b  CMR : a2 + b2 + 1 ab + a + b

Bµi 26 : a> Cho sè a,b  CMR : a2 + b2  a + b -

1

Bµi 27 : Cho a,b,c > CMR : ( a + b + c )

1 1

a b c

 

  

 

  9

Bµi 28 : a > Cho a>b> C/M : a +

1 ( )

b a b 

b> Cho a,b > C/m : a33b55 ab c> Cho a,b,c > vµ a+ b+c = C/m :

1 1

1 1

a b c

     

   

     

      64

d> Cho a,b,c > C/m:

3

a b c

b c a c a b     

Bµi 29 :Cho a,b,c > C/m:

a b c

b c  a c  a b  2

Bµi 30 : Cho a,b  C/m : a b1b a1ab

Bµi 31 : a> Cho a , b > CMR :

1

a b a b

b> Cho a,b > vµ a+b= C/m:

1

ab a b   8

c> Cho a,b > vµ a+b= C/m:

1

ab a b   6

d> Cho a,b,c > T/m abc = ab + bc + ac C/m:

1 1

2 3 16

a b c a b c  a b  c e> Cho a,b,c,d > CMR :

a c b d a c b d a b b c d c a d

   

   

   

f> Cho a,b,c,d > vµ a+b+c+d=1 CMR :

1 1 16

a b c d    g> Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác ,P chu vi CMR :

1 1 1

2

P a P b P c a b c

 

      

    

Bµi 32 : Cho a,b,c R T/m abc=1 C/m:

1 1

2 3

a b b c c a 

Bµi 33 : Cho a,b,c >0 T/m: a+b+c=1 C/m: a b  b c  a c (Bu-nhi-a-cốp-xki )

áp dụng BĐT tam giác

Bài 34 :Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác C/m: a) ab + bc + ac  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)

b) ( a + b –c )( b + c – a )( a + c –b )  abc

c) Thì a b c; ; độ dài cạnh tam giác d)

1 1 1

e)

a b c

b c a c a b     

f) a3 + b3 + c3 + 3abc > ab(a+b) + bc( b+ c) + ac( a+ c)

g)

a b c

b c a a c b a b c         3

h) Th×

1 1

; ;

a b a c b c   độ dài cạnh tam giác

i) a2 + b2 + c2 + 2abc < Víi a + b + c =2

Bi :

t×m GTLN ; GTNN cđa biĨu thøc

Bµi : Cho x + y = T×m

a> GTNN cña : A = x2 + y2 ; B = 9x2 +4 y2 ; C = 8x2 +5 y2

b> GTNN cña : P = x3 + y3 + xy

c> GTLN cña : Q = x3 + y3 + 4x2y + 4xy2

Bµi : Cho x,y > ; x + y = T×m GTNN cđa A =

1

1

x y

 

 

   

 

    ; B =

1

1

x y

 

 

   

 

    ; C =

1

1

x y

 

 

   

 

   

Bµi : a.> Cho x, y > ; x + y = T×m GTNN cđa : A =

1

xy b> Cho x, y > ; x + y = 10 T×m GTNN cña : A =

1

x y

c> Cho x,y > ; thoả mÃn x+y Tìm GTNN A= 3x+2y +

x y d> Cho x,y > ; tho¶ m·n x+y  T×m GTNN cđa A=

1 501

x y  xy e> Cho x > T×m GTNN cña A = 2x +

1

x

Bài : a> Cho x, y thoả mÃn : x + 2y = T×m GTNN cđa A = x2 + 2y2

b> Cho x,y tho¶ m·n : x + 2y = T×m GTLN cđa A = xy

c> Cho x,y tho¶ m·n : x + y = T×m GTLN cđa A = x 3 y d> Cho x, y T/m·n : x2 + y2 = T×m GTLN cña P = 2x + 3y

e> Cho x,y T/m : 3x + y = T×m GTNN cña A = 3x2 + y2

Bài :a> Tìm GTNN A = x2 + 2y2 – 2xy – 4y + 5

b> T×m GTNN cđa A = 5x2 + 5y2 + 8xy – 2x + 2y

c> T×m GTLN cđa A = - 5x2 – 5y2 + 8x – 6y -1

d> T×m GTNN cña A = ( x – )2 + ( x – )2

e> T×m GTNN cđa A = x  x

Bµi : T×m GTNN cđa A = 2x + 3y 4z Biết x, y , z nghiêm HPT 2x + y + 3z = 3x + 4y – 3z= Bµi : a> Cho x,y  R , x2 + y2=1 T×m GTNN,GTLN cđa A = x + y

b> Cho x,y  R , x2 + 4y2=25 T×m GTNN,GTLN cđa A = x + 2y

c> Cho x + y = T×m GTNN, GTLN cđa A = x1 y d> T×m GTNN,GTLN cđa A = 2x + 5 x

Bµi :Cho x,y R T/m:(x+y)2 + 7(x+y)2 + y2 +10 = T×m GTNN,GTLN A=x+y+1

Bài : Tìm GTNN ; GTLN cđa c¸c BT A= x x 

 ; B =

1

x x



 ; C =

2

x x x

 

 ; D = ( 1)

x x



 ; E =

1

x x x



  ; F =

3 1 x x x    G= x x 

 ; H =

27 12

x x



 ; M =

2

x x



 ; N =

3

x x x

 



Buæi + 6

các toán bậc hai

Bài : Giải PT :

a> x + - x3 = ; a, > x 3 x = a” > x 2x2 = x -

b> 3x6x 7 5x10x14 = – 2x – x2

c> 3x18x28 4x 24x45 = 6x – x2 –

d> 3x12x16 y 4y13 =

e> x 3 5 x = x2 – 8x + 18 ;e, > x 1 7 x = x2 – 6x + 13

f> x 2 6 x = x2 - 4x + ; f, > x 2 6 x = x2 – 4x + 8

g>

1

1

2

x y  z 

( x + y + z) h>

1 2000 2001 2002

2

x  y  z 

(x+y+z)-3000 i> 10 24 40 60 2008(2x1) 2 3 j> ( x2 + 1)( y2 + 2)(z2 + 8) = 32xyz

k> x2 + y2 – 2x + 4y + = ( víi x,y Z )

m> x + y + z + = x 4 y 6 z ;

n>

3

2

2

x x x  x x  

; n, > x 2 2x 5 x 2 2x 2

o> x x1 x 3 x 1 ; o, > x 3 x1 x 8 x 1

p> + x2 x 2 x x1 ; p, > x 3 x 1 x 8 x1 5

q> x2 + 2x = 2x4x 8 20 ; q, > x 2x5 = x2 – 2x –

r> x 2x 1 x4x4 3 ; r, > 3x2 + 2x = 2 x x - x +1

s>

2

x x x

 

 = x + ; s, > 8 x  5 x 5

t> 25 x 9 x2 ; t, > x3 - 3 2x2 + 3x + 2 =

u> x2 + x2004 = 2004 ; u, > x2 + x2008 = 2008

v> x 3x 2 x 3 x 2 x2x

w> 2 x 2x 4 x = ; w, > x 2x 3 x2  x 3 x3x2

x> x 2008+ x 2009 = ; x, > x 2004+ x 2005 = 1

Bµi : TÝnh GT c¸c biĨu thøc sau :

A = 21 6  21 6 ; B = 13 30 2  2 C = 5  5 ; D = 32 28  12 7

E = 4 10 5  4 10 5 ; F = 4 10 5  4 10 5 G = 4  4 ; H = 4 15  4 15 3  Bµi : Chøng minh biĨu thøc

A =

3 13 48

  

 lµ sè nguyªn ; C = 5 3 29 12 số tự nhiên

B =

(5 6)(49 20 6) 11

  

 số nguyên ; D = 5 48 10 3   lµ SN

A = (4 15)( 10 6) 4 15 ; B = 3 (3 5)( 10 2) C =



5 21

 

14 6





5 21



; D =



10 5

 





3

E = 4 2 2 2 2

Buổi 7

Các toán rút gọn biÓu thøc

1> Cho Bt: P =

2

1

1 2

x x x x x x x x

x

x x x x x

     

 

 

      

 

a> Tìm ĐKXĐ RG P ; b> T×m GTNN cđa P

2> Cho BT : P = 1-



 

1



2

1

x x x

x x x x x x

x x x x

   

      



 

 

  

   

a> Tìm ĐKXĐ RG P ; b> Tìm GTNN 2000- P x 4 ; c> Tìm xZ để P Z

3> Cho BT : P =

1

1 :

1 1

x x

x x x x x x

   

 

   

        

   -1

a> Tìm ĐKXĐ RG P ; b>Tìm xZ để P Z ; c> Tìm x để P<1 ; d>Tìm x để PP

4> Cho BT : P =

2x x x x x

x x x x x

  

 

 

a>RG P ; b> So s¸nh P víi ; c> CMR  x ĐKXĐ

P nhận GT nguyªn

5> Cho BT : P =

1

1 1

x x x

x x x x x

  

 

   

a> Rót gän P ; b> T×m GTLN cđa Q =

2

x P

6> Cho BT : P =

2

:

5

x x x x

x x x x x

      

  

   

        

   

a> Rút gọn P ; b> Tìm x để

1

P

7 > Cho BT : P =

3 1

2 :

2

x x

x

x x x x

   

  

 

      

 

a> Rút gọn P; b> Tìm xN để

1

7> Cho BT : P =

2 1

1 1

x x

x x x x x

 

 

   

a> Rót gän P ; b> TÝnh GTBT x = 33 - ; c> C/m P <

1

8> Cho BT : P =





2

1

x

x x x x

x x x x



 

 

  

a> Rút gọn P ; b> Trìm GTNN P ; c> Tìm x để Q =

2 x Z P 

9 > Cho BT : P =

5 25

1 :

25 15

x x x x x

x x x x x

     

  

 

      

 

a> Rút gọn P ; b> Tìm x để P < ; c > Tính GTBT x = 19 - 240 10 > Cho BT : P = x -

2

1

1

x x x x

x x x

 

 

  