De thi hsg toan9

tam giác OPM cũng vuông cân tại P.[r]

(1)

kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Môn : Toán Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút

Đề thi gồm 02 trang Bài 1: (3 điểm)

Cho biểu thức:

3

6 3

3

x x x

A x

x x x

x

 

   

     



  



   

1 Rút gọn biểu thức A

2 Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 2: (4,0 điểm)

Cho parabol (P):

2

1 y x

và đường thẳng d y: 2x m (m là tham số).

1 Với giá trị nào của m thì (P) và d chỉ có một điểm chung? Khi đó d gọi là tiếp tuyến của parabol (P), vẽ tiếp tuyến đó

2 Vẽ parabol (P) và đường thẳng d y: 2x m cùng một đồ thị Từ đồ thị suy ra, tập những giá trị của m để d cắt (P) tại điểm có hoành độ dương

3 Tìm các giá trị của m để phương trình x4 4x22m0 có nghiệm phân biệt Tính các nghiệm đó theo m

Bài 3: (3,5 điểm)

1 Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của hai chữ số của nó có phân số tối giản là

16

9 và hiệu của số cần tìm với số có cùng các chữ số với nó viết theo thứ tự ngược lại bằng 27

2 Hãy tìm các chữ số a b c d, , , biết rằng các số a ad cd abcd, , , là các số chính phương

Bài 4: (4,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B Từ một điểm M tùy ý đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm)

1 Chứng minh rằng MN2 MP2 MA MB

2 Dựng vị trí điểm M đường thẳng d cho tứ giác MNOP là hình vuông

3 Chứng minh rằng tâm của đường tròn nội tiếp và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP lần lượt chạy hai đường cố định M di động đường thẳng d

Bài 5: (2,0 điểm)

(2)

Bài 6: (3,0 điểm)

1) Trong các tấm bìa trình bày dưới đây, mỗi tấm có một mặt ghi một chữ cái và mặt ghi một số:

+ Chứng tỏ rằng để kiểm tra câu sau có đúng không: "Nếu mỗi tấm bìa mà mặt chữ cái là nguyên âm thì mặt là số chẵn", thì chỉ cần lật mặt sau của tối đa là tấm bìa, đó là tấm bìa nào ?

2) Để thành lập các đội tuyển học sinh giỏi khối 9, nhà trường tổ chức thi chọn các môn Toán, Văn và Ngoại ngữ tổng số 111 học sinh Kết quả có: 70 học sinh giỏi Toán, 65 học sinh giỏi Văn và 62 học sinh giỏi Ngoại ngữ Trong đó, có 49 học sinh giỏi cả môn Văn và Toán, 32 học sinh giỏi cả môn Toán và Ngoại ngữ, 34 học sinh giỏi cả môn Văn và Ngoại ngữ Hãy xác định số học sinh giỏi cả ba môn Văn, Toán và Ngoại ngữ Biết rằng có học sinh không đạt yêu cầu cả ba môn

Hết

6

(3)

kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Môn : toán

Đáp án và thang điểm:

Bài 1 y Nội dung Điểm

(2 điểm)

1. 1.1

(2 đ)

3

6 3

3

x x x

A x

x x x

x                     

Ta có:





2

3x2 3x 4 3x1  3 0;1 3x0, x

, nên điều kiện để A có nghĩa là







 



3 x   x x x  x  x    x









3

1

6

3

x

x x

A x

x x x

x                             







 







6 3

3 3

x x x

A x x x

x x x

                 



 







3

3 3

x x

A x x

x x x

               





3 x A x    ( x   ) 0,50 0,25 0,50 0,25 0,50 1.2 (1,0 đ)













3

3 3

x x x

A x

x x x

    

   

  

Với x là số nguyên không âm, để A là số nguyên thì

3 3

3

3 x x x x x x               

 (vì xZ và x0). Khi đó: A4

0,50

(4)

2 2.1

(1,5đ) Phương trình cho hoành độ giao điểm của (P) và d là:1 2 2

2

2x x m x x m

      

(1)

Phương trình (1) là phương trình bậc hai nên để (P) và d chỉ có một điểm chung thì phương trình (1) có nghiệm kép, tương đương với:

' 2m m

     

Khi đó đường thẳng d là tiếp tuyến của (P) có phương trình y2x2

Vẽ đúng tiếp tuyến

0,25 0,50 0,25 0,25 0,25

2.2

(1,25 đ)

+ Vẽ đúng (P)

+ Đường thẳng d y: 2x m song song với đường thẳng y2x2 và cắt

trục Oy tại điểm B(0; m)

+ Dựa vào đồ thị ta có: Để d cắt (P) tại hai điểm có hoành độ dương thì 0m2

0,25

0,50 0,50

2.3

(1,25đ)

4 4 2 0

x  x  m (2)  X2 4X 2m0 và (X x2 0) (3)

Để phương trình (2) có nghiệm phân biệt thì phương trình (3) phải có

nghiệm dương phân biệt Từ câu và ta suy 0m2.

Khi đó nghiệm của (2) là: x1,2  2 2 m và x3,4  2 2 m

0,25 0,50 0,50

3. 3.1

(1,25 đ) Gọi số cần tìm là xy với x y, Z;1x y, 9

Theo giả thiết:





10 16

3

90 16

10 10 27

x y

x y xy

x y xy

x y y x

 

   





 

 



    



Giải hệ ta có

3 9;

16 x  x 

(loại) Suy y6 Vâỵ số cần tìm là 96

0,25

0,50

0,50 3.2

(2,25 đ) a là số chính phương, nên

1, 4,9 a .

Ta có 92 81; 102 100 nên không có số 9x nào là số chính phương Do đó

(5)

a chỉ có thể là hoặc 4.

ad là số chính phương nên ad chỉ có thể là 16, hoặc 49 Nên d chỉ có thể là

(6)

cd là số chính phương nên cd chỉ có thể là 16, hoặc 36, hoặc 49 Nên Nên c

chỉ có thể là 1, hoặc 3, hoặc

Nếu a1 thì d 6và c1 hoặc c3, đó abcd 1 16b hay b1 36 và

 

1 6bc  x4 hay x6

Ta có: 262 676; 342 1156; 362 1296; 442 1936; 462 2126 Chỉ chọn

được 1936

Nếu a4 thì d 9 và c4, đó

 

2

4 49

abcd  b  x hay x

Ta có: 632 3969; 672 4489; 732 5329 Không chọn được số nào

Vậy chỉ có các chữ số a1,b9,c3,d 6 thỏa mãn điều kiện bài toán

0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

4 4.1

(1,25 đ)

Ta có: MN = MP (Tính chất của tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh được tam giác MAN và MNB đồng dạng

Suy ra:

2 .

MA MN

MN MP MA MB

MN MB   

0,25 0,50 0,50

4.2

(1,25 đ) Để MNOP là hình vuông thì đường chéo OM ON 2R

Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OACD, dựng đường tròn tâm O qua điểm D, cắt (d) tại M

Chứng minh: Từ M vẽ tiếp tuyến MN và MP Ta có

2

MN  MO  ON R, nên Tam giác ONM vuông cân tại N Tương tự,

tam giác OPM cũng vuông cân tại P Do đó MNOP là hình vuông

Bài toán có nghiệm hình vì OM R R

0,25 0,25

0,50 0,25

4.3

(2,0 đ)

+ Ta có: MN và MP là tiếp tuyến của (O), nên MNOP là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM Tâm là trung điểm H của OM Suy tam giác cân MPQ nội tiếp đường tròn đường kính OM, tâm là H

+ Kẻ OEAB, thì E là trung điểm của AB (cố định) Kẻ HL( )d thì HL //

OE, nên HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra:

1 HL OE

(không đổi)

+ Do đó, M động (d) thì H cách dều (d) một đoạn không đổi, nên H chạy đường thẳng (d') // (d) và (d') qua trung điểm của đoạn OE

0,25

0,5

(7)

+ Ta có: OM là phân giác góc NMP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Kẻ tia phân giác góc PNM cắt đường tròn (O) tại điểm F, đó

 

NF FP (ứng với góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng

nhau)

+ Suy F ở OM, đó F là tâm đường tròng nội tiếp tam giác MNP + Vậy M động (d) thì tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP chạy đường tròn (O)

0,5 0,25 0,25

5 (2,0 đ)

+ Đường thẳng BC có phương trình dạng: y ax 2 (đi qua B(0; 2) và qua C(-3; 0) nên

2 a

Do đó phương trình của đường thẳng BC là:

2 y x

+ Tam giác ADC cân tại D (gt), nên CAD DCA  , suy hệ số góc của AD là số đối của hệ số góc của BC, nên phương trình của AD có dạng

2 y x b

Mà AD qua A(1; 0) nên b

, suy ra, phương trình của đường thẳng AD là:

2

3

y x

+ Gọi E(m; 0) thuộc đoạn CA thì ( 3 m1) Đường thẳng d song song với AD nên d:

2 y x b

, d qua E nên:

2

:

3

m d y x

+ Phương trình đường thẳng BE: y ax 2 BE qua E(m; 0) nên

2 a

m 

m0; còn nếu m0 thì BE Oy Do đó phương trình của BE là:

2

y x

m

 

(m0) và x0 (m = 0).

+ Phương trình cho hoành độ giao điểm G của BE và AD là:

2 2

2 ;

3 3

m

x x x

m m



     

 suy tung độ của G:

2( 1)

3 m y

m  





m



0,25

(8)

(9)

hệ phương trình:

2( 1)

3

9

2 2( 1)

6( 1)

3

9 m

a b a

m ma m m b b m m m                            

Suy hệ số góc của đường thẳng CG là

2( 1) m a m    0,25

+ Phương trình đường thẳng AB: y2x2

+Phương trình cho hoành độ giao điểm F của AB và d là:

2

3

m m

x x x 

     

; suy tung độ của F là: y m 1

+ Phương trình đường thẳng CF có dạng: y a x b '  ', CF qua C và F nên:





2( 1)

3 ' ' '

9

3 '

6( 1)

' '

2 9

m

a b a

m m a

m

b m b

m                           .

Suy hệ số góc của đường thẳng CF là:

2( 1) ' m a a m     .

+ Hai đường thẳng CG và CF ở về hai phía đối với CA và có hệ số góc đối

nhau, nên cùng tạo với CA (trục Ox) một góc nhọn bằng nhau, suy ra: CG và CF đối xứng qua CA

0,25 0,25

+ Trường hợp m0: BE: x =0, nên

2 0;

3 G 

 , hệ số góc của CG là

2 a

;

đường thẳng d:

2 y x

, tọa độ điểm

3 ; F  

 , hệ số góc của CF là

' a 

, bài toán vẫn còn đúng

0,25

6

6.1

(1,25 đ)

+ Câu: "Nếu mỗi tấm bìa mà mặt chữ cái là nguyên âm thì mặt là số chẵn" đúng kiểm tra các tấm bìa ở mặt chữ cái nếu là nguyên âm thì mặt sau phải là số chẵn, còn tấm bìa nào có mặt chữ cái là phụ âm thì mặt số là số chẵn hoặc lẻ đều không ảnh hưởng

Do đó nếu lật tấm bìa chữ A mà mặt sau là số lẻ, thì khẳng định câu không đúng, ngược lại mặt sau là số chẵn thì phải lật tiếp mặt sau của tấm bìa có chữ số 3, nếu mặt đó là phụ âm thì câu hoàn toàn đúng, ngược lại là sai Còn mặt sau tấm bìa chữ M có thể số chẵn hoặc lẻ đều được, cũng mặt sau tấm bìa số là nguyên âm hoặc phụ âm đều được, câu đều đúng Vậy chỉ cần lật tối đa tấm bìa chữ A và số là có thể kiểm chứng được câu là đúng

0,50

0,25 0,25

(10)

6.2

(1,75 đ) + Gọi x là số học sinh giỏi cả môn Văn,Toán, Ngoại ngữ (x > 0), dựa vào biểu đồ

ta có:

Số học sinh chỉ giỏi một môn Toán là:





70 49  32 x

Số học sinh chỉ giỏi một môn Văn là:





65 49  34 x

Số học sinh chỉ giỏi một môn Ngoại ngữ là:





62 34  32 x

0,25 0,25 0,25 0,25

+ Có học sinh không đạt yêu cầu nên:













111 70 49    32 x 65 49  34 x 62 34  32 x 

49



x

 

x



82 x 105 x 23

    

Vậy có 23 học sinh giỏi cả môn

0,50