pt luong giac

[r]

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A>Lý thuyết :

I>Các phương trình lượng giác : 1.sinx = sina ¿x=π − a+k 2π

x=a+k.2π ¿ ⇔¿

2.cosx = cosa ⇔x=± a+k.2π 3.tanx = tga  x = a + k. 4.cotx = cota  x = a + k. II>Các phương trình đặc biệt : 1.sinx = ⇔x=k.π

2.cosx = ⇔x=π

2+k.π

3.tanx = ⇔x=k.π 4.cotx = ⇔x=π

2+k.π

5.sinx = ⇔x=π

2+k 2π

6.cosx = ⇔x=k 2π 7.tanx = ⇔x=π

4+k.π

8.cotx = ⇔x=π

4+k.π

9.sinx = -1 ⇔x=−π

2+k.2π

10.cosx = - ⇔x=π+k 2π 11.tanx = -1 ⇔x=−π

4+k.π

12.cotx = -1 ⇔x=−π

4+k.π

III>Phương trình bậc hai hàm số lượng giác : 1.Dạng : Đó phương trình có dạng sau : asin2x + bsinx + c = (1)

acos2x + bcosx + c = (2)

atan2x + btanx + c = (3)

acot2x + bcotx + c = (4)

với a  2.Cách giải :

a.Đặt : u = sinx u = cosx với |u|≤1 phương trình (1),(2) b.Đặt : u = tgx u = cotgx phương trình (3) , (4)

Đưa phương trình phương trình bậc hai Tính u chuyển phương trình để tìm x

IV>Phương trình bậc theo sinx cosx : 1.Dạng : asinx + bcosx = c (1)

a.Cách : asinx + bcosx = c

sin cos sin tan cos sin( ) cos

b c

x x

a a

c

x x

a c

x

a



 

  

  

  

Phương trình cuối phương trình lượng giác b.Cách : asinx + bcosx = c

⇔ a

√a2

+b2sinx + b

√a2

+b2cosx = c

√a2 +b2

cosϕ= a

√a2+b2;sinϕ= b

√a2+b2 ¿

¿

⇔cosϕ sinx+sinϕ cosx= c

√a2 +b2

¿

Phương trình cuối phương trình lượng giác c.Cách :

- Xem x=π+k 2π có phải nghiệm khơng ? phải ghi nhận

- Giả sử x ≠ π+k.2π , đặt : tan2

x t sinx= 2t

1+t2;cosx=

1−t2

1+t2

Phương trình (1) trở thành phương trình bậc hai theo t Chú ý : Điều kiện tồn nghiệm phương trình (1) : a2 + b2 c2

V>Phương trình đẳng cấp :

1.Dạng : asin2x + bsinx.cosx + ccos2x = d

2.Cách giải : a.Cách :

- Kiểm tra xem x=π

2+k.π có phải nghiệm khơng ?

- Nếu x ≠π

2+k.π cách chia hai vế phương trình cho cos2x ta đưa

về phương trình dạng : atg2x + btgx + c =

b.Cách :

sin2x=1−cos 2x

2 cos2x

=1+cos 2x

2 sinxcosx=1

Ta đưa phương trình dạng : Acos2x + Bsin2x = C

VI>Phương trình đối xứng phương trình phản xứng : 1.Phương trình đối xứng :

a.Dạng : a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c a , b , c  R

b.Cách giải : Đặt :

t=sinx+cosx=√2 cos(x −π

4)

|t|≤√2

⇒sinxcosx=t

−1

Phương trình cho trở thành : bt2 + 2at – (b + 2c) = 0

2.Phương trình phản xứng :

a.Dạng : a(sinx – cosx) – bsinxcosx = c b.Cách giải :

Đặt :

t=sinx −cosx=√2sin(x −π

4)

|t|≤√2 ⇒sinxcosx=1−t

2

2

Phương trình cho trở thành : bt2 + 2at – b – 2c =

B>Bài tập :

I>Các tập : Giải phương trình sau : 1.6cos2x + 5sinx – =

2.cos2x + 3sinx = 3.1 + cosx + cos2x =

tan3x – 3tan2x – 2tanx + =

5.6sin2x – sinxcosx - cos2x = 3

6.3sin2x – sinxcosx – 4cos2x = 2

7.cos3x – 4cos2xsinx + cosxsin2x + 2sin3x =

8.2cos3x + sinx – 3sin2xcosx =

sinx+√3 cosx=2 10 sin 2x+sin2x=1

2

11 sin17x+√3 cos 5x+sin5x=0 12.2(sinx + cosx) + sin2x + = 13.sinx + cosx = – sin2x

15.sin3x + cos3x = √2

2

II>Một số đề thi đại học : Giải phương trình sau :

1.sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) ( ĐHQG HN 98)

2.3cos4x – 4cos2x.sin2x + sin4x = (ĐHQG TPHCM 98)

sin3(x −π

4)=√2sinx (ĐHQG TPHCM 98)

4.tgx.sin2x – 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) (ĐHMỏ địa chất 99)

5.4(cos4x + sin4x) +

√3 sin4x = (ĐH Văn lang TP HCM 98) 6.4sin3x – = 3sinx -

√3 cos3x (CĐHQ 98)

sinx+√3 cosx+√sinx+√3 cosx=2 (ĐHSP Qui Nhơn 98) 8.9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x =

9.Cho phương trình : sin2x + (2m – 2)sinxcosx – (m + 1)cos2x = m

a.Tìm m để phương trình có nghiệm b.Giải phương trình m = - 10 + sin3x + cos3x =

2sin 2x

11

3

2 3(1 sin )

3tan tan 8cos ( )

cos

x x

x x

x

 

    

12.sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x

13.Cho phương trình :

1 1

(sin cos ) (tan cot )

2 sin cos

m x x x x

x x

      

a.Giải phương trình m=1

2

b.Xác định m ngun để phương trình có nghiệm khoảng (0;π

2)

14.(1 – tanx)(1 + sin2x) = + tanx 15.cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =

16 sinx sin 4x=2 cos(π

6− x)−√3 cosx sin 4x

17.sinx + sin2x + sin3x = + cosx + cos2x 18.2cos2x – sin2x = 2(sinx + cosx)

19.sin23x – cos24x = sin25x – cos26x

20

2

cos2

cot sin sin

1 tan

x

x x x

x

   

 21

2 cot tan 4sin

sin

x x x

x

  

22 sin2(x

2−

π

4) tg

2

x −cos2 x 2=0

23.Tìm nghiệm thuộc khoảng (0 ; 2) phương trình : 5(sinx+cos 3x+sin 3x

24.Cho phương trình : cos4x = cos23x + asin2x

a.Bằng cách đổi biến t = cos2x giải phương trình a = b.Xác định a để phương trình có nghiệm x∈(0; π

12)

25)Giải phương trình : cos23xcos2x – cos2x =

26)Giải phương trình : 5sinx – = 3(1-sinx)tan2x

27)Giải phương trình : + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 28)Giải phương trình : cos4x

+sin4x+cos(x −π

4)sin(3x −

π

4)− 2=0

29)Giải phương trình : 2(cos

x+sin6x)−sinxcosx

√2−2 sinx =0

30)Giải phương trình : cos3x + cos2x – cosx -1 =

31)Giải phương trình : cot sin (1 tan tan ) 42

x

x x  x 

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC

Dạng 1: Phương pháp đưa tổng hạng tử không âm (hoặc không dương).

f1(x) + f2(x) + f3(x) = 

f3(x)=0 ¿f1(x)=0

f2(x)=0 ¿❑

{¿ Với f1(x) ; f2(x) ; f3(x) 

(hoặc f1(x) ; f2(x) ; f3(x)  0)

f12(x) + f22(x) + f32(x) = 

f3(x)=0

¿f1(x)=0 f2(x)=0

¿❑

{¿

|f1(x)|+|f2(x)|+|f3(x)|=0 

f3(x)=0 ¿f1(x)=0

f2(x)=0 ¿❑

{¿

BÀI TẬP : Giải phương trình : cos 2x+cos3x

4 −2=0 (ĐH Thương Mại 97)

x2 – 2xsinx – 2cosx + = 0

cos2x – cos6x + 4(3sinx – 4sin3x + 1) = 0

Dạng :Phương pháp đánh giá hai vế (Phương pháp đối lập) Giải phương trình : f(x) = g(x)

+ Gọi D TXĐ phương trình f(x) = g(x) Bằng cách ta chứng minh : f(x)  M , xD

g(x)  M , xD

phương trình : f(x) = g(x)  {g(x)=Mf(x)=M

+ Có thể đánh giá hai vế cách đưa tổng bình phương , tính chất của hàm số dùng bất đẳng thức Côsi , Bunhiacôpski , …

BÀI TẬP : Giải phương trình sau : 1. ( cos2x – cos4x)2 = + cos23x

2. ( cos2x – cos4x)2 = + 2sin3x (ĐH An Ninh 97)

3. sin2000x + cos2000x = ( ĐH ĐN 2000)

4. sin3x + cos3x + sin4x =

5. sinx+√2−sin2x+sinx√2−sin2x=3

Dạng : Sử dụng phương trình vơ tỷ , đặt ẩn số phụ , ….

BÀI TẬP : Giải phương trình sau : sin(3x+π

4)=√1+8 sin 2x cos

2

2x sin(3π

10 −

x

2)= 2sin(

π

10+ 3x

2 )

√3−cosx −√cosx+1=2

cosx+

1 sin 2x=

2 sin 4x

5.3tan2x – 4tan3x = tan23x.tan2x