Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán. Bài 9.[r]
(1)BÀI TIẾP TUYẾN CỦA HÀM ðA HỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC
Bài 1 Cho ñồ thị ( )
2 : x x C y x − + =
− CMR ñường thẳng ( )∆ :y=7 có điểm cho từ điểm kẻđến (C) hai tiếp tuyến lập với góc 45
Lời giải: Lấy điểm M m( ; 7)∈ ∆( ):y=7 ðuờng thẳng ñi qua M m( ; 7) với hệ số góc k có phuơng trình: y=k x( −m) 7+ tiếp xúc với ñồ thị hàm số (C)
⇔ hệ
( )
'
2
2
( ) ( ) 7(1)
1
( ) (2)
1
x x
f x k x m
x
f x k
x − + = = − + − = − = − có nghiệm 2
( 1) (1 )
2
2 2( 1) (1 )
1
1 (1 )
(3)
1
x x
k x k m
x
x x k m
x x k m x − + ⇒ = − + − + − ⇒ + + = − − + − + − − + − ⇒ = −
Thay (3) vào (2) ñược:
2
4 (1 ) 2 k m k + − − = 2 2 2
(1 ) (1 ) 16
8
(1 ) 8(2 )
0
8( 2) ( 1)
k m k m
k
m k m k
k m k m − + − + ⇔ − = ⇔ − + − = = − ⇔ = −
ðk tiếp tuyến tạo với góc 45 tương ñương với:
( ) ( ) ( ) 2 2
( 1)
8
tan 45
1 ( 1) ( 1) 8 2
m m
m
k k
k k m m m
− = − − − = = ⇔ + − − = − − 2
10 17 15
(2)1 3
5 2 2
3 6 m
m m m
= +
= −
⇔
= − +
= − −
Vậy có điểm M thảo mãn tốn
Bài 2 Cho đồ thị (Cm):y=x3+mx2−m−1 Viết phương trình tiếp tuyến (Cm) điểm cố định mà (Cm) ñi qua
Lời giải: Gọi
0
( ; )
M x y ñiểm cố ñịnh mà (Cm) ñi qua
3
0 0
2
0 0
2
0 0
3 0 0
0
1,
( 1) 0,
1 1
0
1
y x mx m m
m x x y m
x x x
y y
x y
⇒ = + − − ∀
⇒ − + − − = ∀
− = = = −
⇒ ⇒ ∨
= = −
− − =
Do có điểm cốđịnh mà (Cm) ñi qua M1(1; 0) M2(− −1; 2) Ta có: y′ =3x2+2mx
- Phuơng trình tiếp tuyến M1 là: y= y′(1)(x−1)=(2m+3)x−(2m+3)
- Phuơng trình tiếp tuyến M2 là: y= y′( 1)(− x+1) 2− = −( 2m+3)x−(2m−1)
Bài 3 Tìm điểm M∈( )C :y=2x3+3x2−12x−1 cho tiếp tuyến (C) ñiểm M ñi qua gốc tọa ñộ
Lời giải: Gọi M x( 0;y0) điểm cần tìm ⇒y0 =2x03+3x02−12x0−1 (1) PTTT (C) M là:
( ) :d y= y x′( 0)(x−x0)+y0 =(6x02+6x0−12)x+y0−(6x02+6x0−12)x0 Vì (d) qua gốc tọa ñộ nên y0 =(6x02 +6x0−12)x0 (2)
(3)
3
0
2
0 0
0
4
( 1)(4 1)
1 12
x x
x x x
x y
⇒ + + =
⇒ + − + =
⇒ = − ⇒ =
Vậy M( 1;1; 2)−
Bài 4 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( )C :y=x3−3x2 +2 biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: 5y−3x+ =4
Lời giải: Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: 5y−3x+ =4 0 có phương trình dạng: (d):y x a
3
= − +
ðiều kiện ñể (d) (C) tiếp xúc là: hệ
3
2
5
3 x a
3
3
3
x x
x x
− + = − +
− = −
có nghiệm
Từ 2
5 29
5 27
3 18
1 61
3
3 27
x a
x x x x
x a
= → =
− = − ⇒ − + = ⇒
= → =
Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn toán: ( 1) : 5x 29 27
d y= − + ( 2) : 5x 61 27
d y= − +
Bài 5 Viết phương trình tiếp tuyến qua A(0; 1− ) đến y=2x3+3x2−1
Lời giải: Gọi (d) tiếp tuyến ñi qua A(0; 1− ) đến y=2x3+3x2−1 x0 hồnh ñộ tiếp ñiểm ⇒( ) :d y= y x′( 0)(x−x0)+y x( 0)=(6x02+6x0)x+2x03+3x02 −1
Do A∈( )d nên: − =1 2x30+3x02−1
0
3
0
0
2 3
2 x
x x
x =
⇒ + = ⇒
= −
Vậy có tiếp tuyến cần tìm là: y= −1 y 9x-1
(4)Bài 6 Viết phương trình tiếp tuyến ñi qua A(−1; 2) ñến y=x3−3x2+2
Lời giải: Gọi (d) tiếp tuyến ñi qua A(−1; 2) ñến y=x3−3x2+2 x0 hồnh độ tiếp điểm ⇒( ) :d y= y x′( 0)(x−x0)+y x( 0)=(3x02−6x0)x+x03−3x02+2
Do A∈( )d nên: 2=x03−3x02+ −2 (3x02−6x0)
3
0 0
0
0 0
0
6
0
( 6) 3
3
x x x
x
x x x x
x
⇒ − + =
=
⇒ − + = ⇒ = −
= +
Vậy có tiếp tuyến cần tìm là: y=2
Bài 7 Viết phương trình tiếp tuyến qua A( 2; 3) ñến y=x3−3x2−6x+8
Lời giải: Làm tương tự Bài Bài
Bài 8 Cho ( )C :y=2x3−3x2−12x−5 Viết phương trình tiếp tuyến biết a, Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=6x−4
b, Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y= x+
c, Tiếp tuyến tạo với ñường thẳng
y= − x+ góc 45
Lời giải: a, Tiếp tuyến song song với đt: y=6x−4 có dạng ( )d :y=6x b+ với b≠ −4
ðK ñể ( )d ( )C tiếp xúc hệ sau có nghiệm:
3
2
2 12
6 12
x x x x b
x x
− − − = +
− − =
Từ 6 12 2
3 x
x x x x
x = −
− − = ⇔ − − = ⇔
=
- Với x= −1⇒b=8 - Với x=3⇒b= −32
Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn tốn là: ( )d1 :y=6x+8 (d2):y=6x−32 b, Tiếp tuyến vng góc với ñường thẳng
3
(5)Phương trình hồnh độ tiếp điểm là:
1
2
2
1
6 12 2
1 x
y x x x x
x
+
=
′ = − − = − ⇔ − − = ⇔
−
=
- PTTT 1
x = + là: y= −3(x−x1)+y x( )1 = −3x+(4 7− )
- PTTT 2
x = − là: y= −3(x−x2)+y x( 2)= −3x−(4 7+ ) c, Gọi k hệ số góc tiếp tuyến cần tìm Theo giả thiết ta có:
1
1
2
tan 45 2
1
1
k k
k
k k
k k
k
+ =
+
= = ⇔ + = + ⇔
= −
+
+
- Với k =1 ta có pt hồnh độ tiếp điểm:
1
2
2
3 87
6 12 6 13
3 87 x
y x x x x
x
+
=
′ = − − = ⇔ − − = ⇔
−
=
PTTT 1 87
x = + ( 1) ( )1 12 87
3
y x x y x x
= − + = − +
PTTT 2 87
x = − ( 2) ( 2) 12 87
3 y= x−x +y x = −x −
- Với k = -1 ta có pt hồnh độ tiếp điểm:
3
2
4
3
6 12 6 11
3 x
y x x x x
x
+
=
′ = − − = − ⇔ − − = ⇔
−
=
PTTT 3
x = + ( 3) ( 3) 11 20
3
y x x y x x
= − − + = − − +
PTTT 2 87
x = − ( 4) ( 4) 11 20
3 y= − x−x +y x = − −x −
(6)Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn tốn
Bài 9 Tìm điểm trục hồnh mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số ( )C :y=x3+3x2 có tiếp tuyến vng góc với
Lời giải: Lấy M m( , 0) thuộc trục hồnh Ox ðường thẳng qua M với hệ số góc k có phương trình y=k x( −m)=kx−km tiếp xúc với ( )C ⇔ hệ
3
2
3 (1)
3 (2)
x x kx km
x x k
+ = −
+ =
có nghiệm
Thế (2) vào (1) ta có: x3+3x2 =(3x2+6x)(x−m)
( )
( )
( )
2
2
2 3
0
2 3
x x m x m
x
x m x m
⇔ + − − =
=
⇔
+ − − =
ðể từ M kẻ ñược tiếp tuyến đến ( )C có tiếp tuyến vng góc phương trình g x( )=2x2 +(3 3− m x) −6m=0 phải có nghiệm phân biệt x x1; 2 khác cho
1
k k = − (k xác ñịnh theo x (2))
( )
( )( ) ( )( )
2 2
2 1 2 1 2
1 2
3 48 30
(0) 0
9 2 1
3 6
m m m m
g m m
x x x x
x x x x
∆ = − + > + + >
⇔ = − ≠ ⇔ ≠
+ + = −
+ + = −
( )( )
3
1
27
3
9 12 3 1
27
m m m
m
m m m m
− −
> − ∨ < − =
⇔ ≠ ⇔
− +
− − + − + = − =
Vậy có ñiểm thỏa mãn là: 1 6; 27 M − −
3 ; 27 M − +
Bài 10 Cho ñồ thị ( ): 3 x
C y
x + =
(7)a, M trung ñiểm AB
b, Diện tích tam giác IAB khơng đổi
Lời giải:
a, ðồ thị ( )C có TCN: ( )d1 : y = TCð: (d2): x = 3⇒ tọa ñộ ñiểm I(3;3) Lấy ñiểm M m;3 10 ( )C ,m
m
+ + ∈ ≠
Tiếp tuyên M có dạng:
( ) ( )( ( ))
2
10 10 20 30
: 3 3
d y y m x m y x
m m m m
′
= + − + + + ⇔ = − + + +
Phương trình hồnh độ giao điểm ( )C ( )d là:
2 2 2
10 20 30 1
3
3 x
x x x
m x m m
m m m m m
+
− + + + = ⇔ − + + − + + =
−
Dễ thấy pt có nghiệm phân biệt x1<x2 Gọi A x y( 1; 1) B x( 2;y2) Ta có:
1 2 2
2
2
1 M
m m
x x m x
m +
+ = = + =
1 2 ( 1 2)
2
10 20 30 20
2 M
y y x x y
m m
m m
+ = − + + + + = + =
Vậy m trung ñiểm AB (đpcm)
b, Do tam giác IAB vng I, mà có M trung điểm AB nên ta có: ( )
( )( ( 2))
1 10
; ; 20
2
IAB
S IA IB d M d M d m
m
∆ = = = =
Vậy diện tích ∆IAB khơng đổi
……… Hết………