Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = AM. Gọi E là trung điểm của MN. Tia DE cắt BC tại F. Qua M vẽ đường thẳng song song với AD cắt DF tại H... a) Tứ [r]
(1)PHÒNG GD&ĐT NHA TRANG
TRƯỜNG THCS ÂU CƠ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI N.H 2012 – 2013 Mơn : TỐN – LỚP 9 Thời gian : 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài (4,0 điểm)
Cho biểu thức A = n3 – n
a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử
b) Chứng tỏ A chia hết cho với số tự nhiên n
Bài (6,0 điểm)
a) Giải phương trình : 2
1 1
x x x 3x x 5x 4
b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 x 2x 2012 B
x
Bài (3,0 điểm)
Chứng minh tồn số tự nhiên y > cho: 19y - 31 Bài (7,0 điểm)
Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CB lấy điểm N cho CN = AM Gọi E trung điểm MN Tia DE cắt BC F Qua M vẽ đường thẳng song song với AD cắt DF H
a) Tứ giác MHNF hình ? Giải thích b) Chứng minh ND2 NB.NF
c) Chứng minh chu vi tam giác BMF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh AB
d) Gọi P giao điểm DM BC Xác định vị trí điểm M cạnh AB cho đoạn thẳng PN nhỏ Tìm giá trị nhỏ
(2)-HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ HSG 2012 - Mơn : Tốn – LỚP Bài (4,0 điểm)
a) A = n3 – n = n(n2 – 1) = (n -1)n(n+1) ( đ)
b) Vì A có tích 2, số TN liên tiếp nên A ( đ)
Vì (2;3) = nên A 2.3 hay A ( đ)
Bài (6,0 điểm)
Câu a) (3 điểm) Giải phương trình : 2
1 1
x x x 3x x 5x 6 4 (1)
ĐKXĐ : x0; 1; 2; 3 0,5 đ (1)
1 1
x(x 1) (x 1)(x 2) (x 2)(x 3)
1 đ
1 1 1
x (x 1) (x 1) (x 2) (x 2) (x 3)
0,5đ
2
1
x 3x x x
0,5 đ
Tìm nghiệm : x = x = -4 (thỏa ĐK) 0,5 đ
Câu b) (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 x 2x 2012 B
x
+ ĐKXĐ : x 0 . 0,5 đ
+
2 2
2
2
2 2
x 2012 x 2012
2011x
2012x 2.2012x 2012 2011
B
2012.x 2012.x 2012 2012.x
1 đ + Vì
2 2
x 2012 0; 2012.x 0 x
nên
2
2 x 2012
0 2012.x
1 đ + Dẫn đến Bmin =
2011
2012 x 2012 0,5 đ
Bài (3,0 điểm)
Chứng minh tồn số tự nhiên y > cho: 19y - 31 Giải : Xét dãy số 191 , 192, 193 , ,1931
Chia số hạng cho 31 ta 30 số dư 1 đ Vì 31 có 30 số dư nên theo nguyên tắc Di – - lê có số có số dư chia cho
31 0,5 đ
Giả sử số 19i 19j với i > j i = j + y 0,5 đ Ta có 19i - 19 j 31
19j ( 19y -1) 31 0,5 đ
(3)Bài (7,0 điểm)
a) Tứ giác MHNF hình ? Giải thích (2 điểm) + C/m EMH = ENF (g-c-g)
MHNF hình bình hành ( đ/c cắt trung điểm đường) 1 đ + C/m AMD = CND (c.g.c) DM = DN
DMN cân D DE MN o,5 đ
+ Suy : MHNF hình thoi 0,5 đ
b) Chứng minh ND2 NB.NF (2 điểm)
+ C/m ADM CDN (AMD = CND) DMN vuông cân D 0,5 đ
+ Dẫn đến : NDF NBD 450 0,5 đ
+ Dẫn đến : NDF ~ NBD (g-g ) 0,5 đ
+ Từ suy đpcm. 0,5 đ
c) CMR: chu vi tam giác BMF không phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh AB.
+ C/m FM = FN 0,25 đ
+ Chu vi BMF : BM + BF + MF = BM + BF + FN = BM + BF + FC + CN 0,25 đ = BM + BC + AM = 2BC (không đổi) 0,25 đ
+ Suy đpcm 0,25 đ
d) d) Gọi P giao điểm DM BC Xác định vị trí điểm M cạnh AB cho đoạn thẳng PN nhỏ Tìm giá trị nhỏ
Đặt NC = x, AB = a
( )
(0,5)
PB a x PB a x PB a x a a x
PB
PC a PB a a PB a PB a a x x
NP = x + a2/x ( 0, đ)
2
2 a
NP x a
x
( bất đẳng thức Cauchy )
NPmin = 2a ( 0,5 đ)
Dấu ” = ” xảy x = a ( a >0)