a) Hình lăng trụ đứng tam giác đều cạnh a.. + Dựng hình chữ nhật HKPI Þ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng SB và AD.. + Dựng hình chữ nhật AIJP Þ JP là đoạn vuông góc chu[r]
(1)Chủ đề:
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG
THẲNG CHÉO NHAU VÀ ĐOẠN VNG GĨC CHUNG
Chun đề “Hình Học Khơng Gian” nói chung chủ đề “Khoảng cách hai đường thẳng chéo đoạn vng góc chung” nói riêng, chủ đề tương đối khó khăn với đa số học sinh Chúng biên soạn tài liệu nhằm giúp em nhìn nhận vấn đề dễ dàng có hệ thống
I-NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP:
Để xác định Khoảng cách hai đường thẳng a, b chéo đoạn vng góc chung, thơng thường dùng phương pháp sau:
Phương pháp 1:
Bước 1: Xác định mặt phẳng
( )
a ^atại A (a) cắt b
Bước 2: Chiếu vng góc b xuống
( )
a hình chiếu b'Bước 3: Kẻ AH ^b', dựng hình chữ nhật AHKP
Dể dàng chứng minh: PK đoạn vuông góc chung đường thẳng a b Trong trường hợp đặt biệt :
( )
( )
b a
a a
ì Ì ï í
^
ïỵ
+ Dựng AH ^ Þb AH đoạn vng góc chung đường thẳng a b
Phương pháp 2:
Bước 1: Xác định mặt phẳng
( )
a //a( )
bÌ a
Bước 2: Chiếu vng góc đường thẳng
a mặt phẳng
( )
a đường thẳng 'a , a'Ç =b
{ }
KBước 3: Dựng hình chữ nhật AHKP Dễ dàng chứng minh được: KP đoạn vng góc chung đường thẳng a
và b
I H K P
A b' b a
a aaa
aaaa
a
b A
H
K P
b
H A
a' a
(2)II-MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HOẠ:
Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD cạnh a Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung AB CD
Hướng dẫn:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
AHB)
Rõ ràng: CD^(
AHB)
Bước 2: Dễ thấy, ABÌ
(
AHB)
Dựng HK ^ ABÞHK đoạn vng góc chung AB CD
Bước 3: Tính HK:
Xét DAHK vuông K: HK = AH2-AK2
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA^
(
ABCD)
, đáy ABCD hình chữ nhật Dựng đoạn vng góc chung : a) SA CD b) AB SCHướng dẫn:
a) Xác đ ịnh tính độ dài đoạn vng góc chung SA CD: Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
ABCD)
Rõ ràng: SA^
(
ABCD)
Bước 2: Dễ thấy, CDÌ
(
ABCD)
và AD^CDÞ AD đoạn vng góc chung SA CD
Bước 3: Tính AD (tùy theo giả thiết)
b) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung AB SC: Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
SAD)
Dễ chứng minh được: AB^
(
SAD)
Bước 2: Chiếu SC(
SAD)
:Ta có: CD^
(
SAD)
Þ SD hình chiếu SC(
SAD)
+ DựngAH ^SDÞ AH khoảng cách của SC AB + Dựng hình chữ nhật AHKPÞ KP đoạn vng góc chung đường thẳng SC ABBước 3: Tính AH
Xét DSAD vng A: 2 12 12
AH = SA + AD
Bài tập 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, mặt bên hình vng cạnh a a) Hình lăng trụ có đặc điểm gì?
b) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung A’B B’C’ Hướng dẫn:
a) Hình lăng trụ đứng tam giác cạnh a
b) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung A’B B’C’:
K
D
C B
H A
S
A
B C
D
P
K H
D
C B
(3)Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
AII A' ')
Dễ chứng minh được: B C' '^(
AII A' ')
Bước 2: Chiếu A’B
(
AII A' ')
:Ta có: BI ^
(
AII A' ')
Þ A I' hình chiếu A’B(
AII A' ')
+ Dựng 'I H ^ A I' Þ I H' khoảng cách của A’B B’C’ + Dựng hình chữ nhật HKPI’Þ KP đoạn vng góc chung đường thẳng A’B B’C’Bước 3: Tính I’H
Xét Xét DA I I' ' vuông I’: 2 2 12
' ' ' '
I H = A I + II
Bài tập 15: Cho hình vng ABCD tam giác SAD cạnh a nằm mp vng góc Tính khoảng cách hai đường thẳng:
a) AD SB b) SA BD Hướng dẫn:
a) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung SB AD: Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
SIM)
Dễ chứng minh được: AD^
(
SIM)
Bước 2: Chiếu SB(
SIM)
:Ta có: BM ^
(
SIM)
ÞSM hình chiếu SB(
SIM)
+ DựngIH ^SM Þ IH khoảng cách của SB AD+ Dựng hình chữ nhật HKPIÞ KP đoạn vng góc chung đường thẳng SB AD
Bước 3: Tính IH
Xét DSIM vuông I: 12 12 12
IH = IS + IM
b) Xác đ ịnh tính độ dài đoạn vng góc chung SA BD: Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
SEA)
Þ BD//(
SEA)
Bước 2: Chiếu BD
(
SEA)
:Gọi L J trung điểm EA DOÞIL^SL + Dựng IH ^SLÞIH ^
(
SEA)
+ Dựng JR IH// Þ JR^
(
SEA)
Suy ra: d
(
BD SA,)
=d(
BD SAE,(
)
)
=d(
J SAE,(
)
)
=JR + Dựng hình chữ nhật RKPJÞ KP đoạn vng góc chung đường thẳng SA BDBước 3: Tính JR
Ta có: JR =2IH Xét DSIL vng I: 12 12 12
IH = IS +IL
P
K H
I
C A
B A'
B'
C' I'
M P
K H
I
D
C
B A
S
R
J O E
S
A B
C D
I H
K
(4)Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, AB= a, BC= a , AD=3a , CD= a , SA= a Khi SA^(ABCD) , dựng tính độ dài đoạn vng góc chung đường thẳng :
a) SA CD b) AB SD c) AD SC Hướng dẫn:
a) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung SA CD: Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
ABCD)
Rõ ràng: SA^
(
ABCD)
Bước 2: Dễ thấy, CDÌ
(
ABCD)
Dựng AH ^CDÞ AH đoạn vng góc chung SA CD
Bước 3: Tính AH:
Xét DACD vuông A: 2 2 2
AH = AC + AD
b) Xác đ ịnh tính độ dài đoạn vng góc chung AB SD: Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
SAD)
Rõ ràng: AB^
(
SAD)
Bước 2: Dễ thấy, SDÌ
(
SAD)
Dựng AK ^SDÞ AK đoạn vng góc chung SD AB
Bước 3: Tính AK:
Xét DSAD vuông A: 2 12 2
AK = AS + AD
c) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung AD SC: Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
SAB)
Dễ chứng minh được: AD^
(
SAB)
Bước 2: Chiếu SB(
SIM)
:Ta có: BC^
(
SAB)
ÞSB hình chiếu SC(
SAB)
+ DựngAI ^SBÞ AI khoảng cách của SB AD + Dựng hình chữ nhật AIJPÞ JP đoạn vng góc chung đường thẳng SC AD
Bước 3: Tính AI
Xét DSAB vuông I: 12 12 12
AI = AS + AB
Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy AB= a, đường cao SO= h xác định tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng SB AD
Hướng dẫn: F
F
FF Giải bằngPhương pháp 2:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
SBC)
K
H S
A D
B C
C B
D A
S
I J
(5)Gọi M, N trung điểm BC ADÞON ^BC
Ta có:
(
SMN) (
^ SBC)
, dựng OH ^SNÞOH ^(
SBC)
+ Dựng MI OH// ÞMI ^
(
SBC)
Suy ra: d
(
AD SB,)
=d(
AD SBC,(
)
)
=d(
M SBC,(
)
)
=MI + Dựng hình chữ nhật MIKPÞ KP đoạn vng góc chung đường thẳng SB ADBước 3: Tính MI Ta có: MI =2OH Xét DSON vuông O: 2 12 2
OH =OS +ON
Bài tập 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M, N trung điểm AC AD Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng DM D’N
Hướng dẫn: F
F
FF Giải bằngPhương pháp 2:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
D NJ')
(với hình bình hành DJIM) Dễ chứng minh được: DM //(
D NJ')
Bước 2: Chiếu DM
(
D NJ')
(hay tính d(
DM D N, ')
) Do DJ MI// Þ DJ ^IJ ÞIJ ^(
D JD')
Ta có:
(
D JD') (
^ D NJ')
, dựng DH ^D J' Þ DH ^(
D NJ')
Suy ra:(
, ')
(
,(
')
)
(
,(
')
)
d DM D N =d DM D NJ =d D D NJ =DH
+ Dựng hình chữ nhật HKPDÞ KP đoạn vng góc chung đường thẳng DM D’N
Bước 3: Tính DH
Xét DD DJ' vuông D: 2 2 12 2 12 2 2
' ' '
DH = DD + DJ = DD + MI == DD + AM
Bài tập 7: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ Hãy xác định đoạn vuông góc chung BD’, B’C
Hướng dẫn:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
ABC D' ')
Dễ dàng chứng minhBC'^
(
ABC D' ')
Bước 2: Dễ thấy, BD'Ì
(
ABC D' ')
Dựng HK ^ BD'ÞHK đoạn vng góc chung BD’ B’C
Bước 3: Tính HK: Ta có '
HK = C P
Xét DBC D' ' vuông C’: 2 2 2
' ' ' '
C P =C D +C B
O P
K I
H S
A
B
C D
M
N
P K H
J
I N
D
C
B A
B'
C'
A'
D'
M
P
K
H D
C B
A
B'
C' A'
(6)Bài tập 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Hãy xác định đoạn vuông góc chung hai đương thẳng A’C’ B’C
Hướng dẫn:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
DBB D' ')
Dễ chứng minh được: A C' '^(
DBB D' ')
Bước 2: Chiếu B’C
(
DBB D' ')
: Ta có: OC^(
DBB D' ')
'
B O
Þ hình chiếu B’C
(
DBB D' ')
+ Dựng 'O H ^B O' ÞO H' khoảng cách của A’C’ B’C + Dựng hình chữ nhật O’HKPÞ KP đoạn vng góc chung đường thẳng A’C’ B’C
Bước 3: Tính O’H
Xét DO B O' ' vuông O’: 2 2 2
' ' ' '
O H =O B +OO
Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh a, cạnh bên SA = a, SA^(ABC), I trung điểm cạnh BC Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng SI AB
Hướng dẫn: F
F
FF Giải bằngPhương pháp 2:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
( )
SIJ , với IJ AB// AJ ^IJ Dễ chứng minh được: AB//( )
SIJBước 2: Chiếu AB
( )
SIJ (hay tính d(
AB SI,)
) Ta có:(
SAJ) ( )
^ SIJ , dựng AH ^SJ Þ AH ^( )
SIJSuy ra: d
(
AB SI,)
=d(
AB SIJ,( )
)
=d(
A SIJ,( )
)
= AH + Dựng hình chữ nhật AHKPÞ KP đoạn vng góc chung đường thẳng AB SIBước 3: Tính AH Xét DSAJ vuông A: 2 12 12
AH = AJ +SA
Bài tập10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, J tâm hình vng AĐ’A’ BCC’B’ Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng CI AJ
Hướng dẫn: F
F
FF Giải bằngPhương pháp 2:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
AA J')
Dễ chứng minh được: CI//(
AA J')
Bước 2: Chiếu IC
(
AA J')
(hay tính d(
CI AJ,)
) Dựng IH ^MJ , để ý A A' ^(
MIJ)
IH ^MJ
ì
P
H K
O'
D
C
B A
B'
C'
A'
D'
O
P K H
J I
S
A B
C
P
K
H M
J I
D
D'
C'
A B
(7)+ Dựng hình chữ nhật IHKPÞ KP đoạn vng góc chung đường thẳng AJ CI
Bước 3: Tính IH
Xét DMIJ vuông I: 12 12 12
IH = IM + IJ
Bài tập 11: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi , cạnh 2a , cạnh bên AA’= a , AD’^BA’.Tính khoảng cách hai đường thẳng AD’ BA’ Hướng dẫn:
F F
FF Giải bằngPhương pháp 2:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
AD E')
, với // ' 'BE DD BE DD
ì
í =
ỵ
Dễ chứng minh được: A B' //
(
AD E')
Bước 2: Chiếu A’B
(
AD E')
(hay tính d(
A B AD' , ')
)Ta có:
(
' ') (
') (
' ')
'
AI BD
AI BB D B AD E BB D B
AI BB
^ ì
Û ^ ị ^
ớ ^
ợ
Dng BH ^D E' ÞBH ^
(
AD E')
Suy ra: d
(
A B AD' , ')
=d(
A B AD E' ,(
')
)
=d(
B AD E,(
')
)
=BH+ Dựng hình chữ nhật BHKPÞ KP đoạn vng góc chung đường thẳng A’B AD’
Bước 3: Tính BH
Xét DIBE vng B: 2 12 12
BH = BE + BI
Bài tập 12: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’, đáy ABC có cạnh a, cạnh bên h Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BC’
Hướng dẫn: F
F
FF Giải bằngPhương pháp 2:
Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
BDC')
, với CD AB//CD AB
ì
í =
ỵ
Dễ chứng minh được: AC//
(
BDC')
Bước 2: Chiếu AC
(
BDC')
(hay tính d(
AC BC, ')
) Gọi I trung điểm BDTa có:
(
') (
') (
')
'
CI BD
BD CC I BDC CC I
CC BD
^ ì
Û ^ Þ ^
í ^
ỵ
Dựng CH ^C I' ÞCH ^
(
BDC')
Suy ra: d
(
AC BC, ')
=d(
AC BDC,(
')
)
=d(
C BDC,(
')
)
=CH+ Dựng hình chữ nhật CHKPÞ KP đoạn vng góc chung đường thẳng AC BC’
Bước 3: Tính CH
Xét DICC' vuông C: 2 12 2 '
CH =CI +CC
I P
K
H
E
A B
C D
A'
B'
C' D'
D I
C' B'
A'
B
A C
H K
(8)Bài tập 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo AC’=2a AB=AA’= a
a) Chứng minh: AC '^CD ' b) d(D,(ACD’)
c) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung AC’, CD’ Hướng dẫn:
a) Do AA'= AB a= Þ ABB A' ' hình vuông
Suy ra: ' '
(
')
' '' '
CD DC
CD ADCB CD AC
CD A D
^ ì
Û ^ ị ^
ớ ^
ợ
b) Ta có: CD'^
(
ADCB') (
Þ ADI) (
^ AD C')
(
ADI) (
Ç AD C')
= AIDựng DH ^ AI
(
')
d(
,(
')
)
DH AD C D AD C DH
Þ ^ Û =
Xét DADC' vng D: 2 12 2 '
DH = DA + DC
c) Theo câu a, CD'^
(
ADCB')
CD'ầ(
ADCB') { }
= IDng IK ^ AC'ịIK đoạn vng góc chung AC’ CD’ Xét DDAC' đồng dạng với DKIC', ta có: ' '
' '
KI KC AD KC
KI
AD = DC Û = DC
Bài tập 14: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh: BC'^(A'B'CD)
b) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung AB’ BC’ Hướng dẫn:
a) Chứng minh BC'^
(
A B CD' ')
:Ta có: ' ' '
(
' ')
'
BC B C
BC A B CD
BC CD
^
ì Û ^
í ^
ỵ
b) Xác đ ịnh tính độ dài đoạn vng góc chung AB’ BC’: Bước 1: Chọn mặt phẳng
(
A B CD' ')
Dễ chứng minh được: BC'^
(
A B CD' ')
Bước 2: Chiếu AB’
(
A B CD' ')
: Ta có: AH ^(
A B CD' ')
'
HB
Þ hình chiếu AB’
(
A B CD' ')
+ DựngIJ ^B H' ÞIJ khoảng cách của AB’ BC’ + Dựng hình chữ nhật IJKPÞ KP đoạn vng góc chung đường thẳng AB’ BC’Bước 3: Tính IJ
Xét DCB D' đồng dạng với DJB I' , ta có: ' '
' '
IJ IB CD IB
IJ
CD = B D Û = B D
D' C'
B' A'
D C
B A
H K
I
J P
I
D' A'
C' B'
A
B C
D
K
(9)P H K
I M
600 O
C
B A
S
D
K
H I
O
A
D
C
B
III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 15: Tứ diện ABCD có ABC tam giác cạnh a, AD^BC, AD= a d(D,BC)= a H trung điểm BC
a) Chứng minh: BC ^(ADH) b) DI ^(ABC) c) Xác định tính đoạn vng góc chung AD BC Gợi ý:
a) Kẻ BC (AHD)
BC AD
BC AH
^ ị ợ
ớ ỡ
^ ^
b)
) ( ) ,
(AH BC ABC DI
AH DI a DH AD
BC DI
º ^
Þ
^ Þ ỵ
í ì
= = ^
c) HK
Bài tập 16: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, góc Aˆ =600và
có đường cao SO= a Tính:
d(O,(SBC)) d(AD,SB) Gợi ý: