cuoän daây L 2 nhöng coù doøng ñieän I 0 trong cuoän daây L 1. a)Tìm doøng ñieän cöïc ñaïi qua moãi cuoän caûm ... b)Hoûi sau bao nhieâu laâu töø luùc ñoùng 2 khoùa , doøng ñieän qua c[r]
(1)A TỔNG QUAN KIẾN THỨC I.Kiến thức áp dụng :
- Suất điện động xuất cuộn dây : e=− Ldi
dt=−Li'
- Hiệu điện hai đầu tụ : U=q
C
- Định luật ôm cho đoạn mạch tổng quát: iAB=uAB+e
RAB
Trong e suất điện động(e>0) suất phản điện(e<0) - Định luật KiếcSốp :
+ Định luật KiếcSốp I: ∑
i=1
n
(ii)vao=∑
K=1
m
(iK)Ra
+ Định luật KiếcSốp II: ∑
i=1
n
iiRi=∑
K=1
m eK
- Năng lượng điện trường : Wđ=1
2
q2 C
- Năng lượng từ : Wt=1
2Li
- Nếu mạch khơng có điện trở bỏ qua hao phí xạ điện từ : ∑1
2 qi2 ci+∑
1 2LKiK
2 =const
- Quan hệ đại lượng đặc trưng sóng :
¿ v=λf=λ
T T=2π
ω ¿{
¿ II.Phương pháp :
Khi giải tốn mạch dao động,ta cần tuân thủ thứ tự theo bước mang tính chất nguyên tắc sau :
1) Ta phải chọn chiều dòng điện mạch chiều tích điện tụ điện thời điểm (thường ta chọn chiều dịng điện chạy theo chiều thuận mắt mạng)
2) Xác định hiệu điện hai đầu tụ điện , hai đầu cuộn dây :
Ví dụ: Xét mạch bên : uAB=q
C
uAB=− e1=L1i'1
uAB=− e2=L2i'2
Trong hình vẽ ta phải xác định quan hệ dòng điện” qua” tụ điện điện tích tụ điện Nếu dịng điện có chiều từ dương sang âm xuyên qua tụ điện i=+q'
và ngược lại i=− q '
3) Viết biểu thức định luật Kiếc xốp I cho nút định luật Kiếc sốp II cho mắt mạng :
(2)Mắt mạng A(L1)B(C)A A(L2)B(C)A: ¿ q
C=L1i '1
q
C=L2i '2
¿{ ¿
(2)
4)Bằng cách khử dòng điện qua cuộn dây để đưa dạng phương trình vi phân hạng hai,thường phương trình vi phân hạng hai có dạng :
+Nếu đề thi ĐH HSG quốc gia theo chủ đề I thường là:
¿
q+ωq=0 rightarrow q=Q rSub \{ size 8\{0\} \} sin left (ωt+ right )\} \{ϕ
¿ (3)
+ Nếu đề thi HSG quốc gia trở lên theo chủ đề II có dạng hệ sau :
¿
n1q rSub \{ size 8\{1\} \} +m rSub \{ size 8\{1\} \} q2+ω12(n1q1+m1q2)=0 n2q rSub \{ size 8\{1\} \} +m rSub \{ size 8\{2\} \} q2+ω22(n2q1+m2q2)=0
¿{ ¿
Vaø cho nghieäm
¿
n1q rSub \{ size 8\{1\} \} +m rSub \{ size 8\{1\} \} q2=A sin(ω1t+ϕ1)
n2q rSub \{ size 8\{1\} \} +m rSub \{ size 8\{2\} \} q2=B sin(ω2t+ϕ2)
¿{ ¿
(4)
Từ giải (4) ta phương trình dao động q1 q2 phương trình điều hịa khơng điều hịa
5)Từ điều kện ban đầu toán : t=0 ta có q(0);q '(0) q1(0);q2(0);q '1(0); q '2(0)
,suy Q0;ϕ phương trình (3) A ;B ;ϕ1;ϕ2 phương trình (4) Sau dựa vào u cầu tốn , ta luận giải để lời giải cho phù hợp
B ÁP DỤNG DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ I.BÀI TỐN THÍ DỤTHEO CHỦ ĐỀ I
Bài 1: (Trích Đề thi chọn HSG quốc gia THPT - năm 2005)
Cho mạch điện có sơ đồ hình vẽ Hai tụ điện C1;C2 giống có điện dungC Tụ điện C1 tích điện đến
hiệu điện U0 , cuộn dây có độ tự cảm L , khóa k1;k2 ban đầu mở Điện trở cuộn dây, dây nối khóa nhỏ,nên coi dao động điện từ mạch điều hịa
1.Đóng khóa k1 thời điểm t=0 Hãy tìm biểu thức phụ thuộc thời gian t :
a) Cường độ dòng điện chạy qua cuộn dây
b) Điện tích q1 tụ nối với A tụ C1
2.Gọi T0 chu kì dao động mạch LC1 q2 điện tích tụ nối với khóa
k2 tụ C2 Đóng khóa k2 thời điểm t1=T0 tìm biểu thức phụ thuộc thời gian
t cường độ dòng điện chạy qua cuộn dâyL q2 HD
Giả sử dịng điêïn chay mạch hình vẽ Ta có: i=− q '
¿
uAB=Li'=−Lq \} \{
(3)q
C=−Lq drarrow q+ q
LC=0
⇒q=Q0sin( 1
√LCt+ϕ)
Taïi t=0 :
→ q(0)=CU0
i(0)=0 ⇒ ¿Q0sinϕ=CU0
−Q0 1
√LCcosϕ=0
⇒ ¿Q0=CU0
ϕ=π
2
¿{ Vaäy:
q1=q=CU0sin( 1 √LCt+
π
2) (1)
i=− q '=−CU0 1 √LCcos(
1 √LCt+
π
2)=U0√
C Lsin(
1
√LCt) (2)
2.Theo caâu 1: T0= 2π
ω =2π√LC (3)
- Tại t=T0 q=Q0=CU0 i=0 ; đóng khóa k2 Sau khoảng Δt<< hai tụ C1;C2
phóng điện trao đổi điện tích đạt đến giá trị: Q01=Q02=Q0
2 =
CU0
2 (vì C1//C2 C1=C2 )
- Tại t>T0 , dòng điện mạch chạy hìng vẽ : + Mắt mạng A(L)B(C1)A :
q1
C=Li'1 (1)
+ Mắt mạng A(C2)B(L)A : q2
C=Li'2 (2)
+ Taïi A : il=i1+i2⇒i'l=i'1+i'2 (3)
(4)q rSub \{ size 8\{1\} \} +q2+ q1
LC=0
¿
q rSub \{ size 8\{1\} \} +q2+ q2
LC=0
⇒
¿q rSub \{ size 8\{1\} \} +q2+ q1
LC=0
q1=q2
¿ ⇒
¿q rSub \{ size 8\{1\} \} + \{ \{q rSub \{ size 8\{1\} \} \} over \{2 ital LC\} \} =0 \{\} # right none left lbrace q rSub \{ size 8\{1\} \} =q rSub \{ size 8\{2\} \} \{\} # right no \} \} lbrace drarrow q rSub \{ size 8\{1\} \} =q rSub \{ size 8\{2\} \} =Q rSub \{ size 8\{ 02 \} \} sin left ( \{ \{T\} over \{ sqrt \{2 ital LC\} \} \} + ' right ) \{\} \} \} \{ϕ ¿{
¿ ¿ ¿
¿ với T=t −T0
Lúc T=0(t=T0) :
¿ q1(0)=Q01=CU0
2
i1(0)=0 ⇒ϕ'=π
2
¿{ ¿ - Vaäy q2=q1=
CU0 2 sin(
t
√2 LC− 2π
√2−
π
2)⇒iL=2i1=U0√
C
2Lsin( t
√2 LC− π√2)
Bài2: ( chuyên đề bồi dưỡng Vũ Thanh Khiết)
Cho mạch dao động hình vẽ Tại thời điểm ban đầu khố K mở tụ điện có điện tích Q0, cịn tụ
kia khơng tích điện Hỏi sau đóng khố K điện tích tụ điện cường độ dòng điện mạch biến đổi theo thời gian nào? Hãy giả định hệ tương đương mạch dao động Coi C1 = C2 = C L biết; Bỏ qua điện trở mạch
HD:
- Xét thời điểm t, giả sử dịng điện có chiều tụ tích điện hình vẽ i = - q1/ = q2/ (1)
e = - L di
dt = - Li/ (2)
+ q1 + q2 = Q0 (3)
- p dụng định luật Ôm :
q1
C − q2 C - Li
/ = 0
⇒ 2q1
C + Lq1
(5)⇒ q1// + q1
LC 2
− Q0
LC = (4)
Đặt x =
q1
LC 2
− Q0
LC ⇒ x// = q1//
LC 2
⇒ q1// = LC
2 x// thay vaøo (4) : LC
2 x//
+ x = Hay x// + 2
LC x = ⇒ x = X0.sin( √ 2
LC.t+ϕ¿
⇒ {
q1=Q0
2 +
LC
2 X0 sin(√ 2
LC.t+ϕ)
i=−q1❑=−√
LC
2 .X0 cos(√ 2
LC.t+ϕ)
Aùp dụng điều kiện ban đầu: t = ⇒ {q1(0)=Q0
i=0
⇒ {
Q0=Q0
2 +
LC
2 X0.sinϕ 0=−√LC
2 X0.cosϕ
⇒ {
Q0
2 =
LC
2 X0.sinϕ 0=X0cosϕ
⇒{
ϕ=π
2
X0=Q0
LC
Vaäy q1 = Q0
2 +
Q0
2 sin( √
2
LC t + π2 ) ⇒ i = - q1/ = -
Q0
2 √
2
LC cos( √
2
LC + π2 ) =
Q0
√2 LC sin(
√ 2 LC t )
Mạch dao động tương đương hệ
( hình vẽ) Trong ban đầu lò xo bị nén dãn lò xo lại chưa biến dạng
Bài3: Cho mạch dao động hình vẽ Ban đầu tụ C1 tích điện đến hiệu điện U0 = 10(V), tụ
C2 chưa tích điện, cuộn dây dòng điện chạy qua Biết L1 = 10mH; L2 = 20mH; C1 = 10nF ;
C2 = 5nF Sau khố K đóng Hãy viết biểu thức dịng điện qua cuộn dây Bỏ qua điện trở
của mạch
HD:
- Xét thời điểm t, tụ vẽ lại dòng điện qua cuộn dây có chiều hình vẽ
{uAB=− e1=+L1i1❑(1)
uAB=−e2=+L2i2❑(2)
uAB=
q Cb
(3)
i=−q❑(4)
- p dụng định luật KiếcSốp cho mắt mạng nút: {Cqb
=+L1.i1❑=+L2❑(5)
i=i1+i2(6) Từ (6) ta suy ra: i/ = i
1/ + i2/ ⇔ - q// = + q L1Cb+
(6)⇒ q// + 1 Cb(
1
L1+
1
L2) q =
Hay q// + (L1+L2)
(C1+C2)L1L2 q = ⇒ q = Q0.sin[ √
(L1+L2)
(C1+C2)L1L2 t + ϕ ] Taïi t = ⇒ {q(0)=C1U0
i(0)=0 ⇒{
C1U0=Q0sinϕ
0=cosϕ ⇒ {
Q0=C1U0
ϕ=π2 Vaäy q = C1U0.sin [ √
(L1+L2)
(C1+C2)L1L2 t + π2 ] (7) ⇒ i = - C1U0 √
(L1+L2)
(C1+C2)L1L2 cos[ √
(L1+L2)
(C1+C2)L1L2 t + π2 ] = C1U0 √
(L1+L2)
(C1+C2)L1L2 sin( √
(L1+L2)
(C1+C2)L1L2 t) (8) Từ (5) L1i1/ = L2i2/ ⇒ L1i1 = L2i2 i2 =
L1 L2
.i1 (9)
Thay vào (6) ta được: i1 =
L2 L1+L2
i = C1U0 √
L2
(L1+L2)(C1+C2)L1
.sin(√ L1+L2 (C1+C2)L1L2
.t)
i2 = L1 L1+L2
i = C1U0 √ L1
(L1+L2)(C1+C2)L2
.sin(√ L1+L2 (C1+C2)L1L2
.t) Thay số ta được: i1 = 2
3 10-3.sin105t (A) = 2
3 sin105t (mA)
= 2
3 sin(100000t) (mA)
i2 = 1
3 sin(100000t) (mA)
Bài4 : (Trích : Đề thi Olympic Vật lý Liên bang Nga –năm 1987)
Cho mạch điện hình bên Các phần tử mạch lí tưởng a) Đóng khóa K , tìm Imax cuộn dây U1max tụ điện C1
b) Khảo sát biến thiên điện tích tụ điện đóng khóa K
HD:
+ Khi K mở : tụ C1 C2 có điện tích :
1 01 02
1 C C
Q Q E
C C
- Khi K đóng :
Giả sử chiều dòng điện mạch điện ïtích tụ (hình vẽ)
Ta coù : i1 iL i2 (1)
'
1 q
Li
C (2)
' 1
i q (3)
' 2
(7)'
1
1
L
q q q
Li E
C C C (5)
Từ (5)
1
' '
1 2
2
1 2
0 0
q q i i C
i i
C C C C C
(6) Từ (5) ' " " 1 1 0 0 L L q i Li Li C C (7)
Từ (6) (1) suy :
2
1 1
1
L L
C C
i i i i i
C C C
Thay vào (7) :
" 0 ( ) L L i i
L C C
(*) Đặt
1
1
( )
L C C
Nghiệm phương trình (*) : iL I Sin t0L ( )
- Taïi t=0 iL 0 0
'
L L
i I Cos t
Từ (5) suy : q1
C1
+LI0Lωcosωt=E - Tại t=0 q1 Q01 neân
01
0
1
L L
Q EC
LI E L I E
C C C
1
0
1 ( 2)
L
E C EC
I
L C C L C C
Ta coù :
1 max ( ) L EC I I
L C C
Suy :
1
1
( )
LEC
u E Cos t
L C C
1
1
1max
1 2
( )
(2 )
( )
EC
u E Cos t
C C
EC E C C
U E
C C C C
1 1
1
'
2 2
1 2 2 (1 ) ( ) ( ) L C
q C u C E Cos t
C C
EC
q LC i LC Cos t
L C C
C C
q E Cos t
(8)Bài5: (Trích Đề thi chọn HSG quốc gia THPT - năm 2003)
Trong mạch điện hình vẽ, tụ điện có điện dung C, hai cuộn dây L1 L2 có độ tụ cảm L1=L, L2=2L; điện trở
các cuộn dây dây nối không đáng kể Ở thời điểm t=0 khơng có dịng qua cuộn dây L ❑2 , tụ điện khơng tích điện cịn dịng
qua cuộn dây L1 I1
a) Tính chu kỳ dao động điện từ mạch
b) Lập biểu thức cường độ dòng điện qua cuộn dây theo thời gian
HD:
- Chọn chiều dịng điện hình vẽ Gọi q điện tích tụ nối với B Ta có: iC i1 i2 (1)
' '
2
2 0
C
Li Li (2)
' q Li C (3) ' C
i q (4)
Đạo hàm hai vế (1) (2) (3):
" " " C " " " C
i =i +i (1) Li -2Li =0 (2)
i q
Li =+ =- (3)
C C ⇒ " C C 3
i - i
2LC
Chứng tỏ iC dao động điều hòa với
3 ω=
2LC ⇒T=2π
ω =2π√ 2 LC
3
+ iC I Sin t0 ( ) (5)
Từ (2) ⇒(Li1−2 Li2)'=const⇒(i1−2i2)=const
Tại t=0 : i =I , i =0 1 i -2i =I (6)1
+ i +i =i =I Sin(ωt+ )1 C 0C
Giải hệ :
1 ' 2 Sin(ωt+ ) 3 3 I
i Sin(ωt+
)-3 3
2
L C.Cos(ωt+ ) 3 C C C AB I I i I I q
u C Li
Tại thời điểm t=0 : i1 I i1; 0;uAB 0
Giải hệ : I0C I1; 2
Vaäy :
1
1
2 3
3 3 2
I I
i Cos t
LC 1 3
3 2 3
I I
i Cos t
LC
(9).II.BAØI TOÁN LUYỆN TẬP ÏTHEO CHỦ ĐỀ I
Bài 6: Cho mạch điện có sơ đồ hình vẽ Hai tụ C1, C2 có điện dung nhau: C1 = C2 = C ; cuộn dây cảm có độ tự cảm
L; nguồn có suất điện động E, bỏ qua điện trở dây nối khoá K Ban đầu khoá K chốt a, sau đóng sang chốt b
1) Viết biểu thức điện tích phụ thuộc thời gian tụ C1,C2 khố K đóng sáng chốt b Lấy mốc thời gian lúckhố K đóng
vào chốt b
2) Tính điện lượng chạy qua tiết diện thẳng dây dẫn sau chu kỳ biến đổi điện tích tụ C1
p dụng số: C = 0,5 μ F ; L = 5mH ; E = 6V ÑS: 1) q1 = CE
2 [cos(√ 2
LC.t)+1]=1,5[cos(2√2 10
t)+1] μ c q2 = CE
2 [cos(√ 2
LC .t)−1]=1,5[cos(2√2 10
4t
)−1] μ c
2) i = q1/ = - CE
2 (√ 2
LC)sin√ 2 LC .t )
Δq=4∫
0
T4
(− idt)=2CE = μ c
Bài7: Một mạch dao động LC gồm tụ điện 1,0nF cuộn cảm 3,0mH có điện áp chỉnh 3,0V a) Hỏi điện tích cực đại tụ điện
b) Hỏi dòng điện cực đại chạy qua mạch? Hỏi lượng cực đại dựõ trữ từ trường cuộn dây Đáp số:a)Qmax=3.10-9C
b)Imax= √3 10-3A;W= 4,5.10-9J
Bài8: Trong mạch điện HV:U=34V; R=14 Ω ; C=6,2 μF ;L=54mH, đảo điện vị trí a thời gian dài Bây gạt sang vị trí b
a) Hãy tính tần số dịng dao động b) Tính biên độ dao động dòng điện Đáp số a) f=0,275kHz
b)Ima x=0,364A
Bài9: Bạn đưa cho cuộn cảm L=10mH hai tụC1= 5,0 μ F vàC2= 2,0 μ F Hãy kê tần số dao động có
bằng cách nối yếu tố theo tổ hợp khác
Đáp số: (LC1) 712 Hz; (LC2) 1125Hz; (L,C1ntC2) 1331Hz; (L,C1song songC2) 602Hz
Bài 10:Một cuộn cảm nối vào tụ điện có điện dung thay đổi nhờ xoay núm Ta muốn làm cho tần số dao động LC thay đổi tuyến tính với góc quay núm, từ 2x105 đến 4x105Hz núm quay góc 1800 Nếu L = 1,0mH biểu diễn
bằng đồ thị C hàm số góc quay Đáp số:f= θ 6,3662.104 ⇒C=6,25 10
−9
θ2
( θ góc quay núm xoay)
Bài 11:Trong mạch LC, L = 25,0mH C = 7,80 μ F thời điểm t = 0, dịng 9,20mA, điện tích tụ điện 3,80 μ F tụ nạp
a) Hỏi lượng tổng cộng mạch bao nhiêu? b) Hỏi điện tích cực đại tụ điện?
c) Hỏi dòng cực đại?
d) Nếu điện tích tụ điện cho q = Qcos( ωt+Φ ) góc pha Φ bao nhiêu?
e) Giả sử kiện vậy, trừ thời điểm t = , tụ phóng điện Khi góc pha Φ bao nhiêu? Đáp số:a)W=1,98 μJ
b)Q=5,56 μC
(10)Bài12: Một mạch nối tiếp gồm cuộn cảm L1 tụ điện C1 dao động với tần số góc ω Một mạch nối tiếp thứ hai , chứa cuộn
cảm L2 tụ C2, dao động với tần số góc Hỏi tần số góc dao động(tính theo ω ) mạch nối tiếp chứa
cả bốn yếu tố đó? Bỏ qua điện trở có mạch
(gợi ý: dùng công thức cho điện dung tương đương độ tự cảm tương đương) Đáp số: ω1=ω=
1 √L1C1
= 1
√L2C2
Bài 13: Trên HV tụ C1 =900 μ F đầu nạp đến 100V tụ điện C2=100 μ F khơng
có điện tích Hãy mơ tả chi tiết làm để nạp tụ điện C2 đến 300V nhờ khoá S1
S2.Biết L=10H
Bài14: (Trích đề thi chọn HSG QG năm 1992 – 1993)
Một mạch dao động gồm tụ điện cuộn dây cảm Mạch nối qua khoá K với
một pin có suất điện động (E,r)(HV) K đóng dịng điện ổn định người ta mở khố K, mạch LC có dao động điện với chu kỳ T Biết hiệu điện cực đại hai tụ lớn gấp n lần suất điện động pin Hãy tính theo T n điện dung C tụ độ tự cảm L cuộn dây
HD:Đối với mạch LC dao động điều hoà nên cần áp dụng định luật bảo toàn lượng: C = T
2πrn vaø L = Trn
2π
Bài15: Cho mạch điện hình vẽ Các tụ điện có giá trị điện dung C,các cuộn dây có hệ số tự cảm Lphần tử mạch lý tưởng
1) Đóng khố K, tìm iL¿max
¿ cuộn dây
uc1¿max
¿ tuï C1
2) Khảo sát biến thiên điện tích tụ điện khố K đóng ĐS: 1) iL¿max
¿ = √ C 6LU0
u1¿max
¿ =
4 3U0
2) q1 = CU0 - C
3U0cos 1 √LCt
q2 =q3= C
3U0 cos 1 √LCt
Bài 16: Một tụ điện có điện dung C hai cuộn dây cảm có hệ số tự
cảm L1 L2 ( điện trở không đáng kể ) mắc thành macïh điện có sơ
đồ hình bên
Ở thời điểm ban đầu tụ điện chưa tích điện khơng có dịng điện
cuộn dây L2 có dịng điện I0 cuộn dây L1 Hãy tính điện tích cực
đại tụ điện cường độ cực đại dòng điện cuộn dây L2
Bài 26: Cho mạch dao động gồm tụ C cuộn dây cảm L ❑1 = L Tại thời điểm điện tích tụ Q cường độ dòng
điện qua cuộn dây I người ta mắc thêm cuộn dây cảm L ❑2 = 2L song song với cuộn L ❑1 .
a) Tìm qui luật biến thiên điện tích tụ
b) Khi q ❑max dòng điện qua hai cuộn cảm có chiều có giá trị ?
DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ LIÊN KẾT I.BÀI TỐN THÍ DỤTHEO CHỦ ĐỀ II
Baøi 1:
Hai tụ điện có điện dung C1=2C ;C2=C , ban đầu tích điện đến hiệu
điện U0 , sau ghép nối tiếp với , âm tụ C1 nối với dương tụ
C2 Cùng lúc người ta đóng hai khóa k1 k2 Biết hai cuộn dây
(11)b)Hỏi sau lâu từ lúc đóng khóa , dịng điện qua cuộn cảm đạt cực đại HD
a)Xét thời điểm t ( t>0 ), giả sử dịng điện mạch có chiều hình vẽ Khi ta có :
¿
i3=− q '1;i2=− q '2
uAB=− e2=2 Li'2
uAM=− e1=Li'1= q1
2C uMB=q2
C ¿{ { {
¿ - Xét mắt mạng :
A(L1)M(C1)A : q1
2C−Li'1=0 (1)
A(L2)B(C2)M(C1)A : 2 Li'2− q2
C − q1
2C=0 (2)
Tại M : i3=i1+i2⇒i'1=i'3− i'2=−q rSub \{ size 8\{1\} \} +q2 (3) Thay (3) vào (1),(2) ta hệ theo q1 q2 :
q rSub \{ size 8\{1\} \} - q2+ q1
2 LC=0
¿
q rSub \{ size 8\{2\} \} + \{ \{q rSub \{ size 8\{1\} \} \} over \{4 ital LC\} \} + \{ \{q rSub \{ size 8\{2\} \} \} over \{2 ital LC\} \} =0 \{\} # right no \} \} lbrace drarrow alignl \{ stack \{ left lbrace q1+ 3q1
4 LC+
q2 2 LC=0
⇒ ¿q1+q2=A.sin( t
√LC+ϕ1) 2q2− q1=B sin( t
2√LC+ϕ2)
¿
{ {{q rSub \{ size 8\{2\} \} + \{ \{q rSub \{ size 8\{1\} \} \} over \{4 ital LC\} \} + \{ \{q rSub \{ size 8\{2\} \} \} over \{2 ital LC\} \} =0 \{\} # right no \} \} lbrace \} \{\} # drarrow alignl \{ stack \{ left lbrace q1+q rSub \{ size 8\{2\} \} + \{ \{1\} over \{ ital LC\} \} left (q rSub \{ size 8\{1\} \} +q rSub \{ size 8\{2\} \} right )=0 \{\} # right none left lbrace left (2q2− q '1)+ 1
4 LC(2q2− q1)=0
no ¿ ¿ ¿
¿ - Giả thiết cho : t=0 q1(0)=2 CU0;q2(0)=CU0;q '1(0)=0;q '2(0)=0 Thay tất điều kiện ban đầu vào (4)
ta được:
3 CU0=A.sinϕ1 (a) 0=B sinϕ2 (b)
0=− A
√LCcosϕ1 (c)
0= − B
2√LCcosϕ2 (d)
Giải hệ (a),(b),(c),(d) ta : ϕ1=
π
2 ; A=3 CU0; B=0 thay vào (4) ta :
(12)
¿ q1=2CU0sin( t
√LC+
π
2)
q2=CU0sin( t √LC+
π
2)
¿{ ¿
- Vaäy i2=−q2=U0√C
Lsin t
√LC
i1=i3−i2=− q '1−(− q '2)=−
q '1
2 ⇒i1=U0√
C Lsin
t
√LC
b)Vaäy t=T
4=
π
2√LC dịng i1;i2 cực đại
Bài 2: (Trích Đề dự bị thi Olympic VL Châu Á 2004)
Cho mạch điện gồm tụ điện, tụ có điện dung C, nối với cuộn cảm, cuộn có độ tự cảm L0, cịn hai cuộn cuộn có độ tự cảm L (Hình vẽ bên )
Ban đầu đoạn mạch khơng có dịng điện tụ tích điện sau: A1
mang điện tích Q1 = Q, B2 mang điện tích Q2
Đóng khố K1 K2 lúc
1 Hãy viết biểu thức cho cường độ dòng điện i1, i2 i3 theo thời gian điều
kieän : Q1 = Q2 = Q
2 Với giá trị Q2 để i3 = qua cuộn L0 thời điểm Viết biểu thức i1, i2
khi
3 Với giá trị Q2 để ta ln có i1 = i2 = i3/2
Bài giải:
- Gọi q1, q2 điện tích A1 B2 dịng điện có chiều hình vẽ thời điểm t:
i1 = - q1/ (1)
i2 = - q2/ (2)
i1 + i2 = i3 (3)
1 p dụng định luật Kiếc Sốp cho mắt mạng + Mắt mạng: (MA1NM) :
q1 C - Li1
/ - L
0i3/ = (4)
(MB2NM) : q2 C - Li2
/ - L
0i3/ = (5)
+ Lấy (4) trừ (5) : (q1 – q2 ) 1
C + L (i2/ - i1/) =
⇔ (q1// -q2//) + 1
LC (q1 – q2) =
⇒ q1 – q2 = A.sin( 1
√LC.t+ϕ1 ) (6)
+ Lấy (4) cộng (5) : (q1 + q2)
1
C - L(i1/ + i2/) – 2L0i3/ =
Thay (1), (2) (3) vào ta được: (q1 + q2) 1
C + L(q1// + q2//) + 2L0(q1// + q2//) =
⇔ (q1// + q2//) +
1
C(L+2L0)
.(q1 + q2) =
⇒ q1 + q2 = B.Sin(
1
(13)Từ (6) (7) ⇒ - i1 + i2 =
1
√LC.t+ϕ1
A
√LC cos¿
) (8)
- i1 – i2 =
t
√C(L+2L0)+ϕ2
B
√(L+2L0) cos¿
) (9)
Từ (6) (7) ta có: q1 = A
2 Sin(
t
√LC + ϕ1 ) +
B
2 Sin(
t
√C(L+2L0) + ϕ2 ) (10) q2 = - A
2 Sin(
t
√LC + ϕ1 ) +
B
2 Sin(
t
√C(L+2L0) + ϕ2 ) (11) Từ (8) (9) ta được:
i1 = - A
2√LC cos(
t
√LC + ϕ1 ) -
B
2√C(L+2L0) cos(
t
√C(L+2L0) + ϕ2 ) (12) i2 =
A
2√LC cos(
t
√LC + ϕ1 ) -
B
2√C(L+2L0) cos(
t
√C(L+2L0) + ϕ2 ) (13) Aùp dụng điều kiện ban đầu: lúc t = thì:
{q1(0)=Q
q2(0)=Q
i1(0)=0
i2(0)=0
Thay vào (10), (11), (12), (13) ta được:
{ Q=A
2 Sinϕ1+
B
2 Sinϕ2(a)
Q=− A
2 Sinϕ1+
B
2Sinϕ2(b)
0=− A
2√LCcosϕ1−
B
2√C(L+2L0)cosϕ2(c)
0= A
2√LCcosϕ1
B
2√C(L+2L0)cosϕ2(d) Từ (a), (b) (c), (d) ta có hệ:
{ 2Q=B sinϕ2(a
❑
)
0= B
√C(L+2L0).cosϕ2(b
❑
)
0=Asinϕ1(c❑)
0= A
√C(L+2L0)cosϕ1(d
❑
) Từ (a/) (b/) ta ϕ
2=π2 vaø B = 2Q
Từ (c/) (d/) ta A = 0
(14)i1 = i2 = -
t
√C(L+2L0)+ π 2 Q
√C(L+2L0) cos¿
)
i3 = -
t
√C(L+2L0)+
π
2 2Q
√C(L+2L0) cos¿
a) Muốn i3 = với t thì:
i3 = i1 + i2 = -
t
√C(L+2L0)+ϕ2 B
√C(L+2L0) cos¿
) =
Muốn B =
⇒ {
i1=−
A
2√LCcos(
t
√LC+ϕ1)
i2=
A
2√LC.cos(
t
√LC+ϕ1)
q1=
A
2 sin(
t
√LC+ϕ1)
q2=− A
2sin(
t
√LC+ϕ1)
Kết hợp điều kiện ban đầu:
{q1(0)=Q
q2(0)=Q
i1(0)=0
i2(0)=0
⇒ {
Q1=A
2Sinϕ1
Q2=− A
2 Sinϕ1
0=− A
2√LCcosϕ1
0= A
2√LCcosϕ1
⇒ Q1 = - Q2
ϕ1=π2
Với Q1 = Q ⇒ Q2 = - Q ⇒ A = 2Q1
⇒ {
i1=− Q
√LCcos(
t
√LC+π2)
i2= Q
√LCcos(
t
√LC+π2)
b) Để i1 = i2 = i3
(15)- A
2√LC cos(
t
√LC + ϕ1
)-B
2 cos(
t
√C(L+2L0) + ϕ2 )=
A
2√LC cos(
t
√LC + ϕ1
)-B
2 cos(
t
√C(L+2L0) + ϕ2 )
Từ ⇒ A = ⇒ i1 = i2 = - B
2 cos(
t
√C(L+2L0) + ϕ2 ) Aùp dụng điều kiện ban đầu :
{q1(0)=Q
q2(0)=Q
i1(0)=0
i2(0)=0
⇒ {
Q1=B
2 sinϕ2
Q2=
B
2 sinϕ2
0=− B
2√C(L+2L0)cosϕ2
⇒ ϕ2 = π2 vaø Q1 = Q2 ; B = 2Q1
Với Q1 = Q Vậy i1 = i2 = -
Q
√C(L+2L0)cos(
t
√C(L+2L0)+π2)
Bài 3:(Trích đề thi chọn Đội tuyển HS dự thi Olympíc Vật lý quốc tế năm 2001)
Giữa hai điểm A B có ba đoạnn mạch điện mắc song song HV Mỗi đoạn mạch có tụ điện điện dung C; có hai đoạn mạch chứa cuộn cảm có độ tự cảm L; tất cuộn cảm dây nối có điện trở khơng Hai cuộn cảm đặt cách để bỏ qua ảnh hưởng từ trường cuộn cảm lên cuộn cảm Trong mạch có dao động điện
1 Kí hiệu q1, q2 , q3 điện tích A1, A2, A3 tụ điện; i1, i2, i3
cường độ dòng điện từ A1, A2, A3 tụ điện tới A (chiều dương chọn
chieàu mũi tên hình vẽ)
a) Viết phương trình cho mối quan hệ cường độ dịng điện ik (k = 1, 2, .)
b) Viết biểu thức hiệu điện uBA = VA – VB theo kiện đoạn mạch
BA1A, BA2A, BA3A
2) Tìm biểu thức cho phụ thuộc vào thời gian cường độ dịng điện i2 đoạn mạch
khơng chứa cuộn cảm
3) Chứng tỏ , cường độ dòng điện đoạn mạch có chứa cuộn cảm tổng hai số hạng biến đổi điều hoà theo thời gian Hãy tính tần số góc
4) Xét trường hợp đặc biệt i1(t) = i3(t) i1(t) = - i3(t)
HD: 1)a Theo hình vẽ ta có: i1 = -
dq1
dt (1) ; i2 = - dq2
dt (2) ; i3 = - dq3
dt (3)
b Ta coù:
uAB = VA – VB = q1 C - L
di1
dt (4)
uAB = q2
C (5)
uAB = q3 C - L.i3
/ (6)
2) Theo quy tắc Kiếcxốp, nút A ta có:
i1 + i2 + i3 = → i2 = - i1 – i3 (7)
(4) vaø (5) cho ta : q1
C - Li1 / = q2
(16)(5) vaø (6) cho ta : q3
C - Li3 / = q2
C (9)
(8) vaø (9) cho ta: q1+q3
C - L
d(i1+i3)
dt =
q2 C
Chú ý đến (7) hệ (7):
Q2 = - q1 – q3 + K ( K laø số )
Ta biến đổi phương trình nói thành: L i2/ =
q2 C +
K C
Lấy đạo hàm theo thời gian hai vế phương trình ta phương trình vi phân : Li2// = -
3i2 C
→ i2// + 3
LC i2 = (10)
Chứng tỏ i2 biến đổi điều hoà theo thời gian với tần số góc ω2=√ 3
LC (11);
Nghóa ta có : i2 = B.cos( ω2t+ϕ2 ) (12)
3 Trừ (8) (9) vế với vế ta có: q1− q3
C - L
d(i1−i3)
dt = (13)
đặt i4 = i1 – i3 (14) ta coù : i4 = - d
(i1−i3) dt
Lấy đạo hàm (13) theo thời gian ta phương trình (vi phân) : Li4// +
i4
C = → i4
// + 1
LC i4 = (15)
Ruùt ra: i4 = A.cos( ω1t+ϕ1 ) (16)
Với ω1=√LC1 (17)
Từ (7) (14) ta thu được: i1 = - ½ (i2 – i4) = A
2 cos( ω1t+ϕ1 ) -
B
2 cos( ω2t+ϕ2 ) (18)
i3 = - ½ (i2 + i4) = - A
2 cos( ω1t+ϕ1 ) -
B
2 cos( ω2t+ϕ2 ) (19)
với ω1=√ 1
LC ; ω2=√ 3 LC
4 + Xét trường hợp đặc biệt thứ nhất: i1(t) = i3(t) → i1(t) = i3(t) =
i2(t)
2 : Trong hệ có dao động điện từ theo tần số góc ω2=√ 3
LC
Điện tích tụ điện thoả mãn hệ thức:
q2 = -2q1 = - 2q3, có đối xứng hai đoạn mạch có cuộn cảm
+ Trường hợp đặc biệt thứ hai: i1(t) = - i3(t)
Trong trường hợp i2(t) = Như đoạn mạch không chứa cuộn cảm khơng tham gia vào dao động điện Và đó,
coi hệ mạch kín AA3BA1A (mạch gồm cuộn cảm nối tiếp 2C hai tụ nối tiếp với điện dung tương đương
bằng C/2), mạch có dao động điện với tần số góc ω1=√ 1
LC , luôn có q1 = - q3
II.bài tốn LUYỆN TẬP Ïtheo CHỦ ĐỀ I
(17)a)Giả thiết dòng điện HV Hỏi dòng cuộn dây giữa? Viết phương trình mạch vịng chúng thoả mãn dịng điện dao động với tần số góc ω= 1
√LC
b)Bây giả sử dòng HV Hỏi dịng cuộn dây giữa? Viết phương trình cho mạch vòng chứng minh chúng thoả mãn dịng điện dao động với tần số góc
ω= 1
√3 LC
c)Do mạch dao động hai tần số khác nhau, chứng minh khơng thể thay mạch hai vịng cho mạch LC đơn vòng tương đương
Bài 5:
Hai tụ điện có điện dung C1=2C ;C2=C , hai cuộn dây cảm có độ tự cảm
L1=L ;L2=2L ,một nguồn điện(E,r) hai khố K1,K2 mắcphối hợp hình vẽ Ban đầu
khố K2 đóngvà K1 mở Cùng lúc người ta đóng K1 và mở khố K2
a)Tìm tần số dao động mạch