can bang he so coi

CAÂN BAÈNG HEÄ SOÁ TRONG BAÁT ÑAÚNG THÖÙC COÂ-SI.. 2 www.VNMATH.com..[r]

(1)

Cũng từ phơng pháp này,

nhÊt (Max) cđa biĨu thøc

+

+ +

đợc toán

quỏt v to

S

với chút sáng tạo, tổng Trớc hết xin nêu lại mà không chứng minh hai BĐT quen thuộc sau:

i) BĐT Cô-si tổng quát: 1 2 n 1 2

n n

a + + + a a n a a a ii) BĐT Cô-si suy réng:

1 1

a

n

a

n

α

≥

(

)

(

)

1

n a a an

n n

a

a a

a

α α

+

+ +

Trong hai BĐT a a1, 2, ,an không âm, α α1, 2, ,αnd−ơng dấu đẳng thức xẩy a1 =a2 = = an

Chóng ta b¾t đầu tù toán sau:

Ví dụ Cho số thực dơng x y, thỏa mLn điều kiện 3

1

x +y = (1) T×m giá trị lớn ( ; )

P x y = x + y Phơng pháp suy luận:

Sự chênh lệch số mũ biểu thức 3

x +y P x y( ; )= x+ y gợi cho ta sử dụng BĐT Cô-si để hạ bậc 3

x +y Nh−ng ta cần áp dụng cho số số nào? Căn vào bậc biến số x y biểu thức trên, ta thấy cần phải áp dụng BĐT Cô-si lần lợt cho

x vày3 với số d−ơng t−ơng ứng khác để làm xuất x y Mặt khác x, y d−ơng vai trò chúng nh− nên ta dự đoán P x y( ; )đạt Max x= y Từ (1) suy

3

1

x= =y ta đến lời giải nh− sau

Lêi gi¶i áp dụng BĐT Cô-si cho số dơng: số

x vµ sè , ta cã:

5 5

3 6 6

5 6.2

2

x + ≥ x    = − x

  DÊu “=” xÈy ⇔

1 x= T−¬ng tù nh− vËy:

5

3 6 6

5 6.2

2

y + ≥ y    = − y

  DÊu “=” xÈy ⇔

1 y =

Cộng theo vế BĐT ta đợc:

(

)

5

3 6

(x +y ) 5+ ≥6.2− x+ y (2) DÊu “=” xÈy ⇔

3

1 x= =y

CÂN BẰNG HỆ SỐ TRONG

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

(2)

+ ≥ ≥

t Min

dự đoán Từ (1) (2) suy ra:

6

( ; )

P x y = x+ y ≤ DÊu b»ng xÈy ⇔

3

1

x= =y , tháa mHn ®iỊu kiƯn (1)

VËy

{

}

( ; ) Max P x y =

VÝ dơ Cho c¸c số thực dơng x y, thỏa mLn điều kiện x3+ y3 1(3) Tìm giá trị lớn (Max) biểu thøc P x y( ; )= x +2 y

Phơng pháp suy luận:

vớ d 1, chỳng ta đH nhanh chóng dự đốn đ−ợc MaxP x y( ; )đạt đ−ợc x= y, từ tính đ−ợc x y, Nh−ng tốn này, vai trị x y khơng bình đẳng Tuy nhiên ta hHy giả sử P x y( ; )đạt Max x

y α

β

=

 

=



dự đoán α β, điều kiện biên (3), tức 3

1

α +β = (4) Ta viÕt:

( )

5

3 6 3 2

5

x + α ≥ x α = α x

( )

5

3 6 3 2

5

y + β ≥ y β = β y

Suy

(

) (

)

5 6

x + y + α +β ≥ α x+ β y

§Ĩ xt hiƯn P x y( ; ) vế phải, ta cần chän α β, cã tû lÖ:

5

6.α x :

5

6.β y =1 x:2 y

⇔

5

1

2

α α

β β

 

= ⇔ =

 

  (5) VËy tõ (4) vµ(5) ta thu đợc HPT:

5

3

1

α β α β



=

 

 + =



⇔

3

5

3

1 2

4 2

α β

 =

 +

 

 =

 +

Bằng cách làm ngợc lại bớc ta thu đợc

{

}

(

)

Max P x y = +

Nhận xét Từ cách phân tích ta thấy thay đổi kiện tốn cho HPT sau cân hệ số giải đ−ợc Chẳng hạn nh− toán d−ới õy:

Bài toán Cho số nguyên dơng m p q, , cho m≥ Max p q

{ }

P x y

axp

yq

xm

ym

i)

2 m q

p= + ii) m q p= +

Bµi toán Cho số thực dơng a, b, c, d số nguyên m, n thỏa mLn điều kiƯn

m> >n Tìm giá trị lớn biểu thức P x y z( ; ; )=axn+byn +czn , ,

x y z biến số không âm thỏa mLn điều kiện m m m x +y +z ≤d

VÝ dô Tìm giá trị nhỏ biểu thức

(

)

( ; ; )

P x y z =a x +y +z Trong a số thực d−ơng x, y, z biến số thỏa mLn điều kiện xy+ yz+zx=1 (6)

Phơng pháp suy luận: Do vai trò x y nh nên ta P x y z( ; ; )

( 0)

x= =y z > (7) áp dụng BĐT Cô-si cho hai sè d−¬ng ta cã

2

x + y ≥ xy ≥ xy

( )

2

x αz xαz αxz ⇔α1 x2+αz2 ≥2xz

( )

2

y αz yαz αyz⇔1 2

2 y z yz +

Từ BĐT suy ra:

(3)

chỉ phụ tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu

(

)

(

)

1

1 x y 2αz xy yz zx

α

 

+ + + ≥ + +

 

 

Vế phải BĐT số, ta cần tìm

α

a

α   + =    

2aα α

⇔ − − = ⇒ 1

4 a a

α = + + , 1

a a

α = + < loại Cùng với (6) (7) ta cã HPT: xy yz zx

x y αz

+ + =

 

= =



(

)

2 z

x y z α α α  + =  ⇔ = = 

Gi¶i HPT với

(

)

(

)

2

16

8 1

4

8 1

a z a a a x y a a  = ±  + + +  ⇔  = = ±  + + + 

Bằng cách làm ngợc lại ta tính đợc

{

}

1

xy yz zx Min P x y z

a α

+ +

= =

+ +

Nhận xét Bằng cách làm tơng tự nh giải trọn vẹn đợc toán tổng quát sau:

Bài toán Cho thực dơng a, b, c biến số x, y, z tháa mLn ®iỊu kiƯn

xy+yz+ zx Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2

( ; ; )

P x y z =ax +by +cz

VÝ dô Xét số thực dơng a, b, c thỏa mLn ®iỊu kiƯn 21ab+2bc+8ca≤12

HLy thøcP a b c( ; ; )

a b c = + +

(§Ị thi chän §TVN dự thi IMO 2001)

Phơng pháp suy luận: Đặt a 1,b 1,c

x y z

= = =

Điều kiện toán tở thành 2x+8y+21z≤12xyz(9) Và ta cần tìm Min biểu thức P x y z( ; ; )= +x 2y+3z Giả sử P x y z( ; ; ) đạt Min x z

y z α β =  =

áp dụng BĐT Cô-si suy rộng ta cã:

12xyz≥2x+8y+21z≥2α x 8β y 21z

α β     ≥  +  + ≥    

(

)

2 21

21

2 21 x y z

β α α β α β α β + +      ≥ + +            

⇒ 21 21

(

)

,

x β+ y α+ z α β+ ≥ A

α β

Trong biểu thứcA

(

α β

)

(

)

P x y z = x + 2y + 3z = α x 2β y 3z

α β     + + ≥        

(

)

2 2 3

3

2 x y z

β α α β α β α β + +      ≥ + +             =

(

)

(

)

2 2 3

,

B α β x y zα β α β+ + (11)

Trong biểu thứcB

(

α β

)

Đối chiếu (10) (11) ta thÊy cÇn chän α β, cho cã tû lƯ:

α β

(

β

) (

α

) (

β

α

)

8

2 21

8

β α β α α β β α +  =  +  ⇔ +  =  +  2

2 24 63

16 63

α αβ β β αβ α  + = + ⇔ + = + 

Tõ PT thø nhÊt ⇒

(

)

2 63 α β α − =

(4)

(13)

(

)

(

)

2

2 63 63

16 63

8

α α α α

α α

 −  −

+ = +

 

 −  −

 

3

4α 78α 306α 567

⇔ + − − =

(

)

(

)

2α 2α 48α 63

⇔ − + + = ⇔ =α 92( α >0) 15

8

β

⇒ = Khi P x y z

(

)

2 21 12

9

2

18

5

x y z x

x z z y

y z z z

α β

 

 + + =  =

 

= = ⇔ =

 

 

= = =

 

 

Tới đây, điểm mấu chốt toán đH đ−ợc giải ta đến lời giải t−ơng đối ngắn gọn cho toỏn nh sau:

Lời giải Đặt ,1 1, 1

4

x= x y= y z= z điều kiện (9) trở thành

1 1 1

5

2.3 21 12.3

4

x + y + z ≤ x y z ⇔3x1+5y1+7z1 ≤15x y z1 1

(

)

(

)

P x y z =P x y z = 1 2.5 1 32 1

4

x y z

= + +

=1

(

)

x

y

z

áp dụng BĐT Cô-si tổng quát cho 15 sè d−¬ng ta cã: 15

1 1 1 1 1

15x y z ≥3x +5y +7z ≥15 x y z (12)

(

)

(

)

1

, ,

2

P x y z = x + y + z ≥ 15

1 1

1 15

2 x y z ≥

Tõ (12) suy

1 1

x y z ≥ , từ (13) ta đ−ợc

(

)

P x y z

x

y

z

1 1

5 2

3 3, ,

4 3

x x y y z z

⇔ = = = = = = 1, 4,

3

a b c

⇔ = = =

VËy Min

(

)

P a b c

Nhận xét Sở dĩ ta đặt biến x y z1, 1, 1 ta đH xác định đ−ợc số (x,y,z) để

(

)

P x y z đạt Min Mặt khác việc xét dấu trở nên dễ dàng bếu biến tham gia xẩy dấu đẳng thức

Một điều thú vị đáng ý BĐT (12), (13) t−ơng đối đơn giản, nh−ng qua phép đổi biến đH trở thành BĐT khác phức tạp nhiều Chúng ta hHy

thử vận dụng điều để tạo toán thú vị, xuất phát từ bổ đề sau:

Bổ đề: Cho số thực α β γ λ, , , ≥0và x y z t, , , >0 Khi ta có:

i) NÕu

α

x

β

y

γ

z

λ

t

(

α β γ λ

)

xyzt

(

β γ λ

) (

x

γ λ α

) (

y

λ α β

)

z

(

α β γ

)

t

(

α β γ λ

)

+ + + ≥ + + + (14) ii) NÕu

(

β γ λ

) (

x

γ λ α

) (

y

λ α β

)

z

(

α β γ

)

t

(

α β γ λ

)

(

)

x y z t xyzt

α

β

γ

λ

α β γ λ

Chứng minh Tr−ờng hợp α β γ λ= = = =0 bổ đề hiển nhiên Ta xét

2 2

0

+ + + > i) áp dụng BĐT C«-si suy réng ta cã:

(

α β γ λ

)

xyzt

α

x

β

y

γ

z

λ

t

(

)

(

)

1

x y z tα β γ λ α β γ λ α β γ λ + + +

≥ + + +

1 xβ γ λ γ λ α λ α β α β γ+ + y + + z + + t + +

⇒ ≥

Nh− vËy:

(

β γ λ

) (

x

γ λ α

)

y

(

λ α β

) (

z

α β γ

)

t

(

α β γ λ

)

(

)

xβ γ λ γ λ α λ α β α β γ α β γ λ+ + y + + z + + t + + + + +

× ≥≥3

(

α β γ λ

)

Đẳng thức xẩy = = = =x y z t

(5)

Cho số thực dơng a,b,c

Chúc bạn thành

cần thiết học toán chúng theo

tập sau hHy cố gắng mở rộng Để kết thúc

trờng hợp nhiều biến Các bạn hHy thử tiếp tục suy nghĩ

toán míi vµ

Chøng minh r»ng:

56 ii) áp dụng BĐT Cô-si suy rộng ta có:

(

) (

)

3

α β γ λ

β γ λ

x

(

γ λ α

) (

y

λ α β

) (

z

α β γ

)

t

(

)

3

α β γ λ

≥ + + + ××

(

x

y

z

t

)

x

y

z

t

⇒ ≥ ⇔

(

x y z t

)

xyzt

x y z t

α +β +γ + ≥λ ≥

(

)

(

x y z t

)

(

)

xyzt

x

y

z

t

Bổ đề đ−ợc chứng minh

Sử dụng bổ đề cách thay vào giá trị đặc biệt cách phát biểu khác nhau, ta có kết khác nhau:

- Víi t =1,λ =0,α =3,β =5,γ =7, thay x, y, z, t lần lợt 3x, y,

2

3z vào (14), sau đặt a 1,b 1,c1

x y z

= = ta đợc Bài toán ví dụ

- Thay t=1,=1, =1,β =2,γ =3 vào (14) đặt , ,

2 3

x y z

a b c

= = = ta cã toán:

Bài toán Cho số thực dơng a, b, c thỏa mLn điều kiện 72ab + 9bc + 24ca + + 18abc ≤ 10 16

15

a+ b + c Đẳng thức xảy nào?

- Thay 1, 1, 1, 1,

2

t = λ = α = β = γ = vào (14) đặt , ,

2 3

x y z

a b c

= = = ta có toán sau: Bài toán Cho số thực dơng a, b, c thỏa mLn ®iỊu kiƯn 2

(

)

8a b c+ +27abc≤16 Chøng minh r»ng: 10 22

4a +9b +9c ≥ Đẳng thức xảy nào? - Vì xẩy đẳng thức hai Bài tốn có 1, 2,

2 3

a= b= c= nên kết hợp hai toán ta có:

Bài toán tháa mLn ®iỊu kiƯn 72ab + 9bc + 24ca + 18abc ≤

(

)

2

8a b c+ +27abc≤16 Chøng minh r»ng: 17 19 166 21 4a +9b+ 9c Đẳng thức xảy nào?

56

- Thay t 1, 1, 1, 2,

x λ α β γ

= = = = = vào (14) đặt , ,

2 3

x y z

a b c

= = = ta có toán sau:

Bài toán Cho số thực a, b, c dơng thỏa mLn điều kiện 10 16 12 21

3 a

a+ b + c+ ≤ , chøng minh r»ng 4 28

2a +3b+ +c a≥9abc Đẳng thức xảy nào?

Bng cỏch thay đổi kiện toán theo h−ớng có đ−ợc nhiều theo h−ớng theo h−ớng tổng quát cho

bài viết này, đề nghị bạn giải số cách Đó việc làm thực

c«ng!