Ñònh m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu.[r]
(1)Phần 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ
MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HAØM SỐ
Vấn đề 1: Phép biến đổi đồ thị : Phương pháp:
1) Dạng 1: Từ đồ thị (C): y = f(x) suy đồ thị (C1): y=|f(x)| , với ghi nhớ:
* (C): y = f(x) (C’): y = – f(x) đối xứng qua Ox * Viết
f(x) f(x)≥0 - f(x) f(x)<0
¿
y=|f(x)|={
¿
* Đồ thị (C1) : y=f|(x)| vẽ bước:
+ Giữ lại đồ thị (C) nằm phía Oõx
+ Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía Ox + Hợp phần đồ thị ta đồ thị (C1): y=|f (x)|
2) Dạng 2:Từ đồ thị (C):y = f(x) suy đồ thị hàm (C2): y=f(|x|) với ghi nhớ
* y=f(|x|) hàm chẵn nên có đồ thị đối xứng qua Oy
* Ta vẽ đồ thị (C2) qua bước:
+ Giữ lại phần đồ thị (C) bên phải Oy
+ Lấy đối xứng qua Oy phần vừa giữ lại (C) + Hợp phần đồ thị ta có đồ thị (C2): y=f(|x|)
3) Dạng 3: từ đồ thị (C): y = f(x) suy đồ thị hàm (C3): y=|f(|x|)| cách kết hợp
daïng dạng
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục qua Oy (sau bỏ phần bên trái Oy Giữ nguyên phần bên phải, hợp phần lấy đối xứng đồ thị (C2) y=f(|x|)
+ Lấy đối xứng tất phần đồ thị (C2) vừa kết hợp nằm trục Ox lên Ox
+ Giữ nguyên phần bên trên, lúc ta có đồ thị hàm (C3): y=|f (|x|)|
4) Dạng 4: Ta xét trường hợp đơn giản Từ đồ thị (C) : y=Ax
2
+Bx+C
ax+b (giả sử a > 0) suy đồ thị (C4)
Ax2+Bx+C ax+b (x>−
b
a;a>0)
¿
−Ax
+Bx+C ax+b (x<−
b a;a>0)
¿ ¿ ¿
y=Ax
+Bx+C
|ax+b| =¿
Qua bước :
+ Vẽ (C), bỏ nhánh đồ thị (C) bên trái tiệm cận đứng (d): x=−b a
+ Lấy đối xứng phần (C) bên trái tiệm cận đứng (d): x=−b
a vừa bỏ qua d Tương tự với a < (ta nhân tử mẫu với –1)
Tương tự với đồ thị (C4) y= ax+b
|cx+d| hay y=
P(x)
Q(x) đồ thị y= |P(x)|
Q(x) hay y=|P(x)|Q(x)
(2)hay (C5):
f(x)
¿
− f(x)
¿
(ñk :f(x)≥0)
¿
y=¿
qua bước
+ Vẽ (C): y = f(x) bỏ phần trục Ox
+ Lấy đối xứng phần giữ lại qua trục Ox, (xng phía trục Ox) Bài toán : (Phép suy thứ nhất)
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C):y= x
x −1 b/ Suy đồ thị (C1):y=| x x −1|
Giải: Đồ thị (C)
-4 -3 -2 -1
-3 -2 -1
x y
x=1
y=x+1
Đồ thị (C1)
-4 -3 -2 -1
-3 -2 -1
x y
x=1
y=x+1
y=-x-1
Bài toán 2: (Phép suy thứ hai) Vẽ đồ thị (C2):y= x
|x|−1 Đồ thị (C2):
(3)-4 -3 -2 -1
-2
x y
x=1
y=x+1 y=-x+1
x=-1
Bài toán 3: (Phép suy thứ ba) Vẽ đồ thị (C3):y=|
|x|2 |x|−1|
Đồ thị (C3)
-4 -3 -2 -1
-2
x y
x=-1 x=1
y=-x+1
y=x+1
Bài toán :(Phép suy thứ tư)
Vẽ đồ thị (C4):y= x
|x −1|
Đồ thị (C4)
-4 -3 -2 -1
-2
x y
x=1
y=x+1 y=-x-1
x=-1
(4)Vẽ đồ thị (C5):|y|= x x −1
-8 -6 -4 -2
-10 -8 -6 -4 -2
x y
x=1
y=x+1 y=-x-1
Vấn đề 2: Biện luận tương giao hai đường:
Phương pháp : Cho hai đường cong (C1): y = f(x) (C2): y= g(x)
Biện luận tương giao (C1) với (C2)
* Lập phương trình hồnh độ giao điểm (C1) (C2)
f(x) = g(x) ⇔ f(x) – g(x) = (1) * Giải biện luận phương trình (1)
* Kết luận : số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C1) với (C2)
- Phương trình (1) có nghiệm đơn : (C1) cắt (C2)
- Phương trình (1) có nghiệm kếp : (C1) tiếp xúc (C2)
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x + (D) đường thẳng qua A(2; 4) có
hệ số góc m Biện luận theo m số giao điểm (C) (D) Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) +
(C) : y = x3 – 3x + 2
* Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (D) x3 – 3x + = m(x – 2) + 4
(x – 2)( x2 + 2x + – m) = (1)
* Số giao điểm (C) (d) số nghiệm phương trình (1) - Phương trình (1) luôn có nghiệm x =
- Xét phương trình g(x) = x2 + 2x + – m = (2)
Neáu g(x) = có nghiệm x = – m = ⇔ m =
Do : m = (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = – Nếu m ≠ g(x) = có nghiệm x ≠
Ta coù Δ'
=m
m < ⇔Δ'<0 : (2) vô nghiệm
m = ⇔Δ'
=0 : (2) có nghiệm kép x = –
0 < m ≠ ⇔Δ'>0 : (2) có nghiệm phân biệt khác
- Kết luận:
m < : (D) cắt (C) điểm
m = : (D) cắt (C) điểm tiếp xúc đồ thị điểm < m ≠ : (D) cắt (C) điểm
(5)m = : (D) cắt (C) điểm tiếp xúc đồ thị điểm (2; 4)
Bài toán 2: Cho hàm số y =
2
x 4x x
y= + +
+ (C)
Tìm tất giá trị m để đường thẳng (D) y = mx + – m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt thuộc nhánh đồ thị (C)
Giải: Phương trình hồn độ giao điểm (C) (D) :
x2 + 4x + = mx2 + 2x + mx + – 2m (với x ≠ – 2)
⇔ (1 – m)x2 + (2 – m)x + 2m – = (*)
(D) cắt (C) điểm phân biệt thuộc nhánh đồ thị (C)
⇔ (*) có nghiệm phân biệt x1; x2 cho x1 < x2 < – V – < x1 < x2
¿
⇔
a=1− m≠0 Δ=(4−4m+m2)−4
(1− m)(2m−3)>0 af(−2)=(1− m)[4(1− m)−2(2−m)+2m−3]>0
¿ ¿{ {
¿
¿
⇔
9m2 24 m +16>0 3(1−m)>0
¿ ¿{
¿
⇔
m≠4 m.>1
¿{
Kết luận :
⇔
m≠ m.>1
¿{
(D) cắt đồ thị (C) điểm phân biệt thuộc nhánh (C)
Bài toán 3:Cho hàm số y= x
x −1 Tìm điểm A , B nằm đồ thị (C) đối xứng qua
đường thẳng (d) y = x –
Giải: Vì A , B đối xứng qua đường thẳng (d) y = x – Suy A, B thuộc đường thẳng (d’) y = –x + m
Phương trình hồnh độ giao điểm (d’) (C) x2 = (x – 1)( – x + m) (đk : x ≠ 1)
⇔ 2x2 – (m + 1)x + m = (*)
Ta coù Δ = (m + 1)2 – 8m >
⇔ m2 – 6m + > 0
⇔
m<3−√5
¿
m>3+√5
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Giả sử (d’) cắt (C) điểm phân biệt A, B Gọi I trung điểm A, B:
⇒
xI=xA+xB
2 =
m+1 yI=− xI+m=3m −1
4
¿{
A B đối xứng qua (d) ⇒ I thuộc (d): y = x –
⇒ 3m −4 1=m+1
(6)Lúc (*) thành trở thành : 2x2 – = ⇔ x = ±1
2 Vaäy A(
−1 √2;−1+
√2 ) , B(
√2;−1− √2
2 )
Bài toán 4:Cho (P) y = x2 – 2x – đường thẳng (d) phương đường y = 2x
cho (d) cắt (P) điểm A, B
a) Viết phương trình (d) tiếp tuyến (P) A B vuông góc b) Viết phương trình (d) AB = 10
Giải: Gọi (d): y = 2x + m đường thẳng phương với đường y = 2x Phương trình hoành độ giao điểm (d) (P)
x2 – 2x – = 2x + m
⇔ x2 – 4x – – m =
(d) cắt (P) điểm phân biệt A vaø B
⇔ Δ' = + m >
⇔ m > –7 Lúc gọi xA , xB nghiệm (1) ta có
S = xA + xB = 4,P = xA xB = – – m
a) Tieáp tuyến (P) A, B vuông góc ó f’(xA )f’(xB) = –1
⇔ (2 xA –2)(2 xB –2) = – ⇔ 4P – 4S + = ⇔ 4(–3 –m) –16 +
=
⇔ m = −23
4 (nhận m > –7)
b) A, B thuoäc (d) ⇒ yA = xA + m , yB = xB + m
Ta coù AB2 = 100 ⇔ (x
A – xB)2 + (yB – yA)2 = 100
⇔ (xA – xB)2 + (2 xA –2 xB)2 = 100
⇔ (xA – xB)2 = 20 ⇔ S2 – 4P = 20
⇔ 16 + 4(3+m) = 20 ⇔ m = – (nhận m > –7)
Bài toán : Cho hàm số y=f(x)=x+3− m+
x+m (H)
Tìm a để đường thẳng (Δ) : y = a(x+1) + cắt (H) điểm có hồnh độ trái dấu
Giải:Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (Δ) :
x+2+
x+1=a(x+1)+1 (ñk:x≠ −1)
⇔x2
+3x+3=a(x2+2x+1)+x+1 ⇔g(x)=(1− x)x2+2(1− a)x+2− a=0 ( ) (Δ) cắt (C) điểm có hồnh độ trái dấùu ⇔ (*) có nghiệm phân biệt
x1, x2≠ −1Λ x1<0<x2
⇔
(1− a)g(0)<0 g(−1)≠0
1−a ≠0
⇔
¿(1− a) (2− a)<0 (1− a)−2(1− a)+2− a=1≠0
⇔1<a<2
¿{ {
Vấn đề 3: Viết phương trình tiếp tuyến :
Phương pháp :
1)Loại 1: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) điểm M(x0; y0)
Tính y’ = f’(x) ⇒ y’(x0) = f’(x0)
Phương trình Tiếp tuyến (C) M(x0;y0) là: (y – y0) = f’(x0)(x – x0)
(7)2)Loại 2: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) qua điểm A - Cách 1:
* Goïi (D) tiếp tuyến (C) tiếp truyến (C) qua A(xA; yA) có hệ số góc k : (D) :
y =k(x – xA) + yA
* Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (D): f(x) = k(x – xA) + yA (1)
* (D) tiếp tuyến (C) (1) có nghiệm kép, từ xác định đuợc k Từ viết phương trình (D)
- Cách 2:
* Gọi M(x0; y0) tiếp điểm
* Phương trình tiếp tuyến (D) taïi M: (y – y0) = f’(x0)(x – x0)
* (D) qua điểm A nên : (yA – y0) = f’(x0)(xA – x0) (1)
Giải (1) tìm x0, từ tìm phương trình (D)
3)Loại 3: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) có hệ số góc cho trước - Cách 1:
* Gọi (D) tiếp tuyến (C) tiếp truyến (C) có hệ số góc k (D) : y = kx + m (1)
* Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (D): f(x) = kx + m
* (D) tiếp tuyến (C) ⇔ (1) có nghiệm kép Từ tìm giá trị m , từ viết phương trình (D)
- Cách 2:
* Gọi (D) tiếp tuyến (C) M(x0; y0) tiếp điểm:
(D) có hệ số góc k (D) có hệ số goùc f’(x0)
⇒ f’(x0) = k (1)
* Giải (1) tìm x0 ; y0 = f(x0) Từ viết phương trình (D)
Bài toán 1: Cho hàm số (C) y=x2−3x+4
2x −2 M điểm tuý ý (C) Tiếp
tuyến (C) M cắt đường tiệm cận xiên đứng A B Chứng tỏ rằg M trung điểm AB, tam giác IAB (I giao điểm hai đường tiệm cận) có diện tích khơng phụ thuộc vào M
Giaûi: y=x
−3x+4 2x −2 =
x 2−1+
1
x −1 (x ≠1) (C)
M(a; b)∈(C)⇒ tiếp tuyến M laø (d) y=y('a)(x − a)+b (b=a 2−1+
1 a −1)
⇔y=[1 2−
1
(a −1)2](x −a)+ a 2−1+
1 a −1
Tiệm cận đứng (C) (d1) : x = ⇒(d)∩(d1)=A(1;− 2+
2 a −1)
Tieäm cận xiên (C) (d2) : y=2x−1⇒(d)∩(d2)=B(2a−1; a−32)
Ta coù : 12(xA+xB)=
1
2(1+2a −1)=a=xM 12(yA+yB)=
1 2[−
1 2+
2 a −1+a −
3 2]=
a 2−1+
1 a−1=yM Vậy M trung điểm AB
Giao điểm tiệm cận I(1;−1
2)⇒SIAB=
2|yA− yI||xB− xI| ¿1
2
(8)Vậy SIAB không phụ thuộc vào M
Bài toán 2: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 9x + (C)
Tìm tiếp tuyến đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ Giải : Gọi M(x0; y0) (C) : hệ số góc tiếp tuyến M : k = f’(x0) = 3x0
2
+6x0−9
Ta coù k=3(x0+1)2−12≥ −12 Dấu “=” xảy x0 = –
Vaäy Min k = – 12 ⇔ M(–1; 16)
Do tất tiếp tuyến (C) tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ
Bài tốn 3: Cho hàm số y = x3 + mx2 + (Cm)
Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + điểm phân biệt A(0; 1), B, C cho tiếp tuyến Cm) B C vng góc
Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (Cm) x3 + mx2 + = – x + 1
⇔ x(x2 + mx + 1) = (*)
Đặt g(x) = x2 + mx + (d) caét (Cm) điểm phân biệt
⇔ g(x) = có nghiệm phân biệt khác
⇔
Δg=m2−4>0 g(0)=1≠0
⇔
m>2
¿ ¿
m<−2
¿ ¿{
¿ ¿ ¿
Vì xB , xC nghiệm g(x) =
⇒
S=xB+xC=−m
P=xBxC=1 ¿{
Tieáp tuyeán B C vuông góc
⇔f'(xC)f '
(xB)=−1 ⇔xBxC(3xB+2m) (3xC+2m)=−1
⇔xBxC[9xBxC+6m(xB+xC)+4m2]=−1 ⇔1[9+6m(−m)+4m2]=−1
⇔2m2
=10 ⇔m=±√5 (nhận so với điều kiện)
Bài toán 4: Cho hàm số y = x3 – 3x – (H)
Xét điểm A, B, C thẳng hàng thuộc (H) Gọi A1, B1, C1 lần luợt giao điểm
(H) với tiếp tuyến (H) A, B, C Chứng minh A1, B1, C1 thẳng hàng
Giải: Gọi M(x0; y0) thuộc (H) Phương trình tiếp tuyến (H) M (d) y=3(x0
2
−1)(x − x0)+x
−3x0−2=3(x0
−1)x −2(x3+1)
Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (H)
x3−3x −2=3(x0
−1)x −2(x3+1)
⇔(x − x0)
(x+2x0)=0
(9)⇔
x=x0(nghiệm kép)
¿
x=−2x0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Goïi A(a; yA) , B(b; yB) , C(c; yC)
⇒ giao điểm A1, B1, C1 tiếp tuyến A, B, C với (H) A1=(−2a ;−8a
3
+6a−2) , B1=(−2b ;−8b
+6b −2) , C1=(−2c ;−8c
+6c −2)
* A, B, C thaúng haøng :
⇔b − a
c −a=
b3− a3−3(b − a)
c3− a3−3(c −a) ⇔1=
b2+a2+ab−3 c2+a2+ac−3
⇔c2+ac=b2+ab c babc0
⇔a+b+c=0 (c ≠ b)
* A1, B1, C1 thẳng hàng :
⇔2a −2b
2a −2c=
8(a3−b3)−6(a −b ) 8(a3− c3)−6(a −c
) ⇔1=
4(a2
+ab+b2)−3 4(a2
+ac+c2)−3
⇔c2+ac=b2+ab ⇔(b − c)(a+b+c)=0
⇔a+b+c=0 (c ≠ b)
Vaäy : A, B, C thẳng hàng ⇔ A1, B1, C1 thẳng hàng
Vấn đề 4: Biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình đồ thị:
Phương pháp :
1)Dạng 1: cho phương trình f(x m) = (1) * Đưa dạng : g(x) = m
* Vẽ đồ thị (C) : y = g(x) (D) : y = m
* Xét tương giao (C) (D) đồ thị theo tham số m
* Kết luận : số giao điểm đồ thị số nghiệm phương trình (1) 2)Dạng 2: f(x) = g(m)
* y = g(m) đường thẳng qua M(x0; y0) cố định
* y = g(m) đường thẳng có hệ số góc khơâng đổi * g(m) = f(m)
Bài toán 1: Cho hàm số y = x3 – 3x (C)
a) Khảo sát vẽ đồ thị
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y=−sin 3x −3 sin3x Giải: a) Đồ thị (C)
-4 -3 -2 -1
-4 -2
(10)b) y=−sin 3x −3 sin3x ⇔y
=(−3 sinx+4 sin3x)−3 sin3x
⇔y=sin3x −3 sin3x Đặt t = sinx , t∈[−1;1]
Xét y = t3 – 3t với t∈[−1;1] Nhìn vào đồ thị (C) ta thấy Maxy=
t∈[−1;1]
⇔t=−1⇔x=−Π
2 +k2Π , Miny=
t∈[−1;1]
⇔t=1⇔x=Π
2+l2Π (k,l∈Z)
Bài toán 2: Cho hàm số y=2x
+x+1
x+1 (C)
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức y=2 cos
x+|cosx|+1
|cosx+1|
Giải: a)Đồ thị (C)
-8 -6 -4 -2
-12 -10 -8 -6 -4 -2
x y
b) Đặt t=|cosx|⇒0≤ t ≤1
Vậy A=2t
+t+1
t+1 với D=[0;1] Nhìn vào đồ thị hàm số (1) xét t∈[0;1]
ta thaáy:
x x k
x x t
t
MaxA sin
1 cos
1 cos )
( 1
loại
MinA=1⇔t=0⇔cosx=0⇔x=Π
2 +lΠ (k,l∈Z)
Bài toán 3: Cho hàm số y=x
+x −3
x+2 (C)
a) Khảo sát vẽ đồ thị
b) Biện luận theo m số nghiệm của: f (t)=t4
+(1−m)t2−3−2m=0
Giải: a)
(11)-6 -5 -4 -3 -2 -1
-6 -4 -2
x y
b) t4
+(1− m)t2−3−2m=0 (*) ⇔t4+t3−3=m(t2+2)
⇔t4+t2−3
t2
+2 =m
Xeùt hàm số y=x
+x −3
x+2 với x=t 2≥0
Nhìn vào đồ thị ta thấy m≥ −3
2 (d) cắt (C) điểm có hồnh độ khơng âm
Vậy m=−3
2 có nghiệm x = t2 = ⇒ (*) có nghiệm kép t1=t2=0 m>−3
2 (*) có nghiệm , m<−
2 () vô nghiệm
Bài tốn 4:Cho hàm số y=f(x)= 2x
x −1 (C)
a) Khảo sát vẽ đồ thị
b) Biện luận theo m số nghiệm (m−2)|x|− m=0 với x∈[−1;2]
Giaûi:a) Đồ thị (C)
-3 -2 -1
-2
x y
b) Xét phương trình (m−2)|x|− m=0 với x∈[−1;2]
⇔m(|x|−1)=2|x| (*)
Vì |x|=1 không nghiệm (*) Vậy m= 2|x|
(12)Xét đường y = m y= 2|x|
|x|−1 với x∈[−1;2]
-4 -3 -2 -1
-4 -2
x y
Nhìn vào đồ thị ta thấy : m∈(−∞ ;0) : (*) có nghiệm, m∈{0}∪¿ : (*) có nghiệm,
m∈(0;4) : (*) vô nghiệm
Bài tốn 5: Cho hàm số y=f(x)= x
x −1 (C)
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C)
b) Biện luận số nghiệm phương trình (1− m)x2−(1− x)x+1=0
Giải: a) Đồ thị (C)
-3 -2 -1
-2
x y
y=-3x+1
b) (1− m)x2−(1− x)x+1=0 (*)
Ta thấy x = không nghiệm (*) , ta có ( )⇔ x
x −1=mx+1
Đặt (d) : y = mx + , (d) qua A(0;1)
Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm (C) (d) : (C) : y= x
2
x −1 (d) tiếp tuyến (C) (*) có nghiệm kép
(13)⇔
1−m≠0 (1− m)2−4(1−m)=0
¿{
⇔
m≠1 m2+2m −3=0
¿{
⇔
m=−3
¿
m=1(loại)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
⇔m=−3
Vậy tiếp tuyến (C) qua A(0;1) : y = –3x + * Kết luận
m=−3 : (d) tiếp với (C) ⇔ phương trình (*) có nghiệm kép
m∈(−∞ ;−3)∪(1;+∞) :(d) cắt (C) diểm phân biệt ⇔ phương trình
(*)có nghiệm đơn
m∈¿ : (d)∩(C)=Φ phương trình vơ nghiệm Bài toán 6: Giải biện luận theo m số nghiệm phương trình
√4x2−16x+12− x −2m=0
Giải: D=¿∪¿ √4x2−16x+12− x −2m=0⇒√x2−4x+3=x 2+m
Đặt (d) : y=x
2+m Xeùt (C) : y=√x2−4x+3
-2 -1
-2
x y
2 2 x
y
2 2 x
y
* Dựa vào đồ thị ta có: m∈(− ∞;−3
2) : phương trình cho vơ nghiệm m∈¿ : phương trình có nghiệm, m∈¿ : phương trình có nghiệm
Bài toán 7: Cho hàm số y=3+2x2− x4 (C) a) Khảo sát vẽ đồ thị
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x4−2x2
(14)-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5
2
x y
y=4
y=3
b) x4−2x2=m4−2m2 ⇔− x4+2x2+3=− m4+2x2+3
Xeùt y=f (x)=− x4+2x2+3 (C) y=t=− m4+2m2+3=f(m)
Nhìn vào đồ thị ta thấy :
Khi t=4⇔m=±1 : (*) coù nghiệm kép x=±1
t=3⇔m=0 V m=±√2 : (*) có nghiệm ; nghiệm kép x =
nghiệm đơn x=±√2 3<t<4⇔
−√2<m<√2 m≠ ±1
m≠0
¿{ {
:(*) có nghiệm phân biệt
t<3⇔ m<−√2
m>√2
¿{
:(*) có nghiệm đơn
Vấn đề 5: Tìm điểm cố định họ đường cong: Phương pháp:
Cho (Cm): y = f(x, m) Tìm điểm cố định (Cm) m thay đổi * Gọi M(x0; y0) điểm cố định (Cm) qua
* M(x0; y0) tuoäc (Cm) ⇔ y0 = f(x0)
* Biến đổi y0 = f(x0,m) ⇔ Am + B = Am2 + Bm + C = dạng (I)
A=0 B=0
¿{
(II) A=0 B=0 C=0
¿{ {
Giải hệ ta cặp nghiệm (x0; y0) Các điểm cần tìm
Bài tốn 1: Cho hàm số y = x3 – (m + )x2 – (2m2 – 3m + )x + 2m(2m – ) (Cm)
Tìm điểm cố định mà họ (Cm) qua với m ĐỊnh m để (Cm) tiếp xúc với Ox
Giaûi: a) y = x3 – (m + )x2 – (2m2 – 3m + )x + 2m(2m – )
⇔ ( 2x – 4)m2 + (x2 – 3x + 2)m + y – x3 + x2 + 2x = 0
(15)Toạ độ điểm cố định nghiệm hệ :
¿
2x −4=0 x2−3x+2=0 y − x3
+x2+2x=0
⇔
¿x=2
y=0
¿{ {
¿ Kết luận : (Cm) qua điểm M(2; 0) với m
b) M(2; 0) điểm cố định của(Cm) nên M(2; 0) vừa thuộc (Cm) vừa thuộc 0x nên: x3 – (m + )x2 – (2m2 – 3m + )x + 2m(2m – ) = 0
ó (x – 2)[x2 – (m – 1)x – (2m2 – m)] =
Để (Cm) tiếp xúc với Ox g(x) = x2 – (m – 1)x – 2m2 + m = có nghiệm
x = có nghiệm kép khác
⇔
¿Δ=9m2−6m+1=0 g(2)≠0
⇔m=1
¿ ¿
Δ=9m2−6m+1>0
¿
g(2)=0
¿
⇔
¿
m=−2
¿ ¿
m=3
¿ ¿{
¿ ¿
Bài toán 2: cho đường cong (Cm): y = (m + 1)x3 – 2mx2 – (m – 2)x + 2m + 1
Chứng minh (Cm) qua điểm cố định m thay đổi Giải : y = (m + 1)x3 – 2mx2 – (m – 2)x + 2m + 1
⇔
x3−2x2− x+2 =0 x3+2x+1−y =0
⇔
¿
x=1 y=4
¿ ¿ ¿ ¿
x=−1
¿
y=−2
(16)Bài toán 3: cho hàm số y=(m−1)x −2
x − m (Hm)
Chứng minh (Hm) luôn qua hai điểm cố định m thay đổi ,ngoại trừ vài giá trị m mà ta phải xác định
Giaûi: y=(m−1)x −2
x=m ⇔y(x −m)=(m −1)x −2 (x ≠ m)
¿
⇔(x+y)m−(xy+x+2)=0
⇔
x+y=0 xy+x+2=0
¿ ¿{
¿
⇔
¿x=−1
y=1
⇒m≠ −1
¿ ¿
x=2
¿ ¿
y=−2
¿
⇒m≠2
¿ ¿
Vậy: m thay đổi , với
m≠ −1
¿
m≠2
¿ ¿ ¿ ¿
(Hm) ln qua hai điểm cố định Bài tốn 4: Cho hàm số y = mx3 + (1 – m)x + có đồ thị (Cm)
Tìm tất điểm mà (Cm) không qua với m Giải: Gọi M (x0; y0) điểm mà (Cm) không qua
M(x0; y0) không thuộc (Cm) ⇔ (x3 – x)m + x + – y ≠ với m
⇔
x3− x=0 x+1− y ≠0
¿{
⇔
x=0 y ≠1 V
¿x=1
y ≠2 V
¿x=−1
y ≠0
¿{
Kết luận : Đồ thị (Cm) không qua điểm (0; a) , (1; b) , (-1; c) với
a ≠1 V b ≠2 V c ≠
Bài toán : Cho họ đường cong (Cm) y = (m + 3)x3 – 3(m + 3)x2 – (6m + 1)x + 1
CMR: (Cm) qua điểm cố định thẳng hàng Giải : y = (m + 3)x3 – 3(m + 3)x2 – (6m + 1)x +
(x3 – 3x2 – 6x + 1)m + (3x3 – 9x2 – x + – y) = 0
Toạ độ điểm cố định (nếu có) nghiệm hệ
(17)¿
x3−3x2−6x+1=0 3x3−9x2− x+1− y
=0
⇔
¿x3−3x2−6x+1=0 (1) y=17x −2 (2)
¿{
¿
Đểâ chứng minh (Cm) qua điểm cố định thẳng hàng ta cần chứng minh (1) có nghiệm phân biệt hay hàm số y = x3 – 3x2 – 6x + (C) có hai giá trị
cực trị trái dấu
Ta coù: y’ = 3x2 – 6x – ⇒ y’ = ⇔x=1± √3
Suy yCÑyCT = −(6√3+7)(6√3−7)=−59
Kết luận : (Cm) qua điểm cố định thược đường thẳng (d): y = 17x –
Vấn đề 6: Tìm tập hợp điểm (quỹ tích):
Phương pháp: điểm M di động thoả điều kiện cho trước * Tính toạ độ điểm M phụ thuộc theo tham số m , t x = f(m) & y = g(m)
* Khử m (hay t) x y, ta có hệ thức độc lập m có dạng sau gọi phương trình quỹ tích :
F(x, y) = (hay y = h(x) )
* Giới hạn : dựa lvào điều kiện tham sơ m, ta tìm điều kiện x y để M(x, y) tồn Đó giới hạn quỹ tích
Bài toán 1: Cho hàm số y=x3−3x2
Gọi (Δ) đường thẳng qua gốc tạo độ có hệ số góc k Với
giá trị k (Δ) cắt (C) điểm phân biệt A, B, O ? Tìm tập hợp trung
điểm I AB k thay đổi Giải: (Δ) qua gốc toạ độ nên có dạng :y = kx
Phương trình hồnh độ giao điểm (Δ) (C) : x3−3x2=kx
⇔x(x2−3x − k)=0 ( ) Đặt g(x)=x2−3x − k
(Δ) cắt (C) điểm phân biệt A, B,O ⇔ g(x) có nghiệm phân biệt khác
⇔
g(0)=− k ≠0 Δg(x)=9+4k>0
¿{
⇔
k ≠0 k>−9
4
¿{
Vì xA, xB nghiệm g(x)
⇒
S=xA+xB=−b a=3 P=xAxB=−k
¿{
Gọi I trung điểm AB
⇒
xI=xA+xB
2 =
3 yI=kxI=3
2k
¿{
Giới hạn : ¿
k ≠0 k>−9
2
¿{
¿
⇔
2 yI≠0
2 yI>−
9
¿{
⇔
yI≠0
yI>−27
8
¿{
(18)x=3
2 với y ≠0Λ y>−
27
Bài toán 2: Cho hàm số (C) y=x
+1
x Tìm tập hợp điểm mặt phẳng toađộ để từ
có thể kẻ đến (C) tiếp tuyến vng góc Giải: Gọi M(x0; y0)
Phương trình đường thẳng (d) qua M có hệ số góc k y = k(x – x0) + y0
Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C) x2+1=x(kx−kx0+y0) (kx≠0)
⇔(1−k)x2−
(y0−kx0)x+1=0 ( )
(d) tiếp xúc (C)
⇔
k ≠1 Δ=(y0−kx0)
2
−4(1− k)=0
¿{
⇔
k ≠1
x02k2+2(2− x0y0)k+y02−4=0 y0≠kx0
(I)
¿{ {
Từ M vẽ tiếp tuyến đến (C) vng góc
⇔ (1) có nghiệm phân biệt
¿
k1, k2≠1 k1k2=−1
¿{
¿
⇔
x0≠0 y02−4
x02
=−1
(y0− x0) 2≠0
¿{{
⇔
x0≠0 x02
+y02=4 y0≠ x0
¿{ {
Vậy tập hợp điểm thoả u cầu tốn đường trịn có phương trình x2+y2=4
loại bỏ giao điểm đường tròn với đường tiệm cận
Bài tốn 3:Cho Parabol(Pm) y=2x2−(m−2)x+2m −4 Tìm quỹ tích đỉnh (Pm)
(Pm) y=2x2−(m−2)x+2m −4 có đỉnh S:
¿
x=− b
2a y=2x2−
(m−2)x+2(m−2)
¿Salignl{
¿
¿ x=m−2
4 (1)
y=2x2−(m −2)x+2(m−2) (2) ¿⇔Salignl{
¿
(1)⇔4x=m−2
Thế vào (2) , ta : y=2x2−4x.x+2 4x⇔y=−2x2+8x Vậy quỹ tích đỉnh S (P) : y=−2x2+8x
Bài toán 4: Cho hàm số (Cm) : y=f(x)=x3−3 mx2+2x −3m−1
Tìm quỹ tích điểm uốn đồ thị (Cm) hàm số Giải: TXĐ : D = R
Ta coù y'=f'
(x)=3x2−6 mx+2 , y''=f' '(x)=6x −6m , y''=0⇔x=m
(19)(Cm) coù điểm uốn
¿
x=m (1) y=x3−3 mx2+2x −3m −1 (2)
¿Ialignl{
¿
Theá m = x vào (2) ta có : y=x3−3x.x2+2x −3x −1
y=−2x3− x −1
Vậy quỹ tích I đường cong (C):y=−2x3− x −1
Bài toán 5: Cho hàm số y=2x
2
+(m −2)x
x −1 Định m để hàm số có cực đại, cực tiểu
Khi đó, tìm quỹ tích điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị Giải: y=2x
2
+(m −2)x
x −1 ⇒ y '=2−
m (x −1)2=
2(x −1)2−m (x −1)2
⇒ m > hàm số có CĐ – CT
Gọi M1, M2 thứ tự toạ độ CĐ – CT , ta có M1
x1=1−√ m
2 y1=4x1+m −2
¿{
vaø
M2 x2=1+√
m y2=4x2+m−2
¿{
⇒
M1 x<1 y1=2x12
¿{
vaø
M1 x<1 y2=2x22
¿{
Vậy quỹ tích điểm CĐ CT đồ thị nửa parabol ¿
y=2x2 x<1
¿Palignl{
¿
hay
¿
y=2x2 x>1
¿Palignl{