Giai tich trong khong gian

Bài 5: Viết phương trình đường thẳng  trong các trường hợp sau:.. a..[r]

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN  1: CÁC CÔNG THỨC VỀ TỌA ĐỘ:

* Điểm M(x; y; z)  OM = x.i+ y.j 

+ z.k

* Cho bốn điểm : A x A; y zA; A,B x B; yB; zB,C x C; yC; zC, D x D; yD; zD

1) ABxB xA; yB  y zA; B zA



2)    

2

2

( B A) B A B A

AB x  x  y  y  z  z

3) I là trung điểm của đoạn AB, ta có: ; ;

A B A B B A

x x y y z z

I    

 

4) Trọng tâm của ABC là: G(xA+xB+xC

3 ;

yA+yB+yC

3 ;

zA+zB+zC

3 ) 5) Trọng tâm của tứ diện ABCD là: E(xA+xB+xC+xD

4 ;

yA+yB+yC+yD

4 ;

zA+zB+zC+zD

4 )

* Cho vectơ : a( ;a a a1 2; 3)



, b( ; ; )b b b1



, ta có: 6) a b a1b a1; 2b a2; 3b3

 

7) m a m a m a m a ; ; 3 

8) |a|=√a21+a22+a32

9) Tích vơ hướng : a.b=a1.b1+a2.b2+a3.b3

11) Góc của hai vectơ :  

1 2 3

2 2 2

1 3

cos ;

a b a b a b

a b

a a a b b b

 



   

 

12) ab  a b 0  a b1 1a b2 2a b3 0

   

13) a b a1b a1; b a2; b3

 

10) Tích có hướng:

3

2 1

2 3 1

a a ; a a ; a a

a b

b b b b b b

 

   

 

 

 

Chú ý:

o a b   

a

 ; a b   

b

 ;

o a b   a b .sin ; a b

     

o a b   

= - b a   

14)

3

1 3

1

: : : :

;

a

a a

hay a a a b b b

b b b

a b

a b 

  

    

      

 

  

15) Ba véctơ a b c; ;    

đồng phẳng  a b c .   

= 16) Diện tích ABC: S =

1

2 AB AC; 

17) Thể tích khối tứ diện ABCD: V =

1

; D

6 AB AC A

                                         

18) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: V = AB AD;  AA'   

 2: MẶT PHẲNG

1) Véctơ pháp tuyến mp: là n0  

, có giá vng góc với mp 2) Cặp véctơ phương mp: là cặp vectơ a b; 0

  

, không phương và có giá phương với mp

Chú ý: Biết cặp vtơ phương a( ; ; )a a a1



, b( ; ; )b b b1



=>Vectơ pháp tuyến: na b;    

3)Phương trình mp: mp ( ) qua điểm M0( ; ; )x y z0 0 và có vtpt n( ; ; )A B C 

=> Phương trình mp(): A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) =

Hoặc : Ax + By + Cz + D = 0, D = -Ax0- By0- Cz0 * Đặc biệt:

 D = ( ) qua gốc O

 C = 0, D   ( ) // Oz ;  C = 0, D =  ( ) chứa Oz

 B = C = 0, D   ( ) // (Oyz) ;

 B = C = 0, D   ( )  (Oyz) ;

( trường hợp khác suy tương tự)

o Phương trình mp(Oxy) : z =

o Phương trình mp(Oyz) : x =

o Phương trình mp(Oxz) : y = 4) Vị trí tương đới hai mặt phẳng:

Cho mặt phẳng: ( ): Ax + By + Cz + D = 0; () : A’x + B’y + C’z + D’ = 0  ( )  () <=> ' ' ' '

A B C D

A B C D

 ( ) // () <=> ' ' ' '

A B C D

A B C D

 ( ) cắt () <=> A : B : C  A’ : B’ : C’

 ( )  ( ) <=> AA’ + BB’ + CC’ = 0 5) Chùmmặt phẳng:

Cho mp cắt nhau: (): Ax + By + Cz + D = 0; () : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 Tập hợp mp qua giao tuyến của hai mp (), () gọi là chùm mp Mỗi mp thuộc chùm ( ;) có phương trình dạng:

1

t (Ax + By + Cz + D) + t2(A’x + B’y + C’z + D’) = 0, 2

t t 0

3: ĐƯỜNG THẲNG

1) Véctơ phương đường thẳng : là a0  

, có giá phương với đường thẳng

2) Phương trình đường thẳng :

Cho đường thẳng () qua điểm M0( ; ; )x y z0 0 , có véctơ phương a( ; ; )a a a1



- Phương trình tham sớ đường thẳng ():

0

0

0

x x ta

y y ta

z z ta

  



  

  

 (tR)

- Phương trình tắc đường thẳng ():

0 0

1

x x y y z z

a a a

  

 

với a2+ b2+ c2 0

3) Giao tuyến mặt phẳng:

Cho mặt phẳng cắt nhau: ( ) : A1x + B1y + C1z + D1 = có vtpt n1



= (A1;B1;C1) () : A2x + B2y + C2z + D2= có vtpt n2



= (A2;B2;C2) Giao tuyến của mặt phẳng là đường thẳng () có pt :

1 1

2 2

A x + B y + C z + D = A x + B y + C z + D = 

  Véctơ phương của () là : an n1; 2

   4) Vị trí tương đới hai đường thẳng:

Cho đường thẳng: () qua điểm M( ; ; )x y z0 0 , có véctơ phương a( ; ; )a a a1



(’) qua điểm M’( '; '; ')x y z , có véctơ phương b( ; ; )b b b1



 () & (’) chéo  a b MM;  '    

 0

 () & (’) nằm mp  a b MM;  '   

=

 () & (’) cắt 

; '

;

a b MM a b

  

  

     

    

 () // (’) 

a ;

; '

b a MM      

  

 



     

 () (’)  a b;  a MM; ' 0   

                       

   

Chú ý: Có thể xét VTTĐ của đường thẳng (), (’) cách giải hệ '     

- Nếu hệ có nghiệm () cắt (’), nghiệm tìm là tọa độ giao điểm - Nếu hệ có vơ số nghiệm () (’)

- Nếu hệ vơ nghiệm () // (’) VTCP phương

() chéo (’) VTCP khác phương 5) Vị trí tương đới đường thẳng mặt phẳng:

Cho đường thẳng: () qua điểm M( ; ; )x y z0 0 , có véctơ phương a( ; ; )a a a1



và mặt phẳng: ( ): Ax + By + Cz + D = 0, có vtpt n( ; ; )A B C 

 () // ( ) 

( ) a n

M 

 

 

  

 

 ()  ( ) 

( ) a n

M 

 

 

  

 

Có thể c/m ()  () cách lấy hai điểm A B thuộc () c/m A, B thuộc ( ) 4: GĨC

1/ Góc mặt phẳng:

Cho mp: (): Ax + By + Cz + D = 0; (): A’x + B’y + C’z + D’ =

Gọi  là góc mp, ta có: cos = 2 2 2

AA' + BB' + CC'

A B C A' B' C'

2/ Góc đường thẳng: Cho đường thẳng: () có véctơ phương a( ; ; )a a a1



(’) có véctơ phương b( ; ; )b b b1



Gọi  là góc đường thẳng, ta có: cos =

a b a b

    3/ Góc đường thẳng mặt phẳng:

Cho đường thẳng: () có véctơ phương a( ; ; )a a a1



và mp: ( ) có vtpt n = (A; B; C)

Gọi  là góc () & ( ), ta có: sin = a

n

a n

    5: KHOẢNG CÁCH

1/ Khoảng cách từ điểm M0( ; ; )x y z0 0 tới mp ( ): Ax + By + Cz + D = 0:

d(M0;  ) =

0 0

2 2

Ax + By + Cz A

D

B C

  

2/ Khoảng cách từ điểm M1( ; ; )x y z1 1 tới đường thẳng () qua điểm M( ; ; )x y z0 0 , có véctơ phương a( ; ; )a a a1



là:

d(M1 ; ) =

0 1, M M a

a

 

 

                           

 2/ Khoảng cách đường thẳng chéo :

Cho đường thẳng chéo nhau: () qua điểm M( ; ; )x y z0 0 , có véctơ phương a( ; ; )a a a1



(’) qua điểm M’( '; '; ')x y z , có véctơ phương b( ; ; )b b b1



=> Khoảng cách đường thẳng : d( ;’) =

; '

; a b MM

a b    

      

 

6 : MẶT CẦU

Trong đó: tâm I(a; b; c) bán kính R

2) Phương trình mặt cầu dạng khai triển: x2+ y2+ z2- 2ax - 2by – 2cz + d = Trong đó: tâm I(a; b; c) bán kính R = a2b2c2 d với a2b2 c2 d > 0 3) Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu:

Cho mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R và mp( ): Ax + By + Cz + D = 0

* Tính d(I; ) = 2 Aa + Bb + Cc

A

D

B C

  

 d(I;  ) > R  ( ) và (S) khơng có điểm chung  d(I;  ) = R  ( ) tiếp xúc với (S)

 d(I;  ) < R  ( ) cắt (S) theo giao tuyến là đường trịn có tâm H là hình chiếu vng góc của I ( ); bán kính r = R2 d2

4) Vị trí tương đới đường thẳng mặt cầu:

Cho mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R và đường thẳng ():

0 0

1

x x y y z z

a a a

  

 

* Tính d(I; ())

 d(I; ()) > R  () và (S) khơng có điểm chung  d(I; ()) = R  () tiếp xúc với (S)

 d(I; ()) < R  () cắt (S) tại hai điểm phân biệt * BÀI TẬP:

Bài 1: Cho A( 1;1;0), B(3;-1;1), C(5;1;3)

a Tìm độ dài đường phân giác của góc A b Tìm tâm và bán kính đường trịn nội tiếp ABC Bài 2: Cho A( 0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(0; 2; 0), A’( 0; 0; 3)

a Gọi M, N, P, Q là trung điểm của A’B’, BC, CD, DD’ C/m M, N, P, Q thuộc mặt phẳng

b Tính khoảng cách từ C’ đến mp(MNPQ)

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng () trường hợp sau: a () vng góc với AB tại A, biết A(1;0;2), B(2;1;1) b () qua ba điểm M(2;1;3), N(4;2;1), P(1;2;3)

c () qua M(0;2;1) và song song với mặt phẳng (): x  3z + =

d () qua A(3;1;1), B(2;1;4) và vng góc với mặt phẳng ():2x  y + 3z + = e () qua M(1;1;1) và vng góc với đường thẳng :

1

3

y x  z

 



Bài 4: Tìm m để khoảng cách từ M(m;0;1) đến mặt phẳng (): 2x + y  2z + = 3. Bài 5: Viết phương trình đường thẳng  trường hợp sau:

a  qua hai điểm A(2;1;3), B(4;2;1)

b  qua điểm M (1;0;2) và vng góc với mặt phẳng (): 2x  y + z  = c  qua M(1;2;1) và song song với đường thẳng d:

3

2

y

x  z

 

 .

d  qua M(0;3;1) và song song với trục Ox Bài 6: Cho đường thẳng :

1

2

x x z

 

 và điểm M(3;4;5)

Bài 7: Viết phương trình tham số đường vng góc chung của hai đường thẳng

3

7

:

1

y

x  z

  



và

3

':

1

x t y t z t

   

   

  

 .

Bài 8: Trong kgOxyz cho A(4;1;2), B(1;2;2), C(1;1;5), và O D 4 i 2j 5k.

a Chứng minh ABCD là tứ diện b Tính thể tích tứ diện ABCD

c Tính cosin của góc hợp hai cạnh AB và CD

c Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD d Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S) tại A

Bài 9: Trong kgOxyz cho (): x y z  1 0 và đường thẳng d:

1

1 1

y x z

 

 Tính thể tích khối tứ

diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm tương ứng của mặt phẳng  với trục tọa độ Ox, Oy, Oz; D là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng tọa độ Oxy

Bài 10: Trong kgOxyz cho A(1;4;2) và mặt phẳng (P): x + 2y + z  =

a Viết phương trình đường thẳng d qua A và vng góc với mặt phẳng (P) b Tìm tạo độ giao điểm H của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

c Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) Bài 11: Trong kgOxyz cho A(1;2;1), OB j k

  

, OC i 4k

  

a Chứng minh ABC là tam giác vng

b Viết phương trình tham số của đường thẳng AB c Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC)

Bài 12: Trong kgOxyz cho D(3;1;2) và mp() qua ba điểm A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8) a Viết phương trình tham số của đường thẳng AC

b Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ()

c Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D bán kính R = Chứng minh (S) cắt () Bài 13: Trong kgOxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng

1

:

2

x y z

d    

a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của điểm A đường thẳng d

b) Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d cho khoảng cách từ A đến ( ) lớn Bài 14: Trong kgOxyz, cho điểm A(0;1;2); B(2;-2;1); C(-2;0;1)

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

b) Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x2x z  0 cho MA MB MC  Bài 15: Trong kgOxyz, cho điểm A(3;3;0); B(3;0;3); C(0;3;3); D(3;3;3)

a) Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A, B, C, D b) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 16: Trong kgOxyz, cho hai đường thẳng

1

1

1

: & :

2 1

3

x t

x y z

d d y t

z

  

  

    



   a) Chứng minh d1&d2 chéo

Bài 17: Trong kgOxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2y2z2 2x4y2z 0 và mp( ) : 2P x y 2z14 0