Toán học rời rạc là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi là toán học dành cho máy tính.
LOGO TOÁN R I R C Ph m Th B o email: ptbao@hcmus.edu.vn www.math.hcmus.edu.vn/~ptbao/TRR/ N i dung N i dung: g m ph n - C s logic - Phép đ m - Quan h - Hàm Bool - th Tài li u tham kh o Tài li u tham kh o ThS Nguy n Duy Nh t, ThS Nguy n V n Phong, PGS.TS inh Ng c Thanh, Toán r i r c TS Tr n Ng c H i, Toán r i r c GS.TS Nguy n H u Anh, Toán r i r c, Nhà xu t b n giáo d c Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 6th edition, 2007 Ki m tra Ki m tra Ki m tra gi a k : Ki m tra cu i k : i m th ng: 30% 70% 5-10% C s Logic Ch ng I: C s logic - M nh đ - D ng m nh đ - Qui t c suy di n - V t ,l ng t - T ph p - Ánh x - Qui n p toán h c C s Logic I M nh đ nh ngh a: M nh đ m t kh ng đ nh có giá tr chân lý xác đ nh, ho c sai Câu h i, câu c m thán, m nh l nh… khơng m nh đ Ví d : - m t tr i quay quanh trái đ t - 1+1 =2 - Hôm tr i đ p ! (ko m nh đ ) - H c ! (ko m nh đ ) - s ch n ph i không? (ko m nh đ ) C s Logic I M nh đ Ký hi u: ng i ta dùng ký hi u P, Q, R… đ ch m nh đ Chân tr c a m nh đ : M t m nh đ ch có th ho c sai, không th đ ng th i v a v a sai Khi m nh đ P ta nói P có chân tr đúng, ng c l i ta nói P có chân tr sai Chân tr chân tr sai s đ c ký hi u l n l t (hay ,T) (hay S,F) C s Logic I M nh đ Ki m tra kh ng đ nh sau có ph i m nh đ khơng? - Paris thành ph c a M - n s t nhiên - nhà mà xinh th ! - s nguyên t - Toán r i r c môn b t bu c c a ngành Tin h c - B n có kh e không? - x2 +1 d ng C s Logic I M nh đ Phân lo i: g m lo i a M nh đ ph c h p: m nh đ đ c xây d ng t m nh đ khác nh liên k t b ng liên t (và, hay, ch khi,…) ho c tr ng t “không” b M nh đ s c p (nguyên th y): Là m nh đ không th xây d ng t m nh đ khác thông qua liên t ho c tr ng t “khơng” Ví d : - không s nguyên t - s nguyên t (s c p) - N u 3>4 tr i m a - An xem phim hay An h c - Hôm tr i đ p +1 =3 C s Logic I M nh đ Các phép tốn: có phép toán a Phép ph đ nh: ph đ nh c a m nh đ P đ c ký hi u ¬P hay (đ c “khơng” P hay “ph đ nh c a” P) B ng chân tr : Ví d : - s nguyên t Ph đ nh: không s nguyên t - >2 Ph đ nh : 1≤ 10 VI Ánh x f(A) = {f(x) | x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f(x)} Nh v y y ∈ f(A) ⇔ ∃x ∈ A, y = f(x); y ∉ f(A) ⇔ ∀x ∈ A, y ≠ f(x) f–1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} đ c g i nh ng f–1(B) Nh v y x ∈ f–1(B) ⇔ f(x) ∈ B cc aB VI Ánh x Ví d Cho f: R →R đ c xác đ nh f(x)=x2 +1 Ta có f([1,3])=[2,10] f([-2,-1])=[2,5] f([-1,3])=[1,10] f((1,5)) = (2,26) f–1(1)={0} f–1(2)={-1,1} f–1(-5)= ∅ f–1([2,5])= [-2,-1] ∪[1,2] VI Ánh x Phân lo i ánh x a n ánh Ta nói f : X → Y m t đ n ánh n u hai ph n t khác b t k c a X đ u có nh khác nhau, ngh a là: Ví d Cho f: N →R đ g: R →R đ c xác đ nh f(x)=x2 +1 (là đ n ánh) c xác đ nh g(x)=x2 +1 (không đ n ánh) VI Ánh x ∀x, x' ∈ X, x ≠ x' ⇒ f(x) ≠ f(x' ) Nh v y f : X → Y m t đ n ánh ⇔ (∀x, x' ∈ X, f(x) = f(x') ⇒ x = x') ⇔ (∀y ∈ Y, f–1(y) có nhi u nh t m t ph n t ) ⇔ (∀y ∈ Y, ph ng trình f(x) = y (y đ c xem nh tham s ) có nhi u nh t m t nghi m x ∈ X f : X → Y không m t đ n ánh ⇔ (∃x, x' ∈ X, x ≠ x' f(x) = f(x')) ⇔ (∃y ∈ Y, ph ng trình f(x) = y (y đ s ) có nh t hai nghi m x ∈ X c xem nh tham VI Ánh x b Tồn ánh Ta nói f : X → Y m t toàn ánh f(X)=Y, ngh a là: Ví d Cho f: R →R đ g: R →R đ ánh) c xác đ nh f(x)=x3 +1 (là toàn ánh) c xác đ nh g(x)=x2 +1 (khơng tồn VI Ánh x Tồn ánh ⇔ f(X)=Y Nh v y f : X → Y m t toàn ánh ⇔ (∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, y = f(x)) ⇔ (∀y ∈ Y, f–1(y) ≠ ∅); ⇔ ∀y ∈ Y, ph ng trình f(x) = y (y đ s ) có nghi m x ∈ X f : X → Y không m t toàn ánh ⇔ (∃y ∈ Y, ∀x ∈ X, y ≠ f(x)); ⇔ (∃y ∈ Y, f–1(y) ≠ ∅); c xem nh tham VI Ánh x c Song ánh Ta nói f : X → Y m t son g n h n u f v a đ n ánh v a tồn ánh Ví d Cho f: R →R đ g: R →R đ ánh) c xác đ nh f(x)=x3 +1 (là song ánh) c xác đ nh g(x)=x2 +1 (không song VI Ánh x Tính ch t f : X → Y m t song ánh ⇔ (∀y ∈ Y, ∃!x ∈ X, y = f(x)); ⇔ (∀y ∈ Y, f–1(y) có m t ph n t ); ⇔ ∀y ∈ Y, ph ng trình f(x) = y (y đ s ) có nh t m t nghi m x ∈ X c xem nh tham VI Ánh x Ánh x ng c Xét f : X → Y m t song ánh Khi đó, theo tính ch t trên, v i m i y ∈ Y, t n t i nh t m t ph n t x ∈ X th a f(x) = y Do t ng ng y x m t ánh x t Y vào X Ta g i ánh x ng c c a f ký hi u f–1 Nh v y: f–1 : Y → X y f–1(y) = x v i f(x) = y Ví d Cho f ánh x t Khi f–1(x)=(y-1)/2 R vào R f(x) =2x+1 VI Ánh x Tích ánh x Cho hai ánh x f : X → Y g : Y' → Z Y ⊂ Y' Ánh x tích h c a f g ánh x t X vào Z xác đ nh b i: h : X → Z x h(x) = g(f(x)) Ta vi t: h = gof : X → Y → Z VI Ánh x Ví d Tìm gof, fog V Quy n p Ch ng minh + + + + …+ (2n-1)= n2 v i n ≥ 1 Ph ng pháp V i nh ng toán ch ng minh tính đ n c a m t bi u th c m nh đ có ch a tham s n, nh P(n) Quy n p toán h c m t k thu t ch ng minh P(n) v i m i s t nhiên n ≥N0 - Quá trình ch ng minh quy n p bao g m b B c: c c s : Ch P(N0) B c quy n p: Ch ng minh n u P(k) P(k+1) Trong P(k) đ c g i gi thi t quy n p V Quy n p Ví d Ch ng minh 1+3+…+(2n-1)=n2 v i m i s nguyên d ng n G i P(n) = “1+3+…(2n-1)=n2 “ +B cc s : Hi n nhiên P(1) 1= 12 V Quy n p + B c quy n p: - Gi s P(k) đúng, t c - Ta ph i ch r ng P(k+1) đúng, t c T gi thi t quy n p ta có: - Suy ra, P(k+1) V y theo nguyên lý quy n p P(n) v i m i s nguyên d ng n V Quy n p ... Nguy n Duy Nh t, ThS Nguy n V n Phong, PGS.TS inh Ng c Thanh, Toán r i r c TS Tr n Ng c H i, Toán r i r c GS.TS Nguy n H u Anh, Toán r i r c, Nhà xu t b n giáo d c Rosen, Discrete Mathematics... I: C s logic - M nh đ - D ng m nh đ - Qui t c suy di n - V t ,l ng t - T ph p - Ánh x - Qui n p toán h c C s Logic I M nh đ nh ngh a: M nh đ m t kh ng đ nh có giá tr chân lý xác đ nh, ho c sai... có ph i m nh đ không? - Paris thành ph c a M - n s t nhiên - nhà mà xinh th ! - s nguyên t - Toán r i r c môn b t bu c c a ngành Tin h c - B n có kh e khơng? - x2 +1 d ng C s Logic I M nh đ