V× thÕ khi khö dÊu gi¸ tÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc, cÇn xÐt gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña biÕn lµm cho biÓu thøc d¬ng hay ©m( dùa vµo ®Þnh lÝ vÒ dÊu cña nhÞ thøc bËc nhÊt hoÆc ®Þnh lÝ vÒ dÊ[r]
(1)====***===
đề tài nghiệp vụ s phạm
một số vấn đề giá trị tuyệt đối trong trờng thcs
Gi¶ng viên hớng dẫn: GS.TS.Tống Trần Hoàn Ngời thực hiện: Đỗ Văn Tâm
Hải Dơng năm 2006
mục lục
A kiến thức giá trị tuyệt đối
Trang
I: Các định nghĩa II: Các tính chất
B dạng tốn giá trị tuyệt đối trong chơng trình THCS
Chủ đề I: Giải phơng trình, hệ phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
I KiÕn thøc cÇn lu ý
3
(2)II Bài tập điển hình
Ch II: Giải bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt i
I Kiến thức cần lu ý II Bài tập điển hình
Ch III: th hm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
I §å thị hàm số y = f( |x| ) II Đồ thị |y| = f(x)
III Đồ thị y = |f(x)|
IV Đồ thị y = |f(|x|)|
V Đồ thị |y| = |f(x)|
Ch đề IV: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
I Kiến thức cần lu ý II Bài tập điển hình c Đáp án
d tài liệu tham khảo e.kết ln
f gi¸o ¸n thùc nghiƯm
10
14 14 14 17
17 18 19 20 20 24
24 24 26 30 31 32
Phần I: Lời nói đầu
Giỏ tr tuyt i khái niệm đợc phổ biến rộng r i cácã
(3)thªm øng dơng míi( đa thừa số căn, đa thừa số vào căn, khử mẫu biểu thức lấy căn, )
Giỏ tr tuyt i l mt khái niệm trừu tợng quan trọng đợc sử dụng nhiều q trình dạy Tốn THCS nh THPT Đại Học, Việc nắm vững khái niệm bậc THCS tảng cần thiết để em tiếp thu kiến thức cao bậc học sau
Trớc nhu cầu nâng cao kiến thức thân nh nâng cao kiến thức cho ngời dạy nh ngời học khái niệm " Giá trị tuyệt đối", định chọn đề tài: " Giá trị tuyệt đối trờng THCS"
Tôi mong đề tài giúp cho giáo viên nh học sinh trình giảng dạy học tập
Tôi xin trân trọng cảm ơn GS TS Tống Trần Hồn đ hã ớng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành tốt đề tài !
Vì hồn thành thời gian ngắn nên đề tài nhiều hạn chế, thiếu sót Tơi mong nhận đợc quan tâm, đóng góp ý kiến thầy giáo bạn đồng nghiệp
A nhứng kiến thức giá trị tuyệt đối I Các nh ngha
1 Định nghĩa
Giá trị tuyệt đối thực chất ánh xạ f: R R+
a a
với giá trị a R có giá trị f(a) = a R+ 1.2 Định nghĩa
Giỏ tr tuyt đối số thực a, ký hiệu |a| là: a a
|a| =
-a nÕu a <
VÝ dô1: |15|=15 |−32|=32 |0|=0 |−1|=1 |−17|=17
*Mở rộng khái niệm thành giá trị tuyệt đối biểu thức A(x), kí hiệu |A(x)| là:
A(x) nÕu A(x) |A(x)| =
-A(x) nÕu A(x) < VÝ dô 2:
(4)-(2x - 1) nÕu 2x - < - 2x x < 1.3 Định nghĩa 3:
Giá trị tuyệt đối số nguyên a, kí hiệu |a| , số đo( theo đơn vị dài đợc dùng để lập trục số) khoảng cách từ điểm a đến điểm gốc trục số ( hình 1)
H×nh VÝ dơ 1:
|a| = ⇒
3
¿ −3
¿ ¿ ¿ a=¿
Do đẳng thức đ cho đã ợc nghiệm hai số tơng ứng với hai điểm trục số ( hình 2)
H×nh
Tỉng qu¸t:
|a|=b b>0
b ¿ −b
¿ ¿ ¿ ¿ { ¿
⇒a=¿
;
b ¿ − b
¿ ¿ ¿
|a|=|b|⇒a=¿
VÝ dô 2:
a nÕu a 0 a
|a| ⇒ ⇔ ⇔ -3 a
-a nÕu a < -3 a <
Do bất đẳng thức đ đã ợc nghiệm tập hợp số đoạn
[−3;3] trục sơd đợc nghiệm tập hợp điểm đoạn [−3;3] ( hình 3)
H×nh
-a a
-a a
-3
(5)a nÕu a a nÕu a
|a| ⇒ ⇔ ⇔ a hc a
-a nÕu a < a -3 v nÕu a <
Do bất đẳng thức đ đã ợc nghiệm tập hợp số hai nửa đoạn (- ∞ ; 3] [3; + ∞ ) trục số đợc nghiệm hai nửa đoạn tơng ứng với khoảng số ú (hỡnh 4)
Hình
Tổng quát:
|a|≥ b⇔ a ≥ b
¿ a ≤− b
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
bµi tËp tù luyện
Bài 1 Tìm tất số a thoả m n điều kiện sau:Ã
a) a = |a| b) a < |a| c) a > |a| d) |a| = -a e) |a| a f) |a| + a = g) |a+b|=b
Bài 2:Tìm ví dụ chứng tỏ khẳng định sau không đúng: a) ∀ a Z ⇒ |a| >
b) ∀ a Q ⇒ |a| > a
c) ∀ a, b Z, |a| = |b| ⇒ a = b d) ∀ a, b Q, |a| > |b| ⇒ a > b
Bài 3: Bổ sung thêm điều kiện để khẳng định sau a) |a| = |b| ⇒ a = b
b) a > b ⇒ |a| > |b|
Bµi 4: Tìm tất số a thoả m n điều kiện sau, sauÃ
ú biu din số tìm đợc lên trục số: a) |a|
b) |a| c) |a| - = d) < |a|
Bµi 5:
a) Cã bao nhiªu sè nguyªn x cho |x| < 50
b) Có cặp số nguyên (x, y) cho |x| + |y| = ( C¸c cặp số nguyên (1, 2) (2,1)là hai cặp khác nhau)
c) Có cặp số nguyên (x, y) cho |x| + |y| <
(6)II - số tính chất giá trị tuyệt đối
2.1 TÝnh chÊt 1: |a| ∀ a 2.2 TÝnh chÊt 2: |a| = ⇔ a =
2.3 TÝnh chÊt 3: - |a| a |a| 2.4 TÝnh chÊt 4: |a| = |− a|
Dựa định nghĩa giá trị tuyệt đối ngời ta rễ thấy đợc tính chất 1, 2, 3, 4.
2.5 TÝnh chÊt 5: |a+b|≤|a|+|b|
ThËt vËy: - |a| a |a| ; - |b| a |b| ⇒ -( |a| + |b| ) a + b |a| + |b|
2.6 TÝnh chÊt 6:
|a| - |b| |a − b ≤|a|+|b||
ThËt vËy: |a| = |a − b+b|≤|a − b|+|b|⇒|a|−|b|≤|a− b| (1) |a − b|=|a+(−b)|≤|a|+|−b|=|a|+|b|⇒|a − b|≤|a|+|b| (2)
Tõ (1) vµ (2) ⇒ ®pcm 2.7 TÝnh chÊt 7:
||a|−|b||≤|a∓b|
ThËt vËy: |a|−|b|≤|a − b| (1)
|b|−|a|≤|b − a|=|−(b − a)|=|a − b|⇒−(|a|−|b|)≤|a −b| (2)
|a|−|b|
¿ −(|a|−|b|)
¿ ¿ ¿
||a|−|b||=¿
(3)
Tõ (1), (2) vµ (3) ⇒ ||a|−|b||≤|a −b| (4)
||a||b||||a||b|||a( b)||a+b|||a||b|||a+b| (5) Từ (4) (5) đpcm
2.8 TÝnh chÊt 8:
|a.b|=|a|.|b|
ThËt vËy: a = 0, b = hc a = 0, b hay a 0, b=
⇒ |a.b|=|a|.|b| (1)
a > vµ b > ⇒ |a| = a, |b| = b vµ a.b >
⇒ |a.b|=a.b=|a|.|b|⇒|a.b|=|a|.|b| (2)
a < vµ b < ⇒ |a| = -a, |b| = -b vµ a.b >
(7)a > vµ b < ⇒ |a| = a, |b| = -b vµ a.b <
⇒ |a.b|=−a.b=a.(− b)=|a|.|b||a.b|=|a|.|b| (4) Từ (1), (2), (3) (4) đpcm
2.9 TÝnh chÊt 9: |a
b|= |a| |b|(b ≠0) ThËt vËy: a = ⇒ a
b=0⇒| a b|=
|a|
|b|≡0 (1)
a > vµ b > ⇒ |a| = a, |b| = b vµ ab>0⇒|a b|=
a b=
|a| |b| (2)
a < vµ b < ⇒ |a| = -a, |b| = -b vµ a
b>0⇒| a b|=
a b=
− a −b=
|a|
|b| (3)
a > vµ b < ⇒ |a| = a, |b| = -b vµ a
b<0⇒| a b|=−
a b=
a − b=
|a|
|b| (4) Tõ (1), (2), (3) (4) đpcm
bài tập tự luyện Bài 6:
Điền vào chỗ trống dấu , ≤ , = để khẳng đinh sau ∀ a, b a) ab |a| + |b|
b) ab |a| - |b| víi |a| |b| c) |a.b| .|a|.|b|
d) |a b|=
|a| |b|
Bài 7:
Tìm số a, b thoả m n điều kiện sau:·
(8)Bµi 8:
Cho |a − c|<3 , |b − c|<2 Chøng minh r»ng |a − b|<5
Bµi 9:
Rót gän biĨu thøc: a) |a| +a
b) |a| - a c) |a| a d) |a| : a
e) 3(x −1)−2|x+3|
f) 2|x −3|−(4x −1)
B dạng toán giá trị tuyệt đối ch-ơng trình THCS
chủ đề i: giải phơng trình hệ phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
I c¸c kiÕn thøc cÇn lu ý
1.1 A(x) nÕu A(x)
|A(x)| = ( A(x) biểu thức đại số) -A(x) A(x) <
1.2 Định lí dấu nhị thức bậc ax + b (a 0)
NhÞ thøc bËc nhÊt ax + b (a 0) sÏ:
+ Cùng dấu với a với giá trị nhị thức lớn nghiệm nhị thức
+ Trái dấu với a với giá trị nhị thức nhỏ nghiệm nhị thức
Giả sử x0 nghiệm nhị thức ax + b đó: + Nhị thức dấu với a ∀ x > x0
+ NhÞ thøc tr¸i dÊu víi a ∀ x < x0 1.3 Định lí dấu tam thức bậc hai
XÐt tam thøc bËc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a 0) - NÕu Δ < 0, th× f(x) cïng dÊu víi a ∀ x - NÕu Δ th×:
+ f(x) cïng dấu với a x nằm khoảng hai nghiệm + f(x) tr¸i dÊu víi a ∀ x n»m kho¶ng hai nghiƯm Hay
- NÕu Δ < ⇒ a.f(x) > ∀ x
- NÕu Δ ⇒ f(x) cã hai nghiÖm x1 x2 nÕu x1 < x < x2 ⇒ a.f(x) <
(9)Nhận xét: Giả trị tuyệt đối biểu thức banừg nó( biểu thức khơng âm) biểu thức đối nó( biểu thức âm) Vì khử dấu giá tị tuyệt đối biểu thức, cần xét giá trị tuyệt đối biến làm cho biểu thức dơng hay âm( dựa vào định lí dấu nhị thức bậc định lí dấu tam thức bậc hai) Dấu biểu thức thờng đợc viết bảng xét dấu.
II tập điển hình
2.1 Rút gọn biểu thøc A = 2(3x - 1) - |x −3| ThËt vËy:
+ Víi ( x - 3) hay x th× |x −3| = x -
+ Víi ( x- 3) < hay x < th× |x −3| = -(x - 3) = - x ta xÐt hai trêng hỵp øng víi hai khoảng biến x + Nếu x A = 2(3x - 1) - |x −3|
= 2(3x - 1) - (x - 3) = 6x - - x + = 5x +
+ NÕu x < th× A = 2(3x - 1) - |x −3| = 2(3x - 1) - (3 - x) = 6x - - + x = 7x -
2.2 Rót gän biĨu thøc B = |x −1| - |x −5| ThËt vËy
Víi x-1 hay x 1th× |x −1| =x-1 Víi x-1<0 hay x<1th× |x −1| = -(x-1)=1-x Víi x-5 hay x th× |x −5| = x+5 Víi x-5<0 hay x<5 th× |x −5| =-(x-5) =5-x
áp dụng định lý dấu nhị thức bậc bậc ta có bảng xét dấu sau:
X
x-1 - + + x-5 - - +
Tõ b¶ng xÐt dÊu ta xÐt ba trờng hợp ứng với ba khoảng biến x Nếu x<1 th× B = |x −1| - |x −5|
=1-x-( 5-x) =1-x-5+x = -
NÕu x<5 th× B = |x −1| - |x −5| =(x-1)-(5-x)
=x-1-5+x =2x-6
NÕu x th× B = |x −1| - |x −5| =(x-1)-(x-5)
=x-1-x+5 =
2.2 Rót gän biĨu thøc B = /x2 - 4x + 3/-5 ThËt vËy: XÐt tam thøc bËc hai: f(x) = x2 – 4x + 3
⇒ f(x) cã Δ ' = -3 = >
⇒ x1 = 1; x2 =
Víi < x < ⇒ 1.f(x) < ⇒ f(x) <
(10)Víi < x < th× B = -(x2 - 4x + 3) - = - x2 + 4x - - 5
= - x2 + 4x - 8
Với x x B = ( x2 - 4x + 3) - 5 = x2 - 4x + - 5
= x2 - 4x - 2
2.3 Giải phơng trình |x −1|+|x −2|=3x+1 ThËt vËy:
áp dụng định lí dấu nhị thức bậc lập bảng, ta xét tr-ờng hợp ứng với khoảng
+ Nếu x < ta đợc phơng trình: - x + - x = 3x +
⇔ - 2x = 3x +
⇔ 5x =
⇔ x = 2/5 < ( lµ nghiƯm)
+ Nếu x < ta đợc phơng trình: x -1 + ( - x) = 3x +
⇔ x = [1, 2] ( không nghiệm)
+ Nu x ta đựoc phơng trình: x - + x - = 3x +
⇔ x = - < ( không nghiệm)
Vậy phơng trình có nghiệm x = 2/5 2.4 Giải phơng trình |||x|2|1|=5
Thật vậy:
áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
|||x|−2|−1|=5 ⇔
||x|−2|−1=5(1) ¿
||x|−2|−1=−5(2)
¿ ¿ ¿ ¿
Gi¶i 1:
||x|−2|−1=5⇒||x|−2|=6⇔
|x|−2=6(1') ¿
|x|−2=−6(2') ¿
¿ ¿ ¿ ¿
Giải 1': |x|2=6|x|=8x=8 ( nghiệm) Giải 2': |x|2=6|x|=4 x giá trị
Giải 2: ||x|2|1=5||x|2|=4 ( nghĩa) Vậy phơng trình có hai ngiệm: x = x = -8
2.5 Giải hệ phơng tr×nh
¿
|x − y|=1
|x − y|+|y −2|=3 ¿{
¿
ThËt vËy:
(11)x − y=1 ¿ x − y=−1
¿ ¿ ¿ ¿
hay
y=x −1(1) ¿ y=x+1(2)
¿ ¿ ¿ ¿
Việc phân tích phơng trình thứ hai đa đến tập hợp phơng trình theo khoảng xác định
Theo dạng phơng trình thứ ta thấy dễ dàng |x −1| |y −2|≤3 , từ - x -1 y
Víi - x ta cã:
Víi -1 y 2, - x + - y = hay lµ x + y = (I) Víi y 5, - x + y - = hay lµ y - x = (II) Víi x ta cã :
Víi -1 y 2, x -1 + - y = hay lµ x - y = (III) Víi y 5, x -1 + y - = hay lµ x + y = (IV) Giải hệ phơng trình bậc nhất:
HÖ (1; I)
¿ x − y=1 x+y=0
⇒x=1
2; y=−
¿{ ¿
, nghiệm thuộc khoảng xác định
HÖ (1; II)
¿ x − y=1
y − x=4 ¿{
¿
kh«ng cã nghiÖm
HÖ (1; III)
¿ x − y=1 x − y=2
¿{ ¿
kh«ng cã nghiÖm
HÖ (1; IV)
¿ x − y=1 x+y=6
⇒x=7 2; y=−
5 ¿{
¿
nghiệm thuộc khoảng xác định
HÖ (2; I)
¿ x − y=−1
x+y=0
⇒x=−1
2; y=
¿{ ¿
nghiệm thuộc khoảng xác định
HÖ (2; II)
¿ x − y=−1
y − x=4 ¿{
¿
(12)HÖ (2; III)
¿ x − y=−1
x − y=2 ¿{
¿
kh«ng cã nghiƯm
HƯ (2; IV)
¿ x − y=−1
x+y=6
⇒x=5
2; y=
¿{ ¿
, nghiệm thuộc khoảng xác định
VËy nghiƯm cđa hệ phơng trình là: x1 = 1/2; y1 = -1/2 x2 = 7/2; y2 = 5/2 x3 = -1/2; y3 = 1/2 x4 = 5/2; y4 = 7/2
Bài tập luyện tập
Bài 10: Tìm x c¸c biĨu thøc a) |2x −3|=5
b) |5x −3|− x=7
c) |x −1|+3x=1 d) |x −1|+|x −2|=1
e) |2x −1|=|2x+3| f) |x+1|−2|x −1|− x=0
g) |x||3x+3| x=1 h) |x+1||2 x|=3
Bài 11: Tìm x c¸c biĨu thøc a) ||x −1|−1|=2
b) x −3¿2 |x −3|=¿
c) |x=1|+|x −1|=2
d) |x+2|+|x|+|x −2|=4
e) ||x+2|−3|=1
f) |x2−3x+2|=3x − x2−2
g) |x −1|=x2
h) |4x −1|−|2x −3|+|x −2|=0
Bài 12: với giá trị a, b ta cú ng thc:
|a(b 2)|=a(2b)
Bài 13: Tìm số a, b cho: a+b=|a||b| Bài 14: Giải hệ phơng trình sau
a)
|x+y|=2
|x|+|y|=3 ¿{
¿
b)
¿
|x − y|=2
|x|+|y|=4 ¿{
¿
c)
¿
3|x|+5y+9=0
2x −|y|−7=0 ¿{
¿
d)
¿
|x+3|+|y+1|=4
|x −1|+|y 3|=5 {
Bài 15: Giải phơng tình sau: |x2− x
+1|+|x2− x −2|=3
Bµi 16: T×m x
(13)chủ đề II: giải bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
I kiến thức cần lu ý 1.1 Các phép biến đổi bất đẳng thức
a b ⇔ a + c b + c a b ⇔ a.c b.c ( c > ) a b ⇔ a.c b.c ( c < )
1.2 Các dạng bất phơng trình
+Dạng 1: |f(x)|≤ a ⇔ -a f(x) a a: số thực không âm f(x): hàm số đối s
+Dạng 2: |f(x)| a f(x) a f(x) -a a: số thực không âm
f(x):hàm số đối số
+D¹ng 3: |f(x)| g(x) ⇔
f(x)≥ g(x) ¿ f(x)≤− g(x)
¿ ¿ ¿ ¿
f(x), g(x): hàm số đối
sè
+D¹ng 4: |f(x)| g(x) ⇔ -g(x) f(x) g(x)
f(x), g(x): hàm số đối số
+Dạng 5: |f(x)| |g(x)| ⇔ [f(x)]2 = [g(x)]2 f(x), g(x): hàm số đối s
II tập điển hình 2.1 Giải bất phơng trình: |2x 5|7
Thật vậy:
|2x −5|≤7 ⇔ -7 2x - ⇔ -2 2x 12 ⇔ -1 x
(14)|3x −5|≥10 ⇔
3x −5≥10
¿
3x −5≤ −10
¿
⇔
¿
3x ≥15
¿
3x ≤ −5
¿ x ≥5
¿ x ≤−5
3
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿ ¿
VËy x hc x -
2.3 Giải bất phơng trình: |x22x 2|1 Thật vậy:
|x2−2x −2|≤1 ⇔ −1≤ x2−2x −2≤1⇔ x2-2x-2 1 vµ x2-2x-2 -1
Tõ x2−2x −2≤1⇔x2−2x −3≤0
Dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai ⇔ -1 x Từ x2−2x −2≥ −1⇔x2−2x −1≥0
Dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai ⇔
x ≤1−√2
¿ x ≥1+√2
¿ ¿ ¿ ¿
Kết hợp lại ta đợc nghiệm hệ là: −1≤ x ≤1−√2 ; 1+√2≤ x ≤3
2.4 Giải bất phơng trình: |x+2 x 1| Thật vậy:TXĐ: x 1
Cách 1: |x+2 x 1|
⇔
x+2 x −1≥2
¿ x+2 x −1≤ −2
(15)+ Víi x+2
x −1≥2 ⇔
x+2
x −1−2≥0⇔ 4− x
x −1≥0⇔1≤ x ≤4 + Víi x+2
x −1<−2 ⇔
x+2
x −1+2<0⇔ 3x
x 1<00<x<1
Vậy bất phơng trình có ngiệm: x 4; < x < C¸ch 2:
Theo định nghĩa tính chất giá trị tuyệt đối, ta có: |
x+2 x −1|>2⇔
|x+2|
|x −1|>2⇔|x+2|>2|x −1|
⇔|x+2|−2|x −1|>0
áp dụng định lí dấu nhị thức, ta xét trờng hợp:
+ NÕu x -2 th× - x- -2(1 - x) > ⇔ x > > -2 ( không nghiệm)
+ NÕu -2 x < th× x + - 2(1 - x) > ⇔ 3x > x > Kết hợp với điều kiÖn ta cã nghiÖm: < x <
+ NÕu x > th× x + - 2(x - 1) > ⇔ x < Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: < x <
Vậy bất phơng trình có ngiƯm: x 4; < x < C¸ch :
Theo định nghĩa tính chất giá trị tuyệt đối, ta có: |x+2
x −1|>2⇔ |x+2|
|x −1|>2⇔|x+2|>2|x −1|
⇔ (x + 2)2 > 4(x - 1)2
⇔ x2 4x + > 4(x2 - 2x + 1)
⇔ 3x2 - 12x < 0
⇔ 3x( x - 4) <
⇔ < x <
Kết hợp với TXĐ < x < 4; < x <
III Bµi tËp lun tËp
Bài 17: Tìm x bất đẳng thức a) |2x −1|≤5
b) |2x −3|−4x<9 c) |2x −3|≥7 d) |3x −2|+5x>10
Bài 18: Tìm x bất đẳng thức a) |3x −2|<4
b) |3−2x|<x+1 c) |3x −1|>5
d) |x3
+1|≥ x+1
Bài 19: Tìm x bất đẳng thức a) |x+1|>|x −3|
b) |x −1|>|x+2|−3 c) |x+1|+|x −5|>8
d) |x −3|+|x+1|<8 e) |x −2|−|x|≥0 f) |2x+5|−|3x −7|≤0
(16)a) |x2−1 x+2|<1
b) |2x −5 x2−1|≥2
c) |x+3|+|x −1|+|x −3|<10
d) |x −1|+|x −4|+x+7<8 e) |x2+2x −5|+1<8
f) |2x2−5x −3|<x
+3
Chủ đề III: đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối I Đồ thị hàm số y = f(|x|)
1.1 KiÕn thøc cÇn lu ý:
Ta thấy f( |x| ) = f( |− x| ) Do hàm số y = f( |x| )là hàm chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy
⇒ C¸ch dùng :
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x) x > 0
- Dựng phần đò thị bên trái đối xứng với trục bên phải qua Oy
1.2 VÝ dô:
Dựng đồ thị hàm số y = 2|x| - Thật vậy:
Đồ thị hàm số y = 2x -
với x = y = (1, 0) thuộc đồ thị
với x = y = -2 ( 0, -2) thuộc đồ thị
H×nh
Phần đồ thị in đậm( Hình 6) đồ thị hàm số y = 2|x| -
O -1
-2 y
(17)2.1 KiÕn thøc cµn lu ý
NhËn xÐt
f(x) víi f(x) 0
y =
-f(x) víi f(x) <
C¸ch dùng:
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x)
- Phần đồ thị nằm dới mặt phẳng Ox nghĩa f(x) < ta
dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị qua Ox.
* Chú ý: Đồ thị hàm số y = |f(x)| + k đợc xem nh đồ thị hàm số y = |f(x)|tịnh tiến theo đờng thẳng đứng đoạn bằn k ( k số thực)
2.2 VÝ dô:
Dựng đồ thị hàm số y = |x - 2| Đồ thị hàm số y = x -
x = y = -2 ( 0, -2) thuộc đồ thị hàm số
x = y = -1 (1, -1) thuộc đồ thị hàm số
H×nh
Phần đồ thị in đậm ( hình 7) đồ thị hàm số y = |x - 2|
III đồ thị hàm số y = |f(|x|)| 3.1 Kiến thức cần lu ý
Ta cã: f(|x|) víi f(|x|) 0
y = |f(|x|)|=
- f(|x|) víi f(|x|) <
C¸ch dùng
a) Dựng đồ thị hàm số y = |f(|x|)| + Dựng đồ thị hàm số y = f(x) với x > 0
+ Dựng phần đồ thị bên trái đối xứng với phần bên phải qua Oy b) Phần đồ thị nằm mặt phẳng dới Ox nghiã f(|x|) <
ta dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị qua trục Ox. ( Hay biến đổi phần đồ thị nằm nửa mặt phẳng dới nên nửa mặt phẳng đối xứng qua trục Ox)
O -1 -2
1 y
(18)3.2 Ví dụ: Dựng đồ thị hàm số y = |1 - |x||
Thật vậy:
Đồ thị hàm số y = 1- x
x = y = ( 1, ) thuộc đồ thị hàm số
x = y = ( 0, 1) thuộc đò thị hàm số
Đồ thị hàm số y = - x với x
a)
Đồ thị hàm sè y = - |x|
b) H×nh
Đồ thịi hàm số y = |1 - |x||
c) Phần đồ thị in đậm phần b ( hình 8) đồ thị hàm số y = |1 - |x||
IV Đồ thị |y| = f(x) víi f(x) 0 4.1 KiÕn thøc cÇn lu ý
Ta cã: y = f(x) víi f(x) 0 C¸ch dùng:
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x) với f(x) 0
( Phần đồ thị hàm số y = f(x) phía trục hồnh )
- Dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đẫ thu đợc qua trục Ox.
4 VÝ dô
Dựng đồ thị hàm số |y| =
1 2x
ThËt vËy:
Đồ thị hàm số y =
1 2x
x = y = ( 0; 1) thuộc đồ thị
x = -2 y = ( -2; 0) thuộc đồ thị
H×nh
Phần đồ thị in đậm ( hình ) đồ thị hàm số |y| =
1 2x
V Đồ thị hàm số |y| = |f(x)|
1 O
y
x
-1 O y
O -1 -2
-1
-1 O
y
x
(19)5.1 KiÕn thøc cÇn lu ý:
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có: y = |f(x)| Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y =|f(x)|( hoàn toàn nằm nửa mặt phẳng trên)
- Dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị thu đợc qua trục Ox.
5.2 VÝ dô:
1 Dựng đồ thị hàm số |y| = |x - 3| Tht vy:
Đồ thị hàm số y = x -
x = y = -3 ( 0; -3) thuộc đồ thị
x = y = ( 3; 0) thuc th
Đồ thị hàm sè y = 1- x víi 0
a)
Đồ thị hàm số y = 1- |x|
b) Hình 10
Đồ thị hàm số y = |1- |x||
c)
Phần đồ thị in đậm phần c) (hình 10) đồ thị hàm số |y| = |x - 3|
VI më réng
Đối với dạng đồ thị hàm số giá trị tuyệt đối có cách dựng riêng tơng ứng với Tuy nhiên thực tế có hàm số giá trị tuyệt đối khơng dạng nêu mà kết hợp nhiều dạng khác Đối với trờng hợp dựng hàm số cách kết hợp nhiều cách dựng nêu trên, ta cịn dựng hàm số bằn cách dựng chung Cách dựng áp dụng cho tất dạng đồ thị hàm số giá trị tuyệt đối
C¸ch dùng chung
- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối cách xét theo khoảng biến ( xem chủ đề 1)
- Mỗi khoảng ta thu đợc hàm tơng ứng Dựng đồ thị theo
tõng khoảng xét.
Vớ d 1: Dng th hàm số y = |x - 1| + |x - 3|
ThËt vËy:
Xét theo khoảng biến x ta thu đợc:
O
x
y
3
O
x y
3
O
x
y
(20)
- 2x nÕu x 1
y = nÕu x 3
2x - nÕu x 3
Đồ thị hàm số y = 4- 2x với x 1
a)
Đồ thị hàm sè y = víi x 3
b)
Đồ thị hàm số y = 2x - víi x 3
c) H×nh 11
Phần đồ thị in đậm phần c) (hình 11) đồ thị hàm số y = |x - 1| + |x - 3|
Ví dụ 2 Dựng đồ thị hàm số y = ||x| - 2|
ThËt vËy: -2 - x nÕu x -2
Víi x 0, y = |-2 - x| =
x + nÕu x -2
-2 - x nÕu x -2 y =
x + nÕu x -2
x - nÕu x 2
Víi x 0, y = |x - 2| =
- x nÕu x 2
x - nÕu x 2 y =
- x nÕu 0 x 2
Việc dựng đồ thị đợc thực khoảng -2 - x x -2
x + nÕu -2 < x 0
y =
2 - x nÕu < x 2
x - nÕu x >
§THS y= -2 -x x -2
§THS y= x + -2 < x 0
§THS y = -x
0 < x 2
§THS y = x -2
x >
O
2
y
x
x
O
2
y
3
x
O
2
y
3
(21)a) b)
c) d)
H×nh 12
Phần đồ thị in đậm phần d) (hình 12) đồ thị hàm số: y = ||x| - 2|
VIII.bài tập luyện tập Bài 21 Dựng đồ thị hàm số
a) y =
1
3 x b) y = - 1.5|x| c) y = - |x|
Bài 22 Dựng đồ thị hàm số sau:
a) y = 2|x - 3| b) y = |x + 2| + c) Y = -|X - 1|
Bài 23 Dựng đồ thị hàm số sau:
a) y = |2|x| - 3| b) y =
1
x
Bài 24 Dựng đồ thị hàm số sau:
a) |y| = - x b) |y - 1| = x c) |y| = x2 + 1
Bài 25 Dựng đồ thị hàm số sau:
a) |y| = |x| b) |y - 2| = |x| c) |y - 1| = |x - 2|
chủ đề IV: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
I kiến thức cần lu ý:
Cho A, B biểu thức đại số
1.1 |A| 0 ( Đẳng thức xẩy A = )
1.2 |A + B| |A| + |B| (Đẳng thức xẩy A.B )
1.3 |A - B| |A| + |B| (Đẳng thức xẩy A.B )
1.4 |A - B| |A| - |B| (Đẳng thức xÈy A.B )
1.5 ||A| - |B|| |A + B| (Đẳng thức xẩy A.B )
1.5 ||A| - |B|| |A - B| (Đẳng thức xẩy A.B ) II Các tập điển hình
2.1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = 2|3x - 1| - 4
ThËt vËy:
Ta cã: |3x - 1| x 2|3x - 1|- -4 x
(22)2.2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C =
6
x
víi x Z ThËt vËy:
XÐt |x| > C > |x| > 3
XÐt |x| < th× x Z |x| = { 0; 1; 2}
NÕu |x| = C = -2
NÕu |x| = C = -3
NÕu |x| = C = -6
GTNN cña C = -6 |x| = x = 2
2.3 Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: D = |x - 2| + |x - 3|
ThËt vËy:
Cách 1: áp dụng định lí dấu nhị thức bậc lập bảng ( chủ đề I), ta có:
* XÐt x < th× D = - x + - x = - 2x Do x < nªn -2x > -4 D > (1)
* XÐt x th× D = x - + - x = (2)
* XÐt x > th× D = x - + x - = 2x - Do x > nªn 2x > D > (3)
So sánh (1), (2), (3) ta đợc minD = 2 x 3
C¸ch 2:
Ta cã: D = |x - 2| + |x - 3|= |x - 2| + |3 - x| |x - + - x| = 1
Do minD = (x - 2)(3 - x) 2 x 3
C¸ch 3:
Ta cã: D = |x - 2| + |x - 3| | (x - 2) - (x - 3)| |x - + - x| = 1
Do minD = (x - 2)(3 - x) 2 x 3
2.4 Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc: E = ||x - 1|- |x - 5||
ThËt vËy: C¸ch 1:
Ta cã: E = ||x - 1|- |x - 5|| |(x - 1)- (x - 5)|= |x -1 +5 - x| = 4
Do max E = (x - 1)(x + 5) 5 x x 1
C¸ch 2: Ta cã:
E = ||x - 1|- |x - 5|| = ||x - 1| + | - x|| |x -1 +5 - x| = 4
Do max E = (x - 1)(5 - x) 5 x x 1 III luyn tp
Bài 26: Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc: a) A = - |2x - 1|
b) B =
1
x
c) C =
2
x x
víi x Z
Bài 27: Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc a) A = 2|3x - 2| -
(23)d) D = |2x - 1|+ | 2x + 4| e) E = |x2 - x - 1|+ |x2 - x - 2| f) F = (0,5x2 + x)2 - 3|0,5x2 + x|
Bµi 28: Tìm giá trị lớn biểu thức H = ||x - 2|- |x + 3||
c Đáp án Bài 1:
a) a > 0; b) không tồn t¹i; c) d) a < 0; e) a > 0; f) a < 0; g) a = -5; h) a =
Bµi 2:
a) a = 0; b) a = 2; c) a = 1, b = -1; d) a = - 5, b = -2
Bài 3:
a) a, b dấu cïng b»ng b) b = hc a, b dơng
Bài 4:
a) -1 a 1; b) a hc a -3; c) a = 11; d) -3 a < -1; < a
3
Bµi 5:
a) 99 số; b) 20 cặp số
Bài 6:
a) ; b) ; c) =; d) = Bài 7:
a) Cách 1:
Xét hai trờng hợp:
Nếu b a + b = |a| + b a = |a| a 0
NÕu b < th× a + b = |a| - b |a| - a = 2b VT 0, VP <
đăng thức không xẩy a 0, b giá trị thoả m nÃ
C¸ch 2:
Ta có a |a|, b |b| Do a + b = |a| + |b| a 0, b 0
b) Tơng tự b 0, a b < 0, a = -b
Bµi 8: |a - b| = |(a + c) + (c - b)| |a - c| + |c - b| = + = 5 Bµi 9:
a) BT = 2a víi a 0; BT = víi a <
b) BT = víi a 0, BT = -2a víi a < 0
c) BT = a2 víi a 0, BT = - a2 víi a < 0 d) BT = víi a > 0, BT = -1 víi a <
e) BT = x - víi x - 3, BT = 5x + víi x < - 3
f) BT = 2x + víi x < 1/4, BT = -6x + víi 1/4 x < 3, BT = -2x -
víi x 3 Bµi 10:
(24)d) x1= 1/2, x2 = 3/2 e) x = f) x = -1/2 g) x i) x
Bµi 11:
a) x = hc x = - b) x 2 c) 2,3 vµ 4 d)
1
2
e) x 1 f) -3/2 g) h) vµ 3/2 i) 2,0,-4 vµ -6 k)
-5,7,3,-1,1
Bµi 12:
a > vµ b < a < b >
Bài 13:
a = b = hc a > 0; b< a = -b
Bài 14: a) 1 ; 2 ; 1 ; 2 ; 1 ;2 2 ; 1 ; 2
b) (1; 3) ; (3 ; 1) ; (- 3; -1) ; (-1; -3)
c) x ; y d) ; 2 ; ;3 Bµi 15:
|A| -A, dÊu " = " xÈy A x2 - x - (x + 1)(x - 2)
-1 x 2 Bµi 16:
NÕu a > th× - a < 2a; XÐt trêng hỵp x < -a, -a x 2a, x 2a ta
đ-ợc nghiÖm x = -7a, x = a
NÕu a 2a < -a; Xét trờng hợp x < 2a; 2a x -a, x > -a
thì ta đợc nghiệm x = -a
Bµi 17:
a) -2 x 3; b) x > -2; c)x -2; x 5; d) x > 3/2 Bµi 18: a) 2 x b) 2x c)
4
;
3
x x
d) x 0, x 1 Bµi 19:
a) x < 1; b) x < -1; x > 7; c) -3 < x < d) x 1 e) x 1
g)
2
x
x 12 Bài 20:
a)
1 13 13
2 x
; b)
1 15 15
2 x
c) - < x <
2
3
d) v« nghiƯm e) 1 13 x 13 f) x hc x
3 21
2
hc
x
3 21
2
(25)a b) c)
Bµi 22:
a b) c)
Bµi 23:
a)
1
b)
Bµi 24:
a) b) c)
x y
-6
O
x y
O
3
x
y
-2
O
3 x
y
-1 O
3
2
O
y
x
y
x
1
O
y
x
1
O
1
y
x
O
y
(26)Bµi 25:
a) b) c)
Bµi 26:
a) max A =
1
x
b) max A =
1
3 x2
c) XÐt c¸c trêng hỵp max C = max A = x = 1 Bµi 27:
a) A = -1
2
x
b) B = -1 x = 0; y = 2
c) C = -2 x 3
d) D =
1
2
x
e) E = -1 x 2
f) Đặt |0,5x2 + x| = y min G = -9/4 y = 3/2 x
1 = 1; x2 = -30
Bµi 28: max H = x hc x -3
d tài liệu tham khảo
1 Giỏ tr tuyt i- I.I GAIDUCOP- NXB Giáo dục - 1973
2 Một số vấn đề phát triển đại số 7- Vũ Hữu Bình - NXB Giáo dục - 1994
3 Tốn nâng cao chuyên đề đại số 7- Nguyện Ngọc Đạm - Vũ D-ơng Thuỵ - NXB Giáo dục - 1997
4 Toán nâng cao đại số 7- Vũ Hữu Bình- NXB Giáo dục 1999
5 To¸n Båi dìng häc sinh líp - Vị Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều NXB Hµ néi - 1995
6 Một số vấn đề phát triển đại số - Vũ Hữu Bình- NXB Giáo dục 1994
7 Toán nâng cao đại số 8- Vũ Hữu Bình- NXB Giáo dục 1999
8 Một số vấn đề phát triển đại số - Vũ Hữu Bình- NXB Giáo dục 1994
O
y O y O y
x
2
1
(27)E : KÕt luËn chung
Việc nghiên cứu số vấn đề giá trị tuyệt đối vấn đề tơng đối hay khó Mỗi phơng pháp giải nh chìa khóa giúp tìm đợc đờng ngắn trình khám phá chân lý tri thức nhân loại
Quá trình nghiên cứu đề tài phần giúp cho học sinh có cách nhìn cách khái qt giá trị tuyệt đối
Đề tài giúp cho em hệ thống đợc dạng tập giá trị tuyệt đối trờng THCS sở mà em có đợc tất cơng cụ đứng trớc tốn chứa giá trị tuyệt đối
Tóm lại, đề tài phần giải đợc vớng mắc gặp toán chứa giá trị tuyệt đối
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giúp tơi hồn thành đề tài này.
Ngµy 15 tháng năm 2006
Ngời viết
Bài Dạy thực nghiệm
Tuần: 14 Ngày soạn:2/12/ 05
Tiết: 42 Ngày dạy: 9/12/ 05
Thứ tự tập hợp số nguyên A/ Mơc tiªu:
(28)- Rèn tính cẩn thận so sánh tìm giá trị tuyệt đối số ngun B/ Chuẩn bị:
-GV: B¶ng phơ, thíc th¼ng
-HS: Ơn tập kiến thức số nguyên học, thớc thẳng C/ Lên lớp
I/ Tỉ chøc: (1 ’ )
KiĨm tra sÜ sè
II/ KiĨm tra bµi cị
? HS1:Viết tập hợp số nguyên Làm BT7 (SGK) ?HS2:Thế số đối nhau? Làm BT 10 (SGK)
III/ Bµi míi:
Hoạt động thày Hoạt động trò Ghi bng
?So sánh 5?
? So sánh vị trí điểm biểu diễn số trục tia số?
-Gv đa t/c tơng t i vi s nguyờn
? Nhìn trục sè rèi so s¸nh?
-Gv treo bảng phụ ?1 - Cho hs trao đổi theo nhóm bàn gọi lờn bng in
- Yêu cầu hs nhận xét, bỉ sung
- Cho hs t×m hiĨu chó ý SGK
? T×m sè liỊn tríc (sau) cđa 1; -1; -3; 0; -4?
-Y.cầu hs tìm hiểu ?2 - Cho hs trao đổi thảo luận theo nhóm
- Hs so sánh: 3<5 - Điểm nằm bên trái điển tia số - Hs theo dõi gv hớng dẫn
- Hs làm theo yêu cÇu cđa gv
- Hs trao đổi theo bàn len bảng điền vào bảng phụ
-Häc sinh nhận xét, bổ sung
- Hs tìm hiểu phần chó ý SGK
- Hs dựa vào trục số để trả lời
-Hs đọc tìm hiểu yêu cầu ?2
- Hs trao đổi theo nhóm bàn đại diện lên bảng làm
1 S sánh hai số nguyên. (15)
+ Ta có: <5
trên tia số: điểm bên trái ®iĨm
+ Víi a,b Ỵ Z: điểm a bên trái điểm b trục số a < b (hay b>a)
* Tổng quát:(SGK)
+ m<n; a<b; m<a; n<a + m<0; n<0; a>0; b>0 ?.1
a) bên tráinhỏ <
b) bên phảilớn >
c) bên tráinhỏ hơn<
…
* Chó ý: (SGK)
?.2 a) 2<7; d) – O
n
(29)-So sánh số nguyên d-ơng (nguyên âm) với số 0?
? So sánh số nguyên dơng với số nguyên âm? - Gv treo bảng phụ trục số
? Tìm điểm cách khoảng đv?
-Y.cầu hs tìm hiểu ?3 -Gọi hs lên bảng làm -Gv giúp hs dới lớp
- Yêu cầu hs nhận xét, bổ sung
- Gv chèt bµi
-Gv nêu ĐN giá trị tuyệt đối số nguyên -Y.cầu hs tìm hiểu ?4 - Cho hs trao đổi
? Em có NX GTTĐ số nguyên dong (âm) số 0?
? So sỏnh s nguyên âm so sánh giá trị tuyệt đối chúng?
?NX GTTĐ số i nhau?
y.cầu gv
- Hs lên bảng tìm theo y.cầu gv
-Hs c v tỡm hiu ?
- hs lên bảng trình bày
- hs lớp làm vào vë
-Häc sinh nhËn xÐt, bæ sung
- Hs theo dõi tìm hiểu thêm SGK -Hs đọc tìm hiểu ?
- Hs trao đổi theo nhóm cử đại diện lên bảng làm
-Häc sinh nhËn xÐt, bæ sung
- Hs rót NX nh SGK
b) -2>-7; e) 4>-2 c) –4<2; g) 0<3 *NhËn xÐt: (SGK)
2 Giá trị tuyệt đối của một số nguyên (11’).
2®v 2®v
+ Điểm -2 cách O khoảng đơn vị ?.3
+Kh cách từ đến đv
+Kh cách từ -1 đến đv
+Kh cách từ -5 đến đv
+Kh cách từ đến đv
+Kh cách từ -3 đến đv
+Kh cách từ đến đv
+Kh cách t n l v
* Định nghÜa: (SGK)
-Giá trị tuyệt đối a ký hiệu là: a
?.4
2 2
; 2
1 1;
1.
1 1;
0 0;
(30)1 1;
5 5;
0 0;
3.
* NhËn xÐt: (SGK)
IV/ Cđng cè:(9’) -Gv treo b¶ng phơ BT 11 - Gäi hs lên bảng làm - Yêu cầu hs nhận xét, bổ sung
-Y.cầu hs tìm hiểu BT 12
- Chia líp thµnh nưa vµ thi lµm nhanh
-Y.cầu hs tìm hiểu BT 14
- Cho hs trao đổi theo nhóm
- Gv quan s¸t sửa cho nhóm
- Yêu cầu hs nhËn xÐt, bỉ sung
- Gv chèt bµi
- Hs lên bảng làm - Hs lớp cïng lµm -Häc sinh nhËn xÐt, bỉ sung
- Hs nửa lớp làm nhanh đại diện lên bảng làm
-Hs đọc tìm hiểu BT - Hs trao đổi theo nhóm cử đại diện lên bảng làm
- hs đại diện lên bảng làm
-Häc sinh nhËn xÐt, bæ sung
BT11:
3 < ; -3 > -5
4 > -6; 10 > -10
BT 12.(SGK)
a) –17; -2; 0; 1; 2; b) 2001; 15; 7; 0; -8; -101 BT14(SGK)
2000 2000
3011 3011
10 10
V/ H íng dÉn: (1’).
- Học làm tập đầy đủ - Xem kỹ VD BT chữa BTVN: BT13+15+16+17 (SGK)
BT22+23+24 (SBT)
Öu http://quanghieu030778.violet.vn/