Tai lieu giang day Toan GT12

(HD: Goïi x laø caïnh thöù nhaát cuûa hình chöõ nhaät, tìm caïnh thöù hai vaø dieän tích hình chöõ nhaät theo x.) 2.. Haõy phaân tích m thaønh toång cuûa hai soá döông sao cho tích cuûa [r]

(1)

MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG

Kí hiệu Tên gọi Diễn giải

(2)

-CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HAØM ĐỂ KHẢO SÁT HAØM SỐ oOo

- CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1 Dấu nhị thức bậc nhất:

 Dạng f(x) = ax + b (a  0) Nghiệm nhị thức nghiệm phương trình ax + b = 0.  Bảng xét dấu nhị thức bậc f(x) = ax + b (a  0):

x - - b a +

ax + b trái dấu với a cùng dấu với a

2 Dấu tam thức bậc hai:

 Dạng f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Nghiệm tam thức nghiệm phương trình ax2 + bx + c =  Tính  = b2 - 4ac

 Nếu  < thì: phương trình f(x) = vô nghiệm

x - + f(x) cùng dấu với a

 Nếu  = thì: phương trình f(x) = có nghiệm kép x = - 2ba và

x  -b

2a +

f(x) cùng dấu với a cùng dấu với a

 Neáu  > thì: phương trình f(x) = có nghiệm x1, x2 (x1 < x2) và

x - x1 x2 + f(x) cùng dấu với a trái dấu với a cùng dấu với a * Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ' hệ số b chẵn.

3 Xét dấu biểu thức giải bất phương trình chứa ẩn mẫu, bất phương trình bậc hai hệ bất phương trình ẩn:

Yêu cầu sử dụng thành thạo bảng xét dấu nhị thức bậc tam thức bậc hai Giải bất phương trình chứa ẩn mẫu, bất phương trình bậc hai hệ bất phương trình ẩn.

Ví dụ1: Xét dấu biểu thức sau:

a) f(x) = (x - 1)(x2 - 2x - 3); b) f(x) =

x+1¿2 ¿

−1 ¿

; c) f(x) =

x −1¿2 ¿ 2 ¿

; d) f(x) = 1−2x

√x2+x+5 . Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau:

a) x2 + 2x + < 0; b) (x - 1)(x + 1)2  0; c) 2 x −1≤

5

2x −1 ; d) x

2

−3x+1 x −1 <1 .

Ví dụ 3: Giải hệ bất phương trình sau: a) { 1− x>0 − x2−3x

+4≤0 ; b)

{x2

+2x −15>0 x2−6x+8≥0 .

4 Dấu nghiệm phương trình bậc hai:

Cho phương trình: ax2 + bx + c = (*) ( = b2 - 4ac) Phương trình (*) có hai

nghiệm trái dấu (x1 < < x2) khi khi: P = ca < 0.

Phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt (x1 < x2 < 0) khi

Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt (0 < x1 < x2 ) khi

(3)

-và khi: {

a ≠0

Δ>0 P=c

a>0 S=−b

a<0

và khi: {

a ≠0

Δ>0 P=c

a>0 S=−b

a>0 5 Điều kiện không đổi dấu tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0).

a) f(x)  x  R  {Δ≤a>00 ; b) f(x)  x  R  {Δ≤a<00 . 6 Chia đa thức:

Yêu cầu bieãu dieãn gf(x)

(x)=k(x)+

r(x)

g(x) (với f(x) đa thức có bậc lớn bậc g(x)), đó

k(x) thương r(x) dư phép chia gf(x) (x) . Ví dụ 1: Biễu diễn phân thức dạng gf(x)

(x) thành dạng k(x)+

r(x)

g(x) :

a) x −x 2

+1 ; b)

x2

+2x −5

x −1 ; c)

x3−3x

+1

x −2 ; d)

x3−1

x2−1 ;

e) x3+3x+1

x2−1 ; f)

− x2−2x+1

1− x ; g)

x3+3x −2

2x −2 ; h)

x3−5x2− x+2

1−2x .

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành tích nhị thức bậc với đa thức có bậc nhỏ đa thức cho:

a) -x3 + 3x2 - 3x + 1; b) x3 + x2 - 2x - 2; c) x3 + (m - 1)x2 - m. 7 Các khái niệm liên quan đến hàm số:

Hàm số cho biểu thức kí hiệu y = f(x) với f(x) biểu thức chứa biến x.  Tập xác định hàm số: D = {x  R  f(x) có nghĩa}.

 Giá trị hàm số y = f(x) x0 y0 = f(x0). Ví dụ 1: Giá trị hàm số y = x2 + x0 = 5 Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = 3x−2x

+7 (1) a) Tính f(2), f(-1);

b) Tính giá trị hàm số x = -2;

c) Tìm tọa độ điểm M có hồnh độ x = đồ thị hàm số (1);

d) Tìm đồ thị hàm số (1) điểm có tung độ bằng

Ví dụ 3: Tìm tập xác định hàm số sau: a) y = x4– 2x2

+ 3; b) y = 31x− x+1 ;

c) y = x2− x+1

x −1 ; d) y =

x2−9 ¿2 ¿ 2x

¿

;

e) y = √x2− x −20 ; f) y = x

√16− x2 .

(4)

Yêu cầu tính giới hạn dạng: x → x0 +¿f

(x)

lim

¿

, x → xlim

−f(x) , lim

x → ±∞f(x) .

Ví dụ: Tính giới hạn sau:

a) x →1

+¿3x+1

1− x

lim

¿

; b) lim

x →1−

3x+1

1− x ; c) x →lim+∞

3x+1

1− x ; d)

lim

x →− ∞

3x+1

1− x ;

e) x →lim+∞(x3+3x2− x+1) ; f) lim

x →− ∞(x

3

+3x2− x+1) ; g) lim

x →+∞

4

1+x2 ; h) x →− ∞lim

4 1+x2 ; i) lim

x →+∞

2x −1

√x2− x −20 ; j) x →− ∞lim

2x −1

√x2− x −20 ; k) lim

x → ±∞ x2+4

x ;

l) lim

x → ±∞ x2−4

x2 . 9 Đạo hàm:

a) Các phép toán: Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) hàm số có đạo hàm, đó: (u + u - w)' = u' + v' - w'; (uv)' = u'v + v'u; (k.u)' = k.u' ; (u

v)'=

u ' v − v ' u

v2 (

1

v)'=− v ' v2 .

b) Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp bản:

Đạo hàm số sơ cấp bản Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (C)' = 0

(x)' = x-1(  R, x > 0)

(√x)'= 1

2√x (x > 0) (1

x)'=−

1

x2 (x  0)

(u)' = u-1.u'(  R, u > 0)

(√u)'= u '

2√u (u > 0) (1

u)'=− u '

u2 (u  0) (sinx)' = cosx

(cosx)' = -sinx (tanx)' = 1

cos2x (x  π

2+kπ , k  Z)

(cotx)' = - 1

sin2x (x  k, k  Z).

(sinu)' = cosu.u' (cosu)' = -sinu.u' (tanu)' = u '

cos2u (u  π

2+kπ , k  Z)

(cotu)' = - u '

sin2u (u  k, k  Z). c) Một số cơng thức tính đạo hàm đặc biệt:

 ( axcx++bd )' =

cx+d¿2 ¿ ad−bc

¿



dx+e¿2

¿

(ax

2

+bx+c

dx+e )'=

adx2+2 aex+be−dc

¿



dx2+ex+f¿2

¿

(ax

2

+bx+c

dx2+ex+f )'=

(ae−bd)x2+2(af−dc)x+bf−ec

¿

Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số sau đây: a) y = x3 + 1

x - √x2+1 ; b) y =

x −3

x+2 ; c) y =

1− x

x −2 ; d)

y = x1 +1 .

d) Ý nghĩa hình học đạo hàm:

(5)

-Hệ số góc tiếp tuyến điểm M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) f'(x0) phương trình tiếp tuyến M(x0; y0) có dạng: y - y0 = f'(x0)(x - x0).

Ví dụ: Cho hàm số y = x2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số đó, biết: a) Tiếp điểm điểm (1; 1);

b) Tung độ tiếp điểm 4;

c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -x + 2; d) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = 12x+1 .

10 Lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số y = ax + b & y = ax2 + bx + c (a ≠ 0):

 Yêu cầu lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc hàm số bậc hai. Ví dụ:Vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = 2x - 1; b) y = - x; c) y = 2; d) x = -3; e) y = x.

11 Tìm tọa độ giao điểm hai đường:

 Yêu cầu tìm tọa độ giao điểm hai đường có phương trình cho trước. Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hai hàm số:

a) (C): y = x2 - 2x + d: y = x; b) (C): y = x3 + 4x2 + 4x + d: y = x + 1; c) (C): y = x3 + 3x2 + d: y = 2x + 5; d) (C): y = x3 - 3x d: y = x2 + x - 4. Ví dụ 2: Tìm tọa giao điểm đường sau với hai trục tọa độ:

a) y = x + 1; b) y = x2 + 1; c) y = x2 - 5x + 6; d) y = x4 - 4x2 + 3.



Ghi chuù:

(6)

(7)

-O y

x

O y

x

§1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:

1) Định nghóa:

Cho hàm số y = f(x) xác định K (K = (a; b) K = [a; b) K = (a; b] K = [a; b]) Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) K nếu

với cặp x1, x2 thuộc K cho: x1 < x2  f(x1) < f(x2)

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) K nếu với cặp x1, x2 thuộc K cho:

x1 < x2  f(x1) > f(x2)

Bảng biến thiên:

x a b

 b x lim

y 

a xlim

Bảng biến thiên:

x a b 

a x lim

y



b x lim

Đồ thị hàm số đồng biến

là đường lên từ trái sang phải là đường xuống từ trái sang phảiĐồ thị hàm số nghịch biến

2) Tính đơn điệu dấu đạo hàm:

 Tính đạo hàm y', xét dấu y', quan sát đồ thị hàm số y = f(x) để hoàn thiện bảng biến thiên rút ra nhận xét:

a) y = x2. TXÑ: D = R y' = 2x

y' =  2x =  x =  y = 0

Bảng biến thiên: Đồ thị:

x - + y' - +

y

+ +

b) y = 1x .

TXÑ: D =

y' =

Bảng biến thiên: Đồ thị:

x - + y'

y

Nhận xét: Nếu y' < K hàm số trên K.

Nếu y' > K hàm số trên K.

(8)

a) Nếu f'(x) > x  K hàm số f(x) đồng biến K.

b) Neáu f'(x) < x  K hàm số f(x) nghịch biến treân K.

* Hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) K gọi chung đơn điệu K, K gọi chung khoảng đơn điệu hàm số y = f(x).

Ví dụ: Tìm khoảng đơn điệu hàm số

a) y = 2x4 + 1; b) y = sinx khoảng (0; 2). Giải:

* Chú ý: Quan sát đồ thị hàm số y = x3 trả lời câu hỏi:

Khẳng định sau hay sai? sao?

"Nếu hàm số y = f(x) tăng R f'(x) > với x  R". Trả lời:

Định lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm K Nếu f'(x)  (f'(x)  0), x  K f'(x) = 0

chỉ số hữu hạn điểm x0 hàm số đồng biến (nghịch biến) K.

 Nếu f'(x) = x  K f(x) khơng đổi K (hay hàm số y = f(x) hàm y = c K) II QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:

Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = f(x):  Trình bày giải:

 Tìm tập xác định D hàm số (D = {x  R  f(x) có nghóa})

 Tính đạo hàm f'(x) Cho f'(x) = 0, tìm điểm xi (i = 1, 2, , n) mà đạo hàm không xác định.

 Lập bảng biến thiên (lưu ý xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần bảng biến thiên).  Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số

Ví dụ 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số y = f(x) = 13x3−1

2x

−2x+2

(9)

-Giaûi:

Ví dụ 2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau:

a) y = 2x3 + 6x2 + 6x - 7; b) y = x4 - 2x2 - 3; c) y = - x4

2 - x

2 + 3

2 ; d) y =

x −1

x+1 . Giaûi:

(10)

Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ: Chứng minh x > sinx khoảng (0; π2 ).

Giaûi:



Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

(11)

-1 Bài tập bản:

Bài 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số:

a) y = 13 x3 + 3x2 - 7x - 2; b) y = -x3 + x2 - 5; c) y = 3x3 - 8x2;

d) y = x3 - 6x2 + 9x; e) y = x3 - 3x2 - x + 3; f) y = 2x3 - 6x +

2.

Bài 2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số:

a) y = x4 - 2x2 + 3; b) y = x4 + 8x2 + 5;

c) y = 16x + 2x2 - 16

3 x3 - x4; d) y =

4

x – 2x2

+ 3. Bài 3: Tìm khoảng đơn điệu hàm số:

a) y = 31x− x+1 ; b) y = 3x−2x

+7 ; c) y =

x+1 x −1 .

Bài 4: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y = x2− x+1

x −1 ; b) y =

x2−2x

1− x ; c) y =

x2−2x

+3

x+1 .

2 Bài tập naâng cao:

Bài 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y = 2x

x2−9 ; b) y = √x2− x −20 .

Bài 2: Chứng minh hàm số y = x x2

+1 đồng biến khoảng (-1; 1) nghịch biến các khoảng (-; -1) (1; +) (HD: Chứng minh y' 0x (-1;1) y' 0x (-;-1) (1; +))

Bài 3: Chứng minh hàm số y = √2x − x2 đồng biến (0; 1) nghịch biến (1; 2) Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) tanx > x (0 < x < π2 ); b) tanx > x + x3

3 (0 < x <

π

2 ).

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

(12)

I KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU: Lập bảng biến thiên hàm số sau:

y = 61x3+3

2 x

+5

2x

Đồ thị hàm số y = 61x3

+3

2 x

+5

2x

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục khoảng (a; b) (có thể a -; b +) điểm x0  (a; b).

a) Nếu tồn số h > cho f(x) < f(x0) với x  (x0 - h; x0 + h) x  x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực đại x0.

b) Nếu tồn số h > cho f(x) > f(x0) với x  (x0 - h; x0 + h) x  x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu x0.

* Chú ý:

a) Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) x0 x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số; f(x0) gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số, kí hiệu fCĐ (fCT) hay yCĐ (yCT), cịn điểm M(x0; f(x0)) gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số.

b) Các điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số.

c) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng (a; b) đạt cực trị x0 f'(x0) = 0. II ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ:

Định lí: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng K = (x0 - h; x0 + h) có đạo hàm K hoặc

treân K \{x0}, h > 0.

a) Nếu f'(x) > khoảng (x0 - h; x0) f'(x) < khoảng (x0; x0 + h) x0 điểm cực đại

của hàm số f(x).

b) Nếu f'(x) < khoảng (x0 - h; x0) f'(x) > khoảng (x0; x0 + h) x0 điểm cực

tiểu hàm số f(x).

III QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ:

Quy tắc 1: Tìm điểm cực trị hàm số y = f(x)  Tìm tập xác định.

(13)

- Tính f'(x) Tìm điểm x cho f'(x) f'(x) khơng xác định.  Lập bảng biến thiên.

 Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị. x x0 - h x0 x0 + h f'(x) +

-f(x) yCÑ

x x0 - h x0 x0 + h f'(x) - +

f(x) yCT

"Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm" "Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương" Ví dụ 1: Tìm điểm cực trị hàm số y = x3 - x2 - x + 3.

Giaûi:

Ví dụ 2: Tìm cực trị hàm số y = 3xx+1 +1 . Giải:

 Áp dụng quy tắc I, tìm cực trị hàm số f(x) = x(x2 - 3) Quy tắc 2:

Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp khoảng (x0 - h; x0 + h), với h > Khi đó:

a) Neáu {f '(x0)=0

f''(x0)>0 thì x0 điểm cực tiểu b) Nếu {

f '(x0)=0

f ''(x0)<0 thì x0 điểm cực đại. Quy tắc 2:

 Tìm tập xác định.

 Tính f'(x) Giải phương trình f'(x) = kí hiệu xi (i = 1, 2, ) nghiệm nó.  Tính f''(x) tính f''(xi).

 Dựa vào dấu f''(xi) để suy tính chất cực trị điểm xi. Ví dụ: Tìm điểm cực trị hàm số sau:

a) f(x) = 14 x4 - 2x2 + 6; b) f(x) = sin2x. Giaûi:

(14)



Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:

Bài 1: Áp dụng quy tắc I, tìm điểm cực trị hàm số sau:

(15)

-a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10; b) y = x4 + 2x2 - 3; c) y = x + 1 x ;

d) y = x3(1 - x)2; e) y =

√x2− x+1 .

Bài 2: Áp dụng quy tắc 2, tìm điểm cực trị hàm số sau:

a) y = x4 - 2x2 + 1; b) y = sin2x - x; c) y = sinx + cosx; d) y = x5 - x3 - 2x + 1. Bài 3: Tính khoảng cách điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Bài 4: Tìm giá trị m để x = điểm cực tiểu hàm số y = x2−mx+m−1

x+1 .

Bài 5: Xác định giá trị tham số m để hàm số y = x2+mx+1

x+m đạt cực đại x = 2.

Bài 6: Chứng minh với giá trị tham số m, hàm số y = x3 - mx2 - 2x + ln có điểm cực đại điểm cực tiểu (HD: Chứng minh y' = có hai nghiệm phân biệt)

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 3(m + 1)x - m - Xác định m cho:

a) Hàm số có cực trị; b) Hàm số có hai điểm cực trị dấu.

Bài 2: Tìm a b để cực trị hàm số y = 53 a2x3 + 2ax2 - 9x + b số dương x0 = −5

9 điểm cực đại.

(16)

§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VAØ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I ĐỊNH NGHĨA:

Cho hàm số y = f(x) xác định tập D.

a) Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) tập D f(x)  M với x thuộc D và

tồn x0D cho f(x0) = M Kí hiệu M = D max

f(x).

b) Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) tập D f(x)  m với x thuộc D và

tồn x0D cho f(x0) = m Kí hiệu m = minD f(x).

II GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VAØ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HAØM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG:  Quan sát đồ thị hàm số sau trả lời câu hỏi tương ứng:

Giá trị lớn hàm số f(x)= -x2 + 4x - 5

trên (-; +) là: tại x =

Giá trị nhỏ hàm soá f(x) = x - + 1x

trên (0; +) là: tại x =

 Bài tốn: Tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b).

 Ta lập bảng biến thiên hàm số y = f(x) khoảng (a; b), từ suy kết luận. (Nếu tốn khơng khoảng K ta tìm GTLN, GTNN tập xác định)

x a x0 b f'(x) +

-f(x)

GTLN

x a x0 b f'(x) - +

f(x)

GTNN Trong đó: f'(x) = không xác định x0.

Ví dụ 1: Tìm GTNN GTLN hàm số y = x - + 1x khoảng (0; +). Giải:

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau:

(17)

-a) f(x) = - 1

x2+1 ; b) f(x) =

1

x (0; 1). Giải:

III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VAØ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HAØM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN:

1/ Định lí: Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn đó.

 Quan sát đồ thị hàm số sau trả lời câu hỏi tương ứng:

Giá trị lớn hàm số y = x3 - x2 - x + trên

đoạn [0; 2] là: x =

Giá trị nhỏ hàm số y = x3 - x2 - x + treân

đoạn [0; 2] là: x =

2/ Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số liên tục đoạn:

 Tìm điểm x1, x2, , xn khoảng (a; b), f'(xi) = khơng xác định (i = 1, 2, n).  Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b).

 Tìm số lớn M số nhỏ m {f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)} Ta có:

a;b

max

f(x) = M, mina;b f(x) = m.

Ví dụ 1:

(18)

Giaûi:

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sinx đoạn [ π6 ;7π

6 ] vaø [

π

6;2π

]. Giaûi:

* Chú ý:

 Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên [a; b] thì:

max[a ;by] = f(b), min[a ; by] = f(a)

 Neáu hàm số y = f(x) nghịch biến trên [a; b] thì:

max[a ;by] = f(a), min[a ; by] =

f(b)

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = -x3 + [-1; 1]. Giải:

IV ỨNG DỤNG:

(19)

Ví dụ: Cho nhơm hình vng cạnh a Người ta cắt bốn góc bốn hình vng nhau, gập nhơm lại như hình vẽ để hộp khơng nắp Tính cạnh hình vng bị cắt sao cho thể tích khối hộp lớn nhất.

Giaûi:



Ghi chuù:

(20)

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số:

a) y = x3 - 3x2 - 9x + 35 [-4; 4] [0; 5]; b) y = x4 - 3x2 + [0; 3] [2; 5]; c) y = 21− x− x [2; 4] [-3; -2]; d) y = √5−4x [-1; 1]. Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = √4− x2+x .

Bài 3: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: a) y = 4

1+x2 ; b) y = 4x

3 - 3x4; c) y = x + 4

x (x > 0);

d) y = x; e) y = x

4+x2 ; f) y =

1 1+x4 .

Bài 4: Trong số hình chữ nhật có chu vi 16cm, tìm hình chữ nhật có diện tích lớn (HD: Gọi x cạnh thứ hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai chu vi hình chữ nhật theo x.)

Bài 5: Trong tất hình chữ nhật có diện tích 48cm2, xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất (HD: Gọi x cạnh thứ hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai diện tích hình chữ nhật theo x.) 2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: a) y = x2+3

x2

+x+2 ; b) f(x) = -3x

2 + 4x - treân [-2; 3

2 ); c) y = x -

1

x (0; 2].

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ hàm số f(x) = x + x −21 với x > 1.

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f(x) = x2 - 3x + 2 đoạn [-10; 10]. Bài 4: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số:

a) y = 2sin2x + 2sinx - 1; b) y = cos22x - sinxcosx + 4.

Bài 5: Cho số dương m Hãy phân tích m thành tổng hai số dương cho tích chúng lớn nhất. Bài 6: Tìm hai số biết hiệu chúng 13 cho tích chúng bé nhất.

Bài 7: Hãy tìm tam giác vng có diện tích lớn tổng cạnh góc vuông cạnh huyền bằng số a (a > 0).

Bài 8: Cho hàm số y2x4 3x22x1 Tìm đồ thị hàm số điểm M cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d): y = 2x - nhỏ nhất.

Bài 9: Tìm x để hàm số sau đạt giá trị lớn nhất:

a) y = x(6 - x), x [0; 6]; b) y = (x + 3)(5 - 2x), x [- 3;5

2 ].

(21)

-§4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN

 Quan sát đồ thị hàm số y = x −x −12 , trả lời câu hỏi sau:

 Tính giới hạn x →2 +¿x −1

x −2 lim

¿

vaø

lim

x →+∞ x −1

x −2 .

 Khoảng cách từ điểm M(x; y) đồ thị hàm số đến đường thẳng y = gần số x   ? đồ thị hàm số như thế với đường thẳng y = x  ?

 Khoảng cách từ điểm M(x; y) đồ thị hàm số đến đường thẳng x = gần số x  2+ x 2- đồ thị hàm số với đường thẳng x = x  2+ x 2-?

I ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG:

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +), (-; b)

hoặc (-; +)) Đường thẳng y = y0 đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y =

f(x) điều kiện sau thỏa mãn:xlimf(x) = y0 (hoặcxlim f(x) = y0). * Chú ý: Nếu x →lim+∞f(x)= lim

x →− ∞f(x)=l , ta viết chung x → ±∞lim f(x)=l .

II – ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

Đ ịnh nghĩa :Đường thẳng x = x0 gọi đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y = f(x) điều kiện sau thỏa mãn: x → x0

+¿

lim

¿

f(x) = +.

(hoặc x → xlim

− f(x)= -;

x → x+0¿

lim

¿

f(x) = -; lim

x → x0

− f(x) = +) Ví dụ: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số:

a) y = 2x −x 1

+4 ; b) y =

1

x ; c) y = x

2

+x −3

x −1 .

Giaûi:

(22)



Ghi chuù:

Bài 1: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số: a) y = 32x −x 2

+1 ; b) y =

x+5

− x+3 ; c) y = x

2− x ; d) y =

− x+7 x+1 ; e) y = x−4

+1 ; f) y =

2x −5

5x −2 ; g) y =

7

x−1 ; h) y =

2

x . Bài 2: Tìm đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số:

a) y = 2− x

9− x2 ; b) y =

x2+x+1

3−2x −5x2 ; c) y =

x2−3x+2

x+1 ;

d) y = x+3

x2−4 ; e) y =

x2− x+1

− x2+4 ; f) y =

√x+1

√x −1 .

Bài 1: Cho hàm số y = 2xx −1

+1 có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai tiệm cận đồ thị (C), tìm điểm M thuộc (C) cho IM nhỏ nhất.

Bài 2: Cho hàm số y = x −x+23 (1) Tìm điểm M đồ thị hàm số (1) cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

(23)

-§5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HAØM SỐ

 Điểm uốn đồ thị hàm số:

Lõm Lồi

O

x y

Điểm uốn

 Điểm uốn đồ thị hàm số điểm I(x0; y0) với x0 là nghiệm phương trình y'' = 0.

 Nếu hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) có hai cực trị thì điểm uốn trung điểm hai điểm cực trị đồ thị.

* Nhận xét:

Hàm bậc ba có điểm uốn khơng có điểm uốn Hàm bậc bốn trùng phương có hai điểm uốn hoặc khơng có điểm uốn.

Phần đồ thị hai bên điểm uốn khác hình dáng: bên "lồi" lên, bên "lõm" xuống.

I- KHẢO SÁT VAØ VẼ ĐỒ THỊ HAØM SỐ

Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d (a

0)

 Tập xác định: D = R

 y' = f'(x)

y' = 0: giải phương trình f'(x) = 0.  y'' = f''(x)

y'' = Kết luận điểm uốn I.  Tính giới hạn

y

xlim = , xlimy= (chỉ cần kết quả, không cần giải thích)

 Vẽ bảng biến thiên.

+ Kết luận khoảng đơn điệu. + Kết luận cực trị hàm số.  Điểm đặc biệt:

Điểm cực trị (nếu có)

Giao điểm với trục tung: x = tìm y.

Giao điểm với trục hồnh: y = giải phương trình f(x) = tìm x.  Đồ thị: đồ thị hàm số nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng.

Ví dụ: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số:

a) y = x3 + 3x2 - 4; b) y = -x3 + 3x2 - 4x + 2; c) y = x3

3 - x

2 + x + 1. Giaûi:

(24)

Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = ax4+ bx2+ c (a  0)

(25)

 Tập xác định: D = R

 y' = f'(x)

y' = 0: giải phương trình f'(x) = 0.  Tính giới hạn

y

xlim = , xlimy= (chỉ cần kết quả, không cần giải thích)

+ Kết luận khoảng đơn điệu.

+ Kết luận điểm cực trị đồ thị hàm số.  Điểm đặc biệt:

Điểm cực trị;

Giao điểm với trục tung: x = tìm y;

Giao điểm với trục hồnh (nếu có): y = giải phương trình f(x) = tìm x.  Đồ thị: đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.

Ví du: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số:

a) y = x4 - 2x2 - 3; b) y = - x4

2 - x

2 + 3

2 .

Giaûi:

(26)

Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = axcx++bd (c  0, ad - bc  0)

 Tập xác định: D = R\{ −d

c }

 y' = f'(x)

 Tính giới hạn: y

xlim = c a

,xlimy= c a

 Tiệm cận ngang y = c a x → x+0¿y

lim

¿

= , x → xlim

0 −y

=¿

 Tiệm cận đứng x = x0 (chỉ cần kết quả, khơng cần giải thích)

Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số. Hàm số khơng có cực trị

 Điểm đặc biệt: Giao điểm với trục tung: x = tìm y.

Giao điểm với trục hoành: y = giải phương trình f(x) = tìm x.  Đồ thị: đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. Ví dụ: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số:

a) y = − xx +2

+1 ; b) y =

x −2 2x+1 . Giaûi:

(27)

-

II – SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ 1/ Tọa độ giao điểm hai đồ thị:

Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm hai đường: (C) y = x2 + 2x - d: y = 2x + 1. Giải:

2/ Biện luận đồ thị số nghiệm phương trình f(x) = g(x):

Ví dụ 1: Chứng minh đồ thị hàm số y = x −x+11 luôn cắt đường thẳng y = m - x với giá trị m.

Giaûi:

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 + 3x2 - có đồ thị (C1) Dựa vào đồ thị (C1), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 - = m.

(28)

d

-1

y = m

-2 2

O x

y

(C1)

m



Ghi chuù:

(29)

-

Bài 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = + 3x - x3; b) y = x3 + 4x2 + 4x; c) y = x3 + x2 + 9x; d) y = -2x3 + 5; e) y = x3; f) y = -2x3 + 3x2 + 2. Bài 2: Khảo sát biến tiên vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = -x4 + 8x2 - 1; b) y = x4 - 2x2 + 2; c) y = 1

2 x4 + x2 - 3

2 ;

d) y = -2x2 - x4 + 3; e) y = x4; f) y = x4 - 2x2. Bài 3: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = x −x+31 ; b) y = 21−x −2x4 ; c) y = − x2x+2

+1 ; d) y =

1

x −1 ;

e) y = 1x ; f) y = 24x −x+13 ; g) y = x −x1 . Bài 4: Cho hàm số y = x3 + 3x2 (1)

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1).

b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 + 3x2 + m = 0. Bài 5: Cho hàm số y = -x3 + 3x + (1).

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1).

b) Dựa vào (C), biện luận số nghiệm phương trình x3 - 3x + m = theo tham số m. Bài 6: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + (1)

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1).

b) Với giá trị m phương trình x4 - 2x2 + m = có nghiệm phân biệt.

c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến qua điểm M( √2 ; 1).

Bài 7: Bằng cách khảo sát hàm số, tìm số nghiệm phương trình sau:

a) x3 - 2x2 + = 0; b) -2x3 + 3x2 - = 0; c) 2x2 - x4 = -1. Baøi 8: Cho haøm soá y = mx2x−1

+m .

a) Chứng minh với giá trị tham số m, hàm số luôn đồng biến khoảng xác định nó.

b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị hàm số qua A(-1; √2 ).

(30)

Bài 9: Cho hàm số y = 14 x4 + 1

2 x2 + m.

a) Với giá trị tham số m, đồ thị hàm số qua điểm (-1; 1)? b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 1. c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ 74 . Bài 10: Cho hàm số y = x3 + (m + 3)x2 + - m (m tham số) có đồ thị (Cm).

a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại x = -1. b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành x = -2. Bài 11: Cho hàm số y = (m+1)x −2m+1

x −1 (m tham số) có đồ thị (G).

a) Xác định m để đồ thị (G) qua điểm (0; -1).

b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm được.

c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (G) giao điểm với trục tung. 2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Cho hàm số y = 32x3 - x2 + 1

3 có đồ thị (C)

a) Dựa vào đồ thị (C), giải bất phương trình 2x3 - 3x2 + < 0.

b) Dựa vào đồ thị (C), tìm m để bất phương trình 2x3 - 3x2 + - m > có nghiệm x [0; 1]. Bài 2: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + (C1)

a) Dựa vào đồ thị (C1), tìm m để phương trình x4 - 2x2 + + m = có nghiệm thuộc (-1; 1] b) Dựa vào đồ thị (C1), tìm m để bất phương trình x4 - 2x2 + - m  nghiệm x  [0; 3

2 ].

* ÔN TẬP CHƯƠNG I * I TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG I:

(31)

(32)

-II CÁC DẠNG ĐỒ THỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN 12

Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0)

{y '=0 có nghiệm a>0

(x1, x2 nghiệm của y'= 0)

x - x1 x2 +

y' + - + y fCÑ +

- fCT

{y '=0 có nghiệm a<0

(x1, x2 nghiệm của y'= 0)

x - x1 x2 +

y' - + - y + fCÑ

fCT -

{y '=0 có nghiệm a>0

(x0 nghiệm của y'= 0)

x - x0 +

y' + +

y

+

-

(x0 nghiệm cuûa y'= 0)

x - x0 +

y' -

-y +

-

{y '=0 voâ nghieäm a>0

x - +

y' +

y

+

-

{y '=0 vô nghiệm a<0

x - +

y'

-y +

-

(33)

-Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a  0) {y '=0 có nghiệm

a>0 (x1, x2, x3 3 nghiệm y'= 0)

x - x1 x2 x3 +

y' - + - +

y

+ yCÑ +

yCT yCT

(x1, x2, x3 3 nghiệm y'= 0)

x - x1 x2 x3 +

y' + - +

-y yCÑ yCÑ

- yCT -

{y '=0 coù nghiệm a>0

x - x0 +

y' - 0 +

y

+ +

yCT

x - x0 +

y' - 0 +

y yCĐ

- -

Hàm số y = axcx++bd (ad - bc  0)

ad−cb>0

x

- −d

c

+

y' + +

y

+

a c

a

(34)

ad−cb<0

x

- −d

c

+

y' -

-y ac +

-

a c



Ghi chuù:

Bài 1:Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau đây:

a) y = x3 - 3x + 2; b) y = x4 - 2x2; c) y = 2x+3

2x −1 .

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số: a) y = x3 - 3x + điểm (C) có hồnh độ 2; b) y = x4 - 2x2 điểm (C) có tung độ 8; c) y = 22x −x+31 giao điểm (C) với trục tung. Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số:

a) y = x3 - 3x + biết tiếp tuyến có hệ số góc 9;

b) y = x4 - 2x2 biết tiếp tuyến song song đường thẳng y = 24x; c) y = 22x −x+31 biết tiếp tuyến vng góc đường thẳng y = 12 x. Bài 4: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 - (1)

a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1);

(35)

-b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 - 3x2 + m = 0. Bài 5: Cho hàm số y = -x4 + 3x2 + (1)

a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1);

b) Tìm m để phương trình x4 - 3x2 + m = có nghiệm phân biệt. Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau:

a) y = x3 - 8x2 + 16x - đoạn [1; 3]; b) y = 2x −1

x −3 trên đoạn [0; 2];

c) y= 8x −3

x2− x+1 ; d) y = 2sin

3x - 3sin2x - sinx. Bài 7: Cho hàm số y = f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + 2.

a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số. b) Giải bất phương trình f'(x - 1) > 0.

c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0, biết f''(x0) = -6. Bài 8: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + có đồ thị (C).

a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số.

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình x3 + 3x2 + = m

2 theo tham số m.

c) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị (C) Bài 9: Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3mx2 + 3(2m - 1)x + (m tham số)

a) Xác định m để hàm số đồng biến tập xác định

b) Với giá trị tham số m, hàm số có cực đại cực tiểu? c) Xác định m để f''(x) > 6x.

Bài 10: Cho hàm số y = f(x) = 12 x4 - 3x2 + 3

2 .

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ nghiệm phương trình f''(x) = 0. c) Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình x4 - 6x2 + = m.

Bài 1: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 - 2m + (m tham số) có đồ thị (Cm). a) Biện luận theo m số cực trị hàm số.

b) Với giá trị m (Cm) cắt trục hồnh? c) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu. Bài 2: Cho hàm số y = xx+3

+1 .

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số.

b) Chứng minh với giá trị m, đường thẳng y = 2x + m cắt (C) hai điểm phân biệt M N.

c) Xác định m cho độ dài đoạn MN ngắn nhất.

d) Tiếp tuyến điểm S (C) cắt hai tiệm cận (C) P Q Chứng minh S là trung điểm PQ.

Bài 3: Cho hàm số f(x) = 13 x3 - 1

2 x2 - 4x + 6.

a) Giải phương trình f'(sinx) = 0;

b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ nghiệm phương trình f''(x) = 0.

(36)

(37)

-CHƯƠNG II HAØM SỐ LŨY THỪA oOo

1) Lũy thừa số hữu tỷ:

 Lũy thừa số mũ nguyên dương: a, b  Q, m, n  Z+, ta có:

a0 = 1 a1 = a am.an = am + n

am an = a

m – n (am)n = am.n (ab)n = anbn

a b¿

n

=a

n

bn

¿

(b ≠ 0) Nếu am = an m = n (a ≠ 1, a ≠ 0).

 Lũy thừa số mũ nguyên dương: x ≠ 0, n  Z+, ta có: x−n= 1 xn 2) Căn bậc hai:

√A2=A √AB=√A.√B (A0, B0) √A

B= √A

√B (A0, B>0)

√A2B=A√B (B0) A√B=√A2B (A0, B0) A√B=−√A2B (A<0, B0)

A √B=

A√B

B (B>0) √

A B=

1

B√AB (AB0, B≠0)

C √A ± B=

C(√A∓B)

A − B2 (A0,

A≠B2)

√A∓√B

¿

C¿

C √A ±√B=¿

(A0, B0, A≠B) 0  A < B  √A<√B



Ghi chuù:

(38)

(39)

-§1 LŨY THỪA I - KHÁI NIỆM LŨY THỪA:

1/ Lũy thừa với số mũ nguyeân: Cho n nguyên dương

 Với a số thực tùy ý, lũy thừa bậc n a (a lũy thừa n) tích n thừa số a. Ví dụ:

an = a⏟.a a

nthừa sốa 2

3 =

 Với a  0 Ví dụ:

a0 = 1 (1,2)0 =

a− n=1

an 2-3 =

1

2−4=¿

* Chú ý:00 0-n nghóa.

Ví dụ 1: Khơng dùng máy tính, tính giá trị biểu thức A =

1 2¿

−9

0,2¿−4 25−2+128−1.¿ 1

3¿

−10

.27−3+¿ ¿

Giaûi:

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B =

1+a2¿−1 ¿

¿. a

−3 1− a−2 a√2

¿ ¿

(a  0, a  1)

Giaûi:

2/ Phương trình xn = b (*)

 Trường hợp n lẻ (n = 1, 3, 5, ): Ví dụ:

Với số thực b, phương trình có nghiệm nhất. x3 = -8 

số mũ

(40)

 Trường hợp n chẵn (n = 2, 4, ) Ví dụ:

Với b < phương trình (*) vơ nghiệm. x2 = -2 

Với b = phương trình (*) có nghiệm x = 0. x2 = 

Với b > phương trình (*) có hai nghiệm đối nhau. x2 = 

3/ Căn bậc n a) Khái niệm:

Cho sốâ thực b số nguyên dương n (n  2).

Số a gọi bậc n số b an = b Ví dụ: Số -2 bậc -8 (-2)3 = -8

Số -3 bậc (3)2 = (-3)2 = 9. Ta coù:

 Với n lẻ b  R: Ví dụ:

Có bậc n b, kí hiệu √nb . Số -2 có baäc 5:

5

√(−2)

 Với n chẵn: Ví dụ:

Với b < 0: Không tồn bậc n b. Số -8 không tồn bậc 2 Với b = 0: Có bậc n b số 0. √0 =

Với b > 0: Có hai trái dấu, Số có hai bậc hai là: giá trị dương kí hiệu n

√b √8 = 2√2

giá trị âm kí hiệu - n

√b −√8=−2√2

b) Tính chất: Ví duï:

n √a.n

√b=√na.b

√2.3

√4=¿

n √a n √b=

n

√a

b

3

√16

3

√2 =¿

n

√an

={a, khinleû

a,khinchaün

−2¿3 ¿

¿ ¿

−2¿2 ¿ ¿ ¿

√¿

n

√a¿m=√nam

¿

4

√32¿2=¿

¿

n

√k

√a=nk√a

√3¿5√3 ¿ ¿

√¿

(41)

4/ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

Cho số thực a dương số hữu tỷ r = mn , m  Z, n  N, n  Lũy thừa a với số mũ r là số ar xác định bởi:

Ví dụ: ar

=a

m

n = √nam

3

√a2=¿

¿

Đặc biệt: a1n

=√na (a > 0, n  2) √a=¿

5/ Lũy thừa với số mũ vô tỉ:

Ta gọi giới hạn dãy số ( arn

¿ lũy thừa a với số mũ , kí hiệu a.

a = lim

n →+∞a rn

với  = n →lim+∞rn Chú ý: 1 = (  R)

II- TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC Cho a, b  R* ,   R Ta có:

a) Các tính chất biểu thị đẳng thức: Ví dụ:

a.a = a +  3

4 5 365

=¿

aα

aβ = a – 

27

24=¿

(a) = a. 2

1

¿2

¿ =

(ab) = ab (2. √3 )2 =

a b¿ α =a α bα ¿

√22¿2=¿ ¿

b) Các tính chất biểu thị bất đẳng thức: Ví dụ: So sánh số sau: i) Nếu a > a > a   >  2

1

2 213

ii) Neáu a < a > a   < 

1 2¿ −3 ¿ 1 2¿ −2 ¿

** Các dạng toán thường gặp: 1) Rút gọn biểu thức:

Ví dụ: Rút gọn biểu thức:

a) A =

a√2−2 ¿√2+2 ¿

a√7+1.a2−√7 ¿

(a > 0); b) B = a

1

√b+b

1

√a

6

√a+√6b (a > 0). Giaûi:

(42)

2) So sánh hai lũy thừa số:

Ví dụ 1: Không dùng máy tính, so sánh số 52√3 53√2 .

Giaûi:

Ví dụ 2: Chứng minh

1 3¿

3√2

1 3¿

2√5

<¿ ¿

.

Giaûi:

3) Viết biểu thức dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

Ví dụ: Viết biểu thức sau dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a) D = a13.

√a ; b) E = √3a√a√3a√a .

Giaûi:



Ghi chuù:

(43)

-

Bài 1: Không dùng máy tính, tính:

a) 925.2725 ; b) 14434:934 ; c)

0,25¿− 1

16 ¿

−0,75

+¿ ¿

; d) 0,125¿

−23 0,04¿−1,5−¿

¿

.

Bài 2: Cho a, b số thực dương Viết biểu thức sau dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a) b12.b

1 3.6

√b ; b) a

4 3:3

√a ; c)

√b:b

1

6 .

Bài 3: Cho a, b số thực dương Rút gọn biểu thức sau:

a) a

4

(a−

1 +a ) a (a +a −1 )

; b) b

1

(√5b4−√5b−1) b

2

(√3b −√3b−2)

; c) a

1

3b−13−a−13b13

√a2−√3b2 .

Bài 4: So sánh cặp số: a) 13¿√

3

¿

vaø 13¿√

2

¿

; b) π2 ¿

√5

¿

vaø π5 ¿

√10

¿

. Bài 5: Chứng minh rằng: 76√3

>73√6 . 2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: So sánh cặp số: a)

√10 vaø √520 ; b) √45 vaø √67 ; c) 23000 32000.

Bài 2: Khơng dùng máy tính, tính giá trị biểu thức sau: a)

√a.6√a với a = 0,09; b) √b:√6b với b = 27;

c) √b

3

√b2

6

√b với b = 1,3; d)

3

√a.4√a.12√a5 với a = 2,7.

(44)

(45)

-§2 HÀM SỐ LŨY THỪA I- KHÁI NIỆM:

Hàm số y = x, với   R, gọi hàm số lũy thừa

Tập xác định hàm số lũy thừa: Ví dụ:

 Với  nguyên dương, tập xác định D = R; y = x2, TXĐ: D =

 Với  nguyên âm 0, tập xác định D = R\{0}; y = x-1, TXĐ: D =

 Với  không nguyên, tập xác định D = (0; +). y = √x , TXĐ: D =

II- ĐẠO HAØM CỦA HAØM SỐ LŨY THỪA:

Hàm số y = x (  R) có đạo hàm với x > 0: Ví dụ:

(x)' = x - ( x√2 )' =

Đối với hàm số hợp y = u (với u = u(x))

(u)' = u - 1.u' [( x2+1¿

3

¿ ]' =

=

III- KHẢO SÁT HAØM SỐ LŨY THỪA y = x

Các tính chất hàm số lũy thừa y = x khoảng (0; +)

 > 0  < 0 Đạo hàm y' = x - y' = x -

Chiều biến thiên Hàm số tăng Hàm số ln giảm Tiệm cận Khơng có Tiệm cận ngang: OxTiệm cận đứng: Oy Đồ thị Đồ thị qua điểm (1; 1) * Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể ta phải xét hàm số tồn tập xác định nó.



Ghi chuù:

(46)

Bài 1: Tìm tập xác định hàm số: a) y = 1− x¿−

1

¿ ; b) y =

2− x2 ¿

3

¿ ; c) y =

x2−1¿−2

¿ ; d) y =

x2− x −2¿√2

¿ .

Bài 2: Tính đạo hàm hàm số: a) y = 2x2− x+1¿

1

¿ ; b) y =

4− x − x2¿

¿ ; c) y =

3x+1¿

π

2

¿ ; d) y

= 5− x¿√3

¿ .

Bài 3: Hãy so sánh số sau với số 1:

a) (4,1)2,7; b) (0,2)0,3; c) (0,7)3,2; d) √3¿0,4

¿ .

Bài 4: Hãy so sánh cặp số sau:

a) (3,1)7,2 (4,3)7,2; b) 10 11 ¿

2,3

¿

vaø 1211 ¿

2,3

¿

; c) (0,3)0,3 (0,2)0,3. 2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Hãy viết số sau theo thứ tự tăng dần: a) (0,3), (0,3)0,5, 0,3¿

2

¿ , (0,3)

3,1415; b)

√2π , (1,9), 1

√2¿

π

¿

, ;

c) 5-2, 5-0,7,

5 , 1 5¿ 2,1 ¿

; d) 0,5¿−

2

¿ ,

1,3¿−

¿ , π

−23 , √2¿−

2

¿ .

Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 y = x

1

2 trên hệ trục tọa độ Hãy so sánh giá trị các

hàm số x = 0; 0,5; 11; 32 ; 2; 3; 4.

(47)

-

(48)

§3 LÔGARIT I- KHÁI NIỆM LÔGARIT:

1) Định nghĩa: Cho hai số dương a, b với a  Số  thỏa mãn đẳng thức a = b gọi lơgarit số

a b kí hiệu logab.

logab =   a = b.

Ví dụ:

a) log28 = b) log1

3

9 =

* Chú ý: Không có lôgarit số âm số 2) Tính chất:

Cho a, b > 0, a  Ta có: Ví dụ:

loga1 = 0, logaa = 1, log10001 = , log√3√3 =

alogab

=b 2log23

=¿

loga(a) =  log2(25) =

II- QUY TẮC TÍNH LÔGARIT: 1) Lôgarit tích:

Định lí: Cho số dương a, b1, b2 , a  1, ta coù: loga(b1.b2) = logab1 + logab2 Ví dụ: log42 + log48 =

* Mở rộng: cho n số dương b1, b2, ,bn a  1, ta có: loga(b1.b2 bn) = logab1 + logab2+ +logabn 2) Lôgarit thương:

Định lí: Cho số dương a, b1, b2 , a  1, ta coù: logab1

b2

=logab1−logab2

Ví dụ: log7343 - log749 =

3) Lơgarit lũy thừa:

Định lí: Cho số dương a, b, a  Với  ta có: logab = logab

Ví dụ: log235 =

* Đăïc biệt: loga n √b=1

nlogab Ví dụ: log2√2 =

III- CƠNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ:

Định lí: Cho số dương a, b, c, a  1, c  1, ta coù: logab=logcb

logca  logca.logab = logcb

Ví dụ: log318

log36 =

* Đặc biệt: Ví dụ:

(49)

-logab= 1

logba(b ≠1)  logab.logba = log36.log89.log62 =

logaαb=

1

α logab (  0) log√33 =

IV- MỘT SỐ DẠNG BAØI TẬP ÁP DỤNG: 1) Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức:

Ví dụ 1: Tính A = log24 + log22 + log28

Giải:

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B = log1

7+2 log949−log√31

7 + log5 √3 25

Giaûi:

2) Tính giá trị biểu thức theo giá trị lơgrit cho trước: Ví dụ: Cho log220 = m Tính log205 theo m.

Giải:

3) So sánh hai số:

Ví dụ: So sánh hai số log23 log65.

Giải:

V- LÔGARIT THẬP PHÂN LÔGARIT TỰ NHIÊN:

(50)

log10b=logb=lgb

2) Lơgarit tự nhiên: Lơgarít tự nhiên lơgarít số e với e = 1+

1

n¿ n

lim

n →+∞¿

, logeb kí hiệu lnb

logeb=lnb



Ghi chuù:

Bài 1: Khơng sử dụng máy tính, tính: a) log21

8 ; b) log14

2 ; c) log

3

√3 ; d)log0,50,125. Bài 2: Chứng tỏ rằng: a) 29 log271

2

=1

8 ; b) log36.log89.log62 =

2

3 .

Bài 3: Đơn giản biểu thức: a) 19¿ 2log34

¿

; b) 4log2log√24 . Bài 4: Tính:

a) 4log23 ; b) 27log92 ; c) 9log√32 ; d) 4log827 .

(51)

Bài 5: Rút gọn biểu thức A = logab2 + log

a2b

4 .

Baøi 6: So sánh cặp số sau: a) log1

3

9 vaø log1

10 ; b) log35 vaø log74; b) log0,32 vaø log53; c) log210 vaø log530.

Baøi 7: a) Cho a = log303, b = log305 Hãy tính log308 log301350 theo a, b. b) Cho c = log153 Hãy tính log12515 theo c.

c) Cho a = log315, b = log310 Hãy tính log√350 theo a b.

Bài 1: Cho log25 = a Hãy tính log41250 theo a.

Bài 2: Cho logax = p, logbx = q, logabcx = r Hãy tính logcx theo p, q, r. Bài 3: Cho log1218 = a, log2454 = b Chứng minh ab + 5(a - b) = 1.

(52)

§4 HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LÔGARIT I- HÀM SỐ MŨ:

1) Định nghĩa: Cho số thực dương a  Hàm số y = ax gọi hàm số mũ số a. 2) Đạo hàm hàm số mũ:

Định lí 1: Hàm số y = ex có đạo hàm x (ex)' = ex

* Chú ý: Đối với hàm số hợp y = eu(x). Ví dụ: (eu)' = eu.u' (

ex2+2x+1 )' = Định lí 2: Hàm số y = ax (a > 0, a  1) có đạo hàm x (ax)' = axlna

* Chú ý: Đối với hàm số hợp y = au(x). Ví dụ: (au)' = au.lna.u'

(2x

2 +1

) ' =

3) Khảo sát hàm số mũ y = ax (a > 0, a  1):

O 1

1 a

x y

a > 1

O 1

1 a

x y

0 < a < 1 Tóm tắt tính chất hàm số mũ y = ax (a > 0, a  1) Tập xác định D = (-; +).

Đạo hàm y' = axlna.

Chiều biến thiên a > 1: hàm số đồng biến;0 < a < 1: hàm số nghịch biến. Tiệm cận trục Ox tiệm cận ngang.

Đồ thị đi qua điểm (0; 1) (1; a), nằm phía trục hoành (y = ax > 0, x  R) II- HÀM SỐ LƠGARIT:

1) Định nghĩa: Cho số thực dương a khác Hàm số y = logax gọi hàm số lôgarit số a. 2) Đạo hàm hàm số lôgarit:

Định lí 3: Hàm số y = logax (a > 0, a  1) có đạo hàm x > (logax)'= 1 xlna * Chú ý: Đặc biệt (lnx)'=1

x Đối với hàm số hợp y = ln[u(x)] (lnu)'= u '

u Đối với hàm số hợp y = logau(x), ta có: Ví dụ:

(logau)'= u '

ulna [log2(x2+1)]' =

3) Khảo sát hàm số lôgarit y = logax (a > 0, a  1)

(53)

-O 1 1

a x

y

a > 1

O 1

1

a x

y

0 < a < 1 Tóm tắt tính chất hàm số mũ y = ax (a > 0, a  1) Tập xác định D = (0; +).

Đạo hàm y' = xln1 a .

Chiều biến thiên a > 1: hàm số đồng biến;0 < a < 1: hàm số nghịch biến. Tiệm cận trục Oy tiệm cận đứng.

Đồ thị đi qua điểm (1; 0) (a; 1), nằm phía bên phải trục tung.

* Nhận xét: Đồ thị hàm số y = ax y = logax (a > 0, a  1) đối xứng qua đường thẳng y = x. Ví dụ: Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục tọa độ:

a) y = 4x vaø y = log4x; b) y = 1

4¿ x

¿

vaø y = log1

x .

Giaûi:

Bảng đạo hàm hàm số lũy thừa, mũ lôgarit

Hàm số sơ cấp Hàm hợp (u = u(x)) Hàm số sơ cấp Hàm hợp (u = u(x)) (x)' = x -

(1 x)'=−

1

x2 (√x)'= 1

2√x

(u)' = u - 1.u'

(1 u)'=−

u ' u2 (√u)'= u '

2√u

(ex)' = ex

(ax)' = axlna (e

u)' = eu.u' (au)' = aulna.u' (lnx)'=1

x (logax)'= 1

xlna

(lnu)'=u ' u (logau)'= u '

ulna



Ghi chuù:

(54)

Bài 1: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = 5x2 - 2xcosx; b) y = x+1

3x .

Bài 2: Tìm tập xác định hàm số sau:

a) y = log2(5 - 2x); b) y = log3(x2 - 2x); c) y = log1

5

(x2−4x+3) ; d) y = log

0,4 3x+2

1− x .

Bài 3: Tính đạo hàm hàm số sau:

a) y = 3x2 - lnx + 4sinx; b) y = log(x2 + x + 1); c) y = log3x

x .

2 Baøi tập nâng cao:

Bài 1: Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến hàm số mũ, so sánh cặp số sau:

a) (1,7)3 vaø 1; b) (0,3)2 vaø 1; c) (3,2)1,5 vaø (3,2)1,6;

d) (0,2)-3 vaø (0,2)-2; e) 1 5¿√

2

¿

vaø 15¿

1,4

¿

; d) 6 vaø 63,14.

Bài 2: Hãy so sánh x với số 1, biết rằng: a) log3x = -0,3; b) log1

3

x=1,7 ; c) log2x = 1,3; d) log1

4

x = -1,1.

(55)

-§5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT I- PHƯƠNG TRÌNH MŨ:

1) Phương trình mũ bản:

Dạng: ax = b (a > 0, a  1) Ví dụ:

 Với b > ta có: ax = b  x = logab. 2x = 

 Với b  ta có: ax = b  x  . 2x = -3  2) Cách giải số phương trình mũ đơn giản:

a/ Đưa số: aA(x) = aB(x)  A(x) = B(x) Ví dụ: Giải phương trình (1,5)5x - 7 = ( 2

3 )x + 1.

Giaûi:

b/ Đặt ẩn phụ:

Ví dụ: Giải phương trình sau:

a) 9x - 4.3x - 45 = 0; b) 6.9x – 13.6x + 6.4x = 0. Giaûi:

c/ Lôgarit hóa:

Ví dụ: Giải phương trình 3x. 2x2 = 1. Giaûi:

(56)

Daïng: logax = b (a > 0, a  1) Ví dụ:

Với b ta có: logax = b  x = ab log2x = -3  2) Cách giải số phương trình lơgarit đơn giản:

a/ Đưa số: Với điều kiện < a ≠ 1, A(x) > 0, B(x) > ta có

loga[A(x)] = loga[B(x)]  [A(x)] = [B(x)] Ví dụ: Giải phương trình log3x + log9x + log27x = 11.

Giaûi:

b/ Đặt ẩn phụ:

Ví dụ: Giải phương trình 5−1logx+ 2

1+logx=1 . Giaûi:

c/ Mũ hóa:

Ví dụ: Giải phương trình log2(5 - 2x) = - x. Giaûi:

(57)

-



Ghi chuù:

(58)

a) (0,3)3x - 2 = 1; b) 1 5¿

x

=25

¿

; c) 2x2

−3x+2

=4 ;

d) 71¿

x2−2x −3 =7x+1

¿

; e) 2x

−3 x

2

=1 ; f) (0,5)x + 7.(0,5)1 - 2x = 2.

Bài 2: Giải phương trình mũ:

a) 32x - 1 = 108; b) 2x + 1 + 2x - 1 + 2x = 28; c) 64x - 8x - 56 = 0; d) 2.16x - 17.4x + = 0; e) -lg3x + 2lg2x = - lgx; f) 3.4x - 2.6x = 9x. Bài 3: Giải phương trình lôgirt:

a) log3(5x + 3) = log3(7x + 5); b) log(x - 1) - log(2x - 11) = log2; c) log2(x - 5) + log2(x + 2) = 3; c) log(x2 - 6x + 7) = log(x - 3). 2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Giải phương trình sau: a) 5√x−51−√x

=−4 ; b) 8xx+2

=36 32− x ; c) 52x – + 5x + 1 = 250; d) 5−√24¿

x

=10

5+√24¿x+¿ ¿

. Bài 2: Giải phương trình sau:

a) 12 log(x2 + x - 5) = log5x + log 1

5x ; b)

1 2log(x

2

−4x −1) = log8x - log4x;

c) log√2x + 4log4x + log8x = 13; d) x −5¿

2

+log1

8=0

log2(x+2)+log4¿

.

Bài 3: Giải phương trình sau phương pháp đồ thị: a) 12¿ x

=x −1

2

¿

; b) 13¿ x

=−3

x

¿

. Bài 4: Giải phương trình: a) 4x + 5x = 9x; b) 5x + 12x = 13x.

Bài 5: Giải phương trình sau:

a) 9x + 2(x - 2).3x + 2x - = 0; b) x.2x = x(3 - x) + 2(2x - 1).

(59)

-§6 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT I - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ:

1) Bất phương trình mũ bản: Bất phương trình mũ có dạng ax > b (hoặc ax  b, ax < b, ax  b) với a > 0, a  1.

 Nếu b  ta có ax >  b với x  R nên tập nghiệm bất phương trình T = R.  Nếu b > ta có ax > b  ax > alogab Ví dụ:

* Khi a > 1 ax >

alogab  x > logab 3x > 

* Khi 0 < a < 1 ax > alogab  x < logab

1 2¿

x

¿

> 321 

2) Bất phương trình mũ đơn giản: Ví dụ: Giải bất phương trình sau:

a) 3x2− x < 9; b) 4x - 2.52x < 10x.

Giaûi:

II- BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT:

1) Bất phương trình lơgarit bản: Bất phương trình lơgarit có dạng logax > b (hoặc logax  b, logax < b, logax  b) với a > 0, a  1. Ví dụ:

 Khi a > 1 ta coù logax > b  x > ab log2x > 

 Khi 0 < a < 1 ta coù logax > b  < x < ab log1

2

x>3⇔ 2) Bất phương trình lôgarit đơn giản:

Ví dụ: Giải bất phương trình sau:

a) log0,5(5x + 10) < log0,5(x2 + 6x + 8); b) log2(x - 3) + log2(x - 2)  1. Giaûi:

(60)



Ghi chuù:

(61)

-1 Bài tập bản:

Bài 1: Giải bất phương trình muõ:

a) 2− x2+3x < 4; b) 7

9¿ 2x2−3x

¿

 79 ; c) 3x+2

+3x −1  28;

d) 2x2+3x −4

>4x −1 ; e) 4x - 3.2x + > 0; f) 9x - 5.3x + < 0. Bài 2: Giải bất phương trình lôgarit:

a) log8(4 - 2x)  2; b) log1

(3x −5)>log1

(x+1) ; c)

log0,5(4x+11)<log0,5(x2+6x+8) ;

d) log32x −5 log3x+6  0; e) log0,2x −log5(x −2)<log0,23 ; f) log2(x −2)−2>6 log1

√3x −5 . 2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Giải bất phương trình sau:

a)

2 5¿

x

2 5¿√

2− x

>¿ ¿

; b) (0,4)x - (2,5)x + 1> 1,5; c) 4x

4x−3x<4 .

Bài 2: Giải bất phương trình sau phương pháp đồ thị: a) 13¿

x ≤ x+4

¿

; b) log3x > - x.

(62)

(63)

-* ÔÂN TẬP CHƯƠNG II -* I LÍ THUYẾT:

1) Nêu tính chất thức?

n

√a.√nb=¿

n √a n

√b=¿ n

√a¿m=¿ ¿

n

√an

={ n leû

khinchaün

n

√k

√a=¿

2) Nêu tính chất luỹ thừa?

Cho a, b  R* vaø ,   R Ta có:

a) Các tính chất biểu thị đẳng thức:

a.a = a

α

aβ = (a) =

(ab) =

a b¿

α

=¿ ¿

b) Các tính chất biểu thị bất đẳng thức:

i) Nếu a > a > a  ii) Neáu a < a > a 

3) Nêu định nghĩa lơgarit, tính chất phép tốn lơgarit?

 Định nghóa lôgarit: logab =  

 Tính chất: Cho a, b > 0, a  Ta coù:

loga1 = logaa = alogab

=¿ loga(a) =

 Các phép toán: Cho số dương a, b1, b2, c, a  1, c  1,  ta có: loga(b1.b2) = loga

b1 b2

=¿

logab = log

a n

√b=¿

logaαb=¿ (  0)

logcb logca =

 logca.logab = 1

logba= (b ≠1)  logab.logba = 4) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x, y = 1

2¿

x

¿

, y = log2x vaø y = log1

2

x nêu tính chất chúng?

(64)

5) Nêu đạo hàm hàm số lũy thừa, mũ lôgarit?

Hàm số sơ cấp Hàm hợp (u = u(x)) Hàm số sơ cấp Hàm hợp (u = u(x))

(x)' =

(1

x)'=¿ (√x)'=

(u)' =

(1

u)'=¿ (√u)'=¿

(ex)' =

(ax)' =

(eu)' =

(au)' =

(lnx)'=¿

(logax)'=¿

(lnu)'=¿

(logau)'=¿

II CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP: 1) Tính giá trị (rút gọn) biểu thức:

Ví dụ 1: Tính 3log1 27

2

=

Ví dụ 2:

a) logab = 3, logac = -2 Tính loga(a3b2

√c ) =

b) Cho 4x + 4-x = 23 Tính 2x + 2-x

2) So sánh hai lôgarit:

Ví dụ: So sánh số sau:

a) log35 vaø log74; b) log0,32 vaø log53.

Giaûi:

(65)

3) Tìm tập xác định:

Ví dụ: Tìm tập xác định hàm số sau: a) y = 1

3x−3 ; b) y = log x −1

2x −3 ; c) y = log√x2− x −12 ; d) y = √25x−5x .

Giaûi:

4) Đạo hàm hàm số mũ lơgarit: Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số sau:

a) (2xex + 3sin2x)' =

b) (5x2 - lnx + 8cosx)' = 5) Giải phương trình mũ lôgarit:

Ví dụ: Giải phương trình sau: a) 22x2

−7x+5

=1 ; b) 25x - 6.5x + = 0.

c) 4.9x + 12x - 3.16x = 0; d) 3x + 4 + 3.5x + 3 = 5x+ + 3x+ 3; e) log7(x - 1)log7x = log7x; f) 4−1lgx+ 2

2+lgx=1 . Giaûi:

(66)

6) Giải bất phương trình mũ lôgarit: Ví dụ: Giải bất phương trình sau:

(67)

a) 22x - 1 + 22x - 2 + 22x - 3  448; b) (0,4)x - (2,5)x + 1 > 1,5; c) log3[log1

2

(x2−1)]<1 ; d) log

0,2

2 x −5 log

0,2x<−6 .

Giaûi:



Ghi chuù:

(68)

(69)

-CHƯƠNG III NGUYÊN HAØM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG oOo

1) Đạo hàm hàm số sơ cấp:

Đạo hàm số sơ cấp bản Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (C)' = 0

(x)' = x-1(  R, x > 0)

(√x)'= 1

2√x (x > 0) (1

x)'=−

1

x2 (x  0)

(u)' = u-1.u'(  R, u > 0)

(√u)'= u '

2√u (u > 0) (1

u)'=− u '

u2 (u  0)

(sinx)' = cosx (cosx)' = -sinx (tanx)' = 1

cos2x (x  π

2+kπ , k  Z)

(cotx)' = - 1

sin2x (x  k, k  Z).

(sinu)' = cosu.u' (cosu)' = -sinu.u' (tanu)' = u '

cos2u (u  π

2+kπ , k  Z)

(cotu)' = - u '

sin2u (u  k, k  Z). (ex)' = ex

(ax)' = ax.lna

(eu)' = u'.eu (au)' = u'.au (lnx)'=1

x (x ≠ 0) (logax)' = 1

xlna (x ≠ 0)

(lnu)'=u '

u (u ≠ 0) (logau)' = u '

ulna (u ≠ 0) 2) Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác định (a; b) có đạo hàm x  (a; b)

dy = f'(x)dx 3) Một số công thức lượng giác thường sử dụng:

 tanx = sincosxx  cotx = cossinxx  tanx.cotx = 1

 sin2a = 2sinacosa  cos2a=1+cos 22 a  sin2a=1−cos22 a  1

cos2x=1+tan

x  1

sin2x=1+cot

x  cosacosb = 1

2 [cos(a + b) + cos(a - b)]

 sinasinb = - 12 [cos(a + b) - cos(a - b)]  sinacosb = 12 [sin(a + b) + sin(a - b)]



Ghi chuù:

(70)

§1 NGUYÊN HÀM I- NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

Nguyên hàm:

Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng R.

Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K nếu F'(x) = f(x) với x  K.

* Chú ý:

1) Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K F(x) + C, C  R họ tất nguyên hàm f(x) K Kí hiệu f(x)dx = F(x) + C.

2) Trong kí hiệu f(x)dx "d " gắn với biến tương ứng hàm f Ví dụ: 1sds , cos tdt

,

3) Biểu thức f(x)dx vi phân nguyên hàm F(x) f(x), dF(x) = F'(x)dx = f(x). Các tính chất nguyên hàm:

Tính chất 1: f '(x)dx=f(x)+C

Ví dụ: Với x  (0; +), 1xdx=(lnx)'dx = lnx. Tính chất 2: kf(x)dx=kf(x)dx

(k số khác 0)

Tính chất 3: [f(x)± g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx

Ví dụ: Tìm ngun hàm hàm số f(x) = cosx + 2x khoảng (0; +).

f(x)dx=¿

¿

Sự tồn nguyên hàm:

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K. Ví dụ: Hàm số f(x) = x32 có nguyên hàm (0; +) x 3dx

=3

5x

3 + C.

Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp:

0 dx=C

dx=x+C

xαdx

=x

α+1

α+1+C(α ≠−1)

dxx =lnx+C(x ≠0)

exdx=ex+C

axdx

= a

x

lna+C(0<a ≠1)

cos xdx=sinx+C

sin xdx=−cosx+C

dx

cos2x=tgx+C

dx

sin2x=−cot gx+C Ví dụ 1:

a)  x

3

+2x −1

x2 dx =

b) 2

s

+3s¿2ds ¿

¿

=

(71)

c) tan2tdt =

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số y = f(x) = x2 + 2x - 1, biết F(1) = 0. Giải:

II- PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUN HÀM Phương pháp đổi biến số:

Định lí: Nếu f(u)du=F(u)+C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục

f[u(x)]u '(x)dx=F[u(x)]+C Ví dụ 1: Tìm lnxx dx

Giải:

Ví dụ 2: Tìm sin2x cos xdx Giải:

Ví dụ 3: Tìm 3 x

√x2+1

dx

Giaûi:

Ví dụ 4: Tìm dxx2

−4

(72)

Heä quả: Nếu f(x)dx=F(x)+C f(ax+b)dx=1

aF(ax+b)+C

Ví dụ 1: Ta có x2dx=x

3

3 +C neân

2x+1¿3 ¿ ¿ 2x+1¿2dx=1

2¿ ¿

¿

+ C

Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau:

cos(2x+1)dx =

sin(1−4x)dx

=

3x −1 1dx =

e− xdx =

√1− xdx =

2

2xdx =

Ví dụ 3: Tính x2−x5+1x

+6dx Giaûi:

Phương pháp tính nguyên hàm phần:

Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K

u(x)v '(x)dx=u(x).v(x)−u '(x)v(x)dx

* Chú ý: Ta có v'(x)dx = dv, u'(x)dx = du nên udv=uv−vdu Phương pháp: Tính u(x)v '(x)dx

Đặt udv== dx⇒du⇒=v dx= . Khi ta có u(x)v '(x)dx = uv−vdu .

Ví dụ: Tính

Tài liệu lưu hành nội

-Lấy vi phân: lấy đạo hàm nhân thêm d biến tương ứng

vi phân hai vế

(73)

a) xexdx ; b)

xcosxdx ; c) ln xdx .

Giaûi:



Ghi chuù:

Bài 1: Tìm nguyên hàm sau: a) sin2x

2dx ; b)

1+2x¿3dx ¿

¿

; c)  1

√3x+1dx ; d)  x3

(74)

a) f(x) = x+√3 x+1

√x ; b) f(x) =

2x−1

ex ; c) f(x) =

1

sin2x cos2x ;

d) f(x) = sin5x.cos3x; e) f(x) = tan2x; f) f(x) = 1

(1+x)(1−2x) . Bài 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính:

a) 1− x¿

9 dx ¿

¿

(đặt t = - x); b) 1+x

2 ¿

3 2dx

x¿

¿

(đặt t = + x2);

c) cos3xsin xdx (đặt t = cosx); d) dxex

+e− x+2 (đặt t = e x + 1). Bài 4: Tìm:

a) e2x

¿ ¿

¿

; b) sin2xcos xdx ; c)  x+1

x2+2x+2dx . Bài 5: Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm phần, tính:

a) (1− x)cosxdx ; b) xsin2 xdx ; c) xln(1+x)dx ; d)

(x2+2x −1)exdx ;

e) xsin(2x+1)dx ; g) (1+x)e3xdx ; h) xln(1+2x)dx . Bài 6: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số sau:

a) f(x) = 3x2−1 x+4 e

x

biết F(0) = 1; b) f(x) = sin2x.cos3x + 3tan2x biết F() = 0.

Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau:

a) y = (2tanx + cotx)2; b) y = cos2x

2 ; c) y = sinx √2cosx −1 .

Baøi 2: Tìm:

a) 2x√x2+1 dx ; b) 3x2√x3+1dx ; c)

3x2+9¿4 ¿ ¿

x

¿

¿

; d)  2x+4

x2+4x −5dx ;

e)  e

tanx

cos2x dx ; f) 

e− x

1+e− x dx ; g) 

1

xlnxdx ; h)

2 xex2

+4dx .

Bài 3: Tìm:

a) x2exdx ; b)

3x2cos

(2x)dx ; c)

x3ln

(2x)dx ; d) x2cos

(3x)dx ; e) √xln xdx ; f) xsinx

3dx

.

Bài 5: Tìm hàm số y = f(x), biết rằng

a) f'(x) = x - 1x + vaø f(1) = 2; b) f'(x) = 3(x + 2)2 f(0) = 8.

(75)

-

(76)

§2 TÍCH PHÂN I- KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN:

Diện tích hình thang cong:

Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b gọi hình thang cong.

b a

O

y = f(x)

x y

B

A

Diện tích hình thang cong aABb: S = F(b) - F(a), trong đó F(x) nguyên hàm hàm số y = f(x).

Với hình phẳng D giới hạn đường cong kín ta chia nhỏ thành những hình thang cong cách kẻ đường song song với trục tọa độ.

Định nghóa tích phân:

Cho y = f(x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số F(b) - F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu 

a b

f(x)dx Dùng kí hiệu F(x)¿ab để hiệu số F(b) - F(a), ta có:

) ( ) ( ) ( )

(x dx F x F b F a

f ba

b

a

  



(NewTon - Lebniz)

Ví dụ: Tính tích phân sau:

a) 

0

x2dx

=¿

b) 

1

e

dx

x = * Chú ý: i) Ta quy ước 

a a

f(x)dx=0 (a = b), 

a b

f(x)dx=−

b a

f(x)dx (a > b).

ii) Tích phân hàm số f từ a đến b không phụ thuộc vào biến số, phụ thuộc vào hàm số cận a, b nên ta kí hiệu 

a b

f(x)dx 

a b

f(t)dt .

iii) Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a; b], tích phân 

a b

f(x)dx diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số f(x), trục Ox và

hai đường thẳng x = a, x = b Vậy S = 

a b

f(x)dx . II- TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN:

(77)

* Tính chất 1:    b a b a dx x f k dx x

kf( ) ( )

(k số)

* Tính chất 2:     

b a b a b a dx x g dx x f dx x g x

f( ) ( ) ( ) ( ) .

Ví dụ: Tính tích phân sau:



0

(x2−3x)dx =

* Tính chất 3:   

  b a c a b c dx x f dx x f dx x

f( ) ( ) ( )

(a < c < b) Ví dụ: Tính tích phân sau:

a) I = 

−2

x −1dx ; b) J = 

0 2π

√1−cos 2xdx . Giaûi:

III- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: Phương pháp đổi biến số:

Định lí: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn a;b Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn ; cho ()a,() = b a(t)b, t;ta có: 

b a dt t t f dx x f    ( )) '( ) . ( ) ( a) Đổi biến số dạng 1: Tính I = 

a b

f(x)dx cách đặt x = (t)

Ví dụ: Tính tích phân 

0

1 1+x2dx

(78)

Giaûi:

b) Đổi biến số dạng 2: Tính I =  a b

f(x)dx cách đặt t = (x) Đặt t = (x)  dt = '(x)dx

Đổi cận: x = a  t1 = (a) x = b  t2 = (b)

Biến đổi f(x)dx = C.f[(x)].'(x)dx (với C số) Khi ta có: I = 

a b

f(x)dx=

t1

t2

C.f[ϕ(x)].ϕ'(x)dx=

t1

t2

C.f (t)dt Ví dụ: Tính tích phân sau:

a) 

0

π

2

sin2xcos xdx ; b) 

−1

x√x2+1 dx ; c)

x −1¿2010

x¿



0

¿

dx.

Giaûi:

Phương pháp tính tích phân phần:

Định lí: Nếu u = u(x) v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn a;b :

(79)

-    b a b a b

a u x v x dx

x v x u dx x v x

u( ) '( ) ( ( ) ( )) '( ) ( )

hay 

  b a b a b a vdu uv udv .

* Chú ý: Tính I = 

a b

u(x)v '(x)dx Đặt u= ⇒du= dx

dv= dx⇒v= . , đó: I = (uv)∨ b a−a

b

vdu .

Ví dụ 1: Tính tích phân: a) I = 

1

lnx

x5 dx ; b) J = 

0

π

2

xcos xdx ; c) K = 

0

xexdx ; d) L =



0

π

2

exsin xdx . Giaûi:

vi phân hai vế

(80)

Ví dụ 2: Tính tích phaân I =

1− x¿5dx

x¿



0

¿

hai phương pháp đổi biến tích phân phần.

Giaûi:



Ghi chuù:

Bài 1: Tính tích phân sau:

a) 

1

x2−2x

x3 dx ; b)

x+1¿2dx

x¿



0

¿

; c)

1+3x¿ 2dx ¿



0

¿

;

(81)

-d)

1− x¿2 ¿ ¿ √¿  −1 2 ¿

; e) 

0

x3−1

x2−1dx ; f) 0

ln

e2x+1

+1 ex dx ;

g) 

−1

2

(x −2)(x+3)dx ; h) 1 2

1

x(x+1)dx ; i) 

−1

dx

x2−3x+2 . Bài 2: Tính tích phaân sau:

a) 

0

π

2

sin(π

4− x)dx ; b) −π

2

π

2

sin 3xcos 5xdx ; c) 

−π

2

π

2

sin 2x sin xdx ;

d) 

0

π

2

sin2xdx .

Bài 3: Tính tích phân sau: a) 

0

1− xdx ; b) 

1

√x2+2x+1 dx ; c) 

0

x2− x −2dx ; d)



0

x2−3x+2dx .

Bài 4: Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính: a) 

1

√x+2dx ; b) 

0

x3√1− xdx ; c) 

0

ex22 xdx ; d) 

0

π

sin 2xcos2xdx ;

e)

1+x¿ ¿ ¿ x2 ¿  ¿

; f) 

0

ex

(1+x)

1+xex dx ; g) 0

1

√1− x2dx .

Bài 5: Sử dụng phương pháp tích phân phần, tính: a) 

0

π

2

(x+1)sin xdx ; b) 

1

e

x2ln xdx ; c) 

0

ln(1+x)dx ; d)



0

(x2−2x −1)e− xdx . 2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tính tích phân sau:

a) x −2

x+3¿

2 dx ¿  −2 ¿

; b) 

−4

(x+3−x −4)dx ; c) 

1

x√31− xdx ;

d) 

−1

2x+1

√x2+x+1dx ; e) 

0

π

2 cosx

1+4 sinxdx

; f) 

1

x9 x10

(82)

Baøi 2: Tính tích phân sau: a) 

0

dx

√4− x2 ; b) √3

dx

x2

+3 ; c) −1

dx

x2+2x+2 ; d) 

0

a

2 1

√a2− x2dx(a>0) .

Bài 3: Tính tích phân sau: a) 

0

π

2

(x2−2x+3)sin xdx ; b) 

1

e

x2ln2xdx ; c) 

0

(x2+1)e2xdx ; d) 

1

xcos xdx .

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BAØI

(83)

-§2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I- TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:

Hình phẳng giới hạn giới hạn đường cong trục hoành: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị của

hàm số f(x) liên tục, trục hoành (y = 0) hai đường thẳng x = a, x = b tính theo cơng thức:

S=

a b

f(x)dx

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3, trục hoành hai đường thẳng x = -1, x = 2.

Giaûi:

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

Hình phẳng giới hạn hai đường cong: Cho hai hàm số y = f1(x) y = f2(x) liên tục trên đoạn [a; b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số đường thẳng x = a, x = b. Khi diện tích hình phẳng D là:

S=

a b

f1(x)− f2(x)dx

* Chú ý: Nếu phương trình hồnh độ giao điểm f1(x) = f2(x) có hai nghiệm x1, x2  (a; b) với (x1

< x2)

f1(x)−f2(x)dx=¿

a x1

[f1(x)− f2(x)]dx



a x1

¿

Khi đó:

S=

a b

f1(x)− f2(x)dx=

a x1

[f1(x)− f2(x)]dx+

x1

x2

[f1(x)− f2(x)]dx+

x2

b

[f1(x)− f2(x)]dx Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = x2 - 3x + y = x + 1. Giải:

y

x

O a b

y

y=f1(x)

y=f2(x) x

O

(84)

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x3 - x, y = x - x2, x = -1, x = 2. Giải:

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = sinx, y = cosx, x = 0, x = . Giải:

II- TÍNH THỂ TÍCH: Thể tích vật thể:

Cắt vật thể (T) hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc trục Ox x = a, x = b Một mặt phẳng tùy ý vng góc với Ox x  [a; b] cắt (T) theo thiết diện có diện tích S(x) Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b] Khi thể tích vật thể (T) là:

V = 

a b

S(x)dx Theå tích khối chóp cụt:

Cho khối chóp cụt tạo khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy B, B' có chiều cao bằng h Khi thể tích khối chóp cụt V = 3h(B+√BB'+B ') .

III- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY:

Tài liệu lưu hành nội

-y = cos(x) y = sin(x)

 

4 O

(85)

Hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay.

Thể tích khối tròn xoay là: f(x)¿2dx

¿

V=π

a b

¿

Ví dụ 1: Cho hình phẳng giới hạn đường cong y = cosx, trục hoành hai đường thẳng x = 0, x = . Tính thể tích khối trịn xoay thu quay hình xung quanh trục Ox.

Giaûi:

Ví dụ 2: Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y = -x2 - 2x + 3, y = quay quanh trục Ox.

Giaûi:



Ghi chuù:

y

=

f ( x )

y = cos(x)



O

x y

2

O x

(86)

1 Bài tập bản:

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol y = - x2, y = đường thẳng y = -x. Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:

a) x = -1, x = 3, y = 0, y = x4 + 2x2 + 3; b) y = x2 - 2, y = -3x + 2;

c) y = x2 - 12x + 36, y = 6x - x2.

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:

a) y = x2, y = x + 2; b) y = lnx, y = 1; c) y = (x - 6)2, y = 6x - x2.

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x2 + 1, tiếp tuyến với đường điểm M(2; 5) trục Oy.

Bài 5: Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn trục hồnh parabol y = x(4 - x) quay quanh trục hoành.

Bài 6: Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) y = -x2 + 1, y = 0; b) y = sin x

2 , y = 0, x = 0, x =

π

4 ; c) y = lnx, y = 0, x = e.

Bài 7: Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) y = - x2, y = 0; b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = π

4 ; c) y = tanx, y = 0, x = 0, x =

π

4 .

2 Bài tập nâng cao: Baøi 1: Parapol y = x2

2 chia hình trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính 2 √2 thành hai phần Tìm tỉ số

diện tích chúng.

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x2, x - y + = 0, y = 0.

Bài 3: Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng xác định y = 2x - x2, y = x, quanh trục Ox

(87)

-* ÔÂN TẬP CHƯƠNG III -*

(88)

Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau:

a) f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x); b) f(x) = sin4xcos22x; c) f(x) = 1

1− x2 ; d) f(x) = (e

x - 1)3. Bài 2: Tính

a) (2− x)sin xdx ; b)

x+1¿2 ¿ ¿ ¿

¿

; c) e

3x

+1 ex+1 dx ;

d)

sinx+cosx¿2 ¿ ¿

1

¿

¿

; e)  1

√1+x+√xdx ; f) 

1

(1+x)(2− x)dx .

Bài 3: Tính: a) 

0

x

√1+xdx ; b) 1

64 1+√x

3

√x dx ; c) 0

2

x2e3xdx ; d)



0

π

√1+sin 2xdx . Bài 4: Tính:

a) 

0

π

2

cos2xsin2xdx ; b) 

−1

2x−2− xdx ; c)



1

(x+1)(x+2)(x+3)

x2 dx ;

d) 

0

1

x2−2x −3dx ; e)

sinx+cosx¿2dx ¿  π ¿ ; f)

x+sinx¿2dx ¿  π ¿ .

Bài 1: Xét hình phẳng D giới hạn y = 2 √1− x2 y = 2(1 - x). a) Tính diện tích hình D;

b) Quay hình D xung quanh trục Ox Tính thể tích khối tròn xoay thành.

Bài 2: Tính thể tích hình trịn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường (C): y = x2 + 1, trục tung tiếp tuyến (C) điểm (1; 2) quay quanh trục Ox.

(89)

-

(90)

CHƯƠNG IV SỐ PHỨC oOo

§1 SỐ PHỨC 1 Số i:

Phương trình x2 + = có nghiệm số kí hiệu "i" với i2 = -1 2 Định nghĩa số phức:

 Mỗi biểu thức dạng a + bi, a, b  R, i2

= -1 gọi số phức.  Đối với số phức z = a + bi, ta nói alà phần thực, blà phần ảo z.

 Tập hợp số phức kí hiệu C (Complex) * Chú ý:

 Số thực a = a + 0i Mỗi số thực a số phức R  C.  Số ảo: bi = + bi

 i = + 1i (số i gọi đơn vị ảo)

 Số phức + (-3)i viết - 3i, số phức + √3 i cịn viết + i √3 . 3 Số phức nhau:

Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng nhau. a + bi = c + di  a = c b = d

Ví dụ: Tìm x, y để hai số phức z = (2x+1) + (3y-2)i, z’ = (x – 2) +(4y -3)i nhau. Giải:

4 Biểu diễn hình học số phức:

Điểm M(a; b) hệ tọa độ vng góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số phức z = a + bi.

Ví dụ 1: Biểu diễn hình học số phức: + 2i, 2 - i, -2 - 3i, 3i, 4.

Giaûi:

Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện phần ảo bằng -5 phần thực thuộc khoảng (-4; 4).

Giaûi:

y

x O 1 2 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4

-5

-6 -5 -4 -3 -2 -1

5 4 3 2 1

5 Mơđun số phức:

Tài liệu lưu hành noäi boä

(91)

Giả sử số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng tọa độ Độ dài vectơ ⃗OM

được gọi mơđun số phức z kí hiệu z .Vậy:

z=a+bi=⃗OM = √a2+b2

M b

a x y

O

6 Số phức liên hợp:

Cho số phức z = a + bi Ta gọi a - bi số phức liên hợp z và kí hiệu là ¯z = a - bi.

Ví dụ:

Số phức liên hợp z = -3 + 2i là:

Số phức liên hợp z = - 3i là:

* Chú ý: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn z và

¯z đối xứng qua trục Ox, ¯¯z=z ,¯z=z z = a - bi z = a + bi

-b M'

M b

a x y

O



Ghi chuù:

(92)

Bài 1: Tìm phần thực phần ảo số phức z, biết:

a) z = - i; b) z = √2 - i; c) z = 2√2 ; d) z =

-7i.

Bài 2: Tìm số thực x y, biết:

a) (3x - 2) + (2y + 1)i = (x + 1) - (y - 5)i; b) (1 - 2x) - i√3 = √5 + (1 - 3y)i; c) (2x + y) + (2y - x)i = (x - 2y + 3) + (y + 2x + 1)i.

Bài 3: Tính z với:

a) z = -2 + i √3 ; b) z = √2 - 3i; c) z = -5; d) z = i √3 .

Bài 4: Tìm ¯z , biết:

a) z = - i√2 ; b) z = - √2 + i√3 ; c) z = 5; d) z = 7i.

Bài 5: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:

a) Phần thực z -2; b) Phần ảo z 3;

c) Phần thực z thuộc khoảng (-1; 2); d) Phần ảo z thuộc đoạn [1; 3]; e) Phần thực phần ảo z thuộc đoạn [-2; 2].

2 Baøi tập nâng cao:

a) z = 1; b) z  1; c) < z  2; d) z = phần ảo z

baèng 1.

Bài 2: Trên mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng thức z 3. Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa z i 2.

(93)

§2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC 1 Phép cộng phép trừ hai số phức:

Phép cộng phép trừ số phức thực theo quy tắc cộng, trừ đa thức.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i. Ví dụ: Cho số phức z1 = + 5i; z2 = -2i Tính z1 + z2, z1- z2.

Giaûi:

2 Phép nhân hai số phức:

Phép nhân hai số phức thực theo quy tắc nhân đa thức thay i2 = -1 kết nhận

được.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad +bc)i.

* Chú ý: Phép cộng phép nhân số phức có tất tính chất phép cộng phép nhân số thực.

Ví dụ: Cho số phức z = - 2i, z1 = -2 + 3i Thực phép tính:

a) z.z1; b) z2; c) z3 - 3z1.

Giaûi:



Ghi chuù:

(94)

Bài 1: Thực phép tính sau:

a) (2 - 3i) + (-4 + i); b) 4i - (-7 + 3i); c) (2 - 3i)(5 + 7i);

d) (3 - 5i) + (2 + 4i); e) (-2 - 3i) + (-1 - 7i); f) (4 + 3i) - (5 - 7i). Bài 2: Tính  + ,  -  với:

a)  = 3,  = 2i; b)  = 5i,  = -7i;

c)  = 1- 2i,  = 6i; d)  = 15,  = - 2i.

a) (3 - 2i)(2 - 3i); b) (-1 + i)(3 + 7i);

c) 5(4 + 3i); d) (-2 - 5i).4i.

Bài 4: Tính:

a) (2 + 3i)2; b) (2 + 3i)3; c) (1 - 3i)3.

Bài 5: Tính i3, i4, i5 Nêu cách tính in với n số tự nhiên tùy ý. 2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tính giá trị biểu thức Q = (2 + √5 i)2 + (2 -

√5 i)2. Bài 2: Tìm phần thực phần ảo số phức sau:

a) z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i); b) z = i(2 – i)(3 + i); c) z = (5 + 2i) + (3 – i) + (1 + 2i); d) z = (1 + i)2 – (1 – i)2; e) z = 2i12i13; f) z = (2 + i)3 – (3 – i)3

CAÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

(95)

§3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC 1 Tổng tích hai số phức liên hợp:

Cho số phức z = a + bi z+z = 2a z.z = a2+b2=z2 .

 Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số phức đó.  Tích số phức với số phức liên hợp bình phương mơđun số phức đó. 2 Phép chia hai số phức:

Cho số phức c + di a + bi Ta có z=a+bi c+di=

ac+bd c2

+d2 +

ad−bc

c2

+d2 i . * Chú ý: Để tính ca+di

+bi , ta nhân tử mẫu với số phức liên hợp mẫu (a + bi). Ví dụ 1: Thực phép chia sau:

a) 21−+3ii ; b) 6+53i i .

Giaûi:

Ví dụ 2: Giải phương trình (1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z. Giaûi:



Ghi chuù:

(96)

Bài 1: Thực phép chia:

a) 32−+2ii ; b) 1+i√2

2+i√3 ; c)

5i

2−3i ; d)

5−2i

i .

Bài 2: Tìm nghịch đảo 1z của số phức z, biết:

a) z = + 2i; b) z = √2 - 3i; c) z = i; d) z = +

i√3 .

a) 2i(3 + i)(2 + 4i); b)

2i¿3 ¿ 1+i¿2¿

¿ ¿

;

c) + 2i + (6 + i)(5 + i); d) - 3i + 53+4i

+6i . Bài 4: Giải phương trình sau:

a) (3 - 2i)z + (4 + 5i) = + 3i; b) 4−z3i+(2−3i)=5−2i . 2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tìm phần thực phần ảo số phức sau : a) z=3−i −4+2i

i ; b) z = - 2i - (3 - 2i)2; c) z =

7− i

2− i + - 4i; d) z = 71++3ii−−1+5i

3−2i ; e) √

3−i

1+i −

√2−i

i ;

Bài 2: Cho z 2 3i Tìm phần thực, phần ảo modun số phức ¯z+7i z+5 . Bài 3: Giải phương trình 12−i+i z=−1+3i

2+i

CAÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

(97)

§4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 1 Căn bậc hai số thực âm:

Số thực a (a < 0) có hai bậc hai  i √a . Ví dụ: số -2 có hai bậc hai  i √2

2 Phương trình bậc hai với hệ số thực:

Giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (*) (a, b, c  R, a  0) Tính:  = b2 - 4ac (' = b'2 - ac)

Nếu  > (*) có 2 nghiệm thực x1,2 = − b ±2a√Δ . Nếu  = (*) có 1 nghiệm thực x = − b

2a .

Nếu  < (*) có nghiệm phức x1,2 = − b ±i√Δ

2a .

* Chú ý: Mọi phương trình bậc n (n  1) có n nghiệm phức (khơng thiết phân biệt). Ví dụ 1: Giải phương trình x2 - x + = tập số phức.

Giaûi:

Ví dụ 2: Giải phương trình z4 + z2 - = tập số phức. Giải:

3 Định lí Viète đối phương trình bậc hai nghiệm phức:

a) Cho z1, z2 hai nghiệm phức phương trình az2 + bz + c = (a, b, c  R, a  0) Hãy tính z1 + z2 và z1.z2 theo a, b, c.

b) Cho z = a + bi số phức Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z ¯z làm

nghieäm.

c) Cho hai số phức z1, z2 Biết z1 + z2 z1.z2 hai số thực Chứng tỏ z1, z2 hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

Giaûi:

(98)



Ghi chuù:

Bài 1: Tìm bậc hai phức số sau: -7; -8; -12; -20; -121. Bài 2: Giải phương trình sau tập số phức:

a) -3z2 + 2z - = 0; b) 7z2 + 3z + = 0; c) 5z2 - 7z + 11 = 0. Bài 3: Giải phương trình sau tập số phức:

a) x2 + x + = 0; b) 3x2 - x + = 0; c) 3x2

√2−2x√3+√2=0

Bài 4: Giải phương trình sau tập số phức:

a) z4 + z2 - = 0; b) z4 + 7z2 + 10 = 0.

Bài 5: Cho phương trình: x2 - 3x + = Gọi z z' nghiệm phương trình cho Hãy tính giá trị của biểu thức sau:

a) z + z'; b) z2z' + zz'2.

Bài 1: Giải phương trình sau C:

a) x2−√3 x+1=0 ; b) 3√2 x2−2√3.x+√2=0 ; c)

2

3x 2 2 x 3 2 0 .

a)z3 8 0 ; b)x380; c) z3 – = 0; d)z32z210z0.

(99)

(100)

Bài 1: Số phức thỏa mãn điều kiện có điểm biểu diễn phần gạch chéo hình sau đây?

c) b)

a)

x 2 1 0 -1 -2 x

y

-1 0 2 y y

x 1 0

a) Phần thực z 1; b) Phần ảo z -2;

c) Phần thực z thuộc [-1; 2], phần ảo thuộc [0; 1]; d) z  2. Bài 3: Tìm số thực x, y cho:

a) 3x + yi = 2y + + (2 - x)i; b) 2x + y - = (x + 2y - 5)i.

a) (3 + 2i)[(2 - i) + (3 - 2i)]; b) (4 - 3i) + 12+i +i ;

c) (1 + i)2 - (1 - i)2; d) 3+i

2+i−

4−3i

2−i .

a) (3 + 4i)z + (1 - 3i) = + 5i; b) (4 + 7i)z - (5 - 2i) = 6iz. Bài 6: Giải phương trình sau tập số phức:

a) 3z2 + 7z + = 0; b) z4 - = 0; c) z4 - = 0. Bài 7: Tìm hai số phức, biết tổng chúng tích chúng 4. 2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tìm số thực a, b để z=1+√3i nghiệm phương trình z4 + bz2 + c = 0. Bài 2: Tìm số phức z cho tích z(2 - 3i)(2 + i)(3 - 2i) số thực.

Bài 3: Tìm phần thực phần ảo số phức z = (1 - i)2009. Bài 4: Cho f(z) = z3 - 2z2 - 7z - Tính f(1 - 3i).

Bài 5: Cho f(z) = z3 - 2z2 - 7z - Chứng minh f(1 + i) + f(1 - i)  R. Bài 6: Tính z6 biết 3z -

¯z = -4 + 8i. Bài 7: Chứng minh z=−1

2+√ 3

2 i nghiệm phương trình z

3 = 1. Bài 8: Tìm nghiệm phức phương trình 9z4 - 24z3 - 2z2 - 24z + = 0.

Bài 9: a) Tìm số thực a, b để có phân tích 2z3 - 9z2 + 14z - = (2z - 1)(z2 + az + b) giải phương trình 2z3 - 9z2 + 14z - = C.

b) Tìm số thực a, b để có phân tích z4 - 4z2 - 16z - 16 = (z2 - 2z - 4)(z2 + az + b) giải phương trình z4 - 4z2 - 16z - 16 = C.

Baøi 10: Giải hệ phương trình sau: a) {zz1+z2=4+i

1

+z22=5−2i ; b) {

z1z2=−5−5i z12

+z22=−5+2i ; c) {

2z1−(2−i)z2=4−6i 4z1−2 iz2=16−4i .

Định dạng
Số trang	100
Dung lượng	566,49 KB