Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Gọi K là hình chiếu của H trên AB... 1) Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
HÀ NỘI Năm học: 2012 – 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm)
1) Cho biểu thức
4 x A
x
Tính giá trị biểu thức A x = 36.
2) Rút gọn biểu thức
4 16
:
4
x x
B
x x x
(với x 0, x16).
3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị ngun x để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên
Bài II (2,0 điểm) Giái tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Hai người làm chung cơng việc
12
5 xong Nếu người làm thời gian để người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm để xong công việc?
Bài III (1,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình
2
1 x y
x y
2) Cho phương trình : x2 (4m1)x3m2 2m0 (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện
2 2
x x
Bài IV (3,5 điểm) Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB
1) Chứng minh tứ giác CBKH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minhACM ACK
3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C
4) Gọi d tiếp tuyến đường tròn (O) điểm A Cho P điểm nằm d
sao cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB AP MB
R MA . Chứng minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK
Bài V (0,5 điểm) Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x 2y, tìm giá trị nhỏ của biểu thức M =
2
x y xy
(2)HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Câu 1:
1) ĐKXĐ biểu thức A : x0 Với x=36 ta có: A =
36 10 36
2) B=
4 4 2 4 4 16 2
16 16 16
4
x x x x x x x x
x x x
x x
B =
16 2
16 16 16
x x x
x x x
3) B(A-1) =
2 4 2
16 16 16
x x x x x x
x x x x x x
B(A-1) =
16 Z
x Vì x số nguyên nên (x-16) Ư(2) ={1,-1,2,-2} Suy số nguyên x cần tìm : {17,15,18,14}
Câu 2:
Gọi thời gian để người thứ làm xong cơng việc x(h)
Do thời gian để người thứ làm xong cơng việc người thứ hai 2h nên thời gian để người thứ hai làm xong cơng việc : (x+2)h
ĐK: x>0 Suy ra:
Trong 1h người thứ làm xong
x cơng việc.
Trong 1h người thứ hai làm xong
2
x công việc.
Trong 1h hai người làm chung xong ( x+
1 )
x công việc.
Theo ra: Cả hai người làm chung 12
5 h xong cơng việc nên ta có PT:
2
12 1 1 2
1
5 2 12 12
x
x x x x x x
2
5x 14x 24
Giải PT nghiệm : x1=4 x2
=-6 5 (loại) Kết luận:
(3)Câu 3: 1)
2
2
6
1
x y x y
x y x y
Cộng hai PT hệ theo vế được: 10
5 x x
Thay x=2 vào PT đầu hệ cho được:
2
2 y y . KL: Hệ cho có nghiệm x=2;y=1
2) Ta có:
2 2 2
4m 3m 2m 4m
, với m (vì m2 0 với m nên 4m2+1 1 0 với m) Suy PT ln có nghiệm phân biệt với m.
* Theo Vi-et ta có:
1 2
4
x x m
x x m m
Suy ra: x12+x22 =7
21 2
1
2 3
5 m
x x x x m m
m
KL: m=1 m=-3
5 GT cần tìm. Câu 4:
a)
* Học sinh chứng minh : BCH 90 &0 BKH 900
Suy ra: BCH BKH 1800 Tứ giác CBKH nội tiếp đường tròn đk BH b)
* Ta có : ACM ABM (2 góc nt chắn cung AM)
Do Tứ giác CBKH nội tiếp đường trịn đường kính BH , suy ra:
ACK ABM ( góc nt chắn cung HK) Vậy: ACM ACK
c) Học sinh chứng minh được:
( ) &
ACM BCE c g c CM CE ACM BCE MCE ACB
.
A B
C M
H
K O
Q
(4)Do ACB900(góc nt chắn nửa đường trịn) nên MCE 900 ECM vuông cân C.
4) Vì (d) tiếp tuyến, AB đường kinh đường tròn (O), nên dAB A (bán kính vng góc với tiếp tuyến tiếp điểm) Suy ra: PAM ABM OBM BMO
Lại có: AP.MB=MA.R=MA.OM
~ ( )
AP MO
APM MOB c g c AMP MBO ABM
MA MB
= =
900
OMB PMO AMB PM tiếp tuyến đường tròn (O). * Gọi Q giao điểm tia BM (d)
- Chứng minh được: PA=PQ(=PM)
- HK//AQ nên Áp dụng định lí ta lét có:
IH IK
IH IK
PQ AP (I giao điểm BP HK)
Câu 5:
Cách 1: Do x, y dương x
2y x y
Đặt t = x
y Ta có:
M =
2 1 1 1 3
4
t t
t t
t t t
.
Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương ,
t
t Kết hợp với t2 ta có: M
1
2
4
t t
( Dấu = t=2)
Kết luận: M =
2 2 x y Cách 2: M =
2
x y
xy
với x, y số dương x 2y
Ta có 2
1 x(2y)
M 2(x y )
2 2 2
2 2
x 4y x y 3y
4(x y ) 4(x y )
(Bất đẳng thức Cauchy)
=
2
2 2
1 3y 3y
4 4(x y ) 4(4y y ) 20 5 (Thay mẫu số số nhỏ hơn).
Suy Max
1
M 5 x = 2y, giá trị nhỏ M =
2 đạt x = 2y.