BDT TS dai hoc

[r]

Bài 1: Cho ABC cã AD lµ phân giác góc A (D BC) sinBsinC  sin2 A

2 H·y chøng minh AD2 BD.CD

Bi 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = x+1

x2+1 đoạn [-1; 2]

Bi 3: Tìm giá trị lớn nhỏ hµm sè: y = x + √4− x2

Bài 4: Cho x, y, z lµ ba sè dơng x + y + z Chøng minh √x2+

x2+√y

+ y2+√z

2

+ z2≥√82

Bi 5: Tìm giá trị lớn giá trị nhá nhÊt cđa hµm sè: y = ln

2

x

x đoạn [1; e

3]

Bài 6: Cho x, y, z số dơng thoả mÃn:

1 1 1

4

x  y  z  Chøng minh r»ng:

1 1 1

1 2x y z   x2y z  x y 2z  Bài 7: Chøng minh r»ng víi mäi x thuéc R ta cã:

12 15 20

3 4 5

5 4 3

x x x

x x x

     

    

     

    

Bi 8:Cho số nguyên dơng x, y, z tho¶ m·n xyz = Chøng minh r»ng:

3 3 3

1 1 1

3 3

x y y z z x

xy yz zx

     

  

Khi đẳng thức xảy ra?

Bài 9: Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ thay đổi điều kiện: (x + y)xy = x2 + y2 - xy Tìm GTLN

cđa biĨu thøc A =

3

1 1

x  y

Bài 10: Cho x, y số thực thay đổi Tìm GTNN biẻu thức:

A=    

2 2 2

1 1 2

x  y  x y  y

Bài 11: Cho x, y, z số thực dơng thay đổi thoả mãn điều kiện: xyz = 1.Tìm GTNN biểu thức:

P=

     

2 2

2 2 2

x y z y z x z x y

y y z z z z x x x x y y

  

 

  

Bài 12: Cho x, y, z ba số thực dơng thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

P =

1 1 1

2 2 2

x y z

x y z

yz zx xy

     

     

   

 

   

Bài 13: Gọi x, y, z khoảng cách từ điểm M thuộc miền ABC có góc nhọn đến cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:

√x+√y+√z ≤√a

2

+b2+c2

2R ; a, b, c ba cạnh

ca , R bán kính đờng trịn ngoại tiếp Dấu "=" xảy nào?

Giả sử x, y hai số dơng thay đổi thoả mãn điều kiện x + y =

4 Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: S =

x+

1 4y

Bài 14: Gọi A, B, C ba góc ABC Chứng minh để ABC điều kiện cần đủ

cos2A

2+cos

2B

2+cos

2C

2−2= 4cos

A − B

2 cos

B −C

2 cos

C − A

2

Bài 15: Cho a ≥ b > Chøng minh r»ng:

1 1

2 2

2 2

b a

a b

a b

   

  

   

   

Bài 15:

Giả sử a, b, c, d bốn số nguyên thay đổi thoả mãn  a < b < c < d  50 Chứng minh bất đẳng thức: a

b+ c d

b2+b+50 50b

Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: S = a

Bài 16: Cho ABC có diện tích 32 Gọi a, b, c lần lợt độ dài cạnh BC, CA, AB ha, hb, hc tơng ứng độ dài đờng cao kẻ từ

các đỉnh A, B, C tam giác Chứng minh rằng: (1

a+

1

b+

1

c)(

1

ha+

1

hb+

1

hc)3

Bi 17: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm sè:

y = sin5x +

3 cosx

bi 18: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số:

y = x6 + 4(1 x2)3 đoạn [-1; 1].

Bài 19: Chøng minh r»ng:

ex+cosx ≥2+x −x

2

2 x  R

Bài 20: Tìm góc A, B, C ABC để biểu thức: Q = sin2A

+sin2B −sin2C đạt giá trị nhỏ

Bài 21: Xác định dạng ABC, biết rằng:

(p− a)sin2A+(p −b)sin2B=csinAsinB BC = a, CA = b, AB = c, p = a+b+c

2

Bài 22:Chøng minh x, y hai số thực thoả mÃn hƯ thøc: x + y = th× x4 + y4 

8 Bài 23: Cho ABC Chøng minh r»ng nÕu

tgB tgC=

sin2B

sin2C tam giác tam giác

vu«ng cân

Bi 24: Chứng minh rằng:

Cn0Cn1 Cnn≤(2 n

−2

n−1) n −1

n  N, n  Xác định n để dấu "=" xảy ra?

Bài 25: Chứng minh ABC

khi

¿

a=2bcosC a2=b

3

+c3− a3 b+c −a

¿{

¿

Bài 26: Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định, liên tục nhận giá trị đoạn [0; 1] Chứng minh rằng:

(∫

0

f(x)g(x)dx)

2

≤∫

0

f(x)dx∫

0

g(x)dx Bài 27: Cho ba sè bÊt kú x, y, z Chøng minh r»ng:

√x2

+xy+y2+√x2+xz+z2≥√y2+yz+z2

Bài 28: Cho ABC cã gãc tho¶ m·n ®iỊu kiƯn sau: sinA + cosA + sinB - cosB + sinC - cosC = Chøng minh r»ng: ABC tam giác vuông

Bi 30: Chứng minh r»ng: cosx+cot gx+3x −3π

2 >0 víi x  (0;π

2)

Bài 31: Tuú theo gi¸ trị tham số m, hÃy tìm GTNN biểu thøc:

P = (x + my - 2)2 +

[4x+2(m−2)y −1]2 Bài 32: Chøng minh r»ng víi x  vµ víi  > ta lu«n cã: xα

+α −1≥ αx Từ chứng minh với ba số dơng a, b, c thì: √a

3

b3+√

b3

c3+√

c3

a3≥

a b+

b c+

Bài 33: Biết số a, b, c thoả mÃn:

a2

+b2+c2=2

ab+bc+ca=1

¿{

¿

Chøng minh −4 3≤ a ≤

4 ;

−4

3≤ b ≤ ; −

4 3≤ c ≤

4

Bài 34: Cho ABC có độ dài cạnh a, b, c diện tích S thoả mãn:S = (c + a - b)(c + b - a) Chứng minh rằng: tgC =

15

Bài 35: Chứng minh bất đẳng thức:

√2≤∫0

√2

dx

√1− x2000≤

π

4

Bài 36: Cho c¸c sè x, y tho¶ m·n: x  0, y  x + y = HÃy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = x

y+1+ y x+1

Bài 37: Cho số x, y thay đổi thoả mãn điều kiện x  0, y  x + y = Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức:

P = 3x + 9y.

Bài 38: Hai gãc A, B ABC thoả mÃn điều kiện: tg A

2+tg

B

2=1 Chøng minh r»ng:

4≤tg

C

2<1

Bài 39: Chøng minh r»ng:

√a2+a+1+√a2− a+1  a  R

Bi 40: Cho x, y, z số d¬ng Chøng minh r»ng:

√x2+xy+y2+√y2+yz+z2+√z2+zx+x2≥√3(x+y+z)

Bài 41: Cho sinx + siny + sinz = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức:

P = sin2x + sin4y + sin6z

Bài 42: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng:

a a+b+

b b+c+

c c+a<√

a b+c+√

b c+a+√

c a+b

Bài 43: Giả sử x, y, z số dơng thay đổi thoả mãn điều kiện:x + y + z = 1.Hãy tìm giá trị lớn biểu thức:

P = x

x+1+ y y+1+

z z+1

Bi 44: Tìm giá trị lớn bé hàm số: y = sinx - cos2x +

2

Bài 45: Chøng minh r»ng nÕu: cosB + cosC =

b+c

a ABC vuông Thì ABC tam gi¸c

đều

Bài 46: Cho c¸c sè x1, x2, y1, y2, z1, z2 thoả mÃn

các ®iỊu kiƯn: x1x2 > x1z1  y12 x2z2 

y22

Chøng minh r»ng:

(x1+x2) (z1+z2)≥(y1+y2)

Bài 47: Với a, b, c ba số thực dơng thoả mãn đẳng thức: ab + bc + ca = abc

Chøng minh r»ng:

√b2

+2a2

ab +√

c2

+2b2

bc +√

a2

+2c2

ca ≥√3

Bài 48: Biết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác S diện tích tam giác đó, xác định dạng tam giác nếu:

1) S =

4(a+b − c)(a− b+c) 2) S = √3

36 (a+b+c)

2

x2 + (2a - 6)x + a - 13 = víi  a <+ ∞

Tìm a để nghiệm lớn phơng trình nhận giá trị lớn

Bài 50: x, y hai số thay đổi luôn thoả mãn điều kiện: x2 + y2 = 1

Xác định giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức:

A = x√1+y+y√1+x Bi 50 Tìm giá trị lớn hàm số: f(x) = x

2+sin

2

x trªn [−π 2;

π

2]

Bài 51: Tìm k để giá trị nhỏ hàm số: y =

ksinx+1

cosx+2 nhá h¬n -1

Bài 52: Cho ABC Chøng minh r»ng: cosAcosBcosC 

8 Dấu "=" xảy nào? Bài 53: Chứng minh bất đẳng thức:

(1+1 n)

n

<n víi n  N, n >

Bài 54: Cho ABC tam giác CMR với x ta có:

+ x

2

 cosA + x(cosB + cosC) Bài 55: Chøng minh r»ng:

2√a+3√3b+44√c ≥9√9abc

Bài 56: Chøng minh r»ng víi sè a, b, c, d, e bÊt kú, bao giê ta còng cã:

a2 + b2 + c2 + e2  a(b + c + d + e)

Bài 57: Cho a  6, b  -8, c  Chứng minh với x  ta có:

x4 - ax2 - bx  c

Bài 57: Cho a > b > 0; x > y, x  N, y  N Chøng minh r»ng: a

x

−bx ax

+bx>

ay− by ay+by

Bài 58: Cho x, y  (−π 4;

π

4) Chứng minh bất đẳng thức: |tgx−tgy

1−tgx tgy|<1 Bài 59: Chứng minh bất đẳng thức sau: x4 + y4 + z2 +  2x(xy2 - x + z + 1)

Bài 60: Chøng minh r»ng:

1 1+√2+

1

√2+√3+ +

1

√2004+√2005<44

Bài 61: HÃy biện luận giá trị nhỏ F = (x - 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2 theo a

Bài 62: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c ba cạnh tam giác th×:

ab + bc + ca >

2 (a2 + b2 + c2)

Bài 63: Chøng minh r»ng víi sè thùc bÊt kú x1,

x2, x3, x4 ta lu«n cã:

a) x1

+x22+x32+x24≥(x1+x2) (x3+x4)

b)

(x12+1)(x22+2)(x32+4)(x42+8)≥(x1x3+2)

(x2x4+4)

Bài 64: Cho a > Chøng minh r»ng: xn + (a - x)n  2

(a2) n

Bài 65: Chøng minh r»ng: x, y, z ta cã: 19x2 + 54y2 + 16z2 + 36xy - 16xz - 24yz 

Bài 66 Cho a3 > 36 vµ abc =

Chøng minh r»ng:

a2

3+b

2

+c2>ab+bc+ca

Bài 67: Chøng minh r»ng nÕu x > 0, n  Z+ ta

lu«n cã: ex > + x

1!+ x2

2!+ x3

Bài 68: Chứng minh bất đẳng thức:

π

4<∫0

2π dx

53cosx<

Bi 69: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số:

y = sin4x + cos4x + sinxcosx +

Bi 70:

Tìm giá trị lớn hàm số: f(x) = 5cosx - cos5x đoạn [−π

4;

π

4] Bài 71: Tìm giá trị nhỏ hàm số sau tËp R

f(x) = 2sin2x + 4sinxcosx +

√5

Bài 72: Chứng minh với x > 0, ta có:

x −x

3

6 <sinx<x

Bài 73: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm:

x5 - x2 - 2x - =

Bi 74: Tìm giá trị nhỏ cđa hµm sè:

y = |log x2

+1(3− x 2)

+log3− x2(x

2

+1)|

bài 75: Chøng minh nÕu a, b, c > th×:

a b+c+

b c+a+

c a+b≥

3

Bài 76: Cho ABC cã ba gãc nhän Chøng minh r»ng:

tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC

Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức E = tgA + tgB + tgC

Bi 77: Tìm giá trị lớn hàm số:

f(x) = |x3+3x272x+90| đoạn [-5; 5]

Bi 78: Chng minh đẳng thức:

12

1 3+ 22

3 5+ 32

5 7+ +

n2

(2n−1)(2n+1)=

n(n+1)

2(2n+1)

¸p dơng CMR:

12 3+

22 5+

32 7+ +

10022

2003 2005>250 Bi 79: Tìm giá trị lớn giá trị nhá nhÊt cđa hµm sè:

y = cos

4

x+4 sin2x

3 sin4x

+2 cos2x

Bài 80: Cho biểu thức P = cosA + cosB + cosC, A, B, C ba góc tam giác Chứng minh P đạt giá trị lớn nhng không đạt giá trị nhỏ