Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình thoi.. Theo chương trình Chuẩn.[r]
(1)www.MATHVN.com
SỞ GD VÀ ĐT HỒ BÌNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012 TRƯỜNG THPT CƠNG NGHIỆP Mơn Toán - Khối D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 – (m + 2)x2 + (1 – m)x + 3m – 1, đồ thị (Cm), m tham số Khảo sát biến thiên vẽđồ thị với m =
2 Xác định giá trị m để hàm sốđã cho đạt cực trị x1, x2: x1 – x2 = Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: 2cos6x + 2cos4x – 3cos2x = sin2x + Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm:
+ = +
= − + +
1 m y x
m y x
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I =
(
)
∫
1 +0
3 x
xdx
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi SA = a, (0 < a < 3), cạnh cịn lại Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a
Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c thuộc [0; 2] Chứng minh: 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) ≤ PHầN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉđược làm hai phần (phần A phần B)
A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy Cho điểm A(1; 0), B(2; 1) đường thẳng d: 2x − y + = Tìm điểm M d cho MA + MB nhỏ
2 Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho tam giác ABC Biết toạđộ A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3) Xác định tọa độ tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho z1, z2 nghiệm phức phương trình: 2z2 – 4z + 11 = Tính giá trị biểu thức P =
(
)
22
2 2
z z
z z
+ + B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạđộ Oxy, cho elíp (E): x2 + 4y2 = Tìm điểm M elíp (E) cho góc F1MF2 = 600
2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 5; 0) đường thẳng: ∆1:
2 z
4 y
x = +
− −
= ; ∆2:
3 z
2 y x
− = −
− =
Viết phương trình tham số đường thẳng ∆đi qua điểm I cắt đường thẳng ∆1 ∆2
Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm số phức z thoả mãn:
( )
= −
+ − = −
4 z z
i z z i z
2
(2)www.MATHVN.com
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Môn Toán - Khối D
Câu Nội dung đáp án Điểm
1 (1,0 điểm) Khảo sát hàm số
Khi m = ⇒ y = x3 – 3x2 + • Tập xác định: D =
• Sự biến thiên: y' = 3x2 – 6x +∞
→
xlim y = +∞; xlim→−∞y = −∞
0,25
x −∞ +∞
y' + − +
Bảng biến thiên
y −∞ −2 +∞
0,25 Khoảng đồng biến: (−∞; 0), (2; +∞)
Khoảng nghịch biến: (0; 2)
Cực đại: x = 0; y = Cực tiểu: x = 2; y = −2
0,25 •Đồ thị
Tâm đối xứng (1; 0) điểm uốn đồ thị
0,25
2) (1,0 điểm) Xác định giá trị m … Ta có y' = 3x2 – 2(m + 2)x + – m
∆' = (m + 2)2 – 3(1 – m) = m2 + 7m + 0,25 x1 – x2 = ⇔ (x1 – x2)2 = ⇔ x12 + x
2
2 – 2x1x2 = ⇔ (x1 + x2)2 – 4x1x2 – = ⇔
(
)
2
3 m
+
–
m 1−
– = ⇔ m2 + 7m – =
0,25 Câu I
(2,0 điểm)
YCBT ⇔
= − > ∆
2 x x
0 '
2
⇔
= − +
> + +
0 m m
0 m m
2
⇔ m = m = –8 0,50
1 (1,0 điểm) Giải phương trình
2cos6x + 2cos4x – 3cos2x = sin2x + ⇔ 2(cos6x + cos4x) – sin2x
– 3(1 + cos2x) = ⇔ 4cos5xcosx – 2sinxcosx – 3cos2x = 0,25 Câu II
(2,0 điểm)
⇔ 2cosx(2cos5x – sinx – 3cosx) =
⇔
+ = =
x cos x sin x cos
0 x cos
⇔
π
− =
=
6 x cos x cos
0 x cos
0,25
4 -1
-2 -1
x y
(3)www.MATHVN.com S A B C D O H
⇔ x =
π + kπ, x = – 24
π + k π, x =
36 π + k
3 π
0,50 2 (1,0 điểm) Tìm giá trị m …
Với điều kiện x ≥ –1 y ≥ 1, ta có: + = + = − + + m y x m y x ⇔
(
) (
)
+ = − + + = − + + m y x m y x2 ⇔
(
)
+ − = − + = − + + m m y x m y x 0,25
Khi x+1 y−1 nghiệm khơng âm phương trình:
t2 – mt +
(m2 – 2m – 1) = ⇔ 2t2 – 2mt + m2 – 2m – = 0,25
Ta phải có ≥ ≥ ≥ ∆ P S ' ⇔
(
)
≥ − − ≥ ≥ − − − m m m m m m 2 ⇔ ≥ − − ≥ ≤ − − m m m m m 2 ⇔ + ≥ ∨ − ≤ ≥ + ≤ ≤ − m m m m⇔ + ≤ m ≤ +
0,50
Tính tích phân: Ta có:
3
x (x+1) =
A
x+1 +
B
(x+1) +
C
(x+1) =
1
(x+1) −
1 (x+1)
Có thể xét:
3
x (x+1)
=
3
(x 1)
(x 1)
+ −
+ =
1
(x+1) −
1 (x+1)
0,25
Từđó suy ra: I =
(
) (
)
∫
+ − + dx x 1 x =∫
(
+)
− dxx –
∫
(
+)
− dx x 0,25 Câu III (1,0 điểm)= 1 x + − –
(
)
x + − = –+ + – = 0,50 Tính thể tích hình chóp
Gọi O ≡ AC ∩ BD, ta có:
∆BDA = ∆BDC = ∆BDS (c.c.c) ⇒ OA = OC = OS
⇒ ∆CSA vuông A ⇒ AC = a2 +1
Trong hình thoi ABCD: AC2 + BD2 = 2(AB2 + BC2) ⇔ + a2 = 22
⇔ BD = a
3− (vì < a < 3) ⇒ Diện tích đáy: SABCD =
2 AC.BD = 1 a2 +
a 3−
0,50 Câu IV
(1,0 điểm)
Gọi H hình chiếu S mặt phẳng (ABCD), ta thấy:
(4)www.MATHVN.com SB = SD ⇒ HB = HD ⇒ H∈OC
Trong ∆CSA vuông A: 2 2 2 SC
1 SA
1 SH
1 = +
⇔ 2
SH
= 2 a
1
+ = 2
a
a + ⇒ SH =
1 a
a + Từđó thu thể tích V =
3
2
1
a2 + a 3−
1 a
a
2 + = 6
a
a
3− 0,25
Chứng minh bất đẳng thức:
Với giả thiết a, b, c thuộc [0; 2], ta có (2 – a)(2 – b)(2 – c) ≥
⇔ – 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) – abc ≥ 0,50 Câu V
(1,0 điểm)
⇔ 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) ≤ +
abc ≤
Dấu “=” xảy ⇔ Có giá trị giá trị ngược lại
0,50 1 (1,0 điểm) Tìm điểm M …
Ta thấy (2xA− yA + 3)(2xB− yB + 3) = (2 − + 3)(2.2 − + 3) = 30 > nên A, B phía đường thẳng d
Qua A, xét đường thẳng ∆⊥ d có phương trình: x + 2y − =
0,25 Ta có ∆ cắt d H = (−1; 1)
Gọi A' điểm đối xứng với A qua d H trung điểm AA' ⇔ OA' = 2OH − OA ⇔ A' = (−3; 2) ⇒ A'B = (5; −1)
0,25 Phương trình đường thẳng A'B là: x + 5y − =
Với điểm M∈d, ta có MA' = MA nên MA + MB = MA' + MB 0,25 Trong MA' + MB nhỏ A', M, B thẳng hàng Vậy M ≡ A'B ∩ d Ta thu
được M =
−
11 17 ; 11
8 0,25
2 (1,0 điểm) Xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp
Ta có AB = (2; 2; –2) AC = (0; 2; 2) ⇒ Phương trình mặt phẳng trung trực
của AB AC (P): x + y – z – = (Q): y + z – = 0,25 Với [AB, AC] = (8; –4; 4)
⇒ vectơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) n = (2; –1; 1) ⇒ Phương trình mặt phẳng (ABC): 2x – y + z + =
0,25 Ba mặt phẳng (P), (Q) (ABC) cắt I(0; 2; 1) tâm đường tròn ngoại
tiếp ∆ABC 0,25
Câu VI.a (2,0 điểm)
Bán kính tương ứng R = IA =
(
−1−0) (
2 + 0−2) ( )
2 + 1−1 = 0,25 Tính giá trị biểu thứcTa có 2z2 – 4z + 11 = ⇔ z1 = –
2
i z2 = +
2
i ⇒z1 = z2 =
4 18 1+ =
2
22 0,50
Câu VII.a (1,0 điểm)
và z1 + z2 = ⇒ P =
4 22 22+
=
(5)www.MATHVN.com
Chú ý: Mọi lời giải khác, chấm điểm tối đa
1 (1,0 điểm) Tìm điểm M elíp Ta có x2 + 4y2 = ⇔
4 x2
+ y2 = ⇒ a = b = ⇒ c = ⇒ e =
3 0,25
Trong tam giác F1MF2, theo định lí cosin ta có: F1F2 = MF
2 + MF
2 – 2.MF1.MF2.cos600⇔ F1F22 = (MF1 + MF2)
2
– 2.MF1.MF2 – MF1.MF2 = (MF1 + MF2)2 – 3.MF1.MF2⇔ 12 = 42 – 3.MF1.MF2⇔ MF1.MF2 =
3
0,25
⇔ (a – ex)(a + ex) = ⇔
a2 – e2x2 = ⇔
4
x2 = –
= ⇔
x2 = 32
⇒ y2 =
x 4−
= ⇒
x = ±
2
y = ±
1 0,25
Thu được: M1(
2
;
), M2(
2
; –
), M3(–
2
;
), M4(–
2
; –
) 0,25
2 (1,0 điểm) Viết phương trình tham số
Ta có: M1(0; 4; −1), u1 = (1; −1; 2), M2(0; 2; 0), u2 = (1; −3; −3) Xét mặt phẳng (P) chứa I ∆1 có [M1I, u1] = nP = (3; −1; −2) ⇒ (P): 3x – y – 2z + =
Xét mặt phẳng (Q) chứa I ∆2 có [M2I, u2] = (−9; 3; −6) = −3(3; −1; 2) ⇒ Q
n = (3; −1; 2) ⇒ (Q): 3x – y + 2z + =
0,50 Câu VI.b
(2,0 điểm)
Với [nP, nQ] = (4; 12; 0) = 4(1; 3; 0) d = (P) ∩ (Q) ud = (1; 3; 0)
⇒ Phương trình tham số d là:
= + =
+ =
0 z
t y
t x
0,50
Tìm số phức
Gọi z = x + yi, (x, y ∈ ) Ta có z = x – yi, z – i = x + (y – 1)i, z – z + 2i = 2(y + 1)i, z2 = x2 – y2 + 2xyi, z2 = x2 – y2 – 2xyi ⇒ z2 – z2 = 4xyi
0,25
Khi đó:
( )
= −
+ − = −
4 z z
i z z i z
2
2 ⇔
(
)
(
)
=
+ = − +
4 xyi
i y i y x
⇔
(
)
(
)
=
+ =
− + xyi
1 y y x
2 2
⇔
± = =
1 xy
y x2
Ta thấy y = x2 ≥
nên thu x3 = ±4 ⇒ x = ±3
4 ⇒ y = 4
=
4
0,50 Câu VII.b
(1,0 điểm)
Ta thu số phức z1 = +
3
i z2 = –3 +
3