Khi đó pt đường tròn ngoại tiếp Δ AMB là.[r]
(1)1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN - NĂM 2012 Mơn: TỐN – Khối A; Thời gian làm bài: 180 phút
Câu Đáp án Điểm
1 (1,0 điểm)
Khi m=0 hàm số trở thành y=x3−3x2+2 a) Tập xác định: R
b) Sự biến thiên:
* Chiều biến thiên: Ta có y'=3x2−6x; , ' 0 0 2.
0
' , 0
' ⎢ < ⇔ < <
⎣ ⎡
> < ⇔ > ⎢
⎣ ⎡
= = ⇔
= y x
x x y
x x y
Suy hàm số đồng biến khoảng
(
−∞;0) (
, 2;+∞)
; hàm số nghịch biến (0;2) * Cực trị: Hàm số đạt cực đại x=0, yCĐ =2, hàm số đạt cực tiểu x=2, yCT =−2 * Giới hạn: Ta có =−∞−∞
→ y
xlim xlim→+∞y=+∞
0,5
* Bảng biến thiên:
x −∞ +∞ '
y + − +
y
+∞
2−
∞ − c) Đồ thị:
0,5
2 (1,0 điểm)
Ta có y'=3x2−6x+3m
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình y'=0 có nghiệm phân biệt
1
9
'= − > ⇔ < Δ
⇔ m m (*)
Khi đó, gọi hai điểm cực trị A(x1; y1),B(x2; y2) Ta có ' [2( 1) 2]
3
1 + − + +
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ −
= x y m x m
y Do
2 ) ( ] 2 ) ( [ ) ( ' 3
1
1
1 ⎟ + − + + = − + +
⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ −
= x y x m x m m x m
y
và y2=2(m−1)x2+2m+2
Suy tọa độ A, B thỏa mãn phương trình y=2(m−1)x+2m+2, hay phương trình AB
2 ) (
2 − + +
= m x m
y
0,5 I
(2,0 điểm)
Ta có giao điểm AB với Ox, Oy ;0 , (0;2 2)
1 +
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛
− +
− N m
m m M
Yêu cầu toán 2
1
1
1 + =
− + − ⇔ = ⇔
=
⇔ m
m m ON
OM SOMN
⎢
⎣ ⎡
= − = ⇔ ⎢
⎢ ⎣ ⎡
− − = +
− = + ⇔ − = + ⇔
0 )
1 ( ) (
1 )
1 ( )
1
( 2
2
m m m
m
m m
m
m (thỏa mãn (*))
Vậy giá trị m m=−3,m=0
0,5
1 (1,0 điểm) II
(2,0 điểm)
Điều kiện:
2 sin ,
cosx≠ x≠ hay ,
6 , ,
2+ ≠ + ≠ + ∈Z
±
≠ k x k x k k
x π π π π π π
Khi phương trình cho tương đương với
3cos (2sin 1)
sin
3 cos ) cos (
sin 2
+ =
−
− +
−
x x x
x x
x
) sin ( cos sin
2
) sin )(
(sin
+ =
− − +
⇔ x x
x x x
) sin ( cos ) sin )(
(sin + + = +
⇔ x x x x
0,5
x O
2 −
2
y
(2)2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
+ − = +
=
+ − = +
− = ⇔ ⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +
− = ⇔
⎢ ⎢ ⎣ ⎡
= +
= + ⇔
π π π
π
π π π
π π
2 ,
2 ,
1 cos
2 sin cos
3 sin
0 sin
k x
k x
k x
k x
x x x
x x
Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm phương trình , ,
6 π
π π
π
k x
k
x=− + =− + k∈Z
0,5
2 (1,0 điểm) Hệ
⎩ ⎨ ⎧
= + − + +
+ = + ⇔
) (
) )(
(
) ( )
(
y y
x y x y
y x y x
* Nếu y=0 từ (1) suy khơng tồn x Do hệ vơ nghiệm
* Với ,y≠0 ta có (2)⇔(x+y)(x+y−2)+1=0 ⇔t2−2t+1=0 (với )t=x+y ⇔t=1 Suy x+y=1
0,5
Hệ trở thành ⎢
⎣ ⎡ ⇔ ⎩
⎨ ⎧
= +
− = ⇔ ⎩
⎨ ⎧
= +
= +
= − =
= =
2 ,
1 ,
0 1
1
2
y x
y x
x x
x y y
x
y x
Vậy nghiệm (x; y) hệ (0;1),(−1;2)
0,5
Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị x x
x = −
+ −
1 1
⎢ ⎣ ⎡
= = ⇔ ⎢
⎢ ⎣ ⎡
= −
− ≠ = − ⇔ ⎪⎩
⎪ ⎨ ⎧
− = −
− ≠ ⇔
0 1
1
1 ,
1
1
2
2
2 x
x x
x x
x x
x
Vì x
x
x ≥ −
+ −
1 1
với ]x∈[0;1 nên diện tích hình giới hạn
2
)d (1 d 1 d
) ( 1
0
0
0
0
2
− = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− − = − − + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎝ ⎛
− − + −
=
∫
∫
x∫
x x I x x Ix x x
x x
x
S (1)
0,5 III
(1,0 điểm)
Tính d
1 1
0
∫
−+= x
x x
I Đặt = ∈⎢⎣⎡− ⎥⎦⎤
2 ; ,
sinu u π π
x Khi dx=cosudu, x=0 u=0 x=1 u=π/2 Suy
(
)
2 cos
)d sin ( d sin
cos d
cos sin
sin
0 2
0
0 2
0
2
− = +
= −
= +
= +
−
=
∫
∫
∫
ππ π
π π
u u u u u
u u u
u u
u
I (2)
Từ (1) (2) ta có 2− =π
S
0,5
* Ta có VCMDN d M ABC D SCND d M ABC D SABCD
2 )) ' ' ' ' ( , ( ))
' ' ' ' ( , (
' '
' = =
12
7 16
9 sin
1 a3 a3
a a
a = − =
= α
0,5 IV
(1,0 điểm
* Đặt AB=x, AD=y, AA'=z Ta có
'
' ' '
' ' ' '
x y N A A D N D
y k z x DM D D D C M C
+ − = + =
− − − = + + =
Khi C'M ⊥D'N⇔C'M.D'N=0
(
)
2
1 =
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ −
+ +
⇔ x ky z x y
2
1 2
= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + −
⇔ x k y k xy
5
4 2
1 2 ⎟ = ⇔ =−
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + −
⇔ a ka k aa k
0,5
A
D
C B
A’ D’
C’
B’ x G
M
N
y z
(3)3
Vì ]a,b∈[0;1 nên ta có ≤
+ + − + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ − + = + + ≤ + +
1 ) ( ) ( 1
) (
2
2 2
2
2
2 2
3
b b a
a b
b a
b a b
a
2
) ( )
(a2+ − a2+ b2 =a2−b2+ − a2b2 ≤
Dấu đẳng thức xảy a,b∈{0,1}
0,5 V
(1,0 điểm
Hoàn tồn tương tự, ta có
2
2 ; 2
2 2 2
2 2
2
3
a c a
c a
c c b c
b c
b ≤ − + −
+ + −
+ − ≤ + +
Suy ( )
2
6− 2+ 2+ 2 ≤
≤ a b b c c a
P
Dấu đẳng thức xảy a,b,c∈{0,1} a2b2+b2c2+c2a2 =0 hay ba số a, b,
c có nhiều số 1, số lại
Suy giá trị lớn P 6, đạt ba số a, b, c có nhiều số 1, số lại
0,5
1 (1,0 điểm)
Vì A∈Δ:x−4y+6=0⇒A(4a−6;a)⇒MA(4a−5;a−1) Vì tam giác ABC vuông cân A nên nACB=45
Do
2 ) ( ) (
) ( ) (
1 ) , cos(
2
2+ − =
−
− + − ⇔
=
a a
a a
u
MA BC
0,5
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ ⇒ ⎢
⎢ ⎢ ⎣ ⎡
= = ⇔ = + − ⇔
− (ktm)
) ; (
13 16
32 42 13
13 16 ; 13 14
2
A A a
a a
a
Vậy ).A(2;2 Suy AC:x−3y+4=0,AB:3x+y−8=0 Từ ta có B(3;−1),C(5;3)
0,5
2 (1,0 điểm)
Gọi n (a; b; c) (a2+b2+c2 ≠0)
P vectơ pháp tuyến (P) Khi ) ( ) ( ) ( : )
(P a x− +b y− +c z− =
Vì (P)//Δ nên nP⊥uΔ, uΔ(−3;2;2) vectơ phương đường thẳng Δ Suy
3 2
2
3a+ b+ c= ⇔a= b+ c
− (1)
Mặt khác, (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d(I,(P))=R, I(1;2;3),R=3 tâm bán kính (S) Do 3
2
2+ + =
− − −
c b a
c b a
(2)
Từ (1) (2) ta có
3 2 )
( 2 2
2
2 ⎟ + + ⇔ − + =
⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ + =
+c b c b c b bc c
b (3)
0,5 VIa
(2,0 điểm)
* Với c=0⇒b=a=0 (ktm)
* Với c≠0, ta có (3) 2
= ⇔ = + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔
c b c
b c
b
=
c b
Với =2,
c b
ta chọn b=2,c=1⇒a=2 Khi 0(P):2x+2y+z−18= , ktm chứa Δ Với ,
2 =
c b
ta chọn b=1,c=2⇒a=2.Khi (P):2x+y+2z−19=0, thỏa mãn
0,5
Đặt ).z=x+yi(x,y∈R Khi
1 ) )(
( z
i z i
z =
− − + + +
(
)
(
)
(3 ) 2( )2 ) ( )
1 (
1 yi i x yi i x2 y2 x y x yi x2 y2
x+ + + + − − + = + ⇔ + − + + + = +
⇔
0,5 VIIa
(1,0 điểm)
⎩ ⎨ ⎧
= + +
+ = − + ⇔
0
) (
2
3 2
y x
y x y x
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
− = − =
− = = ⇔ ⎩
⎨ ⎧
= +
+ − = ⇔
10
1 ,
10
1 , 0
3 10
) (
2 x y
y x x
x x y
Vậy z=−i 10
1 10
3 i
z=− −
0,5
A
B
) ; (− M
2x− − =y :x 4y
Δ − + =
(4)4 1 (1,0 điểm)
Đường trịn (C) có tâm I(2;1), bán kính R= Gọi
AB MI
H = ∩ Ta có
2 10
1 =
= AB
AH Trong tam giác vuông
MAI (tại A) với đường cao AH ta có
10
5 10
4 1
1
2
2
2 = AI + AM ⇒ AM = − ⇒AM = ⇒MI=
AH
Ta có
5
3
2
5
:
0
19
2
5
:
−
−
=
⇔
Δ
−
=
−
Δ
x
y
x
y
⇒
M
(
5
+
2
m
;
3
+
5
m
)
0,5
Khi MI = 10⇔(3+2m)2+(2+5m)2=10⇔29m2+32m+3=0⇔m=−1 . 29
3 − =
m
Chú ý rằng, đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB đường trịn đường kính MI
Với m=−1 ta có M(3;−2) Khi pt đường trịn ngoại tiếp ΔAMB 2
5 2=
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝
⎛ −x y
Với
29 − =
m ta có
29 72 ; 29 139
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛
M Khi pt đt ngoại tiếp ΔAMB 58 101 58
197 2=
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ −x y
0,5
2 (1,0 điểm)
Gọi =( ; ; )( 2+ 2+ 2≠0)
Δ a b c a b c
u vectơ phương đường thẳng Δ Mặt cầu (S) có tâm )
0 ; ; (−
I Vì đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu (S) A nên 2
2
) ; ;
( u a b c b a c
IA − − ⊥ Δ⇔ − − = ⇔ = − (1)
Mặt khác đường thẳng Δ tạo với trục Ox góc α với
10
1 cosα= nên
2 2
2
2 3 10 89
1 |
| b a c
c b a
a = ⇔ = −
+
+ (2)
Từ (1) (2) ta có phương trình 85a2+8ac−5c2=0 (3)
0,5 VIb
(2,0 điểm)
* Với c=0, suy a=0,b=0 (ktm) * Với ,c≠0 ta có
5
5 85
) (
2
= ⇔ = − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔
c a c
a c
a
17
5 − =
c a
Với , =
c a
ta chọn a=1,c=5⇒b=−8 Suy phương trình
2
1
: = +
− = −
Δ x y z
Với ,
17 − =
c a
ta chọn a=5,c=−17⇒b=44 Suy phương trình 17
2 44
1 :
− + = = −
Δ x y z
0,5
Đặt z=x+yi (x,y∈R) Khi =
+ −
− − −
+ = + −
− + = − −
2 ) (
] ) ].[( ) ( [ )
2 (
) ( 2
y x
yi x
i y x yi x
i y x z
i z
i
y x
xy y
x y
x
y y x
x
2 2
2 ( 2)
) )( ( )
2 (
) ( ) (
+ −
− − − + +
− − + −
= số ảo
) (
) ( ) (
2
2+ =
− − + −
y x
y y x
x
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
≠ + −
+ = + ⇔
0 )
2 (
) (
2 2
y x
y x y x
0,5 VIIb
(1,0 điểm)
Ta có T =|z−1|+|z−i| =|(x−1)+yi|+|x+(y−1)i|= (x−1)2+y2 + x2+(y−1)2
x
y
2
1+ + +
=
Áp dụng BĐT Cơsi ta có 2 ( )2
1 )
(
2 x+y =x +y ≥ x+y Suy x+y≤4 Suy T2 ≤2(2+2(x+y))≤20
Suy T≤2 5, dấu đẳng thức xảy x=y=2 Vậy giá trị lớn T 5, đạt z=2+2i
0,5
A
B M