Họ và tên thí sinh...[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌCƠN CẤP TỐC 2012 SỐ 08 Mơn: Toán – 0985.873.128
Thời gian làm bài: 180 phút PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I(2 điểm) : Cho hàm số y=x3
+3x2−mx+2 có đồ thị (Cm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m=0
2 Tìm giá trị m để hàm số có cực đại cực tiểu cho khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng nối điểm cực trị (Cm) đến tiếp tuyến (Cm) điểm có hồnh độ lớn
Câu II (2 điểm):
1 Giải phương trình sau: tan2x+9 cot2x+2 cos 2x+4
sin 2x =14
2 Giải bất phương trình sau : (x2−4x)√2x2−3x −2<0 CâuIII (1điểm): Tính tích phân sau I=∫
0 π
tanx ln(cosx)
cosx dx
Câu IV (1điểm):Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’,biết A’.ABC hình chóp tam giác có cạnh đáy a Khoảng cách từ AA’ đến BC a
2 Tính thể tích khối lăng trụ theo a
Câu V (1 điểm): Với a, b, c số thực dương thoả mãn a+b+c=1 Chứng minh √ab
c+ab+√
bc
a+bc+√
ca
b+ca≤
3
PHẦN RIÊNG (3 điểm) (thí sinh làm hai phần A B) A.Theo chương trình chuẩn
Câu VI a (2 điểm) :
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có M(4;6) trung điểm AB Giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng (d) có phương trình 3x – 5y + = , điểm N(6;2) thuộc cạnh CD Hãy viết phương trình cạnh CD biết tung độ điểm I lớn
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1):x −1
2 =
y+1
1 =
z 1;(d2):
x −1
1 =
y −2
2 =
z
1 mặt phẳng (P) có phương trình
x+y −2z+3=0 Viết phương trình đường thẳng Δ song song với (P) cắt d1,d2 hai điểm A, B cho AB ¿√29
Câu VII.a (1 điểm): Cho số phức z thoả mãn |iz−3|=|z −2−i| |z+3i|=|2z+i| Tìm mơđun số phức z
B.Theo chương trình nâng cao CâuVI.b (2điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có B(1;5) đường cao AH có phương trình x+2y −2=0 ,với H thuộc BC; đường phân giác góc ACB có phương trình x − y −1=0 Tìm toạ độ đỉnh A, C, D
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) vng góc với đường thẳng
(d):x −1
2 =
y
−2=
z+1
1 , cắt mặt cầu (S) : x2+y2+z2−2x+4y −6z −11=0 theo
đường
trịn có bán kính
CâuVII.b (1 điểm) Tìm số phức có mơđun nhỏ thoả mãn |zz+1−5i +3−i |=1 Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu.Cán coi thi không giải thích thêm
Số báo danh Họ tên thí sinh ĐÁP ÁN KHỐI A
Câu Ý Nội dung Điểm
(2)2 Có y,
=3x2+6x −m
Hàm số có cực đại cực tiểukhi pt y,=3x2+6x −m =0 có nghiệm phân biệt
⇔Δ'=9+3m 0⇔m>−3 (*)
Giả sử A(x1; y1) B(x2; y2) điểm cực trị đồ thị hàm số với x1, x2 nghiệm (1) Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = -2
⇒ Trung điểm đoạn thẳng AB I(-1; m + )
Tiếp tuyến Δ đồ thị (Cm) điểm có hồnh độ x = có pt
y=y,(1)(x −1)+y(1)
⇔(m−9)x+y+3=0
m −9¿2+1
¿
m −9¿2+1
¿ ¿
√¿ ¿
√¿
d=d(I , Δ)=|(m−9)(−1)+m+4+3|
¿
d lớn m−9¿
+1
¿
⇔√¿
nhỏ
m−9¿2+1
¿ ¿
√¿
Dấu = xảy m = (tm *).Vậy m=9 0.25 0.25 0.25 0.25 II
Pt ⇔tan2x
+9 cot2x+2 cos 2x
sin 2x +
4
sin 2x=14 ĐK: sin2 x ≠0
2 cos2x sin 2x =
2(cos2x −sin2x)
2 sinxcosx =cotx −tanx ;
2
4 4(sin cos )
2(tan cot ) sin 2sin cos
x x
x x
x x x
pt ⇔tan2x
+9 cot2x+cotx −tanx+2(tanx+cotx)=14
tanx+3 cotx¿2+(tanx+3 cotx)−20=0
⇔¿
⇔
tanx+3 cotx=−5
¿
tanx+3 cotx=4
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔
tanx=1
¿
tanx=3
¿
tanx=−5±√13
2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔
x=π
4+kπ
¿
x=arctan 3+kπ
¿
x=arctan−5±√13
2 +kπ
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 0.25 0.25 0.25 0.25 Điều kiện
2x2−3x −2≥0⇔
x ≥2
¿
x ≤−1
2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Bất pt ⇔
2x2−3x −2≠0 x2−4x<0
⇔
¿x ≠2
x ≠−1
2 0<x<4
⇔
¿0<x<4
x ≠2
¿{
(3)
Kết hợp điều kiện ta nghiệm pt : < x < III
I= ∫ π
sinx ln(cosx)
cos2x dx Đặt t = cosx ⇒dt=−sin xdx Đổi cận x = t = 1; x = π
4 t = √ 2
I= −∫
√2
lnt
t2 dt=∫
√2
lnt
t2 dt Đặt
¿
u=lnt
dv=1
t2dt
⇒
¿du=1
t dt
v=−1
t
¿{
¿
⇒I=−1
t lnt¿√2
2
+∫
√2
1
t2dt=−
√2 ln 2−
1 t ¿√2
2
I= √2−1−√2 ln
0.25
0.25
0.25 0.25
IV
A’ B’ K C’
A B H M
C
Gọi H hình chiếu A’trên(ABC) Gọi M trung điểm BC Dựng MK AA’ Vì A’H (ABC)và A’.ABC hình chóp nên BC (A’AM) suy BC KM Theo gt suy KM = a
2
Có MK.AA’ = A’H.AM ⇔a 2.√A
' H2+a
2 =A
'
H.a√3
2 ⇔A ' H=
a
√6
Có SABC= a
√3
4 Vậy VABC.A
’
B’C’ = a
3 √2
0.25
0.25
0.5 V Từ giả thiết ta suy 0<a ,b ,c<1
Ta có √ab
c+ab=√
ab
1− a − b+ab=√
ab
(1−a)(1−b) Tương tự √bc
a+bc=√
bc
(1− b)(1− c) √
ca
b+ca=√
ca
(1− c)(1−a) Theo BĐT Cơ-si ta có a
1−b+ b
1− a≥2 √ ab
(1− a)(1− b) b
1− c+ c
1− b≥2.√ bc
(1− c)(1− b) c
1− a+ a
1−c≥2.√ ca
(1− c)(1− a)
(4)Cộng vế với vế ta 3≥2 VT⇔VT≤3
2 (ĐPCM)
Đẳng thức xảy a=b=c=1
3
0.25 0.25 0.25 VIa
Gọi P(xP;yP) đối xứng với M(4;6) qua I nên
¿
4+xP=2xI 6+yP=2yI
¿{
¿
I thuộc (d) nên 3(4+xP)
2 −
5(6+yP)
2 +6=0⇔3xP−5yP−6=0 (1) Lại có PM PN ⇔⃗PM.⃗PN=0⇔(x
P−4)(xP−6)+(yP−6)(yP−2)=0 (2)
(1)(2) ta có
34yP2−162yP+180=0⇔
yP=3
¿
yP=30
17
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Với yP =3 xP=7 pt CD:x-y-4=0 với yP= 3017 yI= 13217 <4 (loại)
0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
2 A∈d1⇒(1+2t ;−1+t ;t).B∈d2⇒B(1+a ;2+2a ;a)
⃗AB(a−2t ;3+2a −t ; a− t) .(P)có VTPT ⃗n(1;1;−2)
AB//(P) nên ⃗AB ⃗n=0⇔a=t −3 .Khi ⃗AB(− t −3;t −3;−3) Theo đề
t −3¿2+9=29⇔t=±1
t+3¿2+¿
AB2
=29⇔¿
Với t=1 suy A(3;0;1).pt cần lập
¿
x=3+4t
y=2t
z=1+3t
¿{ {
¿
Với t=-1 suy A(-1;-2;-1).Ptcần lập
¿
x=−1+2t
y=−2+4t
z=−1+3t
¿{ {
¿
0.25
0.25
0.25
0.25
VIIa Giả sử
z=x+yi(x , y∈R) Thì iz−3=− y −3+xi z −2− i=(x −2)+(y −1) i
y −1¿2⇔x=−2y −1
x −2¿2+¿
y+3¿2+x2=¿
⇒|iz−3|=|z −2−i|⇔¿
(1)
Lại có |z+3i|=|2z+i|⇔|x+(y+3)i|=|2x+(2y+1)i|⇔x2+(y+3)2=4x2+(2y+1)2 ⇔3x2
+3y2−2y −8=0 (2)
(5)Thế (1) vào (2) ta
3(−2y −1)2+3y2−2y −8=0⇔15y2+10y −5=0⇔
y=−1
¿
y=1
3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Với y=−1⇒x=1⇒z=1−i⇒|z|=√2
Với y=1
3⇒x=−
3⇒z=− 3+
1
3i⇒|z|=√ 26
0.25
VIb BC qua B(1;5) vng góc AH nên BC có pt - 2x + y – = 0
Toạ độ C nghiệm hpt
¿
−2x+y −3=0
x − y −1=0
⇒C(−4;−5)
¿{
¿
Gọi A’ là điểm đối xứng B qua đường phân giác x − y −1=0(d),BA∩ d=K Đường thẳng KB qua B vng góc d nên KB có pt: x + y – =
Toạ độ điểm K nhgiệm hpt
¿
x+y −6=0 x − y −1=0
⇒K(7 2;
5 2)
¿{
¿
Suy A’ (6;0) , Pt A’C :x – 2y – = 0
Do A=CA'∩AH nên toạ độ A nhgiêm hpt
¿
x −2y −6=0
x+2y −2=0
⇒A(4;−1)
¿{
¿
Trung điểm I AC có toạ độ I(0;-3) đồng thời I trung điêm BD nên D(-1;-11)
0.25
0.25 0.25 0.25
2 (S) có tâm I(1;-2;3) bk R =
(Q) có dạng 2x – 2y + z – m = d(I,(Q))= √25−9 =4
⇔|2+4+3+m|
3 =4⇔
m=3
¿
m=−21
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Do ptmp (Q) 2x – 2y + z + = 2x – 2y + z – 21 =
0.25 0.5 0.25
0.5
0.25 0.25 VIIb Giả sử z=x+yiư Từ gt suy
y
ư +1¿2
x+3¿2+¿
y −5¿2=¿
x+1¿2+¿
|(x+1)+(ưy−5)i|=|x+3−(ưy+1)i|⇔¿
⇔x+3y=4ư Ta có x+3y¿ 2≤10
(x2+y2)=10|z|2ưư
(6)⇔|z|≥
√10 Min |z|=
√10 Đẳng thức xảy
¿
y=3x
x+3y=4
⇔
¿x=2
5
y=6
5
¿{