Qua ¸p dông thùc tiÕn cho thÊy viÖc lµm nµy gióp häc sinh chiÕm lÜnh tri thøc cã hÖ thèng vµ mÊt Ýt thêi gian.[r]
(1)a Đặt vấn đề
Trong dạy - học tốn, việc tìm tịi khai thác phát triển tốn từ dễ đến khó, nh việc xâu chuổi dạng toán với vô cần thiết
Mặt khác xu đổi phơng pháp dạy học đổi sách giáo khoa nh việc khai thác, phát triển xâu chuổi toán yêu cầu tất yếu Thực tế qua nhiên cứu sách giáo khoa, sách tập, sách nâng cao ta thấy ngời ta trọng hớng Đó đờng giúp cho học sinh phát triển t sáng tạo, nắm bắt kiến thức cách có hệ thống vào tạo hứng thú học tập cho em
Hơn trình giảng dạy việc xâu chuỗi tốn từ dễ đến khó (cùng dạng tốn) phơng án tối u để học sinh học đạt kết cao tốn thời gian Nó khắc phục choáng ngợp học sinh trớc tốn khó
Trong q trình giảng dạy học sinh lớp - tơi thấy có tốn liên quan đến từ đơn giản đến phức tạp Nếu biết cách xâu chuỗi việc giải tốn khó tơng tự đơn giản
Xuất phát từ ý tởng Tôi xin đa chuyên đề “Giải toán phức tạp từ toán đơn giản”.
b giải vấn đề
I Nội dung toán
Bi toỏn 1: Chứng minh đẳng thức:
x−
1
x+1=
x(x+1) * Chøng m×nh:
ThËt vËy: 1x−x1 +1=
x+1− x x(x+1)=
1
x(x+1) VD = VT: Đẳng thức đợc chứng minh
(Với toán học sinh dễ dàng chứng minh)
II Các toán phức tạp Bài toán 2: Tính tổng:
1
x(x+1)+
1
(x+1)(x+2)+
1
(x+2)(x+3)+ .+
1
(x+99)(x+100)
* Nếu khơng có “bài tốn 1” việc giải “bài tốn 2” học sinh thấy phức tạp xuất phát tính từ đâu Tuy nhiên có “bài tốn 1” việc giải “bài tốn 2” trở nên đơn giản
(2)1
x(x+1)=
x−
1
x+1
(x+1)(x+2)=
x+1−
x+2
(x+2)(x+3)=
x+2−
x+3
(x+99)(x+100)=
x+99−
x+100 VËy ta cã:
1
x(x+1) +
1
(x+1)(x+2) +
1
(x+2)(x+3) + +
1
(x+99)(x+100)
¿1
x−
1
x+1+
x+1−
x+2+
x+2−
x+3+ +
x+99−
x+100
¿1
x−
1
x+100 = x+100− x
x(x+100) = 100
x(x+100)
(Chú thích: thừa số mẫu kếm đơn vị)
Bài toán 3: Tính tổng:
x2 +x+
1
x2
+3x+2+
x2
+5x+6+
x2
+7x+12+
x2
+9x+20
* Bài toán nằm hệ thống toán 1, toán 2, nhìn qua tởng liên quan Nhng suy nghÜ th× häc sinh sÏ cã mét manh nha víi
Giáo viên hớng dẫn:
? HÃy phân tích thành nhân tử mẫu phân thức Giải: Ta có:
1
x2+x=
x(x+1)
x2
+3x+2=
1 (x+1)(x+2)
x2
+5x+6=
(3)1
x2
+7x+12=
1 (x+3)(x+2)
x2
+9x+20=
1
(x+4)(x+5) s
VËy:
x2+x=
x2+3x+2+
x2+5x+6+
x2+7x+12+
x2+9x+20
x(x+1)=
1
(x+1)(x+2)+
1
(x+2)(x+3)+
1
(x+2)(x+3)+
1
(x+3)(x+4)+
1 (x+4)(x+5) (L¹i quay toán 2)
Bài toán 4: Tính tổng:
2 3+ 4+
1
4 5+ +
n(n+1) (n lµ h sè)
* Khi gặp tốn học sinh dễ dàng làm đợc có dạng tơng tự nh tốn
Gi¶i: 3+
1
3 4+ .+
n(n+1)= 2−
1
n+1= n 1 2(n+1) Bài toán 5: TÝnh tæng:
1 3+
1 5+
1
5 7+ .+
1
(2n 1)(2n+1) Giáo viên nêu c©u hái
? Hãy quan sát thừa số mẫu có chung đặc điểm học sinh quan sát thấy
Nhận xét: thừa số đơn vị.
Giải: Chính có nhận xét nên ta áp dụng toán dễ dàng
chng minh đợc
(2n −1)(2n+1)= 2[
1 2n−1−
1 2n+1]
VËy:
1 3= 2[1−
1 3]
1 5= 2[
1 3−
1 5]
5 7= 2[
1 5−
1 7]
1
(2n −1)(2n+1)= 2[
1 2n−1−
1 2n+1] Nªn:
1 3+ 5+
1
5 7+ +
1
(4)= 2[1−
1 3+
1 3−
1 5+
1 5−
1
7+ + 2n−1+
1 2n+1] =
2[1− 2n+1] =
2[
2n+1−1 2n+1 ]
= n
2n+1
Bài toán 6: Tính tổng:
1 5+ 9+
1
9 13+ +
1
(4n−3)(4n+1) Ta l¹i cã nhËn xÐt:
* Các thừa số mẫu đơn vị Nên áp dụng tốn ta có:
1
(4n −3)(4n+1)= 4[
1 4n −3−
1 4n+1]
VËy:
1 5= 4[1−
1 5]
5 9= 4[
1 5−
1 9]
9 13= 4[
1 9−
1 13]
1
(4n −3)(4n+1)= 4[
1 4n −3−
1 4n+1] Nªn:
1 5+ 9+
1
9 13+ +
1
(4n −3)(4n −3)(4n+1) =
4[1− 4n+1] =
4[
4n+1−1 4n+1 ] =
4 4n
4n+1= n
4n+1 Bài toán 7: Tính tổng:
1 8+
1 15+
1
15 22+ +
1
(5)* Các thừa số mẫu đơn vị áp dụng toán ta có:
1
(7n −6)(7n+1)= 7[
1 7n −6−
1 7n+1]
VËy:
1 8= 7[1−
1 15 ]
8 15= 7[1−
1 15 ]
15 22= 7[
1 15 −
1 22 ]
1
(7n −6)(7n+1)= 7[
1 7n −6−
1 7n+1] Nªn:
1 8+ 15+
1
15 22+ +
1
(7n −6)(7n+1) =
7[1− 7n+1] =
7[
7n+1−1 7n+1 ] =
7 7n
7n+1= n
7n+1 NhËn xÐt:
Qua chuỗi phân tích toán ta phát triển thêm toán khó tổng quát
c kết luận
Trờn õy số toán đợc “xâu chuỗi thành dạng toán từ toán đơn giản” Qua áp dụng thực tiến cho thấy việc làm giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức có hệ thống thời gian T sáng tạo nơi học sinh đợc phát triển cịn giúp cho học sinh có hứng thú học tập mơn Tốn
Tuy nhiên, bớc khai thác Đại số nhiều hạn chế Rất mong đóng góp ý kiến quý độc giả để sáng kiến hồn thiện
Phịng giáo dục - đào tạo Ninh giang Trờng THCS Vĩnh Hoà
-