Ta có thể sắp đặt chúng ( theo thứ tự của cấp số nhân kể trên ) như là số hạng thứ nhất , thứ hai và thứ bẩy của một cấp số cộng.. Theo giả thiết ta có hệ :.?[r]
(1)BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN I DÃY SỐ
1. viết số hạng tổng quát dãy số tự nhiên , mà số hạng chia cho dư
2. Dãy số un xác định công thức quy nạp : u13,un1 2un Tìm số hạng tổng qt dãy số tích số hạng đầu dãy số
3. Tìm số hạng tổng quát dãy số xác định công thức quy nạp : a 1
1 3,
2
n n
u u u
b u1 a u, n1 a bun ( Với a,b số )
4. Các dãy số sau có đơn điệu không ?
a
1
n u
n
b
2
n
n n
u
c
1
n n
u
5. Với giá trị a,b ,dãy số :
2
n an u
bn
dãy số không giảm ,tăng?giảm?
6. Trong dãy số sau , dãy số bị chặn ? Bị chặn hay bị chặn ? a un 2n1 b
1
n u
n
c
1
n u
n n
d un 3.2n
e
1
n n
u
7. Cho dãy số :
1
;
n n
n n
u v
n n
Tính :
; ; n n n n n
n u u v u v
v
II CẤP SỐ CỘNG
1. Ba góc tam giác vng lập thành cấp số cộng Tìm ba góc ?
2. Chứng minh tam giác ABC có ba góc với : cot ,cot ,cot2 2
A B C
theo thứ tự lập thành cấp số cộng ba cạnh theo thứ tự tạo thành cấp số cộng ?
3. Số hạng thứ số hạng thứ cấp số cộng có tổng 92, số hạng thứ tư số hạng thứ 11 có tổng 71 Tìm số hạng ?
4. Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng số hạng 176 Hiệu số hạng cuối số hạng đầu 30 Tìm cấp số ?
5. Bốn số hạng lập thành cấp số cộng Tổng chúng 22 Tổng bình phương chúng 166 Tìm số ?
6. Năm số lập thành cấp số cộng Biết tổng S , tích P chúng Tìm năm số
7 Bốn số nguyên lập thành cấp số cộng Tổng chúng 20, tổng ngịch đảo chúng
25
24 Tìm bốn số ?
8. Người ta trồng 3003 theo hình tam giác sau : hàng thứ có , hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có , v.v Hỏi có hàng ?
9. Xác định cấp số cộng cho tổng n số hạng đầu n+1 lần nửa số hạng thứ n
(2)1. Một cấp số nhân có số hạng thứ u12, công bội q 3, số hạng Tìm
số hạng cuối tổng số hạng ?
2. Trong cấp số nhân có số hạng , biết số hạng đầu u15 số hạng cuối
9 1280
u Tìm cơng bội q tổng S số hạng ?
3. Tìm số hạng cấp số nhân :
a Có số hạng mà số hạng đầu , số hạng cuối 243 ? b Có số hạng mà số hạng đầu 243 số hạng cuối ? c Trong cấp số nhân , cho q=1/4 , n=6, S=2730 Tìm u u1,
4. Tìm bốn góc tứ giác , biết góc lập thành cấp số nhân góc cuối lần góc thứ ?
5 Tổng ba số hạng cấp số nhân 248 , hiệu số hạng cuối số hạng đầu 192 Tìm ba số hạng ?
6 Chứng minh ba cạnh tam giác lập thành cấp số nhân cơng bội cấp số phải nằm
1
5
2
5 .
7 Tính tổng cạnh hình hộp chữ nhật , biết thể tích chúng
3
a , diện tích tồn phần
2ma cạnh lập thành cấp số nhân ?
IV BÀI TẬP TỔNG HỢP
1 Giả sử x x1, , xnR x x1 xn 1 Chứng minh x1x2 xn n
2 Chứng minh : 2 n n n
a b a b
với : a0,b0,n N *
3 Xét tính bị chặn tính đơn điệu dãy số sau ? a
2 1
n n u
n
b
1
1 n sin
n u
n
4. Cho dãy số có số hạng 1,8,22,43, Hiệu hai số hạng liên tiếp dãy số lập thành cấp số cộng : 7,14,21 , 7n số 35351 số hạng thứ cấp số cho ?
5 Cho phương trình : x43x2 24m x 26 n0
Tìm hệ thức liên hệ m n để nghiệm phân biệt x x x1, ,2 lập thành cấp số
cộng ?
6. Tìm m để phương trình : x4 3m5x2m12 0 có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng ?
7 Độ dài cạnh tam giác ABC lập thành cấp số nhân Chứng minh tam giác ABC có hai góc khơng q 600?
8. Tìm bốn số hạng đầu cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu
4 16
9,
đồng thời theo thứ tự , chúng số hạng thứ , thứ tư thứ tám cấp số cộng
9 Một cấp số nhân có số hạng , cơng bội q =1/4 số hạng thứ , tổng hai số hạng đầu 24 Tìm cấp số nhân ?
10 Xen vào hai số : 40 bốn số để dược cấp số cộng ? Tìm bốn số ?
(3)S=
2 2
1 1
2
2
n n
12 Với giá trị a , ta tìm giá trị x để số :
1
5 , , 25 25
x x a x x
lập thành cấp số cộng ?
13 Chứng minh dãy số : an 2.3n lập thành cấp số nhân tính tổng số hạng ?
14 Giả sử a,b,c,d lập thành cấp số nhân Hãy tính giá trị biểu thức : a c 2b c 2b d 2 a d 2
15 Giả sử số : 5x-y,2x+3y, x+2y lập thành cấp số cộng , số : y1 ,2 xy1,x12 lập thành cấp số nhân Tìm x,y ?
16 Cho cấp số cộng : u u u u1, , ,2 Chứng minh : u u1 4 u u2 6 biểu
thức A= x u 1 x u 2 x u 3 x u 49 có nghĩa với x ?
17 Chứng minh : Nếu 0N 1 điều kiện có đủ để ba số dương a,b,c
tạo thành cấp số nhân ( theo thứ tự ) :
log log log
, , log log log
a a b
c b c
N N N
a b c
N N N
18 Chứng minh , log ,log ,logxa yb zc tạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự
đó ) :
2log log
log , , , , ,
log log
a c b
a c
x z
y x y z a b c
x z
.
19 Cho ba số : x,3,y lập thành cấp số nhân x4 y 3 Tìm x,y cơng bội q
của cấp số ?
20.Cho ba số tạo thành cấp số nhân mà tổng chúng 93 Ta đặt chúng ( theo thứ tự cấp số nhân kể ) số hạng thứ , thứ hai thứ bẩy cấp số cộng Tìm ba số ?
21.a Tính tổng n số hạng : 33 333
b Tìm x để ba số : ln 2,ln 2 x1 ,ln 2 x3 lập thành cấp số cộng ?
22 Tìm bốn số biết ba số hạng đầu lập thành cấp số nhân , ba số hạng sau lập thành cấp số cộng Tổng hai số hạng đầu cuối 14, tổng hai số 12 ?
23 Tổng số hạng thứ hai thứ tư cấp số nhân tăng nghiêm ngặt 30 , tích chúng 144 Tìm tổng mười số hạng dãy số ?
24. Cho tam giác ABC có A900 cịn a,b,
3 ,c theo thứ tự lập thành cấp số
nhân Tam giác ABC tam giác có đặc điểm ?
25. Cho tam giác ABC, có ba cạnh a,b,c , theo thứ tự lập thành cấp số cộng Hãy chứng minh : cot cot2
A C
(4)
27. Tam giác ABC có : cot ,cot ,cot2 2
A B C
theo thứ tự lập thành cấp số cộng Hãy chứng minh ba cạnh a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng ?
28. Tam giác ABC có : cot ,cot ,cotA B C theo thứ tự lập thành cấp cộng Hãy chứng minh : a b c2, ,2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng ?
29 Cho tam giác ABC cân ( AB=AC ), có cạnh đáy BC , đường cao AH , cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tính cơng bội q cấp số nhân ?
30. Tam giác ABC có cạnh a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Hãy chứng minh cơng sai cấp số cộng tính cơng thức :
3
2 2
C A
d r tg tg
V HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1 : Giả sử x x1, , xnR x x1 xn 1 Chứng minh x1x2 xn n Giải
Chứng minh quy nạp - Với n=1 : x11 Mệnh đề
- Giả sử mệnh đề với n=k ( k>1 )
1 k k *
x x x x k x x x x
Nếu với xk 1 hiển nhiên : x1x2 xkxk1 k
Nếu k+1 số có số lớn , phải có số nhỏ Khơng giảm tính tổng quát , giả sử xk 1và xk11, ta có :
1 xk1 xk 1 0 xkxk1 1 x xk k1 1 Do :
1 k k 1 k k k 1
x x x x x x x x x
Theo giả thiết quy nạp , ta suy từ k số vế phải :
1 k k k
x x x x x k Từ (2) (3) suy : x1x2 xk xk1 k
Bài 2. Chứng minh : 2 n n n
a b a b
với : a0,b0,n N *
HƯỚNG DẪN
- Với n=1 Mệnh đề
- Giả sử mệnh đề với n=k ( Với k>1 ) : 2 1 k k k
a b a b
- Ta phải chứng minh :
1
1
2
k k k
a b a b
Thật , ta nhân hai vế (1) với
a b
(5)1
2 2 2
k k
k k
a b a b a b a b a b
1
1
2
4
k
k k k k
a a b ab b a b
Nhưng với a>0,b>0 : ak bka b 0 ak1bk1a b abk k
Cho nên :
1 1
3
4
k k k k k k
a a b ab b a b
So sánh (2) (3) ta điều phải chứng minh
Bài 3.Xét tính bị chặn tính đơn điệu dãy số sau ? a
2 1
n n u
n
b
1
1 n sin
n u
n
HƯỚNG DẪN
a
2 1 1
n n
u n
n n
Ta thấy :
2 1 2 2.1
2
n
n n
u
n n
Cho nên dãy số tăng , bị chặn m=2 ( Nhưng không bị chặn )
b
1
1 n sin
n u
n
- Xét hiệu :
1
1 sin sin
n n n
u u
n n
Vì biểu thức dấu móc dương
với thuộc N*.cho nên un1 un 0, n chẵn , un1 un0 n lẻ Vì dãy số cho không tăng không giảm ( Không đơn điệu )
Mặt khác :
1
1
1 sin 1 n 1n n 1n
n n
u u
n
Có nghĩa :
1 1;1
1
n
M u
m
Dãy số bị chặn
Bài 4 Cho dãy số có số hạng 1,8,22,43, Hiệu hai số hạng liên tiếp dãy số lập thành cấp số cộng : 7,14,21 , 7n số 35351 số hạng thứ cấp số cho ?
HƯỚNG DẪN
Theo đầu ta có :
2
3
4
1
7 14
21
7
n n u u u u u u
u u n
Cộng vế phương trình hệ ta dược :
1
1 14 21 7
2
n
n n
u u n
Đặt :
1
35351 35351 10100 101
2
n
n n
u n n n
(6)Bài 5 Cho phương trình : x43x2 24m x 26 n0
Tìm hệ thức liên hệ m n để nghiệm phân biệt x x x1, ,2 lập thành cấp số
cộng ?
HƯỚNG DẪN
Vì nghiệm phân biệt : x x x1, ,2 lập thành cấp số cộng , nên ta đặt :
1 , 0, 0
x x d x x x x d d Theo giả thiết ta có :
3
1 0
3 24 26
x x m x n x x x x x x x x d x x x x d
3 2
0 0
3
x x x x d x x x d x
Đồng hệ số hai vế phương trình ta có hệ :
0
0
2 2
0
2
3
0
3
1
3 24 24
1 26
26
x x
x
x d m d m
m n
d n
x x d n
Vậy với m=n ba nghiệm phân biệt phương trình lập thành cấp số cộng
Bài 6.Tìm m để phương trình :
2
4 3 5 1 0
x m x m có bốn nghiệm lập thành
một cấp số cộng ?
HƯỚNG DẪN
Giả sử bốn nghiệm phân biệt phương trình : x x x x1, , ,2
Đặt x2 y 0, ta phương trình :
2
2
3 1
y m y m
Ta phải tìm m cho (1) có hai nghiệm dương phân biệt : 0 y1 y2, Khi (1)
có bốn nghiệm : x1 y x2, y x1, y x1, y2 ( Rõ ràng : x1x2 x3 x4 )
Theo đầu bốn nghiệm lập thành cấp số cộng , nên :
3 2 2 2 *
x x x x x x y y y y y y y
Áp dụng vi ét cho phương trình (1) ta có hệ :
2
1
2
1
3 5
10 25
19
9
m m m
S y y y m
n
P y y y m
Bài 7 Độ dài cạnh tam giác ABC lập thành cấp số nhân Chứng minh tam giác ABC có hai góc khơng q 600?
HƯỚNG DẪN
Giả sử ba cạnh tam giác ABC thứ tự a,b,c Khơng giảm tính tổng qt , ta giả sử 0<a b c, chúng tạo thành cấp số nhân , theo tính chất cấp số nhân ta có : b2 ac
Theo định lý hàm số sin , ta có :
2
2 2 2 cos 2 2 osB cosB=a
2
c b a c ac B ac a c ac c
ac
Mặt khác :
2 1
2 osB 1-2
a c ac c
Vậy góc B600
(7)Bài 8.Tìm bốn số hạng đầu cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu
4 16
9,
đồng thời theo thứ tự , chúng số hạng thứ , thứ tư thứ tám cấp số cộng
HƯỚNG DẪN
Gọi : u u u u1, , ,2 số hạng cấp số nhân , với công bội q Gọi vn cấp số cộng tương ứng với công sai d Theo giả thiết ta có :
2
1 1
1 1 1
2
2
1
3
4
16 16
9
3
3 7 3
7
u u u u u u q u q
u v u q u d
u v v d u q u d
u v v d
Khử d từ (2) (3) ta : u13q2 7q4 0 4 .
Do (1) nên :
1
1
0 4
3
q u
q
Theo định nghĩa q1,
4
q
Thay vào (1) , ta :
16 64 256
4, , ,
3 27
u u u q u u
Bài 9 Một cấp số nhân có số hạng , công bội q =1/4 số hạng thứ , tổng hai số hạng đầu 24 Tìm cấp số nhân ?
HƯỚNG DẪN
Theo giả thiết ta có :
2
1 1 1 1
1
24 24 12
4
u u u u u u u u
Vậy có hai cấp số nhân tương ứng : 8,16,32,128 : -12,36,-108,-972
Bài 10 Xen vào hai số : 40 bốn số để dược cấp số cộng ? Tìm bốn số ?
HƯỚNG DẪN
Nếu xen số vào hai số để cấp số cộng cấp số có số hạng Theo đầu ta có :
1
40
4, 40 40 7,
5
u u d d
Vậy số thêm vào : 4+7,2=11,2, 18,4.,25,6,32,8
Bài 11 Tính tổng :
S=
2 2
1 1
2
2
n n
HƯỚNG DẪN
Ta có :
2
2
1 1 1
4 16 2 16 2
4 16 16
n n
n n
S n
(8)Áp dụng cơng thức tính tổng n số hạng đầu cấp số nhân :
1
n n
q S u
q
:
1
1
1 2
2
4
4 1 4.4
4
1
3 1 3 3.4
4
n n
n n n n n n
n n n
S n n n n
Bài 12 Với giá trị a , ta tìm giá trị x để số :
1
5 , , 25 25
x x a x x
lập thành cấp số cộng ?
HƯỚNG DẪN
Để số hạng lập thành cấp số cộng , ta có :
1
2
1
5 25 25 5
2 5
x x x x x x
x x
a a
Theo bất đẳng thức cô si , ta có :
2
1
5 2,5 5.2 12
5
x x
x x a
Vậy với : a12 , ba số lập thành cấp số cộng
Bài 13 Chứng minh dãy số : an 2.3n lập thành cấp số nhân tính tổng số hạng ?
HƯỚNG DẪN
Xét :
1
1 2.3 3 1
2.3
n n
n n
a a
Chứng tỏ an cấp số nhân , có cơng bội q=3 ,a12.3 6
Do :
8
8
6
3 17.680
S
.
Bài 14 Giả sử a,b,c,d lập thành cấp số nhân Hãy tính giá trị biểu thức : a c 2b c 2b d 2 a d 2
HƯỚNG DẪN
Ta có :
A=
2 2
2 2 2 2 3 3
0
a c b c b d a d a aq aq aq aq aq a aq
Bài 15 Giả sử số : 5x-y,2x+3y, x+2y lập thành cấp số cộng , số : y1 ,2 xy1,x12 lập thành cấp số nhân Tìm x,y ?
HƯỚNG DẪN
Theo giả thiết ta có hệ :
2 2
10
2 4
5 2
3
2
1 1 0, 0
0
5
3
,
4 10
x x y
x y
x y x y x y x y y
x y
x y
y x xy x y
xy x y
y y y y
x y
Bài 16 Cho cấp số cộng : u u u u1, , ,2 Chứng minh : u u1 4 u u2 6
biểu thức A= x u 1 x u 2 x u 3 x u 49 có nghĩa với x ?
(9)Theo tính chất cấp số cộng , ta có : u1u4 u2u3
Do : x u 1 x u 2 x u 3 x u 4 x2 u1u x u u4 4 x2 u2u x u u3 3 (*)
Đắt : tx2 u1u x x4 2 u2u x3 , :
(*) f t( ) t u u1 4 t u u 3 9 t2 u u1 4u u t u u u u2 3 39
Với :
2
1 4 36 36
t u u u u u u u u u u u u
.
Rõ ràng : u u1 4 u u2 6 t 0 f t( ) 0 t A có nghĩa với x
Bài 17 Chứng minh : Nếu 0N 1 điều kiện có đủ để ba số dương
a,b,c tạo thành cấp số nhân ( theo thứ tự ) :
log log log
, , log log log
a a b
c b c
N N N
a b c
N N N
HƯỚNG DẪN
Theo giả thiết , ba số a,b,c lập thành cấp số nhân : ac b 1 Lấy logarit số N hai vế (1) ta có :
logN ac logNb logNa logNC 2logNb
Sử dụng công thức đổi số :
(2)
1 1 1
logaN logC N logbN loga N logbN logb N logC N
log log log log log log log log log log
log log log log log log log log log log
b a c b b a a a b a
a b c b c b c b c c
N N N N N N N N N N
N N N N N N N N N N
Bài 18 Chứng minh , log ,log ,logxa yb zc tạo thành cấp số cộng ( theo
thứ tự ) :
2log log
log , , , , ,
log log
a c b
a c
x z
y x y z a b c
x z
.
HƯỚNG DẪN
Theo giả thiết :
2log log
1
log log 2log log
log log log log log
a c
x z y b
a c b a c
x z
a c b y dpcm
x z y x z
Bài 19 Cho ba số : x,3,y lập thành cấp số nhân x4 y 3 Tìm x,y cơng bội
q cấp số ?
HƯỚNG DẪN
Theo giả thiết :
5
2
2
5
9
9 3
3
3
3 9 3 3
y x
y
xy x x
x
x y x x y y
x x
Bài 20.Cho ba số tạo thành cấp số nhân mà tổng chúng 93 Ta đặt chúng ( theo thứ tự cấp số nhân kể ) số hạng thứ , thứ hai thứ bẩy cấp số cộng Tìm ba số ?
HƯỚNG DẪN
Gọi ba số cho : u u u1, ,2 theo thứ tự ba số cấp số cộng
(10) 2
1 1
1 1
1
2
1 7 1 1
2 1
1
1 93 *
93 * 1 93 *
1 1
1
6
2 6 1 5
1
2
v q q
v v v u q q
v u d u q
u q u q
u d v q d u u u q
d u q u d v q
Từ (2) (2) cho ta phương trình (4) Cịn từ (2) (3) cho phương trình (5) Mặt khác từ (4) (5) cho phương trình (6)
Do :
1
0, 1
6
u q q q
Theo (*) : v15v125v1 93 u1 3 Vậy ba số cần tìm : 3,15,75
Bài 21.a Tính tổng n số hạng : 33 333
b Tìm x để ba số : ln 2,ln 2 x1 ,ln 2 x3 lập thành cấp số cộng ?
HƯỚNG DẪN
a Tính tổng n số hạng : S=3 33 333
Ta có : S=3(1+11+111+ +11 (n chữ số 1))
=
2
2
10 10 10
10 10 10
9 9
n n n =
1 10 1
10 10 10
3 10 27
n
n
n n
b Tìm x để ba số : ln 2,ln 2 x1 ,ln 2 x3 lập thành cấp số cộng ? Điều kiện : 2x1 0 2x 1 20 x0 *
Khi ta có phương trình :
2
2ln 2x ln ln 2x 2x 2x
2
2
2
2 4.2 log
2
x x x x x
Bài 22 Tìm bốn số biết ba số hạng đầu lập thành cấp số nhân , ba số hạng sau lập thành cấp số cộng Tổng hai số hạng đầu cuối 14, tổng hai số 12 ?
HƯỚNG DẪN
Gọi số phải tìm a a a a1, , ,2 Theo đầu ta có hệ :
2 2 1 2
2
1
2
2
1
3
2
1
1 1
2 2 2
2
*
2
2 14 14
2
12
14 12
12 12 4
12
a a a d a q a q a d
a a a
a d a
a a d
a a a
a
a a a q a q
q q
a a a a d
d a
Giải hệ thống phương trình ta có kết :
Đáp số :
25 15 2, 4,8,12 , , , ,
2 2
(11)HƯỚNG DẪN
Gọi cấp số nhân tăng nghiêm ngặt : an Theo đầu ta có a a2, hai nghiệm
phương trình :
1 2 1 2 6 6 2 2 24 24
30 144 24
24 24 24 24
6
6
24
2
a q a
a q a
q q
a a q
t
t t a q
t a a q a
a a q q
q
Do cấp số nhân tăng nghiêm ngặt , q>1 , ta chọn a13,q2
Cho nên :
10
10
2
3 1024 3069
S u
Bài 24. Cho tam giác ABC có A900 cịn a,b,
3 ,c theo thứ tự lập thành cấp
số nhân Tam giác ABC tam giác có đặc điểm ?
HƯỚNG DẪN
Theo giả thiết ta có hệ :
0 2
2 90 , , , 3
A a b c
b ac b ac
a b c
Từ suy :
2 2 3 2 2 2 0 2 2 0
2
a ac c a ac c a c a c a c a c
Mà :
0
c
osB= 60 , 30
a
c B C
Vậy tam giác ABC tam giác nửa
Bài 25. Cho tam giác ABC, có ba cạnh a,b,c , theo thứ tự lập thành cấp số cộng Hãy chứng minh : cot cot2
A C
HƯỚNG DẪN
Nếu ba cạnh a,b,c lập thành cấp số cộng ta có : a+c=2b
A-C B
sin sin 2sin 2sin os 4sin os
2 2
A C B
A C B c c
(1) Vì : 0 0 B
sin sin 90 os
2 2
180 90 *
2
os os 90 sin
2 2
A C B
c
A C B
A C B
A C B B
c c
Do (1) trở thành :
A-C A+C A-C A-C A+C
sin os 2sin os os 2sin os os
2 2 2 2
A C A C B
c c c c c
A C C A C
os os sin sin 2cos os 2sin sin os os 3sin sin
2 2 2 2 2 2
A C A A C A C
c c c c c
cot cot
2
A C
dpcm
(12)HƯỚNG DẪN
Từ giả thiết ta có hệ phương trình :
t anAtanB=6 tanAtanC=3
Mặt khác ta có :
t anA+tanC t anA+tanC
tan tan t anA+tanC
1 t anAtanC 1-3
B A C
2 2
2 tanB t anA+tanC 2tanAtanB=2tan A t anAtanC 2.6=2tan A tan A
Theo giả thiết : tanAtanB=6>0,tanAtanC=3>0 tanA>0,tanB>0,tanC>0
Suy : tanA=3 ,tanB=2 tanC=1 Điều chứng tỏ tanA,tanB,tanC lập thành cấp số cộng có cơng sai d=1
Bài 26'. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện : tagA,tangB,tangC theo thứ tự lập thành cấp số cộng Hãy tìm giá trị nhỏ góc B có ?
HƯỚNG DẪN
Theo giả thiết : tanA,tanB,tanC lập thành cấp số cộng ta có : tanA+tanC=2tanB
sin sin 2sin sin
t anA+tanC=
osA.cosC osA.cosC osB osA.cosC
A C B B B
c c c c
2
2cos osC=cosB cos A+C os A-C osB
osB osA.cosC A c c c
c c
osB+cos A-C osB cosB= os A-C
2
c c c
( 0<cos(A-C)1 )
Do 0<B Giá trị nhỏ B
Bài 27. Tam giác ABC có : cot ,cot ,cot2 2
A B C
theo thứ tự lập thành cấp số cộng Hãy chứng minh ba cạnh a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng ?
HƯỚNG DẪN
Theo đầu ta có :
B
sin os sin
2 2
cot cot 2cot 2
B A+C
2 2 sin sin sin os
2 2
A C A C
c
A C B
A C
c
A+C A-C A+C
sin os 2sin sin sin os os sin
2 2 2 2
A C A C A C A C
c c c
A+C A-C
2sin os os sin 2sin sin sin
2 2 2
A C A C
c c A C A C
sinA sinC 2sinB a c 2b
Chứng tỏ ba cạnh tam giác lập thành cấp số
cộng
Bài 28. Tam giác ABC có : cot ,cot ,cotA B C theo thứ tự lập thành cấp cộng Hãy chứng minh : a b c2, ,2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng ?
HƯỚNG DẪN
Theo giả thiết ta có : cotA+cotC=2cotB
2
sin 2cos
sin 2sin sin cos os A-C os A+C osB sin sin sin
A C B
B B C B c c c
A C B
2
sin B cos A-C osB-cos A+C osB=-cos A-C os A+Cc c c cos B
(13)
2 2 2
sin os2A+cos2C sin 2sin 2sin sin
2
B c B A C B
2 2 2
2sin B sin A sin C 2b a c
Vậy chứng tỏ a b c2, ,2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng
Bài 29 Cho tam giác ABC cân ( AB=AC ), có cạnh đáy BC , đường cao AH , cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tính cơng bội q cấp số nhân ?
HƯỚNG DẪN
Theo giả thiết : AB=AC, BC,AH,AB lập thành cấp số cộng ta có hệ :
1
2cot
sin
BC HC
C
q AH AH
AH
B q AB
Cho nên từ ta có kết quả
sau : 2cotC=sinC , hay :2cosCsin2C 1 cos2C
2
os 2cos osC=-1+ 90
c C C c C
Do C nhọn sinC 2 1
Cho nên công bội cấp số nhân :
1 1
2 sin 2 2 1
q
C
Bài 30. Tam giác ABC có cạnh a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Hãy chứng minh cơng sai cấp số cộng tính cơng thức :
3
2 2
C A
d r tg tg
HƯỚNG DẪN
Theo giả thiết : a,b,c lập thành cấp số cộng ,
cho nên công sai d=
c a
(1)
Ta có : cot cot cot cot
B C B C
a r r r
Tương tự : cot cot
B A
c r
Thay vào (1) ta có :
tan tan
1 1 1 2 2
cot cot
2 2 tan tan tan tan
2 2
C A
A C
d r r
A C A C
Mặt khác theo 25 thì
1 cot cot tan tan
2 2
A C A C
Thay vào (2) ta có :
tan tan
1 2 2
tan tan
2 2
3
C A
C A
d r r
( Điều phải chứng minh ) A
H
B C
A
B CC
(14)