Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với BM tại N luôn luôn đi qua một điểm cố định và N luôn chuyển động trên một đường cố định.. 9.2[r]
(1)10 ĐỀ TOÁN LUYỆN THI TRUNG HỌC CƠ SỞ
1 ĐỀ SỐ 1
(Thời gian làm 150 phút)
Bài (2,0 điểm)
1 Cho số A = Hãy thay x, y chữ số để A chia hết cho 15 Tìm số nguyên tố p cho p + p + số nguyên tố
Bài (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình sau:
2
2
6
3
1
1
x
xy
x
y
x
y
Bài (2,5 điểm)
1 Tìm tất cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn phương trình: 36x + 144y − 276x − 120y + 25 =
2 So sánh hai số A = 1.2.3…20 B = + + + … + 1000000
Bài (3,0 điểm)
Cho đường trịn (O ; R) điểm M nằm ngồi đường tròn Kẻ hai tiếp tuyến
MB, MC đường tròn (O) tia Mx nằm hai tia MO MC Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đường thẳng cắt đường tròn (O) điểm thứ hai A, AC
cắt Mx I Vẽ đường kính BB’ Qua O kẻ đường thẳng vng góc với BB’, đường cắt MC, B’C K E Chứng minh rằng:
1 Tứ giác MOIC nội tiếp đường tròn OI vng góc với Mx
3 ME = R
4 Khi M di động mà OM = 2R K chuyển động đường nào? Tại sao?
Bài (1,0 điểm)
Cho l, l, l thứ tự độ dài ba đường phân giác tam giác ABC, ứng với ba cạnh a, b c Chứng minh rằng:
(2)Bài (2,0 điểm)
1 Tìm tất cặp số nguyên không âm (x ; y) thỏa mãn phương trình:
x − y = x + xy + y
2 Cho a, b, c thỏa mãn = = Chứng minh 4(a − b)(b − c) = (c − a)
Bài (2,0 điểm)
1 Chứng minh rằng: Với a, b hai số dương bất kì, ta ln có:
2
2
a b
ab
2 Tìm giá trị nhỏ hàm số:
2
5 3
( )
1
x
f x
x
Bài (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: |x| + |x + 1| − |2x + 1| =
2 Cho góc nhọn Với giá trị sin + cos đạt giá trị nhỏ nhất?
Tìm giá trị nhỏ
Bài (4,0 điểm)
1 Cho hình thang ABCD Hai điểm M, N thứ tự thuộc cạnh bên AD, BC cho MN // AB Giả sử AB = cm, CD = cm MN = cm Tính diện tích tứ giác ABNM CDMN theo diện tích tứ giác ABCD
2 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) Gọi H trực tâm tam giác ABC
a Kéo dài AH cắt BC A’, BH cắt AC B’, CH cắt AB C’ Gọi H’ tâm đường trịn nội tiếp tam giác A’B’C’ Em có nhận xét hai điểm H
và H’?
b Khi A chuyển động cung lớn BC cố định độ dài đoạn AH có thay đổi hay khơng? Vì sao?
(3)(Thời gian làm 120 phút)
Bài (2,0 điểm)
1 Chứng minh tích số phương với số tự nhiên liền trước ln chia hết cho 12
2 Tính giá trị biểu thức A = (3 + 1)(3 + 1)(3 + 1)(3 + 1)(3 + 1)
Bài (1,5 điểm)
Giải phương trình:
2
3
3
5
5
2
x
x
x
x
x
x
x
Bài (2,0 điểm)
Cho biểu thức sau:
3
3
3
2
2
2
3
(
)
(
)
(
)
a
b
c
abc
B
a b
b c
c a
1 Tìm điều kiện a, b, c để B có nghĩa Rút gọn B
3 Cho biết abc = Tìm giá trị nhỏ B
Bài (1,5 điểm)
Cho phương trình: x − 2mx + m − m + = với m tham số Giải phương trình với m =
2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x, x
3 Với điều kiện m vừa tìm được, tìm giá trị m để biểu thức
C = xx − x − x đạt giá trị nhỏ
Bài (3,0 điểm)
1 Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c có R bán kính đường trịn ngoại tiếp thỏa hệ thức: R(b + c) = a
Hãy tính góc tam giác ABC
2 Cho tam giác ABC vuông đỉnh A, đường cao AH, I trung điểm AH, K
là trung điểm HC Đường trịn đường kính AH kí hiệu (AH), cắt cạnh AB, AC M N
(4)1 Cho số a, b có tích tổng bình phương 13 Tính giá trị biểu thức: S = a + b
2 Chứng minh rằng: Với số nguyên n, ta có: n + 5n chia hết cho
Bài (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: x −19x = 30
2 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x có nghĩa với giá trị x a:
2
2 2
2
2 2
(
)(1
)
1
(
)(1
)
1
x
a
a
a x
A
x
a
a
a x
Bài (1,5 điểm)
1 Cho số thực dương a, b thỏa mãn ab = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = (1 + a)(1 + b)
2 Tìm tất số nguyên dương a, b thỏa mãn ab = 3(b − a)
Bài (4,0 điểm)
1 Cho tam giác ABC có điểm M thuộc BC Gọi E, F hình chiếu vng góc M AB
a Chứng minh M di động BC ME + MF khơng thay đổi
b Gọi O trung điểm EF; Q hình chiếu vng góc A đường thẳng OM Chứng minh Q ln thuộc đường trịn cố định
M chuyển động đoạn BC
2 Cho tam giác ABC cân A có góc A 45 nội tiếp đường tròn (O ; R)
a Tính số đo góc tam giác ABC OBC b Tính diện tích tam giác ABC OBC theo R
Bài (1,0 điểm)
Vẽ đồ thị hàm số sau:
(5)(Thời gian làm 120 phút)
Bài (2,0 điểm)
1 Giải phương trình:
2 Có số x, y thỏa mãn hai phương trình sau khơng?
5
3
3
25
9
51
x
y
x
y
Bài (2,0 điểm)
1 Cho S = + + + … + Tính S Cho biểu thức:
2
3
2
2
1
1 1
:
4
: 1
a
a
b
a
b
a b
A
b
a b
ab
a
a Tìm điều kiện để biểu thức A xác định b Rút gọn A
Bài (2,0 điểm)
1 Chứng minh bất đẳng thức sau với số dương a, b:
2
ab
4
ab
a
b
2 Cho x ≠ − Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
2
1
2
1
x
x
B
x
x
Bài (4,0 điểm)
Cho đường trịn (O ; R), đường kính AB cố định CD đường kính thay đổi khơng trùng với AB Tiếp tuyến đường trịn (O) B cắt đường thẳng AC
và AD E F
1 Chứng minh tích BE.BF khơng đổi Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp
3 Gọi I trung điểm EF K giao điểm AI và CD Chứng minh CD di động K chạy đường cố định
4 Chứng minh tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác CEFD ln nằm đường thẳng cố định
2
2
(6)1 Rút gọn biểu thức sau:
4 3
4 3
4
15
10
6
4
15
8 2 2
2
3
2
2
1
2
A
B
C
2 Giải phương trình: x − 6x −27 =
Bài (1,0 điểm)
Cho x, y, z ba số nguyên tính chẵn lẻ Chứng minh rằng: (x − y) + (y − z) + (z − x) chia hết cho 24
Bài (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình sau:
4 4
1
x
y
z
x
y
z
xyz
Bài (2,0 điểm)
1 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh phương trình: cx + (a − b − c)x + b = vô nghiệm
2 Cho số dương x, y có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:
a D = x + y
b E = x + y
c F = 8(x + y) +
Bài (4,0 điểm)
Cho hình vng ABCD, cạnh AB = a Trên cạnh BC CD tương ứng lấy điểm M và N cho chu vi tam giác CMN 2a
1 Tính số đo góc MAN
2 AM, AN cắt BD E F Chứng minh MEFN tứ giác nội tiếp Gọi I giao điểm MF NE AI cắt MN H Tính AH theo a
4 Chứng minh độ dài đoạn BE, EF, FD lập nên tam giác vuông
(7)
Bài (2,0 điểm)
1 Chứng minh phương trình x − 3x + = có nghiệm
3
3
0
7
50
7
50
x
2 Tìm số phương có bốn chữ số khác nhau, tạo chữ số 0, 2,
Bài (1,5 điểm)
1 Giải phương trình (x − 3x) − 6x − 18x = Cho hai số a b khác thỏa mãn + =
Chứng minh phương trình ẩn x sau ln có nghiệm:
x ax b x bx a
2
2
0
Bài (2,0 điểm)
1 Cho số a, b, c có tích Tính giá trị biểu thức:
1
1
1
a
b
c
ab a
bc b
ca c
2 Chứng minh bất đẳng thức sau:
2
2
6,000009
6,000007
5,000009
6,000009 5,000007
6,000007
Bài (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O ; R) điểm A nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp
2 Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh OE.OA = R
3 Trên cung nhỏ BC đường tròn, lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K đường tròn (O) cắt AB, AC thứ tự P Q Chứng minh chu vi tam giác APQ không đổi K chuyển động cung nhỏ BC
4 Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự điểm M, N Chứng minh PM + QNMN
Bài (1,5 điểm)
(8)5
3
29 12 5
A
y − 3y + 2x =
2 Tính giá trị biểu thức: Giải pương trình:
2
8
1
x
x
x
Bài (2,0 điểm)
1 Chứng minh biểu thức sau xác định với x:
8
4
4
2
3
4
2
x
x
B
x
x
Với giá trị x B đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ Giải hệ phương trình:
Bài (1,5 điểm)
1 Cho số dương x, y thỏa x + y Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
2
4
4
C
x
xy y
xy
2 Tìm số khơng âm x, y biết x + y + = + +
Bài (1,5 điểm)
(Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình)
Hai tỉnh A B cách 120 km Lúc 45 phút xe máy từ A đến B, 15 phút sau tô khởi hành từ A để đến B Vì vận tốc tơ lớn vận tốc xe máy 10 km/h, nên xe máy đến B muộn ô tô tới 45 phút Hỏi ô tô đến B
lúc giờ?
Bài (3,0 điểm)
Cho đường trịn (O), đường kính AB = 2R Gọi K điểm cung AB,
M điểm lưu động cung nhỏ AK (M khác A K) Lấy điểm N đoạn BM cho BN = AM
1 So sánh số đo hai góc AMK BNK Định dạng tam giác MKN
3 AM cắt OK D Chứng minh MK đường phân giác góc DMN
4 Chứng minh đường thẳng vng góc với BM N luôn qua điểm cố định N chuyển động đường cố định
9 ĐỀ SỐ 9
2
2
11
30
x y xy
x y xy
(9)Bài (2,0 điểm)
1 Cho a + b + c = Chứng minh rằng: a + b + ac + bc = abc
2 Chứng minh rằng: Tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với số phương
Bài (2,0 điểm)
1 Cho số thực x, y, z thỏa mãn xyz ≠
Tính giá trị biểu thức: M = (a + b)(b + c)(c + a) Cho số x, y thỏa mãn:
x
2013
x
2
y
2013
y
2
2013
Chứng minh tổng S = x + y không phụ thuộc vào giá trị x y
Bài (2,0 điểm)
1 Giải phương trình:
8
2
8
1
x
8
1
x
1
x
3
2 Tìm tất cặp số dương x, y thỏa mãn hệ:
2009
2012
2012
8
2
x
y
xy
y
x
x
y
xy
Bài (1,5 điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên:
1 x − xy = 6x − 5y −
2 |x − y| + |y − z| + |z − t| + |t − x| = 2013
Bài (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H
1 Xác định vị trí điểm M thuộc cung BC không chứa A cho tứ giác
BHCM hình bình hành
2 Với M thuộc cung nhỏ BC ; gọi N E điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh N, H, E thẳng hàng
1 1
1
(10)2012
2012
2012
20102011201220132014
19971998199920002001
x
y
z
xyz
2 Kí hiệu [x] dùng để số ngun lớn khơng lớn x Tính:
1
2
3
4
49
50
Bài (2,0 điểm)
1 Rút gọn biểu thức:
2 Giả sử a + b = c + d = Chứng tỏ rằng: ad + bc
3 Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y
x
y
k
x
y
x
y
Hãy tính giá trị biểu thức sau theo k:
8
8
8
8
8
8
8
8
x
y
x
y
x
y
x
y
Bài (2,0 điểm)
1 Chứng minh rằng: Với x, ta có:
2
2
1
2
4
3
3
2
4
x
x
x
x
2 Tìm số dương x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:
6
1 1
4
2
x y z
x
y z
xyz
Bài (4,0 điểm)
1 Cho tam giác ABC, đường thẳng BC lấy điểm D (D không thuộc đoạn thẳng BC) cho AD = BD.CD Chứng minh DA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết = Tính số đo góc tam giác ABC
3 Cho hình thoi ABCD Tìm điểm M hình thoi cho
AMB CMD
180
0