Đang tải... (xem toàn văn)
Biện luận số nghiệm của HPT theo m.[r]
(1)CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH
I.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 1:
2
2
4 2
2 2
2
3
5( ) 19 / / 18 49
1 / ; / ;3 / ; /
3 35 12 ( ) 180
17 ( )
4 5
5 / ;6 / ;7 / ;8 /
2 7 ( 1)
x y xy
x y xy x y y x x y xy
x y xy x y xy x y xy x y
x y x y xy
x y x y x y
x y xy x y xy xy x y xy
4
78 97
x y
2 3
4 ( )(1 ) ( 1) (1 )
9 / ;10 / ;11/
1
4 ( ) ( )
x y x y y x x y xy x x y y
xy xy x y y x
x y x y y x xy xy xy y
II.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 2:
2 2
2
2 2
2
2 2
2
13
1/ ; / 2;3/ 1; / ;5 /
13
2
xyz x y z
xy z x y z x yz x
x x y yzt y z t
yz x y z x y zx y
ztx z t x
y y x
zx y z x y z xy z
txy t x y
3 2 2
3 2 2
2 3
6 / ;7 / ;8 /
2 3
x x y x x y x y y
y y x y y x y x x
III.Hệ phƣơng trình đẳng cấp:
2 2 3 3 3
2 2 2 2 5 2
2 11 ( )(2 3)
4 5 17 2
x xy y x xy y x y x y x y xy x y
x xy y x xy y x y xy y x xy y x y x y
2 5 3 2 3
5 2 3 2 2
5 7( ) 31( ) 2
6 / ; / ;8 / ;9 / ;10 /
11( ) 3
x y x y x y x y x x y x xy y
x y x y x y xy x y xy x y x y xy x y
2 2 3 3 2
3 2 5 3 3
3 2
11/ ;12 / ;13 / ;14 / ;15 /
2 2 2 3
x y xy x y xy y x xy x y x y
x y x y x y xy x y xy x y x y x xy y
IV.Hệ phƣơng trình vơ tỉ:
2 2
2
2 2
30 8 2
128
35 128 16
x y y x x y x y x y x x y xy S P P
x y
x x y y x y x y S P
2
3
2 2
3 3
2(1)
2
2( ) 3( )
; ; ;
2
6
x y x y
x y x y
x y x y xy
y x y x
x y x y x y
(2)2
3 20 /
20 2
; ; ; ( )
3 23
136 16 /
x y x y y x x y x y
x y x y x y x y
x y
x y x y x y x y x y x y
3
6
2
2 2 1
11/ ;12 / ;13 / ;14 /
1 2 1 2
2
x y x y x y x y
y x y x x x y y
x y xy
2 2
1 1
( 3)
15 / ;16 / ;17 / ;18 /
2
1 1 1
x y
x y x y
y x x x x x y y
x y x y
x y x xy y x x y x y
1 3
2
19 / ; 20 / ; 21/ ; 22 /
3
x y x y x y
x y y x
x y xy y x y x y x
2 2
2 2 2 2
1 1 1 91
23 / ; 24 / ; 25 / ; 26 /
2
1 1 0,5 91
x y x y x y y x x y x y y
x y xy
x y x y x x y y y x x
2
1 12 ( ) ( 42 )
2
27 / ; 28 / ; 29 /
2 2 12 ( ) ( 42 )
y x x y x y
xy x y x y
x y y x x y y x y y x x
V Giải HPT pp đánh giá:
2 2
2
2
2 2
1 1/ 1 2 /(1 ) 2 /(1 )
2
1; 1/ 1; /(1 ) ; /( 1) ;
2
1/ /(1 ) /( 1)
1
12
x y yz
x y x y x x y x x y
z y xz
y z y z y y z y y y z
x z yx
z x z z x z z z z x
z x
x y z
2 2
2 2
3 4 2
1 ( 1)
1
1
; ;
1 1 4
xy z
z xy
x y x y z
x y x y z x yz xy x yz xy
VI Một số HPT khác:
2 2 3
3
2 2 2
6 ( ) ( ) ) 7 1/ 1/
; ; ; ;
2
( ) 10 ( )( ) 15
2
x y x y
x x y y
y x y x x y x y x x y y
x y x y
y x
x x y y x y x y x y x y
xy
2
2 2 2
(3 )( 1) 12 ( 2)(2 ) ( )(1 / )
18
6 / ; ; ;9 /
( 1)( 1) 72 ( )(1 / ) 49
x x y x x x x y x y xy
x y x y
xy x y x x y x x y x y x y
(3)2 2 2
2 2 2
2 9
6 ( )( ) 45
10 / ;11 / 189 189;12 / ( )( ) 63
( )( ) 54
14
x y z x u v
x y z x y x y z
xy yz zx x y z x u v y z x y z
z x x y z
x y z xz y xv u
5 6( ) 24( ) ( )
13 / 12( );14 / 24( ); ; 5;17 / ( )
3 4( ) 4( ) ( )
xy x y xyz x y xy a x y xy x x y z yz
yz y z xyz y z yz b y z yz y x y z xz
xz z x xyz z x zx c z x zx z x y z xy
2 2 2 2
2 3 2
2 / ( 1) 1 11
18 / ;19 /
1
2 2( 1)
x y x y y x x x x y x y
y
x x y x y x y x y
2 2 2
3 2
2
1 / / ( )
20 / ; 21 /
18 27
2
2 2
1
x y x y x y x y x x y
x y y
y
x y xy
x y xy
3 2 2
3
16
22 / , 8 2; 23 /
3 ( )(1 )
x y x y x y xy
x y x y x y x y
x y x y xy xy
4 4 32
24 / ( 32 ) ( 32 ) 21 12 12 16;
32 24
x x y
x x x x y y VT x y
x x y
4 2 2 3
3 2 2
1 1
25 / ; 26 /
1
1 ( 1)( 1)
x x y x y x x y x y x x x y x y y
y xy
x y x xy xy x x y x y
2
2 2 2
2 2
1 / / ( ) 6
6 1; (1 / 2;1)
27 /
2 2;1 (1; 2)
1 / 5
1
x y x y yz z y SP
y xy x S y
P z
x y z y S P
x y x
3 3 3 3
2
1 19 / 19 19 / 16 /
28 / ; 29 /
/ /
1 / / ( )
6
x y x x y z y xy x y
xy y x
x y x y zy z y
y xy x
2 2
2
4
(2 ) 5(4 ) 6(2 )
31 / ;32 / ;33 /
2 (2 ) 0
x y x y x y x y
x y x y x y
x y x y x xy y x xy y
3 2
5
2 ( ) 34 ( 1)( 1)
34 / ;35 / ;36 /
6 18 ( 1)( 1) 30 32
x y xy x y x y z x x y y
x y z x y
x y xy
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( 1) 2 2
38 / ;39 / ; 40 / ; 41/
( ) 1 13 2
x x y xy x y x y x x x y x
x y x x y xy y x y x y xy x y xy x
2 2 2
2
3 2
26
2( )
42 / ; 44 / ; 45 / ; 46 /
24 1
2
x y y x
x y x y x y xy x y
x y x y xy
x xy x x y
(4)2 2
2 2
2 2 ( 1)(2 1)
47 / ; 48 / ; 49 /
( 1)(3 2)
3 12 12 10
x xy x y x y x y x xy y x y
x y x y
x xy x y x xy y x y
2 2
2 2
2 3 2 13
50 / ;51/ ;52 /
1 12
3 32
x xy y x y x xy y x xy xy x y y x
xy xy x y y x
x y xy y y
2
2
2
2 / (1 ) ( / 7)
53 / 2 / (1 ) (2 / 7)
8 (4 / 7)
2 / (1 )
x x y y y x x y tan a x tan k
y y z z x y z z y y z tan a y tan k
x tan a z tan k
z z x x x z z
2
2 2
2 2
6 ( ) 13 0 / / 13
3
54 / ( ) 0 / / 10;55 /
2
6 / /
6 ( )
x y z yz x y z xy z xz y
xy y x y
y z x zx y z x xy z yz x
x xy y
z R x R y R xz y yz x
z x y xy
Khảo sát (2) ta thấy: x > y > nên (1) VN
Nếu x = từ (2) suy y = 1, thỏa mãn (1) Nếu Vậy
HPT có nghdn x = y =
Từ ĐK HPT
Vậy HPT có nghiệm ( 1; ) ( -2; )
2 2
2 2
1
1 /
58 / ;59 / ;60 / ;61 /
( ) 2 6
x y
x y xy y x x y x y x x y
y x y x y x y x xy y y x y x y
62/ Tìm GT m để HPT sau có nghiệm thực:
3
2 2
3 0(1)
1 0(2)
x y y x
x x y y m
3
2 2
2 2
2
63 / ;64 / ;65 / ;
2
1
x y x y x y x xy x y
x x y y x y
x y x y
2
2 2
2 2 2
3
1 ( ) 4
66 / ;67 / ;68 / ;
( 1)( 2) 1 22
x y xy
x y x y y x x y y
x x y y x y x y x y
1 2 3
2 2 2
2
(1 )5 3( ) 27 18
69 / ;70 / 71 /
7( )
3 /
x y x y x y
x xy y x y x y y
x xy y x y x y x y
x y y x y
(5)2 2 2
3
2 4( ) / ( )
72 / ;73 / ;74 /
2 / ( )
2 2
x y x y
y x x xy y x y
x x y
x y y x y x y
75/
3 2 2
2 2
3 22 ( )( 9) 22 3( )(1)
1 ( 2) ( 2) 1(2)
x x x y y y x y x y xy x y
x y x y x y
Từ (2) a x: 1 2cosa y; 1 2sina Thay vào (1) ta được:
(1cosasina)(3 2cosasinacosasina(cosasina) 37 4) 223(1,5cosasina) Đặt t = cosa – sina PT trở thành:
2
(1t)(1,5 t (1 t ) 2t 37 4) 223(1,5 t) 2t 39t41 0 t 1(t 2)
2cos a( 4) a 2k 2k
HPT có nghiệm:(3/2; -1/2) (1/2; -3/2 )
VII Biện luận hệ phƣơng trình:
1/ Tìm gt m để hpt sau có nghiệm:
2 (1)
x y xy m
x y m
Giải: Đặt S = x + y; P = xy S P m&S22P m S22S3m 0 ' 3m 0 m 1/ 3 Để
(1) có nghiệm S24PS22P2P m 2P m 2(m S ) m 2S m 2 3m 1 0 Để (1)
có nghiệm ta cần đk: m 3m 1 3m 1 m m 8 ( m0 từ pt thứ hai hệ
2/ Giải bl hpt:
2 2
x xy y mx
y xy x my
Giải: Trừ vế pt ta đƣợc: (xy x)( y m)0
a/ x y 3x2m x( 1) x 0;(m1) /
b/ y m x x2(m1)x m (m1)(m5)
Kết luận: +/ < m < 5: hpt có nghiệm x y 0;x y (m1) /
+/ m 1 m 5: hpt có nghiệm: x y 0;x y (m1) / 3;( ; )
2
m m
3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:
2
2
1(1)
3 (2)
x xy y
x xy y m
(6)Giải: Đặt x ty (1) :y t2( 2 t 1) 1(3) Vì t2 t 0 với t nên (3) ln có nghiệm Từ hpt ta suy ra:
2 2
(t 3t 2) /(t t 1) m (m1)t (3 m t) m 0(4) +/ m = 1: t = 1/2 hpt có nghiệm
+/ m1: (4) có 3(m4)(m6)
Từ ta suy hpt có nghiệm 4 m 6
4/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 1
1 1
x y
x y y x x y m
Giải: hpt cho tđ với:
2
3( , 0)
/
( 1) ( 1)
u v u v S
P m
u v v u u v m
hpt có nghiệm 0 m 27 / 4
5/ Xác định a để hpt sau có nghiệm nhất:
2
2
4
y x x ax
x y x ay
Giải: a/ đk cần: gs hpt có nghiệm: ( ;x y0 0) có nghiệm (y x0; 0) để hpt có nghiệm
3
0 0 0
x y x x ax Vậy hpt có nghiệm dn 25 4 a 0 a 25/ 4
b/ đk đủ: hpt tđ với
2
2
4
( ) 3( )
x y y ay
x y x xy y x y a
Do pt x2xy y23(xy) a
2
( 3)
x y xy y a có x (y3)24(y23ya) 3y26y 9 4a 0 y '
12(3 )
y a
a > 25/4
Với x = y hpt trở thành x x( 25xa)0 Do a25/ 4 25 4 a0 nên pt có nghiệm x = đó hpt có nghiệm x = y = Vậy với m < 25/4 hpt cho có nghiệm
6/ Giải biện luận hpt: x y xy a
x y a
Giải: trừ vế hai pt ta đƣợc: 2y xy 0 y x (y y0)
(7)MỘT SỐ BÀI TẬP:
1/ Chứng minh hpt sau có nghiệm:
2
2
3
x xy y k
y xy
2/ Tìm GT m để hpt sau có nghiệm: 4(13/ 7)
x y
m
x y m
3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm nhất:
3 2
3 2
7
x y x mx
y x y my
có nghiệm ( m > 16 ) 4/Cminh với m, hpt sau ln có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm nhất:
2
2
( 1)
( )
x y xy m
m
xy x y m m
5/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:
2
2
3 11 59 3897 59 3897
4
2 17
x xy y
m
x xy y m
6/ Cho HPT: 2
( ) & ( )
x my m d x y x C Biện luận số nghiệm HPT theo m Khi HPT có hai nghiệm 1 2
( ;x y) & ( ;x y )hãy tìm GT m để GTBT 2
2
( ) ( )