a) Chøng minh tø gi¸c ADHE néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. Chøng minh OA vu«ng gãc víi DE.. a) TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp... b) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh chãp.. c) Tõ gi¸c APB[r]
(1)Tuyển tập đề thi mơn tốn Trung hc c s
(Thi vào THPT, THPT chuyên, thi HSG)
Đề số
Bài (2 điểm)
Cho biÓu thøc K=( √a
√a−1−
a −√a):(
1 √a+1−
2
a −1)
a) Rót gän biĨu thøc K
b) TÝnh giá trị K a=3+22 c) Tìm giá trị a cho K <
Bài (2 điểm) Cho hệ phơng trình:
mx− y=1 x
2−
y
3=334
{
a) Giải hệ phơng trình cho m =
b) Tìm giá trị m để hệ phơng trình vơ nghiệm
Bài (4 điểm) Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax By lần l-ợt E F
a) Chøng minh AEMO tứ giác nội tiếp
b) AM cắt EO tạo P, BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình gì? Tại sao?
c) Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB) Gọi K giao điểm MH EB So sánh MK với KH
d) Cho AB = 2R vµ gäi r bán kính nội tiếp tam giác EOF Chứng minh r»ng:
1 3<
r R<
1
2
Bài (2 điểm)
Ngi ta rót đầy nớc vào ly hình nón đợc cm3 Sau ngời ta rót nớc từ ly
ra để chiều cao mực cịn lại nửa Hãy tính thể tích lợng nớc cịn lại ly?
§Ị sè
Bài (2,5 điểm)
Cho biểu thức P=( 4x
2+√x+
8x 4− x):(
√x −1
x −2√x−
2 √x)
a) Rót gän biĨu thøc P
b) Tính giá trị x để P = -
c) Tìm m để với giá trị x > ta có m(√x −3)P>x+1
Bài (2 điểm) Giải toán cách lập phơng trình:
Theo k hoch hai t sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I vợt mức 18% tổ II vợt mức 21% Vì thới gian quy định họ hoàn thành vợt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm đợc giao tổ theo kế hoạch ?
Bài (3,5 điểm) Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A O cho
AI=2
3AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I Gọi C ®iĨm t ý thc cung lín MN
cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E
a) Chng minh t giỏc IECB nội tiếp đợc đờng tròn b) Chứng minh AME ACM AM2 = AE.AC.
c) Chøng minh AE.AC - AI.IB = AI2.
d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
(2)Mét hình chữ nhật ABCD có diện tích cm2, chu vi lµ cm vµ AB > AD Cho h×nh
chữ nhật quay quanh cạnh AB vịng ta đợc hình gì? Hãy tính thể tích diện tích xung quanh hình đợc tạo thành
Đề số
Bài (1,5 điểm)
a) Cho biết A=9+37 B=937 HÃy so sánh A + B A.B b) Tính giá trị biÓu thøc: M=(
3−√5− 3+√5):
5−√5 51
Bài (2 điểm)
a) Giải phơng trình: x4 + 24x2 -25 = 0.
b) Giải hệ phơng trình:
2x y=2 9x+8y=34
{
Bài (1,5 điểm)
Cho phơng tr×nh: x2 - 2mx + (m - 1)3 = víi x lµ Èn sè, m lµ tham sè. (1)
a) Giải phơng trình (1) m = -1
b) Xác định m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt, nghiệm bình phng ca nghim cũn li
Bài (3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc nhọn, góc A 450 Vẽ đờng cao BD CE
của tam giác ABC Gọi H giao ®iĨm cđa BD vµ CE
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đợc đờng tròn b) Chứng minh: HD = DC
c) TÝnh tØ sè: DE
BC
d) Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA vng góc với DE Bài (2 điểm)
Một hình trụ thạch cao tích 12 cm3 ngừi ta gọt để đợc hình nón có
đáy đáy hình trụ chiều cao nửa chiều cao hình trụ Hãy tình thể tích hình nón
§Ị sè
Bài ( điểm) Cho hàm số y = f(x) = √2− x+√x+2
a) Tìm tập xác định hàm số
b) Chøng minh f(a) = f(- a) víi - a c) Chứng minh y2 4.
Bài ( điểm) Giải toán cách lập phơng trình: Một tam gi¸c cã chiỊu cao b»ng
5 cạnh đáy Nếu chiều cao giảm dm cacnhj đáy
tăng thêm dm diện tích giảm 14 dm2 Tính chiều cao cạnh đáy ca tam giỏc.
Bài ( điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đinh D nằm đờng trịn đờng kính AB Hạ BN DM vng góc với đờng chéo AC Chứng minh:
a) Tứ giác CBMD nội tiếp đợc đờng tròn
b) Khi điểm D di động đờng trịn BMD + BCD khơng đổi c) DB.DC = DN.AC
Bµi ( ®iĨm)
Cho hình thoi ABCD với giao điểm hai đờng chéo O Một đờng thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABCD) O Lấy điểm S d Nối SA, SB, SC, SD
a) Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (SBD)
(3)Bài ( điểm)
Chứng minh rằng: Nếu x, y số dơng
x+
1
y ≥
4
x+y
Bất đẳng thức trở thành đẳng thc no?
Đề số
Bài ( ®iĨm) Cho A=
2(1+√x+2)+
1
2(1−√x+2)
a) Tìm x để A có nghĩa b) Rỳt gn A
Bài ( điểm)
a) Giải hệ phơng trình
3x+2y=5 x − y=15
2
¿{
¿ b) Gi¶i phơng trình 2x2
52x+42=0
Bài ( điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), gọi D điểm cung nhỏ BC Hai tiếp tuyến C D với đờng tròn (O) cắt E Gọi P, Q lần lợt giao điểm cặp đờng thẳng AB CD; AD CE
a) Chøng minh BC// DE
b) Chứng minh từ giác CODE; APQC nội tiếp đợc c) Tứ giác BCQP hình gì?
Bµi ( ®iĨm)
Cho hình chóp tứ giác SABC có cạnh bên 24 cm đờng cao 20 cm a) Tính thể tích hình chóp
b) Tính diện tích toàn phần hình chóp Bài ( điểm)
Tính giá trị nhỏ cđa biĨu thøc:
x+2005¿2 ¿
x+2006¿2 ¿ ¿
P=
Đề số
Bài ( ®iĨm)
Cho đờng thẳng (D) có phơng trình: y = - 3x + m Xác định (D) trờng hợp sau: a) (D) qua điểm A(-1; 2)
b) (D) cắt trục hồnh điểm B có hồnh độ −2
3
Bµi ( ®iĨm) Cho biĨu thøc A= x2+2x+3
a) Tìm x để A có nghĩa
b) Với giá trị x A đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị Bài ( điểm)
Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A B Các tiếp tuyến A đờng tròn (O) (O') cắt đờng tròn (O') (O) theo thừ tự C D Gọi P Q lần lợt trung điểm dây AC AD Chứng minh:
(4)c) Từ giác APBQ nội tiếp Bài ( điểm)
Cho tam giác ABC vuông B Vẽ nửa đờng thẳng AS vng góc với mặt phẳng (ABC) Kẻ AM vng góc với SB
a) Chøng minh AM vuông góc với mặt phẳng (SBC)
b) Tính thể tÝch h×nh chãp SABC, biÕt AC = 2a; SA = h ACB = 300.
Bài ( điểm)
Chøng minh r»ng: NÕu x, y, z > tho¶ m·n
x+
1
y+
1
z=4 th×
1 2x+y+z +
1
x+2y+z+
1
x+y+2z≤1
§Ị sè
Bài ( điểm) Tìm x biết: x12+18=x8+27
Bài ( điểm) Cho phơng trình bậc hai 3x2 + mx + 12 = 0. (1)
a) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm 1, tìm nghiệm cịn lại Bài ( điểm)
Một xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14 km/giờ đến sớm giờ, giảm vận tộc km/giờ đến muộn Tính vận tốc dự định thời gian dự nh
Bài ( điểm)
T im A ngồi đờng trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AKD cho BD song song với AC Nối BK cắt AC I
a) Nªu c¸ch vÏ c¸t tuyÕn AKD cho BD// AC b) Chøng minh: IC2 = IK.IB.
c) Cho gãc BAC 600 Chứng minh cát tuyến AKD qua O.
Bài ( điểm)
Biết a, b số thoả mÃn a > b > vµ a.b = Chøng minh a2+b2
a −b 22
Đề số
Bài ( ®iÓm) Cho biÓu thøc P=[√x+ y −√xy
√x+√y]:[ x
√xy+y+ y
√xy− x− x+y
√xy]
a) Với giá trị x y biĨu thøc cã nghÜa? b) Rót gän P
c) Tìm số trị biểu thức với x = 3; y = + √3
Bµi ( ®iĨm)
a) Cho hµm sè y = ax + b
Tính a, b biết đồ thị hàm số qua điểm (2; - 1) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 3/2
b) Viết công thức hàm số, biết đồ thị song song với đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ -
Bài ( điểm) Giải toán cách lập phơng trình:
Nh trng t chc cho 180 học sinh khối tham quan di tích lịch sử Ngời ta dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở lợt hết số học sinh phải điều dùng loại xe nhỏ Biết xe lớn có nhiều xe nhỏ 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn loại xe dợc huy động
Bµi ( ®iĨm)
Cho tam giác ABC cân A, có góc A nhọn Đờng vng góc với AB A cắt đờng thẳng BC E Kẻ EN vng góc với AC Gọi M trung điểm BC Hai đờng thẳng AM EN cắt F
(5)b) Chøng minh EB lµ tia phân giác góc AEF
c) Chng minh M tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFN Bài ( điểm)
Chøng minh r»ng c¸c hình hộp chữ nhật có tổng ba kích thớc hình lập ph-ơng tích lớn
Đề số
Bài ( điểm)
a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = x2 đờng thẳng (D) có phơng trình y = 2x + 3.
Từ suy nghiệm phơng trình x2 - 2x - = (có giải thích).
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) Bài ( điểm)
Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích ruộng biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng không thay đổi Bài ( điểm)
Tìm m cho hệ phơng trình hai ẩn x, y: ¿
nx+y=m
x+y=y
¿{
¿ có nghiệm với giá trị n
Bài ( ®iĨm)
Cho nửa đờng trịn tâm O, đờng kính BC Điểm A thuộc nửa đờng trịn Dựng hình vng ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa điểm C Gọi F giao điểm AE nửa đờng tròn tâm (O) K giao điểm CF ED
a) Chứng minh bốn điểm E, B, F, K nằm đờng trịn b) BKC tam giác ? Vì ?
c) Tìm quỹ tích điểm E A di động nửa đờng tròn (O)/ Bài ( điểm)
Chứng minh rằng: Nếu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) abc
Đẳng thức xảy ?
Đề số 10(1)
Bài (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc:
A=(x3−1 x −1 +x)(
x3 +1 x+1 − x):
x(1− x2)3
x2−2 , víi x ≠ ±√2;±1
a) Rót gän biĨu thøc A
b) Tính giá trị A cho x=√6+2√2 c) Tính giá trị x để A =
Bài (2 điểm)
Một tàu thuỷ chạy khúc sông dài 120 km, ®i vµ vỊ mÊt giê 45 TÝnh vËn tốc tàu thuỷ nớc yên lặng, biết vận tốc dòng nớc km/h
Bài (2 điểm) Giải bất phơng trình sau: a) + 4x(x + 3) > + 4x(x + 5)
b) x
3
−4x2−2x−15
x2
+x+3 <0
Bài (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông C, có BC =
2 AB Trên cạnh BC lấy điểm E (E B, C), tõ
B kẻ đờng thẳng d vng góc với AE, gọi giao điểm d với AE, AC kéo dài lần lợt I, K a) Tính độ lớn góc CIK
(6)b) Chøng minh KA.KC = KB.KI
c) Gọi H giao điểm đờng trịn đờng kính AK với cạnh AB, chứng minh H, E, K thẳng hàng
d) Tìm quỹ tích điểm I E chạy BC
Đề số 11(2)
Bài (2 điểm) Cho biÓu thøc:
K=(x+1 x −1−
x −1
x+1+
x2−4x−1
x2−1 )
x+2003
x
a) Tìm điều kiện x để biểu thức xác định b) Rút gọn biểu thức K
c) Với nhừng giá trị nguyên x biểu thức K có giá trị nguyên ? Bài (2 ®iĨm)
Cho hàm số y = x + m (D) Tìm giá trị m để đờng thẳng (D): a) Đi qua điểm A(1; 2003);
b) Song song với đờng thẳng x - y + = 0; c) Tiếp xúc với parabol y=−1
4x
2
Bài (3 điểm)
a) Giải toán cách lập phơng trình:
Mt hình chữ nhật có đờng chéo 13 m chiều dài lớn chiều rộng m Tính diện tích hình chữ nhật
b) Chứng minh bất đẳng thức:
2002 √2003+
2003
√2002>√2002+√2003
Bài (3 điểm)
Cho tam giỏc ABC vng A Nửa đờng trịn đờng kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F
a) Chứng minh CDEF từ giác nội tiếp
b) Kéo dài DE cắt AC K Tia phân giác góc CKD cắt EF CD M N Tia phân giác góc CBF cắt DE CF P Q Tứ giác MPNQ hình ? Tại ?
c) Gi r, r1, r2 theo thứ tự bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, ADB,
ADC Chøng minh r»ng r2 = r
12 + r22
Đề số 12(3)
Bài (2,5 điểm)
a) Giải phơng trình: x24x
+449=0
b) Giải hệ phơng trình:
(x y)2+3(x − y)=4 2x+3y=12
¿{
¿ c) Gi¶i bất phơng trình: 2+2(x+1)
8 <3
x 1
4
Bài (2 điểm)
a) Tìm giá trị x để biểu thức
x222x+5 có giá trị lớn
(7)b) Rót gän biĨu thøc: P=(a+√a 2− b2 a −√a2−b2−
a −√a2−b2 a+√a2− b2 ):
4√a4−a2b2
b2 , víi a > b>
Bµi (2 ®iĨm)
Nếu hai vịi nớc chảy vào bể khơng có nớc sau 12 bể đầy Sau hai vịi chảy ngời ta khố vịi I, cịn vịi II tiếp tục chảy Do tăng cơng suất vịi II lên gấp đơi, nên vòi II chảy đầy phần lại bể giở rỡi Hỏi vòi chảy với cơng suất bình thờng mi y b ?
Bài (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AE CD cắt H (H trực tâm tam giác ABC)
a) Chứng minh đờng trung trực đoạn HE qua trung điểm I đoạn thẳng BH b) Gọi K trung điểm cạnh AC Chứng minh KD tiếp tuyến đờng trịn ngoại tiếp tam giác BDE
§Ị sè 13(4)
Bài (2 điểm) Cho hệ phơng trình:
x+ay+1
ax+y=2
¿{
¿
(1) a) Giải hệ phơng trình (1) a =
b) Với giá trị a hệ (1) có nghiệm Bài (2 điểm) Cho biÓu thøc A=( x+2
x√x −1+ √x x+√x+1+
1 1−√x):
√x −1
2 víi x > vµ x
a) Rót gän biĨu thøc A;
b) Chøng minh r»ng: < A <
Bài (2 điểm) Cho phơng trình (m - 1)x2 + 2mx2 + m - = 0. (*)
a) Giải phơng trình (*) m =
b) Tìm tất giá trị m để phơng trình (*) có hai nghiệm phân biết Bài (3 điểm)
Từ điểm M nằm ngồi đờng trịn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tuyến AM, MB (A, B tiếp điểm) đờng thẳng qua M cắt đờng tròn C D Gọi I trung điểm CD Gọi E, F, K lần lợt giao điểm đờng thẳng AB với đờng thẳng OM, MD, OI
a) Chøng minh r»ng: R2 = OE.OM = OI.OK.
b) Chứng minh điểm M, A, B, O, I thuộc đờng tròn
c) Khi cung CAD nhá h¬n cung CBD, chøng minh r»ng gãc DEC hai lần góc DBC Bài (1 điểm)
Cho ba số dơng x, y, z thoả mÃn x + y + z = Chøng minh r»ng:
3 xy+yz+zx +
2
x2
+y2+z2>14
Đề số 14(5)
Bài (2 điểm) Cho h¸m sè y = f(x) =
2x
2
a) H·y tÝnh f(2), f(- 3), f(- √3 ), f( √2
3 )
(8)b) Các điểm A(1;
2 ), B( √2 ; 3), C(- 2; - 6), D( − √2;
3
4 ) có thuộc đồ thị ca hm s
không?
Bài (2,5 điểm) Giải phng trình: a)
x 4+
x+4=
1
3 b) (2x - 1)(x + 4) = (x + 1)(x - 4)
Bµi (1 điểm) Cho phơng trình 2x2 - 5x + = 0.
TÝnh x1√x2+x2√x1 (víi x1 vµ x2 hai nghiệm phơng trình)
Bài (3,5 ®iĨm)
Cho hai đờng trịn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung với hai ng trũn
(O1) (O2) phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tù lµ E vµ F Qua
A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O1), (O2) thứ tự C, D Đờng thẳng CE
đ-ờng thẳng DF cắt I
a) Chứng minh IA vu«ng gãc víi CD
b) Chøng minh tứ giác IEBF tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh đờng thẳng AB qua trung điểm EF Bài (1 điểm) Tìm số nguyên m để m2
+m+23 số hữu tỉ
Đề số 15
Bài ( điểm) Xét biểu thức: P=(x −2 x −1 −
√x+2 x+2√x+1).(
1− x
√2 )
2
a) Rót gän P
b) Chøng minh r»ng nÕu < x < P > c) Tìm giá trị lớn P
Bài ( điểm)
Giải hệ phơng trình:
y x=xy 4x+3y=5xy
{
Bài ( điểm)
Cho nửa trịn (O; R) Hai đờng kính AB CD vng góc với E điểm cung nhỏ BC AE cắt CO F, DE cắt AB M
a) CEF vµ EMB tam giác ?
b) Chng minh tứ giác FCBM nội tiếp đợc đờng trịn Tìm tâm đờng trịn c) Chứng minh đờng thẳng OE, BF, CHỉNG MINH đồng quy
Bài ( điểm)
Phân tích thừa số: a4 - 5a3 + 10a + 4.
¸p dơng giải phơng trình: x
4 +4
x22=5x
Đề số 16(6)
Bài (4 điểm) Cho phơng trình: (2m - 1)x2 - 2mx + = 0.
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (- 1; 0) b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả |x12 x22|=1
Bài (5 điểm) Giải phơng trình hệ phơng trình sau đây:
(9)a) √7− x+√x −5=x2−12x+38
b)
¿
x2+y2+x+y=8 x2
+y2+xy=7
¿{
¿
c)
¿
√x+1+√y=1
√x+√y+1=1
{
Bài (3 điểm)
a) Cho a > c, b > c, c > Chøng minh: √c(a− c)+√c(b − c)≤√ab
b) Cho x 1, y Chøng minh:
1+x2+
1 1+y2≥
2 1+xy
Bµi (3 ®iĨm)
Từ điểm A ngồi đờng trịn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C tiếp điểm) Trên tia đối tia BC lấy điểm D Gọi E giao điểm DO AC Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đờng tròn (O), tiếp tuyến cắt đờng thẳng AB K Chứng minh bốn điểm D, B, O, K thuộc đờng trịn
Bµi (2 ®iĨm)
Cho tam giác ABC vng A có M trung điểm BC Có hai đờng thẳng di động vng góc với M cắt đoạn AB AC lần lợt D E Xác định vị trí D E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nh nht
Bài (3 điểm)
Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Qua A vẽ hai đờng thẳng (d) (d'), đờng thẳng (d) cắt (O) C cắt (O') D, đờng thẳng (d') cắt (O) M cắt (O') N cho AB phân giác góc MAD Chứng minh CD = MN
Đề số 17(7)
Bài ( điểm) Rót gän biĨu thøc:
A= 3+√5
√10+√3+√5−
35 10+35
Bài ( điểm)
Gọi a, b hai nghiệm phơng trình bậc hai x2 - x - = 0.Chøng minh r»ng c¸c biĨu
thøc P = a + b + a3 + b3; Q = a2 + b2 a4 + b4; R = a2001 + b2001 + a2003 + b2003 số nguyên
và chia hết cho
Bài ( điểm) Cho hệ phơng trình (x y ẩn số):
2x2xy=1
4x2
+4xy− y2=m
¿{
¿
(1) a) Gi¶i hệ phơng trình (1) với m =
b) Tìm m cho hệ phơng trình (1) có nghiệm Bài ( điểm)
Cho hai vòng tròn (C1) (C2) tiếp xúc điểm T Hai vòng tròn nằm
trong vòng tròn (C3) tiếp xúc với (C3) tơng ứng M N Tiếp tuyến chung T (C1)
và (C2) cắt (C3) P PM cắt vòng tròn (C1) điểm thứ hai A MN cắt (C1) điểm thứ hai
B PN cắt vòng tròn (C2) điểm thứ hai D MN cắt (C2) điểm thø hai C
a) Chøng minh r»ng tø gi¸c ABCD tứ giác nội tiếp
b) Chng minh đờng thẳng AB, CD PT đồng quy Bài ( điểm)
(10)Một ngũ giác có tính chất: Tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh liên tiếp ngũ giác, có diện tích Tính diện tích ng giỏc ú
Đề số 18(i8)
Bài (5 điểm) Cho a, b, c số dơng 1/ Cho A=a+b
2 ;B=√ab , h·y chøng minh:
a) A B b) B< (a − b)
2
8(A − B)<A víi a b
2/ Rót gän biĨu thøc: √a+b+c+2√ac+bc+√a+b+c −2√ac+bc
Bài (4 điểm)
Giả sử hai phơng trình bËc hai Èn x: a1x2 + b1x + c1 = vµ a2x2 + b2x + c2 = cã nghiÖm
chung Chøng minh r»ng: (a1c2 - a2c1)2 = (a1b1 - a2b1)(b1c2 - b2c1)
Bài (3 điểm)
Với giá trị m nghiệm phơng trình x2 - 8x + 4m = sÏ gÊp
đơi nghiệm phơng trình x2 + x - 4m = 0.
Bài (4 điểm)
Cho ng trũn tõm O, dây AB cố định, C điểm chuyển động cung nhỏ AB Gọi M trung điểm dây BC, từ M vẽ MN vng góc với tia AC (N AC)
a) Chứng minh đờng thẳng MN qua điểm cố định b) Tìm tập hợp điểm M
Bµi (4 ®iĨm)
Cho đờng trịn (O; R) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh AB, AC lần lợt D E a) Gọi O' tâm đờng trịn nội tiếp tam giác ADE, tính OO'
b) Các đờng phân giác góc B góc C cắt đờng thẳng DE lần lợt M N Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp
c) Chøng minh: MN
BC =
DM
AC =
EN AB
§Ị sè 19(9)
Bài (7 điểm) Rút gọn: a) A= 2+3
√2+√2+√3+
2−√3 √2−√2−√3
b) B=(√2
3+√ 2+2)(
√2+√3
4√2 −
√3
√2+√3)(24+8√6)( √2 √2+√3+
√3 √2−√3)
c) C=√1+
22+ 32+√1+
1 32+
1 42+√1+
1 42+
1
52+ +√1+ 20022+
1 20032
Bài (2 điểm) Giải phơng trình: x2
+9x+20=23x+10
Bài (3 điểm)
a) Với x, y không âm; tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc:
P=x −2√xy+3y−2√x+2004,5
b) Tìm giá trị lớn biểu thức: f(x)=x
2+√1− x −2x
2
Bµi (8 ®iĨm)
Cho đờng trịn (O; R) hai đờng kính AB CD cho tiếp tuyến A đờng tròn (O) cắt đờng thẳng BC BD hai điểm tơng ứng E F Gọi P Q lần lợt trực tâm đoạn thẳng EA AF
1) Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA
8 () Đề thi học sinh giỏi lớp 9, TX Hà Đông, Hà Tây, năm học 2002 - 2003.
(11)2) Hai đờng kính AB CD có vị trí tơng đối nh tam giác BPQ có diện tích nhỏ
3) Chøng minh c¸c hƯ thøc sau: CE.DF.EF = CD3 vµ BE
3
BF3 = CE DF
4) Nếu tam giác vng BEF có hình vng BMKN nội tiếp (KEF; MBE N BF) cho cạnh hình vng tỉ lệ với bán kính đờng trịn nội tiếp tam giác BEF theo tỉ số
2+√2
2 góc tam giác BEF ?
Đề số 20(10)
Bài (4 điểm) Cho biÓu thøc: A=
√x+4√x −4+√x −4√x −4
√1−8
x+
16
x2
Rút gọn tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Bài (4 điểm) Rút gọn biểu thức:
a) √4+√7−√4−√7−√2
b) 6+2232+12+18128.
Bài (4 điểm) Cho phơng trình bậc hai Èn x: x2 - 2(m -1)x + 2m2 - 3m + = 0.
a) Chøng minh r»ng phơng trình có nghiệm m b) Gäi x1, x2 lµ nghiƯm cđa phơng trình, chứng minh: |x1+x2+x1x2|
9
8
Bài (5 điểm)
Cho tam giỏc ABC vng A, đờng cao AH Vẽ đờng trịn tâm O đờng kính AH Đờng trịn cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E
a) Chứng minh tứ giác ADHE hình nhật điểm D, O, E thẳng hàng
b) Các tiếp tuyến đờng tròn tâm O kẻ từ D E cắt cạnh BC tơng ứng M N Chừng minh M, N lần lợt trung điểm đoạn thẳng HB, HC
c) Cho AB = 8cm; AC = 19cm TÝnh diÖn tÝch tø giác MDEN ? Bài (3 điểm)
Cho t giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O, vẽ tia Ax vng góc với AD, cắt BC E; tia Ay vng góc với AB cắt CD F Chứng minh EF qua O
§Ị sè 21(11)
Bài ( điểm) Rút gọn biểu thức: A=x-2-2x-3x+14x 3 , víi x Bµi ( ®iĨm)
a) Chøng minh r»ng: √a2+b2≥a+b
√2 víi mäi a, b
b) Cho tam giác ABC, gọi M điểm nằm bên tam giác Các đờng thẳng AM, BM, CM lần lợt cắt cạnh BC, CA, AB D, E, F Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P=√AM
MD +√
BM
ME+√
CM
MF
Bài ( điểm)
Giải phơng trình nghiệm nguyên: 5x + 25 = - 3xy + 8y2.
Bµi ( ®iĨm)
Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB Từ A B ta vẽ hai dây cung AC BD cắt N Hai tiếp tuyến Cx, Dy đờng tròn cắt M Gọi P giao điểm hai đờng thẳng AD BC
a) Chøng minh PN vu«ng gãc víi AB b) Chứng minh P, M, N thẳng hàng Bài ( ®iĨm)
(12)Cho hình vng có độ dài m, hình vuong đặt 55 đ ờng trịn, đ-ờng trịn có đđ-ờng kính
9 m Chứng minh tồn đờng thẳng giao với bảy
ng trũn
Đề số 22(12)
Bài ( ®iĨm)
Tìm số có chữ số Biết ta xoá chữ số cuối đợc số bậc ba s ban u
Bài ( điểm) Chứng minh r»ng:
(a+b+c+d)2≥8
3(ab+ac+ad+bc+bd+cd) víi a, b, c, d R
Bài ( điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x+3x+2; x+4x+3
b) Chứng minh giá trị biểu thức: M=2x
x+3x+2+
5√x+1
x+4√x+3+
√x+10
x+5√x+6 (víi x 0)
không phụ thuộc vào biến số x Bài ( điểm)
Cho tam giỏc AHC cú ba góc nhọn, đờng cao HE Trên đoạn HE lấy điểm B cho tia CB vng góc với AH; hai trung tuyến AM BK tam giác ABC cắt I, hai trung trực đoạn thẳng AC BC cắt O
a) Chøng minh ABH MKO b) Chøng minh: √IO
3
+IK3+IM3
IA3+IH3+IB3 =
√2
4
Đề số 23(13)
A Phần bắt buộc:
Bài (4 điểm) Giải phơng trình hệ phơng trình sau đây:
a) 2x3+52x=3x212x+14 b)
¿
√x+1+√y=4
x+y=7
¿{
Bài (4 điểm)
a) Cho xy = vµ x > y Chøng minh: x2+y2
x − y ≥2√2
b) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn a + b + c = Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.
Bài (4 điểm)
Cho tam giỏc ABC cõn A nội tiếp đờng trịn tâm O, đờng kính AI Gọi E trung điểm AB K trung điểm OI Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp đợc đờng trịn
Bµi (4 ®iĨm)
Cho nửa đờng trịn tâm O, đờng kính AB = 2R M điểm thuộc nửa đờng tròn (khác A B) Tiếp tuyến (O) M cắt tiếp tuyến A B đ ờng tròn (O) lần lợt điểm C D Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACM BDM
B Phần chọn.Học sinh chọn hai sau đây:
Bài 5a (4 điểm)
a) Xỏc nh m để phơng trình 2x2 + 2mx + m2 - = có hai nghiệm.
b) Gäi hai nghiƯm x1, x2, tìm giá trị lớn biểu thøc: A = 2x1x2 + x1 + x2 - 4
Bài 5b (4 điểm)
(13)Cho biÓu thøc: P=[1−x −3√x x −9 ]:[√
x −3 2−√x+
√x −2 3+√x −
9− x
x+√x −6] (x 0, x 9, x 4)
a) Thu gän biÓu thøc P
b) Tìm giá trị x để P =
Đề số 24(14)
Bài (3 điểm)
a) Giải hệ phơng trình:
x+y+z=6
xy+yz−zx=−1 x2+y2+z2=14
¿{ {
¿
b) Cho hai số x, y thoả mãn đẳng thức: 8x2+y2+
4x2=4
Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ Bài (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), gọi M trung điểm cạnh BC, H trực tâm tam giác ABC K hình chiếu vng góc A cạnh BC Tính độ dài AK diện tích tam giác ABC, biết OM = HK =
4KM vµ AM = 30 cm
Bài (3,5 điểm)
a) Tỡm m phơng trình (m + 1)x
2 - 3mx + 4m = cã nghiƯm d¬ng.
b) Giải phơng trình: x2+3x+1=(x+3)x2+1
Đề số 25(15)
Bài (3,5 điểm)
a) Giải phơng trình: x
2 +√3
x+√x2+√3+
x2−√3
x −√x2−√3=x
b) Chøng minh:
1+a2+
1 1+b2≥
2
1+ab víi a 1, b
Bài (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) I trung điểm BC, M điểm đoạn CI (M khác C I), đờng thẳng AM cắt đờng tròn (O) D Tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMI M cắt đờng thẳng BD, DC lần lợt P Q
Chøng minh DM.IA = MP.IB vµ tÝnh tØ sè MP
MQ
Bài (3 điểm)
a) Giải phơng trình:
x 1+3 x+8=x3+1
b) Tìm số x, y, z nguyên dơng thoả mãn đẳng thức: 2(y + z) = x(yz - 1)
(14)Đề số 26(16)
Bài (6 ®iĨm)
1) Chøng minh r»ng: A=2√3+√5−√3+√48
√6+√2 lµ số nguyên
2) Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho
abc=n2−1 cba=(a −2)2
¿{
¿
với n số nguyên lớn
Bài (6 điểm)
1) Giải phơng trình: x3
+2x2+2√2x+2√2=0
2) Cho parabol (P): y=1
4x
2
đờng thẳng (d): y=−1
2x+2
a) Vẽ (P) (d) hệ trục toạ độ Oxy
b) Gäi A, B lµ giao điểm (P) (d) Tìm điểm M trªn cung AB cđa (P) cho diƯn tÝch tam giác MAB lớn
c) Tìm điểm N trên trục hoành cho NA + NB ngắn Bài (8 điểm)
1) Cho ng trũn tõm O dây cung BC không qua tâm O Một điểm A chuyển động đờng tròn (A khác B, C) Gọi M trung điểm AC, H chân đờng vng góc hạ từ M xuống đờng thẳng AB Chứng minh H nằm đờng tròn cố định
2) Cho hai đờng tròn (O; R) (O'; R') với R' > R, cắt hai điểm A, B Tia OA cắt đờng tròn (O') C tia O'A cắt đờng tròn (O) D Tia BD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD E So sánh độ dài đoạn BC v BE
Đề số 27(17)
Bài (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: A=
√a+4√a −4+√a −4√a −4
√1−8
a+
16
a2
a) Rót gän biĨu thøc A
b) Tìm giá trị nguyên lớn (aZ; a > 8) để A có giá trị nguyên Bài (2 điểm)
a) Giải phơng trình:
x24x+5 x
+4x−1=0
b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba đờng thẳng có phơng trình: (d1): y=1
2x+4; (d2): y = 2; (d3): y = (k + 1)x + k
Tìm k ba đờng thẳng cho đồng quy Bài (2,5 điểm)
Cho phơng trình bậc hai x: (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - = với m - 1. (1)
a) Chứng minh phơng trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Gọi x1, x2 nghiệm (1), tìm m để x1x2 > x1 = 2x2
Bµi (3,5 ®iĨm)
Từ điểm A nằm ngồi đờng trịn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB AC (B, C tiếp điểm) Gọi M điểm cung nhỏ BC đờng tròn (O) (M khác B, C) Tiếp tuyến qua M cắt AB AC E F Đờng thẳng BC cắt OE OF P Q
a) Chứng minh tứ giác PQFE nội tiếp đợc đờng tròn b) Chứng minh tỉ số PQ
FE không đổi M di chuyển đờng trịn
16() §Ị thi học sinh giỏi lớp 9, Bình Thuận, năm học 2003 - 2004.
(15)§Ị sè 28(18)
Bài ( điểm)
1) Giải phơng trình: 8+x+5x=5 2) Giải hệ phơng trình:
(x+1) (y+1)=8
x(x+1)+y(y+1)+xy=17
¿{
¿
Bài ( điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác
Chøng minh r»ng phơng trình x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = v« nghiƯm.
Bài ( điểm)
Tìm tất số nguyên n cho n2 + 2002 số phơng.
Bài ( điểm)
Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: P=
1+xy+
1 1+yz+
1 1+zx
trong x, y, z số dơng thay đổi thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 3.
Bµi ( ®iĨm)
Cho hình vng ABCD, M điểm thay đổi cạnh BC (M không trùng với B) N thay đổi cạnh CD (N không trùng với D) cho MAN = MAB + NAD
1) BD cắt AN AM tơng ứng P Q Chứng minh năm điểm P, Q, M, C, N nằm đờng tròn
2) Chứng minh đờng thẳng MN tiếp xúc với đờng tròn cố định M N thay đổi
3) KÝ hiƯu diƯn tÝch cđa tam giác APQ S1 diện tích tứ giác PQMN lµ S2
Chøng minh r»ng tØ sè S1
S2
không đổi M N thay i
Đề số 29(19)
Bài ( điểm)
1) Giải phơng trình: x2
3x+2+x+3=x 2+x2+2x3
2) Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x + xy + y = Bài ( điểm)
Giải hệ phơng trình:
x2
+y2+xy=1 x3
+y3=x+3y
¿{
¿ Bµi ( ®iĨm)
Cho mời số ngun dơng 1, 2, 3, …, 10 Sắp xếp mời số cách tuỳ ý thành hàng Cộng số với số thứ tự hàng ta đợc mời tổng Chứng minh rằng: mời tổng tồn hai tổng có chữ số tận ging
Bài ( điểm)
Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: P=4a
b+c − a+
9b
a+c − b+
16c
a+b c
18() Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên (ngày thứ nhất, dành cho thí sinh), ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội, năm học 2002 - 2003. 19() Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên (ngày thứ hai, dành cho lớp chuyên Toán, chuyên Tin) §HKHTN - §HQG Hµ Néi,
(16)trong a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Bài ( điểm)
§êng tròn (C) tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB t ơng ứng điểm A', B', C'
1) Gi cỏc giao điểm đờng tròn (C) với đoạn IA, IB, IC lần lợt M, N, P Chứng minh đờng thẳng A'M, B'N, C'P đồng quy
2) Kéo dài đoạn AI cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC D (khác A) Chứng minh IB IC
ID =2r , r bán kính đờng trịn (C)
§Ị sè 30(20)
Bài ( điểm) Chứng minh đẳng thức:
1+√3
2 1+√1+√3
2
+
1−√3
2 1−√1−√3
2
=1 .
Bµi ( điểm) Giải phơng trình: x3 x2 x=1
3
Bài ( điểm) Giải hệ phơng trình:
¿
x+y=√4z−1
y+z=√4x−1 z+x=√4y−1
¿{ {
Bài ( điểm) Tìm tất sè cã ch÷ sè
√abcde=ab
Bài ( điểm)
ng trũn (O) ni tip tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB theo thứ tự D, E F Đờng thẳng vng góc với OC O cắt hai cạnh CA CB lần lợt I vad J Một điểm P chuyển động cung nhỏ DE không chứa điểm F, tiếp tuyến P (O) cắt hai cạnh CA, CB lần lợt M N Chứng minh :
a) MON = (không đổi), định theo góc tam giác ABC
b) Ba tam giác IMO, OMN, JON đồng dạng với Từ suy ra: IM.JN = OI2 = OJ2 (*)
c) Đảo lại, M N hai điểm theo thứ tự lấy hai đoạn thẳng CE CD thảo mãn hệ thức (*) MN tiếp xúc với đờng trịn (O)
§Ị số 31(21)
Bài ( điểm)
Chứng minh số: x0=2+2+3632+3 nghiệm phơng trình x4
- 16x2 + 32 = 0.
Bµi ( ®iĨm)
Cho x > 0, y > thoả mÃn x + y HÃy tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc:
P=3x+2y+6 x+
8
y
Bài ( điểm)
Cho số nguyên tố p > Biết có số tự nhiện n cho cach viết thập phân số pn có 20 chữ số Chứng minh 20 chữ số có ch s ging nhau.
Bài ( điểm)
Cho tam giác ABC M, N trung điểm đoạn CA, CB tơng ứng
(17)1) I điểm đờng thẳng MN (I M, I N) Chứng minh rằng: ba tam giác IBC, ICA, IAB có tam giác mà diện tích tổng diện tích hai tam giác lại
2) Trờng hợp I giao điểm tai NM với đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: BC
IA =
CA
IB =
AB
IC
Bài ( điểm)
Cho số tự nhiên n > n + số nguyên dơng a1, a2, , an + thoả mÃn ®iỊu kiƯn
1 a1 < a2 < … < an + 3n Chøng minh r»ng: Lu«n tån t¹i hai sè ai, aj (1 j < i n + 2)
sao cho n < - aj < 2n
§Ị sè 32(22)
Bài (1,5 điểm)
Cho phơng trình x2 + x - = Chứng minh phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
Gọi x1 nghiệm âm phơng trình
HÃy tính giá trị biểu thức: P=x18+10x1+13+x1
Bài (2 điểm) Cho biểu thức P=x.5 x+(3 x).2+x
Tìm giá trị nhỏ vµ lín nhÊt cđa P x Bài (2 điểm)
a) Chứng minh không tồn số nguyên a, b, c cho: a2 + b2 + c2 = 2007.
b) Chứng minh không tồn số hữu tỉ x, y, z cho: x2 + y2 + z2 +x + 3y + 5z + = 0
Bài (2,5 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng A Vẽ đờng cao AH Gọi (O) đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHC Trên cung nhỏ AH đờng tròn (O) lấy hai điểm D E cho BD = BE = BA Đờng thửng BM cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai N
a) Chứng minh tứ giác BDNE nội tiếp đờng tròn
b) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE đờng tròn (O) tiếp xúc với Bài (2 điểm)
Có n điểm, khơng có điểm thẳng hàng Hai điểm đợc nối với đoạn thẳng, đoạn đợc tô màu xanh, đỏ vàng Biết rằng: có đoạn màu xanh, đoạn màu đỏ đoạn màu vàng; khơng có điểm mà đoạn thẳng xuất phát từ có đủ màu khơng có tam giác tạo đoạn thẳng nối có cạnh cựng mu
a) Chứng minh không tồn đoạn thẳng màu xuất phát từ ®iĨm b) H·y cho biÕt cã nhiỊu nhÊt bao nhiªu điểm thoả mÃn đầu ?
Đề số 33(23)
Bài (1,5 điểm) Cho hai số dơng a b Xét tập hợp T số có dạng: T = {ax + by, x > 0, y > x + y = 1} Chứng minh rằng: số 2ab
a+b √ab thuc hp T
Bài (2 điểm)
Cho tam giác ABC, D E tiếp điểm đờng tròn nội tiếp với cạnh AB AC Chứng minh đờng phân giác góc B, đờng trung bình tam giác song song với cạnh AB đờng thẳng DE đồng quy
22() Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán, Nam Định, 2003 - 2004.
(18)Bài (2,5 điểm)
1) Giải hệ phơng trình:
(x+y)(x2 y2)=45 (x − y)(x2+y2)=85
¿{
¿
2) Tìm số hữu tỉ a, b, c cho c¸c sè a+1 b,b+
1
c,c+
1
a số nguyên dơng
Bài (1 điểm) Tìm đa thức f(x) g(x) với hƯ sè nguyªn cho:
f(√2+√7)
g(√2+√7)=√2
Bài (1,5 điểm) Tìm số nguyên tố p để 4p2 + 6p2 + s nguyờn t.
Bài (1,5 điểm) Cho phơng tr×nh x2 + ax + b = cã hai nghiƯm lµ x
1 x2 (x1 x2), đặt
un=x1n− x2n
x1− x2 (n lµ sè tù nhiªn)
Tìm giá trị a, b cho un + 1.un + - un.un + = (- 1)n với số tự nhiên n, từ suy
un + un + = un +
Đề số 34(24)
Bài ( điểm) Giải phơng trình: 6x3
x 1 x=3+2.x x
Bài ( điểm) Chøng minh r»ng:
[√1]+[√2]+[√3]+ +[√20032−1] chia hÕt cho 1001x 2003
Bài ( điểm) Biết phơng trình x2 - 3x + = cã nghiÖm x = a.
Hãy tìm giá trị bZ để phơng trình x16 - b.x8 + = cú nghim x = a.
Bài ( điểm)
Trong tập cặp số thực (x, y) thoả mÃn ®iỊu kiƯn x
2
− x+y2− y
x2+y21 0, hÃy tìm cặp số có tổng
x + 2y lớn Bài ( điểm)
Từ điểm P ngồi đờng trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến PE, PF tới đờng tròn (E, F hai tiếp điểm) Một cát tuyến thay đổi qua P, cắt đờng tròn hai điểm A, B (A nằm P B) cắt EF Q
a) Khi cát tuyến qua O, chứng minh: PA
PB=
QA
QB (1)
b) Đẳng thức (1) có cịn khơng, cát tuyến không qua điểm O? Hãy chứng minh iu ú
Đề số 35(25)
Bài (2,5 điểm)
1) Giải hệ phơng trình:
4x+y=1
2x−7y=8
¿{
¿ 2) Cho biÓu thøc A=x − y
y2 √
x2y4 x2−2xy+y2
víi x y, y
24() Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán, Hà TÜnh, 2003 - 2004.
(19)Rót gän biểu thức A Tính giá trị A x=27
7 vµ y=(
17 )
2003
Bài (2,5 điểm)
1) Chứng tỏ phơng trình x2 - 4x + = cã hai nghiƯm ph©n biƯt x
1, x2 LËp phơng
trình bậc hai có nghiệm x12 x22
2) Tìm m để phơng trình x2 - 2mx + 2m - = có hai nghiệm du Khi ú hai
nghiệm có dầu âm hay dấu dơng ? Bài (3 điểm)
Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A B Đờng tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) điểm M; đờng tiép tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') N Đờng tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài P
1) Chøng minh r»ng tø gi¸c OAO'I hình bình hành;
2) Chng minh rng bốn điểm O, B, I, O' nằm đờng trịn; 3) Chứng minh BP = BA
Bµi (2 điểm)
1) Cho a, b, c số dơng thoả mÃn điều kiện a + b + c = Chøng minh r»ng: √a+b+√b+c+√c+a ≤√6
2) Cho tam giác ABC Điểm M cạnh BC (M B, M C); vẽ MD vng góc với AB ME vng góc với AC (D AB; E AC) Xác định vị trí điểm M để diện tích tam giác MDE ln nht
Đề số 36(26)
Bài (2,5 điểm) Giải phơng trình sau:
11
x −2+
6− x=2¿2¿√2x+5=2x−1 ¿
Bµi (2,5 điểm) Cho phơng trình x2 - 5mx - 4m = cã hai nghiƯm ph©n biƯt x
1 vµ x2
1) Chøng minh r»ng: x12 + 5mx2 - 4m >
2) Xác định giá trị m để biểu thức:
m2 x12+5mx2−12m
+x22+5mx1+12
m2 đạt giá trị nhỏ
Bài (2,0 điểm) Tìm giá trị m để phơng trình:
x2 + x + m - = vµ x2 + (m - 2)x + = có nghiệm chung.
Bài (3,0 điểm)
Cho đờng tròn tâm O dây AB, M điểm chuyển động đờng tròn, từ M kẻ MH vng góc với AB (HAB), Gọi E F lần lợt hình chiếu vng góc H MA MB Qua M kẻ đờng thẳng vng góc với EF cắt dây AB D
1) Chứng minh đờng thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi đờng tròn
2) Chøng minh MA
2
MB2 =
AH
BD
AD
BH
§Ị số 37(27)
Bài (2 điểm)
a) Cho M=√ x 2−
√x x+√x+1−
x2 +√x
x −√x+1+x+1 Rót gän M víi x
b) Giải phơng trình:
x+1+3 x 1=35x
Bài (2,5 điểm)
(20)a) Cho x, y th¶o m·n:
¿
x3
+2y2−4y+3=0 x2
+x2y2−2y=0
¿{
¿ TÝnh Q = x2 + y2.
b) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc:
A=(u+1 u)
2
+(v+1 v)
2
víi u + v = vµ u > 0; v > Bài (2,5 điểm)
Cho tam giỏc cú số đo đờng cao số nguyên, bán kính đờng trịn nội tiếp tam giác Chứng minh tam giác tam giác
Bài (2 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A, có góc B 200, vẽ phân giác BI, vÏ gãc ACH
b»ng 300 vÒ phÝa tam giác Tính góc CHI.
Bài (1 ®iĨm)
Có hay khơng 2003 điểm mặt phẳng mà ba điểm chúng tạo thành tam giác có góc tù ?
§Ị số 38(28)
Bài (1 điểm) Chứng minh có giá trị không phụ thuộc vào x:
A=x+
√2−√3 √67+4√3− x
√9−4√5 √2+√5+√x
Bài (2 điểm) Với số nguyên dơng n, đặt Pn = 1.2.3…n (tích số tự nhiên liên tiếp từ
1 đến n) Chứng minh rằng:
1) + 1.P1 + 2.P2 + 3.P3 + … + n.Pn = Pn +
2) P1
2 +
P3+
3
P4+ .+ n −1
Pn <1
Bài (2 điểm) Tìm số nguyên dơng n cho: x = 2n + 2003 y = 3n + 2005 số phơng
Bµi (3 điểm)
Xét phơng trình ẩn x: (2x2 - 4x + a + 5)(x2 - 2x + a)(x - 1 - a - 1) = 0.
1) Gi¶i phơng trình ứng với a = -
2) Tìm tất giá trị tham số a để phơng trình cho có nghiệm phân biệt Bài (3 điểm)
Qua điểm M tuỳ ý cho đáy lớn AB hình thang ABCD ta kẻ đ ờng thẳng song song với hai đờng chéo AC BD Các đờng thẳng song song cắt hai cạnh BC AD lần lợt E F Đoạn EF cắt AC BD I J tơng ứng
1) Chøng minh H trung điểm đoạn IJ H trung điểm đoạn EF 2) Trong trờng hợp AB = 2CD, hÃy vị trí điểm M AB cho EJ = JI = IF
Đề số 39(29)
Bài (2 điểm) Tính giá trị biểu thức:
P=(2003
.2013+31 2004−1)(2003 2008+4)
2004 2005 2006 2007 2008
Bài (2 điểm) Cho ba số x1, x2, x3 khác 0, thoả mÃn ®iỊu kiƯn:
(21)¿
x1+x2+x3=a x1x2+x2x3+x3x1=0
x1x2x3=b
¿{ {
¿ XÐt dÊu tÝch a.b
Bài (2 điểm)
Gii phng trỡnh: (ax2+bx+c) (cx2+bx+a)=0 , a, b, c số nguyên
cho (a,c 0), biÕt r»ng x=(2+1)2 nghiệm phơng trình
Bài (2 ®iĨm)
Cho a, b, c ba số dơng khác đơi Tìm giá trị lớn biểu thức:
P= (a − x) (a − y) a(a − b) (a −c)+
(b − x) (b − y) b(b − c) (b− a)+
(c − x) (c − y) c(c − a)(c −b)
trong x, y hai số dơng thay đổi nhng ln có tổng Bài (2 điểm)
Cho A điểm cố định đờng trịn (C) tâm O, bán kính Giả sử m đỉnh góc vng tam giác vng ABM với cạnh huyền AB dây cung đờng tròn (C)
1) Chøng minh r»ng: OM √2
2) Hãy nói rõ cách dựng đỉnh góc vng tam giác vng ABM có cạnh huyền AB dây đờng tròn (C) OM = 2
Đề số 40(30)
Bài (2 ®iĨm)
a) Thu gän biĨu thøc sau: P=2+3+6+8+4
2+3+4
b) Tính giá trị biĨu thøc x2 - 2y2 = xy vµ y 0.
Bài (2 điểm) Giải phơng tr×nh sau: a) 23
√x2−5√3x=3; b) x3− x2− x=1
3
Bài (2 điểm)
a) Tìm hai số tự nhiên a b thoả m·n: a −b=a b
b) Cho hai sè d¬ng a, b a + b = Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa tỉng: P=1 a+
1
b
Bài (1,5 điểm) Cho hệ phơng trình:
¿
x −3y−3=0 x2+y2−2x−2y−9=0
¿{
¿
Gäi (x1; y1) vµ (x2; y2) lµ hai nghiƯm hệ phơng trình HÃy tính giá trị biÓu
thøc: M = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2
Bài (2,5 điểm)
Cho ng tròn tâm O dây AB đờng tròn Các tiếp tuyến vẽ từ A B đờng tròn cắt C D điểm đờng trịn có đờng kính OC (D khác A B) CD cắt cung AB đờng tròn (O) E (E nằm C D) Chứng minh:
a) BED = DAE b) DE2 = DA DB.
Đề số 41(31)
Bài (3 điểm) Cho biÓu thøc: P= x
−√x x+√x+1−
2x+√x
√x +
2(x −1)
√x −1
1) Rót gän P
(22)2) Tìm giá trị nhỏ P 3) Tìm x biu thc Q=2x
P nhận giá trị số nguyên
Bài (2 điểm)
Trong mt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P): y = - x2 đờng thẳng (d) qua điểm
I(0; - 1) cã hÖ sè gãc k
1) Viết phơng trình đờng thẳng (d) Chứng minh rằng: Với giá trị k, đờng thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B
2) Gọi hoành độ điểm A B x1 x2, chứng minh x1 - x2
3) Chứng minh OAB vuông Bài (4 điểm)
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đờng trịn (O) đờng kính AB nửa đờng trịn (O') đờng kính AO Trên (O') lấy điểm M (khác A O), tia OM cắt (O) C, gọi D giao điểm thứ hai CA với (O')
1) Chøng minh ADM c©n
2) Tiếp tuyến C (O) cắt tia OD E, xác định vị trí tơng đối đờng thẳng EA (O) (O')
3) Đờng thẳng AM cắt OD H, đờng tròn ngoại tiếp COH cắt (O) điểm thứ hai N Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng
4) Tại vị trí M cho ME//AB, tính độ dài đoạn thng OM theo a
Đề số 42(32)
Bài (1,5 điểm)
Cho hai số tự nhiên a vµ b, chøng minh r»ng nÕu a2 + b2 chia hết cho a b cùng
chia hết cho
Bài (2 điểm) Cho phơng tr×nh: (1
x)
+( x+1)
2 =m
1) Giải phơng trình với m = 15
2) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt Bài (2 điểm)
Cho x, y số nguyên dơng thoả mÃn: x + y = 2003
Tính giá trị nhỏ nhất, giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: P = x(x2 + y) + y(y2 + x).
Bài (3 điểm)
Cho đờng tròn (O) với dây BC cố định (BC < 2R) điểm A cung lớn BC (A khơng trùng với B, C điểm cung) Gọi H hình chiếu A BC, E F lần l-ợt hình chiếu B C đờng kính.AA'
1) Chứng minh HE vng góc với AC 2) Chứng minh HEF đồng dạng với ABC
3) Khi A di chuyển, chứng minh tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác HEF cố định Bài (1,5 điểm)
Lấy điểm miền tứ giác để với bốn đỉnh ta đợc điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Biết diện tích tứ giác 1, chứng minh tồn tam giác có ba đỉnh lấy từ điểm cho có diện tích khơng vợt q
10 Tỉng qu¸t
hố tốn cho n - giác lồi với n điểm nằm miền đa giỏc ú
Đề số 43(33)
Bài (2 điểm)
Giải phơng trình: (x+5x+2)(1+x2+7x+10)=3
32() Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên, trờng THPT Chu Văn An THPT Hà Nội - Amsterdam, năm học 2003 - 2004 (ngµy thø hai).
(23)Bài (2 điểm)
Giải hệ phơng trình:
¿
2x3+3x2y=5 y3
+6xy2=7
¿{
Bài (2 điểm)
Tỡm cỏc s nguyờn x, y thoả mãn đẳng thức: 2y2x + x + y + = x2 + 2y2 + xy.
Bài (2 điểm)
Cho na ng trũn (O) đờng kính AB = 2R (R độ dài cho trớc) M, N hai điểm nửa đờng tròn (O) cho M thuộc cung AN tổng khoảng cách từ A, B đến đờng thẳng MN R √3
1) Tính độ dài đoạn MN theo R
2) Gọi giao điểm hai dây AN BM I, giao điểm đờng thẳng AM BN K Chứng minh bốn điểm M, N, I, K nằm đờng trịn Tính bán kính đờng trịn theo R
3) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác KAB theo R M, N thay đổi nhng thoả mãn giả thiết toán
Bài (2 điểm)
Biết x, y,z số thực thoả mÃn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = Chøng minh r»ng: x2 + y2 + z2 3.
Đề số 44(34)
Bài (2 điểm) Cho phơng trình: x4 + 2mx2 + = 0
Tìm giá trị tham số m để phơng trình có nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn
x12 + x24 + x34 + x44 = 32
Bài (2 điểm)
Giải hệ phơng trình:
2x2
+xy y25x+y+2=0 x2+y2+x+y 4=0
{
Bài (2 điểm)
Tìm số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức: x2 + xy + y2 = x2y2
Bµi (2 điểm)
Đờng tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tơng ứng điểm D, E, F Đờng tròn tâm O' bàng tiếp góc A tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC phần kéo dài cạnh AB, AC tơng ứng ®iÓm P, M, N
1) Chøng minh r»ng: BP = CD
2) Trên đờng thẳng MN ta lấy điểm I K cho CK//AB, BI//AC Chứng minh tứ giác BICE BKCF hình bình hành
3) Gọi (S) đờng trịn qua điểm I, K, P Chứng minh (S) tiếp xúc với đờng thẳng BC, BI, CK
Bài (2 điểm)
S thc x thay đổi thoả mãn điều kiện x2 + (3 - x)2 5.
Tìm giá trị nhỏ c¸c biĨu thøc: P = x4 + (3 - x)4 + 6x2(3 - x)2.
Đề số 45(35)
Bài (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc P(x)=2x−√x 2−1
3x2−4x +1
1) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x); 2) Chứng minh x > P(x).P(-x) <
Bài (2 điểm)
(24)1) Cho phơng trình: x
2
2(2m+1)x+3m2+6m
x 2 =0 (1)
a) Giải phơng trình trªn m=2
3;
b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 thoả x1 + 2x2 = 16
2) Giải phơng tr×nh: √2x
1+x+√
1 2+
1 2x=2
Bài (2 điểm)
1) Cho x, y hai số thực thoả mÃn x2 + 4y2 = Chøng minh r»ng: |x+y|≤√5 ;
2) Cho ph©n sè A=n
+4
n+5 Hỏi có số tự nhiên thoả mÃn n 2004
cho A phân số cha tối giản Bài (3 điểm)
Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt P Q Tiếp tuyến chung gần P hai
đờng tròn tiếp xúc với (O1) A, tiếp xúc với (O2) B Tiếp tuyến đờng tròn (O1) P
cắt (O2) điểm thứ hai D khác P, đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BD R Hãy Chứng minh
r»ng:
1) Bốn điểm A, B, Q, R thuộc đờng tròn; 2) Tam giỏc BPR cõn;
3) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB RB Bài (1 điểm)
Cho tam giỏc ABC cú BC < CA < AB Trên AB lấy điểm D, AC lấy điểm E cho DB = BC = CE Chứng minh khoảng cách tâm đờng tròn nội tiếp tâm đờng tròn ngoại tiệp tam giác ABC bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giỏc ADE
Đề số 46(36)
Bài (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc:
M=(2x√x+x −√x x√x −1 −
x+√x x −1 )
x −1 2x+√x −1+
√x
2√x −1
a) Hãy tìm điều kiện x để biểu thức M có nghĩa, sau rút gọn M
b) Với giá trị x biểu thức M đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ M ?
Bài (2 điểm)
a) Giải phơng tr×nh: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) = 24.
b) Tìm giá trị lớn biÓu thøc: P = - 5x2 - y2 - 4xy + 2x.
Bài (2 điểm)
Giải hệ phơng trình:
6x23xy+x=1 y x2
+y2=1
{
Bài (2 điểm)
Cho đờng tròn (O) dây cung BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC đờng tròn (O), (A khác B, C) Tia phân giác góc ACB cắt đờng trịn (O) điểm D khác điểm C, lấy điểm I thuộc đoạn CD cho DI = DB Đờng thẳng BI cắt đờng tròn (O) điểm K khác điểm B
a) Chứng minh tam giác KAC cân
b) Chng minh đờng thẳng AI qua điểm J cố định, từ xác định vị trí A để độ dài đoạn AI lớn
c) Trên tia đối tia AB lấy điểm M cho AM = AC Tìm tập hợp điểm M A di động cung lớn AB đờng trịn (O)
(25)Bµi (1 điểm)
HÃy tìm cặp số (x; y) cho y nhá nhÊt tho¶ m·n: x2 + 5y2 + 2y - 3xy - = 0.
§Ị sè 47(37)
Bài ( điểm)
1) Tính giá trị cđa biĨu thøc: P = x3 + y3 -3(x + y) + 2004.
BiÕt r»ng: x=√33+2√2+√33−2√2;y=√3 17+12√2+√317−12√2 2) Rót gän biĨu thøc sau:
P=
1+√5+ √5+√9+
1
√9+√13+ +
1
2001+2005
Bài ( điểm) Giải phơng trình sau: 1) x2
+√x+2004=2004
2) x3
32x2+3x+2=0
Bài ( điểm)
Gi s tam giác ABC có diện tích 1, gọi a, b, c ha, hb, hc tơng ứng độ dài
cạnh đờng cao tam giác ABC Chứng minh rằng: (a2 + b2 + c2)(h
a2 + hb2 + hc2) 36 Dấu đẳng thc xy no?
Bài ( điểm)
Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 360, AC = b, AB = c (víi b > c) §êng kÝnh EF cđa
đ-ờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với BC M Gọi I J chân đđ-ờng vng góc hạ từ E xuống đờng thẳng AB AC Gọi H K chân đờng vng góc hạ từ F xuống đờng thẳng AB AC
1) Chøng minh tứ giác AIEJ CMJE nội tiếp
2) Chứng minh I, J, M thẳng hàng IJ vu«ng gãc víi HK
3) Tính độ dài cạnh BC bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC theo b, c 4) Tính IH + JK theo b, c
Đề số 48(38)
Bài ( ®iĨm)
a) Tìm giá trị tham số m để tập nghiệm phơng trình sau có phần tử:
x2−2m2x+2m4−7m2+6 x2+7x+12 =0
b) Giải hệ phơng trình:
x+y+z+1 x+
1
y+
1
z=
51
x2+y2+z2+ x2+
1
y2+
1
z2=
771
16
¿{
Bài ( điểm)
Tỡm giỏ tr ln nhất, nhỏ biểu thức P = x - y + 2004, số thức x y thoả mãn hệ thức: x2
9 +
y2
16=36
Bài ( điểm)
Chứng minh tồn số tự nhiên a, b, c nghiệm phơng trình x2 + y2 + z2 = 3xyz thoả mãn điều kiện: min{a; b; c} > 24.
Bài ( điểm)
Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q trung ®iĨm cđa AB, BC, DE, EA Chøng minh r»ng: MN qua trung điểm PQ MN//CD
Bài ( điểm)
Cho ng thẳng xy điểm A cố định nằm đờng thẳng Điểm M chuyển động xy Trên đoạn thẳng AM lấy điểm I cho AI.AM = k2, k số dơng cho
(26)trớc k nhỏ khoảng cách từ A đến đờng thẳng xy Dựng hình vng AIJK Tìm tập hợp điểm I tập hợp điểm K
Đề số 49(39)
Bài ( điểm)
1) Giải phơng trình: |x+1|+|x 1|=1+|x21|
2) Tìm nghiệm nguyªn cđa hƯ:
¿
2y2− x2−xy+2y−2x=7 x3
+y3+x − y=8
¿{
¿ Bµi ( điểm)
Cho số thức dơng a b thoả mÃn:
a100+b100=a101+b101=a102+b102
HÃy tìm giá trị biĨu thøc: P = a2004 + b2004.
Bµi ( ®iĨm)
Cho tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 4cm, CA = 5cm Đờng cao, đờng phân giác, đ-ờng trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành bốn phần Hãy tính din tớch mi phn
Bài ( điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn có hai đờng chéo AC BD vng góc với H (H khơng trùng với tâm đờng trịn) Gọi M N lần lợt chân đờng vuông góc hạ từ H xuống đờng thẳng AB BC; P Q lần lợt giao điểm đờng thẳng MH NH với đờng thẳng CD DA Chứng minh đờng thẳng PQ song song với đờng thẳng AC bốn điểm M, N, P, Q nằm đờng trịn
Bµi ( điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thøc:
Q=1
2(
x10 y2+
y10 x2 )+
1 4(x
16
+y16)−(1+x2y2)2
Đề số 50(40)
Bài ( điểm)
Giải phơng trình: x+3+x 1=2
Bài ( điểm)
Giải hệ phơng trình:
(x+y)(x2+y2)=5 (x − y)(x2− y2)=3
¿{
¿ Bµi ( điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thøc: P=(x
+y3)−(x2+y2)
(x −1) (y −1) x, y số thức
lín Bài ( điểm)
Cho hình vuông ABCD điểm M nằm hình vuông
1) Tìm tất vị trí điểm M cho MAB = MBC = MCD = MDA
2) Xét điểm M nằm đờng chéo AC Gọi N chân đờng vng góc hạ từ điểm M xuống cạnh AB O trung điểm đoạn AM Chứng minh rng t s OB
CN có giá trị
không đổi M di chuyển đờng chéo AC
(27)3) Với giả thiết M nằm đờng chéo AC, xét đờng tròn (S1) v (S2) cú ng kớnh
t-ơng ứng AM vµ CN Hai tiÕp tun chung cđa (S1) vµ (S2) tiếp xúc với (S2) P Q
Chng minh đờng thẳng PQ tiếp xúc với (S1)
Bài ( điểm)
Vi s thc a, ta định nghĩa phần nguyên số a số nguyên lớn khơng vợt q a kí hiệu [a] Dãy số x0, x1, x2, …, xn, … đợc xác định công thức
xn=[n+1
√2 ]−[
n
√2] Hái 200 sè {x0, x1, x2, , x199} có số khác ?
(Cho biÕt 1,41 < √2 < 1,42)
Mơc lơc
§Ị sè 1
§Ị sè
§Ị sè
§Ị sè
§Ị sè
§Ị sè
§Ị sè
§Ị sè
§Ị sè
§Ị sè 10
§Ị sè 11
§Ị sè 12
§Ị sè 13
§Ị sè 14
§Ị sè 15 10
§Ị sè 16 10
§Ị sè 17 11
§Ị sè 18 11
§Ị sè 19 12
§Ị sè 20 13
§Ị sè 21 14
§Ị sè 22 14
§Ị sè 23 15
§Ị sè 24 16
§Ị sè 25 16
§Ị sè 26 17
§Ị sè 27 17
§Ị sè 28 18
§Ị sè 29 19
§Ị sè 30 19
§Ị sè 31 20
§Ị sè 32 21
§Ị sè 33 21
§Ị sè 34 22
§Ị sè 35 22
§Ị sè 36 23
§Ị sè 37 24
§Ị sè 38 24
§Ị sè 39 25
§Ị sè 40 26
§Ị sè 41 26
§Ị sè 42 27
§Ị sè 43 27
§Ị sè 44 28
§Ị sè 45 29
§Ị sè 46 29
§Ị sè 47 30
§Ị sè 48 31
§Ị sè 49 31