Đang tải... (xem toàn văn)
Trung điểm của một cạnh là giao điểm của đường thẳng d 1 với trục Ox.. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.[r]
(1)S
SỞỞGGIIÁÁOODDỤỤCC––ĐĐÀÀOOTTẠẠOOPPHHÚÚYYÊÊNN ĐỀĐỀTHTHIITHTHỬỬ ĐẠĐẠII HỌHỌCCNĂM 2012
T
TRRƯƯỜỜNNGGTTHHPPTTPPHHAANNBBƠƠIICCHHÂÂUU MƠN TỐN
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian phát đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7điểm )
Câu I( 2,0 điểm) Cho hàm số y f x ( )x33x21 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số cho
2.Tìm hai điểm A , B thuộc đồ thị ( C ) cho tiếp tuyến đồ thị ( C ) A B song song với độ dài đoạn AB =
Câu II( 2,0 điểm)
1.Giải phương trình : c xos3 4sin3x3cos sinx xsinx 0 ( ) 2.Giải hệ phương trình :
2
2
2 1(1) (2)
xy x y
x y x y x y
Câu III( 1,0 điểm) Tính tích phân : I = 3
0
sin (sinx cos )
x dx x
Câu IV( 1,0 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi ; hai đường chéo AC = a ; BD = 2a cắt O ; hai mp(SAC) (SBD) vng góc với mp(ABCD) Biết khoảng cách từ điêm O đến mp(SAB)
4
a Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
Câu V(1,0 điểm): Tìm tất giá trị m để phương trình : 3 1x2 2 x32x2 1 m
có nghiệm thuộc đoạn ;1
PHẦN RIÊNG (3điểm)Thí sinh làm hai phần (phần A phần B)
A Theo chương trình Chuẩn: Câu VI.a (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, choABC với A ( ;– ) ; đường cao CH : x – y + = ; đường phân giác BN : 2x + y + = Tìm tọa độ đỉnh B ; C tính diện tích ABC
2.Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A ( ;– ; ) ; B ( ; ; ) ; M ( ; ;
2 ) Lập phương trình mp ( ) qua A ; B đồng thời khoảng cách từ M đến mp( )
6
Câu VII.a (1,0 điểm): Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện : z1 z2 1 z z1
Tính z z1 2
B Theo chương trình Nâng cao: Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12 ; tâm I giao điểm đường thẳng d1 : x– y – = d2 : x + y – = Trung điểm cạnh giao điểm đường thẳng d1với trục Ox Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD
2 Trong không gian với hệ trục Oxyz ,cho A ( a ; ; ) ; B ( ; b ; ) C ( ; ;c ) thỏa a, b , c >
2 2
a b c = Xác định a b c cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mp( ABC ) lớn Câu VII.b (1,0 điểm) :Trong số phức z thỏ mãn điều kiện z 1 2i 1 , tìm số phức z có mơ đun nhỏ
(2)-HẾT -ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012
MƠN TỐN
Câu Đáp án Điểm
I 2,00
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 3 1
y x x Tập xác định D R
Sự biến thiên: y' 3 x26x
'
y x = hay x =
0,25
+ Giới hạn: lim ; lim .
x x
- Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận Bảng biến thiên
x – + y’ + – +
y +
– –3
0,25
Hàm số đồng biến khoảng (– ; ) ( ; + ) Hàm số nghịch biến khoảng ( ; )
CD 1, CT
y y y y Ta có y’’ = 6x–6 y’’ = 0x= điểm I(1 ;– 1) điểm uốn đồ thị
0,25
Giao điểm với Oy : ( ; ) Đồ thị :
y
-1 O x
-3
0,25 1,00
(3)1,0
Giả sử A ( a ; a33a21) , B ( b ; b33b21) thuộc ( C ) ( a # b ) Ta có : f/ ( a ) = f/ ( b ) 3a2– 6a = 3b2– 6b
( a– b ) ( a + b – ) = a + b – = ( a # b )
b = 2– a
Theo gt : AB = (b a ) (2 b33b a2 33 )a2 232 (2 ) a 2(b a b )( 2a2ab) 3( b a b a )( )2 32
(2 ) a 2(b a b )( 2a2ab6)2 32
4(a1) 24(6 a1)440(a1) 32 02
1
a b
a b
0,25
0,25
0,25
Vậy : A ( ;1 ) ; B ( – ; – ) 0,25
II 2,00
1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)
( ) cosx(1– sin2x ) – 4sin3x – 3cosx.sin2x + sinx =
( sinx +cosx ) – 4sin2x.( sinx +cosx ) = 0 0,25 ( sinx +cosx ) ( 1– 4sin2x ) = 0
( sinx +cosx ).( 2cos2x – ) =
sinx cos os2
x c x
0,25
sin( 4)
os2 x c x
6
x k
x k
, k z 0,50
2 Giải hệ phương trình (1,00 điểm) Điều kiện : x + y >
( ) (x y) 22 xy 2xy 1 0 x y
(x y ) (3 xy x y ) 2 xy x y ( ) 0
0,25
(x y ) ( x y ) (2 xy x y 1) 0
(x y 1) ( x y x y )( 1) 2xy0 (x y 1)(x2y2 x y) 0 ( 3)
0,25
Với đk : x + y >0 (x2y2 x y) > 0 Nên ( ) x + y– = x + y = Thay vào ( ) ta : y2– 3y = 0
3 y y
0,25
y = x = y = x = –
(4)III
Tính tích phân I = 3
0
sin (sinx cos )
x dx x
1,00
Đặt t =
– x dx = – dt Khi x =
2
t = ; x = t =
2
0,25
I = 3 3
0
cos cos
(cos sin ) (cos sinx)
t dt x dx
t t x
2I = 3 2
0
(sin cos )
(sinx cos ) (sinx cos )
x x dx dx
x x
0,25
= 2
0 2cos ( ) dx
x
=
0 tan( )
2 x
= 0,25
Vậy : I =
2 0,25
IV Tính thể tích hình chóp S.ABCD 1,00
S
D A I
O H N
C B
Theo giả thiết ta suy : SO ( ABCD )
OAB vuông O , có OA = a , OB = a , tanABO = OA
OB ABO600 ABD tam giác
0,25
Gọi H trung điểm AB , K trung điểm BH Ta có : DH AB DH = a
OK // DH OK =
2
a
OK AB , mặt khác : SO AB nên : AB ( SOK) Gọi I hình chiếu O SK , ta có : OI SK
OI AB
OI (SAB)
(5) OI khoảng cách từ O đến mp( SAB)
SOK vng O , có OI đường cao Ta có : 12 12 12
OI SO OK SO =
a 0,25
3
13 13 12 33
S ABCD ABCD a
V SO S SO AC BD 0,25
V Chứng minh bất đẳng thức ( điểm ) 1,00
Xét hàm số: f x( ) 1 x2 2 x32x21 xác định liên tục trên ;1
2
Ta có '
2
3
( )
1
x x x
f x
x x x
=
3
( )
1
x x
x x x
0,25
Vì : x ;1
2
nên x
1
3x + >
2
3 0
1
x
x x x
f/(x) = 0 x = 0
0,25
Bảng biến thiên :
x
f/(x)
+ –
f(x)
3 22
–
0,25
Phương trình cho có nghiệm ;1
2
– < m < 3 22
2
m =
0,25
VI.a 2,00
1 1,00
ABCH Viết pt AB: x + y +1 =
B AB BN … Tọa độ B (– ; ) 0,25 Lấy A/ đối xứng với A qua BN A/ BC
.Tìm tọa độ A/((– ; – )
BC qua B A/ .viêt pt BC : 7x + y + 25 =
0,25
C BC CH … Tọa độ C (– 13 9; 4 ) Tính BC = 450
4 khoảng cách d( A ; BC ) =
0,25
1 ( ; ). 1.3 2. 450 45
2 4
ABC
S d A BC BC
(6)2
Gọi n( ; ; ) 0A B C VTPT mp( )
A ( ;– ; ) ( ) nên pt ( ) : Ax + By + Cz – 2A + B =
B ( ; ; ) () nên ta có : 5A + B + C– 2A + B = C =– 3A – 2B
pt ( ) : Ax + By– ( 3A + 2B ) z – 2A + B =
0,25
Do : 2 2 2
3 2
7
( ;( )
6 (3 )
A B A B d M
A B A B
17A2– 12AB – 5B2 = 0
5 17
A B
A B
0,25
* A = B Chọn A = ; B = ; C = –
pt ( ) : x + y– 5z – = 0,25
* A = –
17B Chọn A = ; B =– 17 ; C = 19
pt ( ) : 5x – 17 y + 19z – 27 = 0,25
VII.a 1,00
Gọi z a b i1 1 ; z2 a b i2 Ta có : 12 12
1 2 2
2
1
a b z z
a b
0,25
1 2 ( 2)
z z a a b b i 2 ( 2) ( 2) z z a a b b
2
1 ( 2) ( 2)
z z a a b b 0,25
2 2 2
1 ( 2) ( 2)
z z a a b b = 2 2
1 2 2 2 a a a a b b b b = 2 2 2 2
1 2 2 2
2(a a ) 2( b b )a a b b 2a a 2b b
= 2 2 2
1 2 2
2(a a ) 2( b b ) [( a a ) (b b ) ] 0,25
= 2.1 + 2.1– =
z z1 2 1 0,25
VI.b 2,00
1 1,00
Ta có : I = d1d2 Tọa độ Ilà nghiệm hệ pt :
3 2 ( ; )9
6 2
2 x x y
A
x y y
Do vai trò A , B , C , D nên giả sử M trung điểm AD M d 1 Ox M ( ; )
Ta có : AB = 2.IM =
0.25
Theo gt : SABCD AB CD = 12 AD = 2 Vì I M thuộc d1 d1 AD
AM qua M ( ; ) có VTPT n = ( ; ) Pt AM : x + y– =
(7)Tọa độ A , D nghiệm hệ pt : 02 2 ( 3) x y x y
Giải hệ pt ta : x y , x y
A ( ; ) , D ( ;– ) 0,25 I trung điểm AC nên C ( ; )
I trung điểm BD nên B ( ; )
Vậy đỉnh hình chữ nhật : A ( ; ) , B ( ; ) , C ( ; ) , D ( ;– ) 0,25
2 1,00
Pt ( ABC ) có dạng : x y z
a b c Khoảng cách d( O ; (ABC) ) =
2 2
1 1
a b c
0,25
Ta có : 2 2
2 2 2
1 1 a b c 1
a b c a b c
0,25
12 12 12 12 12 12 a b c a b c d( O ; (ABC) ) =
2 2
1 1
a b c
1
0,25
Max d( O ; (ABC) ) =
3 a = b = c = Vậy : a = b = c = Max d( O ; (ABC) ) =
3
0,25
VII.b 1,00
Gọi z = a + bi M (x ; y ) điểm biểu diễn số phức z
2
1 ( 1) ( 2)
z i x y
Đường tròn ( C ) : (x1) (2 y2)2 1 có tâm I ( – ; – )
Đường thẳng OI có phương trình : y = 2x
0,25
Số phức z thỏa mãn ĐK đề điểm biểu diễn M thuộc đ ường tròn ( C ) gần gốc tọa độ
M giao điểm đường tròn ( C ) với đường thẳng OI
Tọa độ M thỏa mãn hệ pt : 2 2
( 1) ( 2)
y x x y 0,25
Giải hệ pt ta :
1 2 x y ; 1 2 x y 0,25
Chọn 1 2
5
z i
(8)