Summary of doctoral dissertation shrinkage estimation of covariance matrix for portfolio selection on vietnam stock market

MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINING THE STATE BANK OF VIETNAM BANKING UNIVERSITY OF HO CHI MINH CITY NGUYEN MINH NHAT SUMMARY OF DOCTORAL DISSERTATION SHRINKAGE ESTIMATION OF COVARIANCE MATRIX FOR PORTFOLIO SELECTION ON VIETNAM STOCK MARKET Ho Chi Minh City - 2020 i MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINNING THE STATE BANK OF VIETNAM BANKING UNIVERSITY OF HO CHI MINH CITY NGUYEN MINH NHAT SUMMARY OF DOCTORAL DISSERTATION SHRINKAGE ESTIMATION OF COVARIANCE MATRIX FOR PORTFOLIO SELECTION ON VIETNAM STOCK MARKET Ho Chi Minh City - 2020 ii Table of Contents List of Abbreviations iv List of Figures vi List of Tables viii CHAPTER 1: INTRODUCTION 1.1 Vietnam stock market overview 1.2 Problem statements and research gap 1.3 Objectives and research questions 10 1.4 Research Methodology 11 1.5 Expected contributions 12 1.6 Disposition of the dissertation 13 CHAPTER 2: LITERATURE REVIEW 15 2.1 Modern Portfolio Theory Framework 15 2.1.1 Concept of risk and return 16 2.1.2 Assumptions of the modern portfolio theory 17 2.1.3 MPT investment process 18 2.1.4 Critism of the theory 19 2.2 Parameter estimation 20 2.2.1 Expected returns parameter 22 2.2.2 The covariance matrix parameter 24 2.3 Portfolio Selection 28 2.3.1 Mean-Variance Model 29 2.3.2 Global Minimum Variance Model (GMV) 30 CHAPTER 3: THEORETICAL FRAMEWORK 32 3.1 Basic preliminaries 32 3.1.1 Return 32 3.1.2 Variance 33 i 3.2 Portfolio optimization 34 3.3 The estimators of covariance matrix 35 3.3.1 The sample covariance matrix (SCM) 36 3.3.2 The single index model (SIM) 37 3.3.3 Constant correlation model (CCM) 39 3.3.4 Shrinkage towards single-index model (SSIM) 40 3.3.5 Shrinkage towards constant correlation Model (SCCM) 42 3.3.6 Shrinkage towards identity matrix (STIM) 46 CHAPTER 4: METHODOLOGY 50 4.1 Input Data 50 4.2 Portfolio performance evaluation methodology 54 4.3 Transaction costs 58 4.4 Performance metrics 58 4.4.1 Sharpe ratio (SR) 59 4.4.2 Maximum drawdown (MDD) 59 4.4.3 Portfolio weight turnover (PT) 60 4.4.4 Winning rate (WR) 61 4.4.5 Jensen’s Alpha 61 4.4.6 The statistical significance of the differences between two strategies on the performance measures 62 4.5 VN - Index and 1/N portfolios benchmarks 63 CHAPTER 5: EMPIRICAL RESULTS 64 5.1 VN – Index and 1/N portfolio performance 64 5.1.1 VN – Index performance 64 5.1.2 1/N Portfolio performance 67 5.2 Portfolio out – of –sample performance 70 5.2.1 Sample covariance matrix (SCM) 70 5.2.2 Single index model (SIM) 74 5.2.3 Constant correlation model (CCM) 77 ii 5.2.4 Shrinkage towards Single index model (SSIM) 80 5.2.5 Shrinkage towards constant correlation model (SCCM) 88 5.2.6 Shrinkage towards identity matrix (STIM) 93 5.3 Summary performances of covariance matrix estimators on out – of – sample 97 CHAPTER 6: CONCLUSIONS AND FUTURE WORKS 103 6.1 Conclusions 103 6.2 Future works 107 REFERENCES 109 iii List of Abbreviations APT: Arbitrage Pricing Theory CAPM: Capital Asset Pricing Model CCM: Constant Correlation Model DIG: Development Investment Construction Joint Stock Company GDP: Gross Domestic Product GICS: Global Industry Classification Standard GMV: Global Minimum Variance Model HOSE: Ho Chi Minh City Stock Exchange HNX: Ha Noi Stock Exchange ICF: ICF Cable Joint Stock Company IPO: Initial Public Offering MDD: Maximum Drawdown MLE: Maximum Likelihood Estimator MV: Mean - Variance MVO: Mean-Variance Optimization MPT: Modern Portfolio Theory OLS: Ordinary Least Squares PT: Portfolio Turnover REE: Refrigeration Electrical Engineering Corporation SAM: Sam Holdings Corporation SCM: Sample Covariance Matrix SIM: Single Index Market Model SSIM: Shrinkage towards Single-index Model SCCM: Shrinkage towards Constant Correlation Model STIM: Shrinkage to Identity Matrix SR: Sharpe Ratio UPCoM: Unlisted Public Company Market USD: United States Dollar iv VIC: Vingroup Joint Stock Company VND: Viet Nam Dong VN - Index: Vietnam stock index WR: Winning rate YEG: Yeah1 Group Corporation v List of Figures Figures Page Figure 1.1: The performance of investment funds in the period of 2009 – 2019 Figure 1.2: The performance of investment funds in the period of 2017 – 2019 Figure 1.3: Determinants of portfolio performance Figure 2.1 The MPT investment process 18 Figure 4.1: The universe of stocks on HOSE from 2013 – 2019 52 Figure 4.2: The number of listed companies into industry groups on HOSE, 2019 53 Figure 4.3: The market capitalization of industry groups on HOSE, 2019 54 Figure 4.4: Back – testing procedure 57 Figure 5.1: VN-Index’s performance in the period of 2013 – 2019 64 Figure 5.2: Back-testing results of 1/N portfolio benchmark on out – of – sample from 1/1/2013 – 31/12/2019 Figure 5.3: Back-testing results of SCM on out – of – sample from 1/1/2013 – 31/12/2019 Figure 5.4: Compare the cumulative return between SCM and VN-Index Figure 5.5: Back-testing results of SIM on out – of – sample from 1/1/2013 – 31/12/2019 Figure 5.6: Compare the cumulative return between SIM and VN-Index Figure 5.7: Back-testing results of CCM on out – of – sample from 1/1/2013 – 31/12/2019 69 72 73 75 76 78 Figure 5.8: Compare the cumulative return between CCM and VN-Index 79 Figure 5.9: Back-testing results of SSIM on out – of – sample from 1/1/2013 – 82 vi 31/12/2019 Figure 5.10: Compare the cumulative return between SSIM and VN-Index Figure 5.11: Back-testing results of SSIM’s shrinkage coefficient ( ) on out – of – sample from 1/1/2013 - 31/12/2019 Figure 5.12: Back-testing results of SCCM on out – of – sample from 1/1/2013 – 31/12/2019 Figure 5.13: Compare the cumulative return between SCCM and VN-Index Figure 5.14: Back-testing results of SCCM’s shrinkage coefficient ( ) on out – of – sample from 1/1/2013 - 31/12/2019 Figure 5.15: Back-testing results of STIM on out – of – sample from 1/1/2013 – 31/12/2019 Figure 5.16: Compare the cumulative return between STIM and VN-Index Figure 5.17: Back-testing results of STIM’s shrinkage coefficient ( ) on out – of – sample from 1/1/2013 - 31/12/2019 vii 85 86 89 91 92 94 95 96 List of Tables Tables Page Table 2.1: Selected works on portfolio selection 29 Table 4.1: The sample dataset are collected in the period of 2011 – 2019 51 Table 5.1: The performance of VN – Index in the period of 2013 – 2019 66 Table 5.2: The performance of the 1/N portfolio benchmark from 1/1/2013 to 31/12/2019 67 Table 5.3: The performance of SCM from 1/1/2013 to 31/12/2019 70 Table 5.4: The performance of SIM from 1/1/2013 to 31/12/2019 74 Table 5.5: The performance of CCM from 1/1/2013 to 31/12/2019 77 Table 5.6: The performance of SSIM from 1/1/2013 to 31/12/2019 80 Table 5.7: The performance of SCCM from 1/1/2013 to 31/12/2019 88 Table 5.8: The performance of STIM from 1/1/2013 to 31/12/2019 93 Table 5.9: Summary back-testing results of covariance matrix estimators on out – of – sample Table 5.10: The movement value of shrinkage coefficient ( ) viii 97 – 98 102 thấy ổn định an toàn so với phương pháp ước lượng SIM trường hợp thị trường tài có diễn biến xấu Điều giải thích mức độ biến động trung bình danh mục mức lỗ tối đa theo phương pháp ước lượng CCM cho kết thấp so với phương pháp ước lượng SIM tất danh mục đầu tư kiểm định Mặc dù tiêu chí thay đổi trạng thái danh mục đầu tư tỷ lệ chiến thắng phương pháp ước lượng SIM cho kết tốt so với phương pháp ước lượng CCM, điều khơng thể giúp phương pháp ước lượng SIM tốt so với phương pháp ước lượng CCM Bốn là, phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai co gọn thể vượt trội so với phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai truyền thống danh mục tiêu chuẩn thị trường số lượng cổ phiếu xem xét danh mục tăng lên Khi số lượng cổ phiếu danh mục xem xét N = 50, phương pháp ước lượng shrinkage không cho thấy khác biệt nhiều so với phương pháp SCM chí cịn tệ so với danh mục tiêu chuẩn thị trường Tuy nhiên, N lớn 100 cổ phiếu, phương pháp ước lượng shrinkage bắt đầu cho thấy vượt trội rõ ràng phương pháp ước lượng truyền thống SCM N tiến đến 200, phương pháp ước lượng cho thấy vượt trội hoàn toàn so với benchmarks thị trường hầu hết tiêu chí đo lường kết danh mục đầu tư Thêm vào đó, phương pháp ước lượng shrinkage chứng minh tính hiệu trường hợp danh mục đầu tư xem xét có số lượng lớn hay ma trận xem xét có số chiều lớn (high - dimensional portfolios) Điều phản ánh cách rõ ràng so sánh phương pháp với phương pháp model – based Phương pháp ước lượng SIM CCM cho thấy khả tốt việc lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu có phần vượt trội so với phương pháp co gọn N = 50, 100, 200 Tuy nhiên, N tăng vọt lên 350 cổ phiếu, phương pháp tiếp cận theo model – based hoàn toàn bị đánh bại phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai co gọn gồm có SSIM, SCCM STIM Chúng ta nhìn thấy phương pháp ước lượng model – based ấn tượng khả tạo lợi nhuận N = 350, nhiên phương 31 pháp ước lượng shrinkage chí cịn hoạt động hiệu thông qua việc vừa trì tốc độ tăng trưởng lợi nhuận giảm thiểu tối đa mức độ rủi ro biến động danh mục đầu tư Mức độ rủi ro biến động trung bình phương pháp ước lượng shrinkage khoảng 6.9%, thấp nhiều so với 8.8% phương pháp ước lượng model – based Điều dẫn đến tiêu chí đánh giá kết danh mục số Sharpe hệ số Alpha phương pháp ước lượng shrinkage hoàn toàn vượt trội so với phương pháp ước lượng model – based Hơn nữa, mức độ lỗ tối đa trung bình phương pháp ước lượng shrinkage thể tốt, mức độ lỗ tối đa khoảng nửa so với mức lỗ tối đa phương pháp ước lượng model – based Mặc dù tiêu chí đanh giá khác mức độ thay đổi trạng thái danh mục tỷ lệ chiến thắng phương pháp shrinkage tương đối yếu so với phương pháp ước lượng model – based, nhìn chung phương pháp ước lượng shrinkage thể tính hiệu nhiều so với phương pháp model – based danh mục đầu tư có số chiều lớn Năm là, phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai co gọn, phương pháp ước lượng SCCM cho kết vượt trội cách rõ ràng so với hai phương pháp ước lượng co gọn lại tất danh mục đầu tư xem xét hầu hết tiêu chí đo lường tính hiệu danh mục đầu tư Cụ thể, mức lợi nhuận trung bình SCCM bốn danh mục đầu tư kiểm định 15.22%, cao nhiều so với 12.73% phương pháp ước lượng SSIM 12.38% phương pháp STIM Trong đó, mức lợi nhuận trung bình hàng năm cao SCCM lên đến 18.81% N = 350 Mức độ rủi ro biến động danh mục đầu tư thấp xem lợi lớn phương pháp ước lượng shrinkage, phương pháp ước lượng shrinkage, mức độ biến động danh mục đầu tư STIM cho thấy kết tốt Tuy nhiên xem xét lợi nhuận danh mục đầu tư đơn vị rủi ro, phương pháp ước lượng SCCM đưa đến kết tốt Chỉ số Sharpe trung bình SCCM danh mục đầu tư kiểm định lên đến 1.16 lần cao so với giá trị 0.96 lần 0.97 lần phương pháp ước lượng SSIM STIM Chỉ số Sharpe cao SCCM lên đến 1.72 lần N = 350 Thêm nữa, hệ số Alpha SCCM đạt giá 32 trị dương lớn số phương pháp shrinkage Trong đó, tiêu chí đo lường danh mục khác portfolio turnover, maximum drawdown and winning rate khơng có nhiều khác biệt phương pháp ước lượng Trong trường hợp danh mục đầu tư có số lượng cổ phiếu cao (N=350), phương pháp ước lượng SCCM cho thấy kết tốt nhất, khác biệt có xu hướng giảm xuống, đặc biệt phương pháp ước lượng SCCM STIM Table 5.10: The movement value of shrinkage coefficient ( ) Number of stocks Movement area of shrinkage coefficient SSIM SCCM STIM N = 50 0.025 – 0.3 0.25 – 0.5 0.05 – 0.35 N = 100 0.05 – 0.35 0.25 – 0.55 0.1 – 0.4 N = 200 0.05 – 0.45 0.27 – 0.65 0.1 – 0.52 N = 350 0.05 – 0.55 0.3 – 0.7 0.1 – 0.62 Source: Results calculated by back-testing system Cuối cùng, vượt trội phương pháp ước lượng SCCM so với hai phương pháp ước lượng SSIM STIM giải thích giá trị hệ số shrinkage Bảng cho thấy khu vực chuyển động hệ số co gọn phương pháp SCCM cao so với khu vực chuyển động SSIM STIM tất danh mục đầu tư kiểm định Hệ số co gọn cao giúp phương pháp ước lượng SCCM có khả điều chỉnh ma trận hiệp phương sai ước lượng nhiều tạo mức lợi nhuận vượt trội so với phương pháp ước lượng SSIM STIM KẾT LUẬN Tối ưu hóa danh mục đầu tư chứng khốn ln tốn thú vị nhà đầu tư thị trường Các nhà đầu tư cố gắng xây dựng danh mục đầu tư đáp ứng lợi nhuận kỳ vọng họ đồng thời hạn chế rủi ro xảy danh mục đầu tư Họ chấp nhận mức độ rủi ro cao bù đắp mức lợi nhuận kỳ vọng hợp lý, hai danh mục đầu tư có mức lợi nhuận kỳ vọng 33 danh mục đầu tư mang lại rủi ro danh mục đầu tư lựa chọn Từ nhà đầu tư thị trường tìm cách xây dựng danh mục đầu tư tối ưu hóa lợi nhuận kỳ vọng giảm thiểu rủi ro danh mục đầu tư Lý thuyết danh mục đầu tư đại (MPT) thường nhà đầu tư lựa chọn để giải toán Mặc dù tiếp cận rộng rãi, lý thuyết tồn hạn chế định khiến khơng đạt kết mong đợi thực tế Hạn chế đến từ không ổn định tham số đầu vào lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu, số tham số ma trận hiệp phương sai Mục tiêu nghiên cứu luận án muốn xem xét thay đổi yếu tố ma trận hiệp phương sai tác động đến kết lựa chọn danh mục đầu tư thơng qua tìm hiểu xem liệu nhà đầu tư cải thiện hiệu hoạt động danh mục đầu tư việc điều chỉnh ma trận hiệp phương sai mơ hình tối ưu hóa với phương sai nhỏ hay khơng Bên cạnh đó, dựa kết tiêu chí đánh giá danh mục đầu tư, luận án lựa chọn phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai phù hợp thị trường chứng khốn Việt Nam Thơng qua kết nghiên cứu thực nghiệm thị trường chứng khốn Việt Nam, kết luận mà luận án đưa sau: Một là, phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai đề cập luận án cho thấy hiệu phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai theo phương pháp truyền thống việc lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu với phương sai nhỏ Cụ thể, phương pháp ước lượng theo model - based (SIM CCM) phương pháp ước lượng theo shrinkage (SSIM, SCCM, STIM) đưa đến kết tốt nhiều so với phương pháp ước lượng truyền thống SCM tất danh mục đầu tư kiểm định hầu hết tiêu chí đo lường hiệu danh mục đầu tư Đây xem kết luận quan trọng nhà đầu tư nhà quản lý danh mục đầu tư, lần khẳng định hợp lý việc lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu dựa việc điều chỉnh tham số ma trận hiệp phương sai Tính 34 hợp lý khơng mang lại tính hiệu thị trường phát triển nghiên cứu trước Ledoit Wolf mà cịn thể hiệu thị trường thị trường Việt Nam Từ mở hướng nghiên cứu rõ ràng cho nhà đầu tư việc xây dựng phương pháp lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu thị trường tài Hai là, vượt trội phương pháp ước lượng model – based so với phương pháp truyền thống SCM diễn N = 100 mức độ vượt trội gia tăng N = 350 Phương pháp ước lượng shrinkage cho thấy vượt trội so với phương pháp SCM benchmarks thị trường N có xu hướng gia tăng, vượt trội bắt đầu trở nên rõ ràng N lớn 100 cổ phiếu Kết luận giúp cho nhà đầu tư nhà quản lý danh mục thấy quy mô thị trường vượt khỏi số lượng cổ phiếu N = 100 họ phải cân nhắc để áp dụng phương pháp ước lượng việc điều chỉnh tham số ma trận hiệp phương sai mô hình tối ưu, lúc phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai theo phương pháp truyền thống khơng cịn đạt hiệu việc lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu Ba là, phương pháp ước lượng model – based bao gồm SIM CCM cho thấy khả tốt việc lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu có phần vượt trội so với phương pháp ước lượng shrinkage N = 50, 100, 200 Tuy nhiên, phương pháp ước lượng shrinkage chứng minh hiệu N đạt giá trị cao; điều thể N tăng vọt lên 350 cổ phiếu, mơ hình model – based hồn tồn bị đánh bại phương pháp ước lượng co gọn SSIM, SCCM STIM Như vậy, kết luận giúp cho nhà quản lý danh mục phát rằng, việc áp dụng phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai theo model – based thực hiệu quy mô thị trường nhỏ 200 cổ phiếu; quy mô thị trường tăng số lượng cổ phiếu lên 350, nhà quản lý danh mục nên xem xét sử dụng phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai co gọn, lúc phương pháp ước lượng model – based khơng cịn hiệu việc lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu 35 Bốn là, phương pháp ước lượng theo model – based, phương pháp ước lượng CCM cho kết tốt nhiều so với phương pháp ước lượng SIM việc lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu Kết phù hợp với kết nghiên cứu Elton ctg (2009), từ cho thấy đặc điểm cặp cổ phiếu thị trường chứng khốn Việt Nam có mức độ tương quan giống với mức độ tương quan trung bình thị trường, việc cổ phiếu biến động thay đổi yếu tố lợi nhuận thị trường Đây đặc điểm quan trọng mà nhà đầu tư nên ý đầu tư vào thị trường chứng khốn Việt Nam, bên cạnh nhà quản lý thị trường tham khảo để thực tốt công tác quản lý khuyến nghị sách Năm là, phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai co gọn, phương pháp ước lượng SCCM cho kết lựa chọn danh mục đầu tư tốt danh mục đầu tư kiểm định (N = 50, 100, 200, 350) hầu hết tiêu chí đo lường tính hiệu danh mục đầu tư; phương pháp ước lượng SSIM STIM khơng có nhiều khác biệt việc lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu Kết có chút khác biệt so với nghiên cứu Ledoit & Wolf (2003, 2004) Ledoit & Wolf (2017, 2018); nghiên cứu đưa kết luận phương pháp ước lượng SCCM SSIM đưa đến kết tối ưu tốt nhiều so với phương pháp ước lượng STIM, phương pháp ước lượng SCCM lựa chọn tốt số lượng cổ phiểu danh mục đầu tư N ≤ 100, ngược lại N ≥ 225 phương pháp ước lượng SSIM lựa chọn tốt Sáu là, điều kiện số lượng cổ phiếu danh mục đầu tư tăng cao, phương pháp ước lượng SCCM cho thấy phương pháp điều chỉnh tham số ma trận hiệp phương sai tốt việc lựa chọn danh mục đầu tư thị trường chứng khoán Việt Nam Kết thực nghiệm cho thấy rằng, tiêu chí đo lường tính hiệu danh mục đầu tư theo phương pháp SCCM hồn tồn đánh bại tiêu chí đo lường phương pháp ước lượng truyền thống SCM, danh mục tiêu chuẩn thị trường (chỉ số VN-Index, danh mục đầu tư theo chiến lược 1/N), phương pháp ước lượng theo phương pháp 36 model – based phương pháp ước lượng co gọn khác (SSIM, STIM) Tuy nhiên, vượt trội phương pháp ước lượng SCCM so với hai phương pháp co gọn khác SSIM, STIM có xu hướng giảm xuống số lượng cổ phiếu danh mục đầu tư tăng vọt Đặc biệt cạnh tranh mạnh mẽ phương pháp SCCM phương pháp STIM Phương pháp ước lượng SCCM có nhiều lợi việc tạo danh mục có mức lợi nhuận cao, phương pháp STIM có nhiều khả việc tạo danh mục an toàn Bảy là, hai benchmarks lựa chọn, chiến lược 1/N cho thấy vượt trội nhiều so với số VN – Index hầu hết tiêu chí đo lường tính hiệu danh mục đầu tư Điều cho thấy tính đại diện cho xu hướng thay đổi thị trường số VN – Index chưa thật hiệu quả, nguyên nhân xuất phát từ việc số chịu ảnh hưởng lớn nhóm ngành cơng ty có giá trị vốn hóa lớn thị trường dẫn đến sai lệch cho việc dự báo thị trường Vì nhà đầu tư cần ý lựa chọn số VN – Index số dự báo xu hướng thay đổi thị trường, đồng thời đặt toán cho nhà quản lý thị trường việc xây dựng số hợp lý đại diện cho thay đổi toàn thị trường Trong phạm vi luận án này, để đánh giá tính hiệu việc điều chỉnh tham số ma trận hiệp phương sai hoạt động lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu, tác giả áp dụng phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai theo mơ hình nhân tố (model – based) phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai co gọn (shrinkages) so với phương pháp ước lượng truyền thống SCM Trong tương lai, nhà nghiên cứu nhà quản lý danh mục lựa chọn cách tiếp cận để điều chỉnh tham số ma trận hiệp phương sai hoạt động tối ưu danh mục Cụ thể, phương pháp ước lượng co gọn, nhà nghiên cứu xem xét để lựa chọn ma trận mục tiêu để kết hợp với ma trận hiệp phương sai mẫu thay sử dụng ma trận mục tiêu SIM, CCM, IM nghiên cứu để tạo ma trận hiệp phương sai có tính dự báo tốt 37 Bên cạnh đó, nhà nghiên cứu thay đổi phương pháp kết hợp ma trận mục tiêu ma trận hiệp phương sai mẫu Hiện có hai xu hướng phát triển cho kết hợp Một là, kết hợp ma trận hiệp phương sai mẫu vài ma trận mục tiêu co gọn thời điểm ước lượng ma trận hiệp phương sai, thay sử dụng ma trận hiệp phương sai nghiên cứu này, hướng nghiên cứu Liu (2014) đề xuất gọi “generalized multivariate shrinkage” Tuy nhiên hướng nghiên cứu gặp nhiều khó khăn việc xác định hệ số co gọn ma trận mục tiêu Hai là, hướng nghiên cứu gọi phương pháp co gọn phi tuyến tính (non – linear shrinkage) tiếp tục phát triển Ledoit Wolf (2018, 2019) Tuy nhiên hướng nghiên cứu gặp phải khó khăn việc cân tốc độ xử lý, mức độ rõ ràng xác việc ước lượng ma trận hiệp phương sai Hơn nữa, luận án tác giả xem xét số chiều ma trận hiệp phương sai với số lượng cổ phiếu danh mục tối đa 350, tương lai thị trường chứng khoán Việt Nam phát triển, số lượng cổ phiếu đủ điều kiện thị trường tăng lên, nhà nghiên cứu mở rộng nghiên cứu số chiều ma trận lớn để nhìn thấy rõ tác động tham số ma trận hiệp phương sai đến kết lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu 38 REFERENCES Bai, J., and Shi, S (2011) Estimating high dimensional covariance matrices and its applications Annals of Economics and Finance, 12: 199–215 Broadie, M (1993) Computing efficient frontiers using estimated parameters Annals of operations research, 45:21-58 Best, J., and Grauer, R (1991) Sensitivity analysis for mean-variance portfolio problems Management Science, 37(8):980–989 Bengtsson, C., and Holst, J (2002) On portfolio selection: Improved covariance matrix estimation for Swedish asset returns Journal of Portfolio Management, 33(4): 55-63 Chan, L., Jason, K., and Josef, L.(1999) On portfolio optimization: Forecasting covariances and choosing the risk model The Review of Financial Studies, 12(5):937–974 Chandra, S.(2003) Regional Economy Size and the Growth-Instability Frontier: Evidence from Europe J Reg Sci., 43(1): 95-122 doi:10.1111/1467-9787.00291 Chekhlov, A., and Uryasev, S (2005) Drawdown measure in portfolio optimization International Journal of Theoretical and Applied Finance, 8(1):13-58 Chen, Y., Ami W., Yonina E., and Alfred, H (2010) Shrinkage algorithms for MMSE covariance estimation IEEE Transactions on Signal Processing, 58: 5016–29 Chopra, V., and Ziemba, W.(1993) The effect of errors in means, variances, and covariances on optimal portfolio choice Journal of Portfolio Management, 19(2):611 Clarke, Roger G., Harindra De Silva, and Steven Thorley (2006) Minimum-variance portfolios in the U.S equity market Journal of Portfolio Management, 33: 10–24 Cohen, J., and Pogue, J (1967) An empirical evaluation of alternative portfolio selection models The Journal of Business, 40(2):166–193 De Nard, G., Ledoit, O., and Wolf, M (2019) Factor models for portfolio selection in large dimensions: The good, the better and the ugly Journal of Financial Econometrics Forthcoming DeMiguel, V., and Francisco N., (2009) Portfolio selection with robust estimation Operations Research, 57(3):560–577 39 Efron, B., R Tibshirani (1993) An Introduction to the Bootstrap Chapman and Hall, New York Edwin, J., Martin, G., and Manfred, P (1997) Simple rules for optimal portfolio selection: the multi group case Journal of Financial and Quantitative Analysis, 12(3):329–345 Elton, Edwin J., and Martin J Gruber (1973) Estimating the dependence structure of share prices: implications for portfolio selection The Journal of Finance, 28(5):1203– 1232 Elton, Edwin J., Martin J Gruber., Stephen B., and William N Goetzmann.(2009) Modern portfolio theory and investment analysis John Wiley & Sons Fabozzi, F., Gupta, F., and Markowitz, H.(2002) The legacy of modern portfolio theory The Journal of Investing, 11(3): 7–22 Fama, E., and French, K (1993) Common risk factors in the returns on stocks and bonds The Journal of Financial Economics, 33: 3–56 Fama, E., and French, K (2015) A five-factor asset pricing model Journal of Financial Economics, 16: 1–22 Fama, E., and French, K (2016) Dissecting Anomalies with a Five-Factor Model Review of Financial Studies, 29: 69–103 Fernández, A., and Gómez, S (2007) Portfolio selection using neural networks Computers and Operations Research, 34: 1177–91 Frankfurter, G., Phillips, H., and Seagle, J (1971) Portfolio Selection: The Effects of Uncertain Means, Variances, and Covariances Journal of Financial and Quantitative Analysis, 6(5):1251 – 1262 George Derpanopoulos (2018) Optimal financial portfolio selection Working paper Haugen, Robert A., and Nardin L Baker (1991) The efficient market inefficiency of capitalization-weighted stock portfolios Journal of Portfolio Management, 17: 35– 40 Huber, P J (2004) Robust Statistics John Wiley & Sons, New York Ikeda, Y., and Kubokawa, T (2016) Linear shrinkage estimation of large covariance matrices using factor models Journal of Multivariate Analysis, 152: 61–81 40 Iyiola, O., Munirat, Y., and Christopher, N.(2012) The modern portfolio theory as an investment decision tool Journal of Accounting and Taxation, 4(2):19-28 Jagannathan, R., and Ma, T., (2003) Risk reduction in large portfolios: Why imposing the wrong constraints helps The Journal of Finance, 58(4):1651–1683 James, W and Stein, C (1961) Estimation with quadratic loss In Proceedings of the Fourth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability 1, pages 361– 380 Jensen, M.(1968) The performance of mutual funds in the period 1945 – 1964 Journal of Finance, 23(2):389-416 Jobson, J., Korkie, B (1980) Estimation for Markowitz efficient portfolios Journal of the American Statistical Association, 75(371): 544 – 554 Jorion, P (1985) International Portfolio Diversification with Estimation Risk Journal of Business, 58: 259–78 Jorion, P (1986) Bayes-Stein estimation for portfolio analysis Journal of Financial and Quantitative Analysis, 21(3):279–292 Kwan, Clarence C.Y (2011) An introduction to shrinkage estimation of the covariance matrix: A Pedagogic Illustration Spreadsheets in Education (eJSiE), 4(3): article Kempf, A., and Memmel, C (2006) Estimating the global minimum variance portfolio Schmalenbach Business Review, 58:332-48 Konno, Y (2009) Shrinkage estimators for large covariance matrices in multivariate real and complex normal distributions under an invariant quadratic loss Journal of Multivariate Analysis, 100: 2237–53 Lam, C (2016) Nonparametric eigenvalue-regularized precision or covariance matrix estimator Annals of Statistics, 44(3):928–953 Liagkouras, K., and Kostas M (2018) Multi-period mean-variance fuzzy portfolio optimization model with transaction costs Engineering Applications of Artificial Intelligence, 67: 260–69 Ledoit, O and Peche, S (2011) Eigenvectors of some large sample covariance matrix ensembles Probability Theory and Related Fields, 150(1–2):233–264 41 Ledoit, O and Wolf, M (2003a) Honey, I shrunk the sample covariance matrix Journal of Portfolio Management, 30(4):110–119 Ledoit, O and Wolf, M (2003b) Improved estimation of the covariance matrix of stock returns with an application to portfolio selection Journal of Empirical Finance, 10(5):603–621 Ledoit, O and Wolf, M (2004) A well-conditioned estimator for large-dimensional covariance matrices Journal of Multivariate Analysis, 88(2):365–411 Ledoit, O and Wolf, M (2008) Robust performance hypothesis testing with the Sharpe ratio Journal of Empirical Finance, 15(5):850–859 Ledoit, O and Wolf, M (2012) Nonlinear shrinkage estimation of large-dimensional covariance matrices Annals of Statistics, 40(2):1024–1060 Ledoit, O and Wolf, M (2015) Spectrum estimation: A unified framework for covariance matrix estimation and PCA in large dimensions Journal of Multivariate Analysis, 139(2):360–384 Ledoit, O and Wolf, M (2017a) Nonlinear shrinkage of the covariance matrix for portfolio selection: Markowitz meets Goldilocks Review of Financial Studies, 30(12):4349–4388 Ledoit, O and Wolf, M (2017b) Numerical implementation of the QuEST function Computational Statistics & Data Analysis, 115:199–223 Ledoit, O and Wolf, M (2018b) Optimal estimation of a large-dimensional covariance matrix under Stein’s loss Bernoulli, 24(4B) 3791–3832 Markowitz, H (1952) Portfolio selection Journal of Finance, 7:77–91 Markowitz, H (1959) Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments John Wiley & Sons Martin, D., Clark, A., and Christopher G (2010) Robust portfolio construction Handbook of Portfolio Construction Springer, 337–380 Merton, R (1969) Life time portfolio selection under uncertainty: The continuous-time case The review of Economics and Statistics, 51: 247–57 Merton, R (1971) Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model Journal of Economic Theory, 3: 373–413 42 Merton, R (1972) An analytic derivation of the efficient portfolio frontier Journal of Financial and Quantitative Analysis, 7: 1851–72 Merton, C (1980) On estimating the expected return on the market: An exploratory investigation Journal of financial economics, 8(4):323–361 Michaud, Richard O (1989) The Markowitz optimization enigma: Is ”optimized” optimal Financial Analysts Journal, 45(1):31–42 Michaud, Richard O., Esch, D., and Michaud, R (2012) Deconstructing BlackLitterman: How to get the Portfolio you already knew you wanted Available at SSRN 2641893 Nick Radge (2006) Adaptive analysis for Australian stocks Wrightbooks Nguyen, Tho (2010) Arbitrage Pricing Theory: Evidence from an Emerging Stock Market, Working Papers 03, Development and Policies Research Center (DEPOCEN), Vietnam Okhrin, Yarema, and Wolfgang Schmid (2007) Comparison of different estimation techniques for portfolio selection Asta Advances in Statistical Analysis, 91: 109–27 Pogue, A (1970) An extension of the Markowitz portfolio selection model to include variable transactions’ costs, short sales, leverage policies and taxes The Journal of Finance, 25: 1005–27 Ross, S A (1976) The arbitrage theory of capital asset pricing Journal of Economic Theory, 13(3):341–360 Samuelson, A (1969) Life time portfolio selection by dynamic stochastic programming The Review of Economics and Statistics, 51: 23946 Schăafer, J and Strimmer, K (2005) A shrinkage approach to large-scale covariance matrix estimation and implications for functional genomics Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology, 4(1) Article 32 Soleimani, H., Golmakani, H., and Mohammad S (2009) Markowitz-based portfolio selection with minimum transaction lots, cardinality constraints and regarding sector capitalization using genetic algorithm Expert Systems with Applications, 36: 5058– 63 43 Sharpe, William F (1963) A simplified model for portfolio analysis Management science, 9(2):277–293 Sharpe, William F (1964) Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk The journal of finance, 19(3):425–442 Stein, C (1956) Inadmissibility of the usual estimator for the mean of a multivariate normal distribution In Proceedings of the Third Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, pages 197–206 University of California Press Stein, C (1986) Lectures on the theory of estimation of many parameters Journal of Mathematical Sciences, 34(1):1373–1403 Taleb, N (2007) The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable, Random House, 80-120 Truong, L., and Duong, T (2014) Fama and French three-factor model: Empirical evidences from the Ho Chi Minh Stock Exchange Journal of Science Can Tho University, 32:61 – 68 Vo, Q., and Nguyen, H (2011) Measuring risk tolerance and establishing an optimal portfolio for individual investors in HOSE Economic Development Review, 33-38 Xue, Hong-Gang, Cheng-Xian Xu, and Zong-Xian Feng (2006) Mean-variance portfolio optimal problem under concave transaction cost Applied Mathematics and Computation, 174: 1–12 Yang, L., Romain, C., and Matthew, M (2014) Minimum variance portfolio optimization with robust shrinkage covariance estimation Paper presented at 2014 48th Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers, Pacific Grove, CA, USA, November 2–5; pp 1326–30 44 45 ...MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINNING THE STATE BANK OF VIETNAM BANKING UNIVERSITY OF HO CHI MINH CITY NGUYEN MINH NHAT SUMMARY OF DOCTORAL DISSERTATION SHRINKAGE ESTIMATION OF COVARIANCE MATRIX FOR PORTFOLIO. .. mong đợi số lượng tài sản đầu tư bắt đầu tăng nhanh thị trường tài Đó lý dẫn đến việc tác giả lựa chọn đề tài: ? ?Shrinkage estimation of covariance matrix for portfolio selection on Vietnam stock. .. Association, 75(371): 544 – 554 Jorion, P (1985) International Portfolio Diversification with Estimation Risk Journal of Business, 58: 259–78 Jorion, P (1986) Bayes-Stein estimation for portfolio