Dang luong giac so phuc

II/ Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác III/ Công thức Moa –vrơ và ứng dụng.. 1/ Công thức Moa-vrơ.[r]

I/ Số phức dạng lượng giác 1/ Acgumen số phức z ≠ 2/ Dạng lượng giác số phức

II/ Nhân chia số phức dạng lượng giác III/ Công thức Moa –vrơ ứng dụng

1/ Công thức Moa-vrơ

2/ ứng dụng vào lượng giác

O x

M



cos

Sin =(Cos; Sin)

O

x

M

a

b =(a; b)

I/ SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC

1/ Acgument số phức z ≠

Định nghĩa

Cho số phức z ≠ Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z

x y

O

M

Số đo (radian) góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM gọi

acgument z



Chú ý :  acgument

của z mọi acgument z có dạng  + k2

( acgument z sai khác k2)

Ví dụ

x O



a/ Số thực dương có acgument b/ Số thực âm có acgument 

c/ Số 3i có acgument

2



Số -2i có acgument

2





Số 1+ i có acgument

4



1

Nhận xét:

Hai số phức z lz (l số thực đương có acgument sai khác k2, k  Z,

các điểm biểu diễn chúng thuộc tia gốc O

x y

O

M



b/ Dạng lượng giác số phức

Cho số phức z = a + bi (a, b  R)

Kí hiệu r modun z  acgument z, ta có:

x y

O

M



r

a b

; sin a rcos  b r 

Vậy: z a bi r cos   (  + i sin ) Định nghĩa 2:

Dạng z = r(cos + isin)

1/ Tìm r : môdun z : r  a2 b2

( r khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z mặt phẳng phức ) 2/ Tìm 

 Là acgument z, số thức cho: cos a ;sin b

r r

   

Ví dụ 3: Tìm dạng lượng giác số phức sau: 2; -2; i; 1+ i; 1 3i

Giải

a/ Số có modun r =

Một acgument  =

Dạng lượng giác là: 2(cos0 + isin 0) b/ Số -2 có modun r =

Một acgument -2  = 

Dạng lượng giác là: 2(cos + isin )

c/ Số i có modun r = Một acgument i :

Dạng lượng giác i là: ( + isin )

2

cos 

2

  

d/ Số 1+ i có modun

Một acgument 1+ i  , cho:

Dạng lượng giác là: 2( + i sin )

4

cos  

2 r  1 ;sin 2

cos      

e/ Số có modun Một acgument  , cho:

Dạng lượng giác là:

2 + i sin

3

cos  

                   2 r  ;sin

2

cos       

2/ Khi z = IzI = acgument z không xác định

( coi acgument số thực tuỳ ý viết = 0(cos + isin)

3/ Cần ý r > dạng lượng giác r(cos + isin) số phức z

Ví dụ 4:

a/ Số phức – (cos + isin) có dạng lượng giác là: cos( + ) + isin( + )

PHẦN BÀI TẬP Bài 1: Tìm acgument số phức sau

   

 

3

/ 2

/ sin

4 4

/ sin

8 8

/

/ 1 3

a i

b cos i

c icos

d a i a i

e z i

 

 

 



 

  

 

( a số thực cho trước)

Biết acgument z

3

/ 2 / sin

4 4

a   i b cos   i 

Bài giải a / 2   i

2; 2

a  b 

 22 2 32 4 12 16 4

r

       

-2 -1 2 3 3

= = ;sin = =

4 2 4 2

a b

cos

r r

    2

3

 

PHẦN BÀI TẬP Bài 1: Tìm acgument số phức sau

/ 2 / sin

4 4

a   i b cos   i 

Bài giải / sin

4 4

b cos   i 

sin sin

4 4 4 4

4

cos  i  cos  i 

 

   

       

   

 

Vậy acgument

4

  

sin

4 4

/ sin

8 8

c    icos 

Bài giải / sin

8 8

c    icos 

sin sin

8 icos 8 cos 2 8 i 2 8

                        3 sin 8

cos  i 

 

3

sin

8

cos   i   

       

   

11 11 5 5

sin 2 sin 2

8 8 8 8

cos  i  cos    i    

           

   

5 5

sin

8 8

cos   i   

     

   

Vậy acgument của5



  sin

8 icos 8

 

PHẦN BÀI TẬP Bài 1: Tìm acgument số phức sau

   

 

3

/

/ 1 3

e a i a i

f z i

  

 

( a số thực cho trước) Biết acgument z

3



Giải: e a i/  3  a i 3 ( a số thực cho trước)

 a i 3  a i 3

+ Khi a = khơng có acgument xác địnha  3

+ Khi có acgument 0a  3  3  a  0

+ Khi có acgument a   3 0 a  3 

 2 

2a a 1 2ai a 1 a 1 2ai

       

 

   

 

3

/

/ 1 3

d a i a i

e z i

  

 

( a số thực cho trước) Biết acgument z

3



Giải: f z/  1i 3 Biết acgument z

3



1 3 2 1 3 1 3 2 1 3

2 2 2 2 2 2

z  i  z   i  z   i    i

     

     

Có acgument 3



có nghĩa

sin sin

3 3 3 3

z r cos   i    z cos  i  

   

Vậy:

1

2

z  i

       

 2

2

z  i

    

 

Vậy:  2

2

z  i

    

 

 

1 3

z  i

3

  

+ Khi I z I > có acgument

3



+ Khi 0< I z I < có acgument

4

3 3

 

  

     

 

1 3

/1 3; b/1 ; c/ 1 3 1 ; d/ ; e/ 2 3 ;

1 1

/ ; g/ sin 2 2

i

a i i i i i i

i

f z icos R

i   

           Bài giải: /1 3

a  i

1 2

1 3

;sin

2 2 3

2 sin

3 3

r cos

z cos i

                     b/1 2

1 2 2

;sin 2 2 2 2 sin 4 4 i r cos

z cos i

PHẦN BÀI TẬP

Bài 2; Viết số phức sau dạng lượng giác

     

 

1 3

/1 3; b/1 ; c/ 1 3 1 ; d/ ; e/ 2 3 ;

1 1

/ ; g/ sin 2 2

i

a i i i i i i

i

f z icos R

i   

           Bài giải:        

b/ 1 3 1

1 3 1 3

i i i             2

1 3

4 2 2

r    

    

1 3

;sin

2 2

cos     

1 3 1   2 2  sin 

z   i i  cos i 

Với: ;sin

2 2

cos     

Bài giải:

 

1i

1 3 1   1 3  1 3

1 3 1 3 1 3

c/

1 2 2 2 2

i i i

i

i i

     

   

   



  2 2

1

1 3 1 3 2

2

r     

1 3 1 3

;sin

2 2 2 2

cos     

 

2 sin

 

e/ 2i 3  i

Bài 2; Viết số phức sau dạng lượng giác Bài giải

 

e/ 2 3 2 3

4 12 4

1 3

;sin

2 2 6

4 sin

6 6

i i i

r cos

z cos i

                       

1 2 2 1 1

/

2 2 4 4 4 4

1 1 2

8 2 2 4

1 4 2 2

;sin

4 2 2 2 4

2

sin

4 4 4

i

f i

i r

cos

z cos i

Giải:

 

sin

2 2

z   icos  R cos     icos    

2/ NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC

ĐỊNH LÍ Nếu:

 

 

sin

' ' ' sin '

z r cos i z r cos i

 

 

 

 

thì z z ' rr cos'   ' isin   '

 

 '  sin ' 

' '

z r

cos i

z r         

Hay:

Tích hai số phức ( dạng lượng giác) ta lấy tích hai modun và tổng acgument

Nếu:  

 

sin

' ' ' sin '

z r cos i

z r cos i

           

' ' sin ' sin '

z z r r cos i  cos i 

   

' ' ' sin '

z z rr cos   i     '  sin ' 

' '

z r

cos i

z r         

Chứng minh:

 

' ' sin ' sin ' sin sin '

rr cos cos  cos i  i cos i  

   

 

 

' ' sin sin ' sin ' sin '

rr cos cos    i cos cos i 

   

   

' ' sin '

rr cos   i  

2/ NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC

ĐỊNH LÍ

Nếu:  

 

sin

' ' ' sin '

z r cos i

z r cos i

        1 ' : '.

z z z z 

   

' ' ' sin '

z z rr cos   i   

   

' '

' sin '

z r

cos i

z  r         

Chứng minh:

Với z =r(cos + isin’)

   

2 2 2 2

1 1 1

sin sin

z rcos i

z z r cos    

   



     

1

sin sin

cos i cos i

r   r  

Nếu:  

 

sin

' ' ' sin '

z r cos i

z r cos i

 

 

 

 

thì z z ' rr cos'   ' isin  '

   

' '

' sin '

z r

cos i

z  r         

Chứng minh: z z z' : '.1

z 

   

1 1

'. ' ' sin ' ( ) sin( )

z r cos i cos i

z     r   

       

'

'. '.sin sin ' sin 'sin

r

cos cos icos icos i

r          

         

     

'

'. sin 'sin '.sin sin '

r

cos cos i cos cos

r        

        

   

'

' sin '

r

cos i

r    

Ví dụ 5: Cho hai số phức z = + i z'  3 i

Tính tích thương hai số phức z z’ đưới dạng đại số dạng lượng giác Giải:

Tích thương dưói dạng đại số

     

' ' ' ( ' ') 3 1 1 3

zz  aa bb i ab ba   i 

   

     

2

1 3

' 1

: ' 3 1 1 3

4

' 3 1

i i

z z

z z i

z

 

      



Tích thương dạng lượng giác 1

z  i

Tìm modun: 1 1 ;sin 2 2 a b cos r r      

2 2

r  a b 

Tìm acgument:

4

 

 

Dạng lượng giác z là:

2 sin

4 4

cos  i 

 



 

Tính tích thương hai số phức z z’ đưới dạng đại số dạng lượng giác Giải:

Tích thương dạng lượng giác

' 3

z  i

Tìm modun: 3 1 ;sin 2 2 a b cos r r      

2 4 2

r  a b  

Tìm acgument: 6

 

 

Dạng lượng giác z’ là:

2 sin

6 6

cos  i 

 



 

 

' sin sin

4 6

2 sin

4 6

z z cos i cos i

cos i                                          

: ' sin

2 6

2

sin

2 12 12

z z cos i

III CÔNG THỨC MOA –VRƠ ( MOIVRE) VÀ ỨNG DỤNG

a/ Công thức Moa -vrơ

Từ công thức: z z ' rr cos'   ' isin  '

Bằng quy nạp toán học, ta suy ra:

 sin  n cos sin 

n n

z r cos i   r n i n ( n nguyên dương)

Khi r = 1, ta có: cos isinn cosn isinn

Ví dụ: Tính ( + i )5

Giải:

   

5

1 2 cos sin

4 4

n

i   i  

    

 

4 2 sin

4 4

cos i 

 

   

 

5 5

4 2 sin

4 4

cos  i 

 

   

 

 

2

4

2 i i

 

     

 

3

sin 3 3sin  4sin 

Giải:

Ta có:  

 

3 3 2 2 2 3 3

3 2

3 2

sin 3 sin 3 sin sin

3 sin 3 sin sin

3 sin 3 sin sin

cos i cos cos i cos i i

cos cos i cos i

cos cos i cos

                                

Mặt khác, theo cơng thức Moa-vrơ ta có cos isin3 cos3 isin 3

 

3

3

3

3 3 sin 3 1

3 3

4 3

cos cos cos cos cos cos

cos cos cos

cos cos                         

2 3

3

sin 3 3 sin sin 3 sin sin sin

c/ Căn bậc hai số phức dạng lượng giác

Cho z r cos   isin  r  0

Thì z có hai bậc hai là: sin

2 2

r cos  i  

 

sin sin

2 2 2 2

r cos  i   r cos     i     

             

       

và

Chứng minh: Theo cơng thức Moa –vre, ta có

 

2

sin sin

2 2

r cos i  r cos i 

                     

sin 2 sin 2

2 2

sin

r cos i r cos i

r cos i

1 3 i

   

Giải:

 6

/ 3

a  i

Đặt :

3 2

3 1

;sin

2 2 6

2 sin

6 6

z i

r cos

z cos i

                                         6 6 3

2 sin 2

i z

cos  i 

 

Bài 3: Tính

 

21 2004

6 5 3

/ 3 ; / ; /

1 1 3

i i

a i b c

i i                 Giải: Đặt :

1  1 1 1

1 2 2 2 2

i i i i z i i         2004 / 1 i b i        2

r  

2 2

;sin

2 2 4

cos      

2

sin

2 4 4

z   cos i  

1 3 i     Giải: Đặt : 2004 2004 2

2004 sin 2004

1 2 4 4

i cos i i                         2004 / 1 i b i              1002 2004 2

501 sin 501

2 cos  i 

 

   

 

1002

2 cos  500 isin  500

   

1002 1002

1 1

2 cos 2



21

5 3 /

1 3

i c i          

Bài 3: Tính Giải:

5 3 3   5 18 10 3 3 5 3

1 12 13

1 3

1 3

4 2

1 3 2

;sin

2 2 3

i i i

i z

i i r

cos   

                   Đặt :   21 21 21 21 21

5 3 2 2

2 21 sin 21

3 3

1 3

2 14 sin14 2

i

z cos i

Acgument số phức

Công thức Moivre