Chuyen de PT vo ty

§Þnh lý vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai I.[r]

Chuyên đề Tam thức bậc hai

(Phan Thị Phơng Thảo- Khoa Toán đhsp-đhtn) A.Phơng trình bậc hai

I.Định nghĩa:

Cho hm s y= f(x) y= g(x) có tập xác định lần lợt Df , Dg Khi mệnh đề chứa

biến f(x) = g(x) đợc gọi phơng trình biến x

Trong đó: D=Df∩ Dg đợc gọi tập xác định phơng trình

x0∈D:f(x0)=g(x0) đẳng thức x0 đợc gọi nghim ca phng

trình

T={x0D:f(x0)=g(x0)} tập nghiệm phơng trình T= ta nói phơng trình vô nghiệm

Vi nh ngha khái niệm nghiệm phơng trình phụ thuộc vào D

Cã thĨ : V« nghiƯm x+√x −1=1

2+√x −1 Cã nghiÖm (x2− x −2)√x+1=0

Nghiệm với x thuộc D x+12=x2+2x+1

Định nghĩa dễ dàng mở rộng cho khái niệm phơng trình nhiều biến

II Các định lý phép biến đổi tơng đơng

¿

f(x)=g(x)⇔

h(x)co nghia

f(x)+h(x)=g(x)+h(x)

¿

f(x)=g(x)⇔

h(x)≠0

f(x)h(x)=g(x)h(x)

¿

f(x)=g(x)⇔

f (x)g(x)>0

[f(x)]2=[g(x)]2

¿ ¿{

¿

Khi sử dụng định lý phép biến đổi tơng đơng học sinh thờng mắc phải Sai lầm không nắm đợc điều kiện dựng nh lý

Ví dụ : Giải phơng tr×nh x+1 1− x − x2=

Có học sinh giải nh sau: Điều kiện

1− x − x2≠0

x2−2x +2≠0

¿{

¿

Với điều kiện phơng trình cho tơng đơng với

x+1 1− x − x2+

1

x=

2− x x2−2x+2+

1

x

⇔x(x+1)+1− x − x

x(1− x − x2) =

x(2− x)+x2−2x+2

x(x2−2x+2)

⇔

x(1− x − x2)=

2

x(x2−2x+2)⇔

x ≠0

2(1− x − x2)=x2−2x+2

¿{

Vô nghiệm

Lời giải sai lầm rõ ràng x=0 nghiệm phơng trình

Nguyờn nhân sai lầm học sinh thực phép biến đổi không tơng đơng nghĩa cộng vào hai vế phơng trình với biểu thức khơng hồn tồn xác định D Ví dụ 2: Giải phơng trình 1− x=√x −1

Cã häc sinh gi¶i nh sau: §iỊu kiƯn x ≥1

Với điều kiện phơng trình cho tơng đơng với

x=1

¿

x=2

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

1−2x+x2=x −1 ⇔x2−3x+2=0

⇔

Lời giải có sai lầm nhận thấy x=2 không nghiệm phơng tr×nh

Nguyên nhân sai lầm học sinh khơng ý đến điều kiện để bình phơng hai v ca phng trỡnh

III Phơng trình bậc hai

1 Định nghĩa: Phơng trình bậc hai phơng trình có dạng

ax2

+bx+c=0 (a, b, c R; x Èn; a ≠ 0)

∆ > (∆’ > 0) phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x1,2= b ' ±√Δ'

a x1,2=− b ±√Δ

2a ¿

)

∆ = (∆’ = 0) phơng trình có nghiệm kép x=b 2a(x=

b ' a )

∆ < (∆’ < ) phơng trình vô nghiệm

IV Một số phơng trình quy phơng trình bậc hai

1 Ph ơng trình bậc

giải phơng trình bậc ta tìm cách đa phơng trình cho phơng trình bậc hai phơng pháp đặt ẩn phụ (cần đa phần chứa x giống nhau) đa phơng trình tích đa phơng trình bậc biết cách giải

a Một số phơng trình bậc biết cách giải

*) Phơng trình trùng phơng: ax4

+bx2+c=0(a≠0) (1) Cách giải: Đặt x2 = t (t 0) phơng trình cho cú dng

at2+bt+c=0 (2) Giải phơng trình tìm t ( thoả mÃn ) tìm x

Mối quan hệ nghiệm phơng trình trùng phơng nghiệm phơng trình bậc hai

(1) v« nghiƯm 

(2)vonghiem

¿

t1≤ t2<0

¿

⇔

¿ ¿Δ≥0

¿

p>0

¿

S<0

¿ ¿ ¿

Δ<0

¿ ¿ ¿

(1) cã mét nghiÖm

⇔

¿Δ>0

P=0

S<0

¿ ¿ ¿

Δ=0

¿

−b

2a=0

¿ ¿ ¿ ¿

t1<0=t2

¿

t1=t2=0

¿ ¿{ {

¿

(1) cã hai nghiÖm ⇔

¿Δ=0

−b

2a>0

¿

t1<0<t2

¿

t1=t2>0

¿

P<0

¿ ¿{

¿ ¿

⇔¿ ¿ ¿ ¿

¿

(1) cã ba nghiÖm

⇔0=t1<t2⇔

Δ>0

P=0

S>0

¿{ {

(1) cã nghiÖm

⇔0<t1<t2⇔

Δ>0

P>0

S>0

{ {

*) Phơng trình hồi quy, phơng trình phản thơng

Dạng 1: ax4

+bx3+cx2+bx+a=0(a 0) Cách giải:

- Nhận thấy x = không nghiệm phơng trình Chia hai vế phơng trình

cho x2 ta đợc a(x2+

x2)+b(x+

1

x)+c=0

- Đặt x+1

x=t|t|2 phơng trình có dạng at2+bt+c 2a=0

- Giải phơng trình tìm t (thoả mÃn) tìm x Dạng 2: ax4+bx3+cx2bx+a=0(a 0) Cách giải:

- Nhận thấy x = không nghiệm phơng trình Chia hai vế phơng trình

cho x2 ta c a(x2+

x2)+b(x −

1

x)+c=0

- Đặt x 1

x=t phơng trình có dạng at2+bt+c+2a=0

- Giải phơng trình tìm t tìm x Nhận xét

Nếu phơng trình ax4+bx3+cx2+bx+a=0(a 0) có nghiệm x0 có nghiệm

thø hai lµ x1

NÕu phơng trình ax4+bx3+cx2bx+a=0(a 0) có nghiệm x0 cã nghiƯm

thø hai lµ - x1

Ví dụ: Giải phơng trình sau

1x ¿

¿4+x3−4x2+x+1=0¿2¿4x4+12x3+47x2+12x+4=0¿

¿

x −2¿4+(x −2)(5x2−14x+13)+1=0

x2− x¿2−2x(3x −5)−3=0 3x4+25x3+12x2−25x+6=0¿4¿(¿5)¿

Hớng dẫn (4) đặt y = x-2 (5) t y = x-1

**) Phơng trình hồi quy theo x phơng trình có dạng ax4+bx3+cx2bkx+ak2=0(a 0)

Phơng pháp giải:

- Nhận thấy x = không nghiệm phơng trình Chia hai vế phơng trình cho x2.

- Biến đổi phơng trình cho phơng trình ẩn t - Giải phơng trình tìm t ri tỡm x

Ví dụ: Giải phơng trình sau

¿

1x2+

x2+7=8x+

4

x¿2¿ x2

3 + 48

x2=

10 (

x

3−

x)¿3¿2x

4

−21x3+74x2−105x+50=0¿4¿x4−5x3+8x2−10x+4=0¿5¿(x2−2x+4)(x2+3x+4)=14x2¿6¿ 2x

3x2

+5x+2+

13x

3x2

+x+2=16 Hớng dẫn

1) Đặt 2x+1

x=t đa phơng trình đại số n t

2) Viết lại phơng trình (2) dới d¹ng 3(x +

16

x2)= 10

3 (

x

3−

x) Đặt x

3

x=t

3) Chia hai vế cho x2 đặt x+5

x=t

4) Chia hai vế phơng trình cho x2 đặt x+2

x=t

5) Chia hai vế phơng trình cho x2 đặt x+4

x=t

6) Chia tử mẫu vế trái cho x ta đợc

2 3x+5+2

x

+13 3x+1+2

x

=16

đặt

3x+2

x=t

*, Ph¬ng trình bậc có dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e với a+b = c+d

Phơng pháp giải:

- Phơng trình cho tơng đơng với

[x2+(a+b)x+ab][x2+(c+d)x+cd]=e - Đặt x2

+(a+b)x=t Ta có (t+ab)(t+cd)=e - Giải phơng trình tìm t tìm x

¿

6x+7¿2(3x+4)(x+1)=6 1x2−1

¿(x+3)(x+5)+16=0¿2¿(2x −1)(x 1)(x 3)(2x+3)=93(x 1)(x+2)(x 6)(x 3)=344(x2+3x+2)(x2+7x+12)=245

*) Phơng trình bËc cã d¹ng x+b¿

4 =c

x+a4+

Phơng pháp giải:

- Đặt t=x+a+b

2

x+a=t+a − b

x+b=t −a −b - Phơng trình cho có dạng

a −b¿4 ¿ ¿

a − b¿2t2+¿

t −a − b

2 ¿

=c⇔2t4+3¿

t+a − b ¿

4 +

- Giải phơng trình trùng phơng tìm t tìm x Ví dụ: Giải phơng trình sau

x+64=2 2− x¿4=17

x+5¿4=2

x+3¿4+¿

5− x¿4+(¿3)¿

1x+4¿4+(¿2)¿

b) Ngồi phơng trình bậc biết cách giải nói ta cịn gặp phơng trình bậc mà để giải ta phải đa phơng trình tích phơng trình bậc hai cách đặt ẩn phụ

¿

x+1¿2

x2− x

+1¿2+5x4=0

x2− x+1¿4+6x2(¿6)x4−4x√3−5=0

x+5¿2 ¿

x2− x

+1¿2+(x3+1)=(¿5)(¿7)x2+25x

(¿11¿8)x4+4x3+3x2−2x −1=0

1x4−11x3+11x2−3x −3=0¿2¿x4−4x3−2x2+4x+1=0¿3¿x4− x3−5x2+4x+4=0¿4¿2¿

Híng dÉn:

1) Phơng trình cho ⇔(x2−1)(6x2−11x+3)=0 2) có tổng hệ số nên có nghiệm x = 3) phơng trình (3) ⇔(x2−4)(x2− x −1)=0

4) Chia c¶ hai vế phơng trình cho (x + 1)

5) Chia hai vế phơng trình cho x4

6) phơng trình (6)

x+32

x2+12=2

⇔¿

7) biến đổi phơng trình dạng

x2

x+5¿

+10 x

x+5−11=0

x − 5x x+5¿

2

+2x 5x

x+5=11⇔¿

¿

8) x2+2x¿2−(x2+2x)−1=0 ⇔¿

2 Ph ơng trình vô tỷ

a Một số dạng phơng trình vô tỷ cỏ bản

¿

√f(x)=√g(x)⇔

f(x)≥0∨g(x)≥0

f(x)=g(x)

¿

√f(x)=g(x)⇔

g(x)≥0

f(x)=[g(x)]2

¿

√f(x)+√g(x)=√h(x)⇔

¿f(x)≥0

g(x)≥0

h(x)≥0

2√f(x)g(x)=h(x)− f(x)− g(x)

¿

{

b Một số phơng pháp giải phơng trình vơ tỷ Phơng pháp 1: Biến đổi tơng đơng

1 Biến đổi t ơng đ ơng đ a ph ơng trình bản Ví dụ : Giải phơng trình sau

¿

1x+3+4√x −1+√x+8−6√x −1=5¿2¿√x+2+3√2x −5+√x −2−√2x −5=2√2¿3¿√x(3x+1)−√x(x −1)=2√x2¿4¿ x

2

√3x −2−√3x −2=1− x¿5¿√x

+1− x= 2√x2+1

¿6¿x+4√x+3+2√3−2x=11¿7¿√x+3+2x√x+1=2x+√x2+4x+3¿8¿2√x+3=9x2− x −4¿9¿√x+3+ 4x

√x+3=4√x¿10¿x

+√x+2004=2004¿

Híng dÉn:

1) phân tích biểu thức dới đẳng thức từ đa phơng trình dạng chức dấu giá trị tuyệt đối

2) nhân hai vế phơng trình với √2 giải nh phơng trình (1) 3) Giải phơng trình dựa tren miền xác định

4) Quy đồng đa phơng trình tích

5) Quy đồng đa phơng trình dạng √x2+1− x¿2=4

¿

6) Chuyển vế trái sang phải đa phơng trình vỊ d¹ng √x+3−2¿

=0

√3−2x+1¿2+¿ ¿

7) đa phơng trình tích

8) Phơng trình 1+√3+x¿2=9x2 ⇔¿

9) Chia hai vế phơng trình cho √x+3 ta đợc 1−√ 4x x+3¿

2 =0

¿

10) Biến đổi phơng trình có dạng

√x+2004−1 2¿

2

x+1 2¿

2 =¿

x2+x+1

4=x+2004−√x+2004+ 4

2 Bình ph ơng hai vế ph ơng trình

Ví dụ: Giải phơng trình

√x+3+√3x+1=2√x+√2x+2

Tuy nhiên giải phơng trình phức tạp Phơng trình giải đơn giản ta chuyển vế phơng trình √3x+1−√2x+2=√4x x+3

Bình phơng hai vế ta có 6x2

+8x+2=4x2+12xx=1 Thử lại x=1 thoả mÃn

Nhận xét:

Nếu phơng trình √f(x)+√g(x)=√h(x)+√k(x) mà có f(x) + h(x)= g(x) + k(x) ta biến đổi phơng trình dạng √f(x)−√h(x)=√k(x)−√g(x) sau bình phơng giải phơng trình h qu

Ví dụ: Giải phơng trình x3+1

x+3 +√x+1=√x

− x+1+√x+3

Gi¶i: Ta cã √x3+1

x+3 √x+3=√x 2− x

+1√x+1 Từ nhận xét ta có lời giải nh sau Phơng trình cho tơng đơng với √x3+1

x+3 −√x+3=√x

− x+1−√x+1

Bình phơng hai vế ta đợc

x3+1

x+3=x

− x −1⇔x2−2x −2=0⇔

x=1−√3

¿

x=1+√3

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Thử lại ta có hai nghiệm thoả mãn Qua lời giải ta có nhận xét

Nếu phơng trình √f(x)+√g(x)=√h(x)+√k(x) mà có f(x) h(x)= g(x) k(x) ta biến đổi phơng trình dạng √f(x)−√h(x)=√k(x)−√g(x) sau bình phơng giải phơng trình h qu

3 Trục thức

3.1 Trục thức để xuất nhân tử chung

a Phơng pháp: Một số phơng trình vơ tỷ nhẩm đợc nghiệm x0 nh phơng

trình ln đa đợc dạng tích (x-x0)A(x)=0 Ta giải phơng trình A(x) =

¿

12x −3−√x=2x −6¿2¿√2x+4−2√2− x=6x −4

√x2 +4

¿3¿√3x2−5x+1−√x2−2=√3(x2− x −1)−√x2−3x+4¿4¿√x2+12+5=3x+√x2+5¿5¿√3x2−1+x=√x3−1¿

Híng dÉn:

1) Nhân liên hợp vào vế trấi phơng trình ta có phơng trình cho tơng đơng với

x −3

√2x −3+√x=2(x −3)⇔(x −3)(

1

√2x −3+√x−2)=0⇔x=3

2) Nhân liên hợp vào vế trái phơng trình ta có phơng trình cho tơng đơng với

6x −4

√2x+4+2√2− x=

6x −4

√x2+4⇔ 6x −4=0

¿

√2x+4+2√2− x=√x2+4

3) Trục thức hai vế phơng trình ta có 2x+4

√3x2−5x +1

= 3x −6

√x2−2

+√x2−3x+4 Có x=2 nghiệm phơng trình

4) Phơng trình cho có dạng

√x2+12−4=3x −6+√x2+5−3⇔ x 2−4

√x2

+12+4=3(x −2)+

x2−4

√x2

+5+3⇔x=2 5) Nhận thấy x = nghiệm phơng trình nên ta biến đổi

x2−1¿2 ¿

(−2√3 x2−1+4¿)=(x −3)(x

+3x+9)

√x3−2+5

√¿

1+x+3

¿

3

√x2−1−2

+x −3=√x3−2−5⇔(x −2)¿

3.2 Đ a hệ tạm

A − B

√A −√B=C⇒√A −√B=k Khi ta có hệ

¿

√A+√B=C

√A −√B=k

¿{

¿

b, Ví dụ: Giải phơng trình sau

12x2 ¿

+x+9+√2x2− x+1=x+4¿2√2x2+x+1+√x2− x+1=3x¿

Híng dÉn: 1) Ta thấy x = - không nghiệm phơng trình Trục thức ta có 2x+8

√2x2

+x+9−√2x2− x+1

=x+4⇒√2x2+x+9−√2x2− x+1=2

VËy ta cã hÖ

√2x2

+x+9−√2x2− x+1=2

√2x2+x+9+√2x2− x+1=x+4 ⇒2√2x2+x+9=x+6⇔

x=0

¿

x=8

¿ ¿ ¿{

¿ ¿ ¿ ¿

Thử lại phơng trình ta có hai nghiệm thoả mãn

2) Chia hai vế phơng trình cho x ta đợc √2+1

x+

1

x2+√1−

x+

1

x2=3 Đặt

x=t phơng trình có dạng √t2+t+2+√t2− t+1=3

Trục thức ta có 2t+1

t2+t+2t2t+1 =3 .

VËy ta cã hÖ

¿

√t2

+t+2+√t2−t+1=3

√t2+t+2−√t2− t+1=2t+1 ⇒2√t2+t+2=3+2t+1

3

¿{

¿

⇔

t=1

¿

t=−7

Bµi tËp tơng tự

Giải phơng trình sau:

1x¿2+3x+1=(x+3)√x2+1¿2¿√4−3√10−3x=x −2¿3¿2√(2− x)(5− x)=x+√(2− x)(10− x)¿4¿√3 x2+4=√x −1+2x −3¿5¿√3 x2−1+√3x3−2=3x −2¿6¿2x2−11x+21−3√34x −4=0¿7¿√2x2−1+√x2−3x −2=√2x2+2x+3+√x2− x+2¿8¿√2x2+16x+18+√x2−1=2x+4¿9¿√x2+15=3x −2+√x2+8¿10¿ 6x −3

√x −√1− x=3+√x − x

2

¿

Híng dẫn:

1) đa phơng trình tích (x x2+1)(x2+13)=0

2) Nhận thấy x = nghiệm phơng trình Phơng trình cho có dạng

√4−3√10−3x −1=x −3⇔ 3(1−√10−3x)

√4−3√10−3x+1=x −3⇔

9(x −3)

√4−3√10−3x+1=x −3⇔x=3

3) Nhận thấy x =1 nghiệm phơng trình phơng trình có nhân tử x – Phơng trình cho có dạng

2√x2−7x+10−4=x −1+√x2−12x+20−3 ⇔ 2(x

2−7x +6)

√x2−7x+10+2

=x −1+ x

−12x+11

√x2−12x+20+3 ⇔ 2(x −1)(x −6)

√x2−7x

+10+2

=x −1+ (x −1)(x −11)

√x2−12x

+20+3 ⇔x=1

4) NhËn thÊy x = lµ mét nghiệm phơng trình Phơng trình có dạng

3

√x2

+4¿2+2√3 x2+4+4

¿ ¿

3

√x2

+4−2=√x −1−1+2x −4⇔(x −2)(x+2)

¿

5) Nhận thấy x = nghiệm phơng trình Phơng trình cho có dạng

3

√x2−1

+√3x3−2−1=3x −3⇔√3x2−1+ 3(x

−1)

√3x2−2 +1

=3(x −1)⇔x=1

7) √

2x2−1−

√2x2

+2x+3=√x2− x+2−√x2−3x −2⇔

−(2x+4)

√2x2−1+√2x2+2x+3

= 2x+4

8) Nhận thấy x=1 nghiệm phơng trình, phơng trình có dạng

2x2+16x+186+x21=2x 2 2x

+16x −18

√2x2+16x+18+6+√x

−1=2(x −1)

9)Nhận thấy x = nghiệm phơng trình, phơng trình cho có dạng

√x2

+15−4=3x −3+√x2+8−3⇔ x 2−1

√x2+15+4=3(x −1)+

x2−1

√x2+8+3⇔x=1 10) Trục thức mẫu ta có

(6x −3)(√x+√1− x)

2x −1 =3+√x − x 2⇔

3(√x+√1− x)=3+√x − x2

4.Ph ơng trình biến i v tớch:

Ví dụ : Giải phơng tr×nh sau

¿

1 4x2−1

+√x=√2x2− x+√2x+1¿2¿√3x+1+√3x+2=1+√3 x2+3x+2¿3¿√3 x+1+√3x2=√3 x+√3 x2+x¿4¿√x+3+2x√x+1=2x+√x2+4x+3¿5¿√x+3+ 4x

√x+3=4√x¿ Híng dÉn:

1) ⇔(√2x −1−1)(√2x+1−√x)=0 2) ⇔(√3x+1−1)(√3 x+2−1)=0

3) chia c¶ hai vế phơng trình cho

x (3 x+1

x −1)(

3

√x −1)=0 4) ⇔(√x+3−2x)(√x+1−1)=0

5) Chia hai vế phơng trình cho √x+3 phơng trình tơng đơng với

1−√ 4x x+3¿

2 =0

¿

Phơng pháp 2: Phơng pháp đặt ẩn phụ

Dạng 1: Sử dụng ẩn phụ để đa phơng trình đại số

Phơng pháp:- Biến đổi phơng trình cho phần chứa x giống

- Đặt f(x) = t đa phơng trình cho phơng trình đại số ẩn t - Giải phơng trình tìm t, tìm x

Chó ý: NÕu bµi toán có chứa f(x),g(x) f(x)g(x)=k (Với k sè)

Khi đặt √f(x)=t⇒√g(x)=k

Nếu tốn có chứa √f(x)±√g(x);√f(x)g(x) f(x) + g(x) = k Khi đặt

√f(x)±√g(x)=t⇒√f(x)g(x)=t

− k

2 VÝ dơ: Gi¶i phơng trình sau

11x2

1x2

+21x+18+2√x2+7x+7=2¿2¿2√3x −1

x = x

3x −1+1¿3¿√2− x+√2+x+√4− x

=2¿4¿(2x+7)√2x+7=x2+9x+7¿5¿√x −√x2−1+√x+√x2−1=2¿6¿x=(2004+√x)(¿7)x2+2x√x −1

x=3x+1¿8¿x

2

+√3 x4− x2=2x+1¿9¿x2+√x+1=1¿10¿x2+√x2+11=31¿

Híng dÉn 1, §Ỉt √x2

+7x+7=t 2, §Ỉt √3x −1

x =t

3, Đặt 2 x+2+x=t

4, Biến đổi phơng trình cho dng x22x

2x+7+2x+7+7(x 2x+7)=0 Đặt (x 2x+7)=t

5, Đặt x x21

=t phơng trình có dạng t+1t=2

6, t 1x=y Phơng trình cho có dạng 1− y¿

(y2+y −1002)=0 2¿

7, Chia hai vế phơng trình cho x ta đợc x+2√x −1

x=3+

1

x

Đặt √x −1

x=t

8, Chia hai vế phơng trình cho x ta đợc (x −1

x)+

3

√x −1 x=2

đặt √3 x −1

x=t

9, Đặt x+1=t 10, Đặt x2

+11=t

¿

1x −2x2−5

=√2x2−15x+11¿2¿(x+5)(2− x)=3√x2+3x¿3¿√(1+x)(2− x)=1+2x −2x2¿4¿x+√17− x2+x√17− x2=9¿5¿√3x −2+√x −1=4x −9+2√3x2−5x+2¿6¿(x+3√x+2)(x+9√x+18)=168x¿ Dạng 2: Đặt ẩn phụ đa phơng trình bậc hai hai biến

Phơng trình bậc hai hai biến có dạng x2

+axy+by2=0

Cách giải: Chia hai vế phơng trình cho y2 đa phơng trình cho phơng

tr×nh bËc hai cã Èn lµ x

y

Các trờng hợp sau đa đợc dạng

a.A(x)+b.B(x)=c√A(x)B(x)

u+v=mu2+nv2

Khi ta thay biểu thức A(x) B(x) biểu thức vô tỷ ta đ ợc ph-ơng trình vô tỷ theo dạng

a Phơng trình dạng a.A(x)+b.B(x)=cA(x)B(x)

Nh phơng trình Q(x)=P(x) giải bẳng phơng pháp

P(x)=A(x).B(x)

Q(x)=a.A(x)+b.B(x) {

Ví dụ: Giải phơng trình

1(x2+2)=5x3+122(x2+8)=5x3+83x+13x=2x 14x2+3x+1=(x+3)x2+15(x+3)(4 x)(12+x)=28 x62x2+5x 1=7x317x23x+1=3 √x

4

+x2+1¿8¿4x2−2√2x+4=√x4+1¿

Híng dÉn

1, Đặt

u=x+1

v=x2 x+1

¿{

¿

Ta đợc phơng trình 2(u2+v2)=5 uv

2, Đặt

u=x+2

v=√x2−2x+4

¿{

¿

Ta đợc phơng trỡnh 2(v2+2u2)=5 uv

3, Đặt

x+1=u

√3x=v

¿{

¿

4) Đặt

x2+1=u

x+3=v

{

¿

Ta đợc phơng trình u2

+3v 9=u.v

5) Đặt

x+3=u

√(4− x)(12+x)=v

¿{

¿

Ta đợc phng trỡnh 2 uv=u2+v21

6, Đặt

u=√x −1

v=√x2+x+1

¿{

¿

Ta đợc phơng trình 3u2

+2v2=7 uv §Ĩ t×m hƯ sè a, b ta cã

th-ờng dùng phơng pháp hệ số bất định Cụ thể 2x2+5x −1=a(x 1)+b(x2+x+1)

7) Đặt

x2+x+1=u

x2 x+1=v

¿{

¿

dùng hệ số bbất định ta tìm đợc hệ số

¿

a=−1

b=2

¿{

¿

ú ta c

phơng trình u2+2v2=3 uv

8) Đặt

x22x+1=u x2+2x+1=v

{

¿

Ta đợc phơng trình 3u2

+v2=uv

Thơng qua ví dụ ta thấy sử dụng số đẳng thức nh

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)

¿

a3−b3

=(a− b)(a2+ab+b2)

x4

+x2+1=(x2+x+1)(x2− x+1)

x4+1=(x2−√2x+1)(x2+√2x+1) (2x2+2x+1)

4x4

+1=(2x2−2x+1)¿

Ta tạo phơng trình vơ tỷ dạng Để có phơng trình đẹp ta cần chọn hệ sốa, b, c cho phơng trình bậc hai at2

+bt+c=0 giải nghiệm đẹp b Phơng trình dạng αu+βv=√mu2

+nv2

Phơng trình có dạng thờng khó phát dạng trên, nhng ta bình ph-ơng hai vế đa đợc phph-ơng trình dạng

¿

1x¿2+3√x2−1=√x4− x2+1¿2¿√x2+2x+√2x −1=√3x2+4x+1¿3¿√5x2−14x+9−√x2− x −20=5(x+1)¿

Híng dẫn:

1, Đặt

u=x2

v=x21 ¿{

¿

Ta đợc phơng trình u+3v=√u2− v2 2, Bình phơng hai vế ta có √(x2+2x)(2x −1)=x2+1

Đặt

x2+2x=u

2x 1=v

¿{

¿

Ta đợc phơng trình u.v=u2− v2

3, Chuyển vế bình phơng ta đợc 2x2−5x

+2=5√(x2− x −20)(x+1) Nhận xét: không tồn số a, b để 2x2−5x

+2=a(x2− x −20)+b(x+1) khơng thể đặt ẩn phụ đợc Ta có (x2− x −20)(x+1)=(x+4)(x2−4x −5)

Ta đặt

¿

√x+4=u

√x2−4x −5=v

¿{

¿

ta đợc phơng trình 2v2

+3u2=5 uv

Với định hớng ta tự sáng tạo đợc phơng trình vơ tỷ đẹp

D¹ng 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn: Trong số trờng hợp ta giải phơng

trỡnh bng cách đặt ẩn phụ, nhng sau biến đổi ta đựoc phơng trình cịn hai biến t x, nhiên ta tìm đợc mối liên hệ t x cách coi phơng trình ẩn t x coi nh số

Ví dụ: Giải phơng trình sau

1 4x −1¿√x2+1=2x2+2x+1¿2¿2x2+2x+1=√4x+1¿3¿6x2−10x+5−(4x −1)√6x2−6x+5=0¿4¿x2+(3−√x2+2)x=1+2√x2+2¿5¿(x+1)√x2−2x+3=x2+1¿6¿4√x+1−1=3x+2√1− x+√1− x2¿7¿2√2x+4+4√2− x=√9x2+16¿ Híng dÉn:

1, Đặt x2

+1=t Ta c phng trỡnh 2t2−(4x −1)t+2x −1=0 2, Đặt √4x+1=t Ta đợc phơng trình

3, Đặt 6x2

6x+5=t Ta c phng trỡnh t2−(4x −1)t −4x=0 4, Đặt √x2

5, Đặt x22x

+3=t ú phng trỡnh tr thành (x+1)t=x2+1 coi phơng trình ẩn x nghiệm phức tạp, cịn coi phơng trình ẩn t phơng trình vơ tỷ cần giải lại khó khăn Do ta thêm bớt để đợc phơng trình bậc hai theo t có ∆ chẵn

x22x

+3(x+1)t+2(x 1)=0t2(x+1)t+2(x 1)=0 6, Đặt 1 x=t

Ta đợc phơng trình 4√x+1−1=3x+2t+t√1+x⇔4√x+1=2(1+x)−(1− x)+t(2+√x+1) Ta có phơng trình t2−t(2+√x+1)+4√x+1−2(1+x)=0

7, Bình phơng hai vế ta đợc phơng trình 4(2x+4)+16√2(4− x2)+16(2− x)=9x2+16 Ta đặt √2(4− x2)=t Ta đợc phơng trình 9x2−16t −32+8x=0

Ta phải tách 9x2=a2(4− x2)+(9+2a)x2−8a=0 cho ∆t số phơng Thơng thờng ta cần nhóm cho hết số hạng tự đạt đợc mục đích

Dạng 4: Đặt nhiều ẩn phụ đa tích

Ví dụ: Giải phơng trình

1x2−3x+2+√x+3=√x −2+√x2+2x −3¿2¿√2x2−1+√x2−3x −2=√2x2+2x+3+√x2− x+2¿3¿√4x2+5x+1−2√x2− x+1=9x −3¿4¿√x −1+√x3+x2+x+1=1+√x4−1¿5¿√33x+1+√35− x+√32x −9−√34x −3=0¿6¿√37x+1−√3x2− x −8+❑√x2−8x −1=2¿7¿√33x2− x+2001−√33x2−7x+2002−√36x −2003=√32002¿

Híng dÉn:

1) Đặt x 1=ax 2=bx+3=c(a1)(b c)=0

2) t

a=√2x2−1b=√x2−3x −2c=√x2− x+2⇒

a+b=c+d

a2− b2=c2−d2

¿{

3) Đặt a=4x2+5x+1b=2x2 x+1a b=a2 b2

4) Đặt a=√x −1b=√x3+x2+x+1⇒a+b=1+ab⇔(a −1)(1− b)=0 5) đặt a+b+c¿

3⇔

(a+b)(b+c)(c+a)=0

a=√33x+1b=√35− x c=√32x −9⇒a3

+b3+c3=¿

6) Đặt a=37x+1b=3 x2 x 8c=3x28x 1(a+b)(b+c)(c+a)=0

7) t a=√33x2− x+2001b=−√33x2−7x+2002c=−√36x −2003⇒(a+b)(b+c)(c+a)=0

Đối với ví dụ 5, 6, ta thấy có đặc biệt sau đặt ẩn phụ ta đa đợc ph-ơng trình tích Tất phph-ơng trình xuất phát từ đẳng thức quan

träng lµ a+b+c¿3=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)

Ta cã a+b+c¿ 3⇔

(a+b)(b+c)(c+a)=0

a3+b3+c3=¿ B»ng c¸ch chän a, b, c cho

a+b+c¿3

a3

+b3+c3=¿

ta đợc phơng trình vơ tỷ chứa bậc bai

Dạng 5: Đặt ẩn phụ đa hệ phơng trình

Dạng 1: Đặt ẩn phụ đa hƯ th«ng thêng

Phơng pháp: Đặt u=α(x), v=β(x) tìm mối liên hệ α(x), β(x) độc lập x, từ tìm đợc hệ theo u, v

Dạng 2: Dạng phơng trình chứa bậc hai luỹ thừa bậc hai Phơng pháp:

- Bin đổi phơng trình cho có dạng: dx+e¿2+αx+β

√ax+b=c¿ víi ¿

d=ac+α

e=bc+β

¿{

¿

- Đặt dy+e=√ax+b phơng trình đợc chuyển thành hệ

dy+e=√ax+b dx+e¿2+αx+β

¿

⇔

¿

dy+e¿2=ax+b

¿

dx+e¿2=−αx+dy+e − β

¿ ¿

dy+e=c¿

VÝ dô1: Giải phơng trình

1x+1=x2+4x+523x+1=4x2+13x 5

1) x+2¿2+1

⇔√x+1=¿ đặt √x+1=y+2 Khi phơng trình cho trở thành hệ

√x+1=y+2

x+2¿2+1

¿

⇔

¿

y+2¿2 ¿

y+2¿2 ¿

⇔

¿

y+2¿2 ¿ ¿

(x − y)(x+y+5)=0

y+2=¿

2) 2x −3¿2+x+4

⇔√3x+1=−¿ Đặt √3x+1=2y −3 , phơng trình cho trở thành hệ

√3x+1=2y −3 2x −3¿2+x+4

¿

⇔

¿

2y −3¿2 ¿

2y −3¿2−(2x −3)

¿ ¿ { 2y 3=

Dạng 3:Dạng phơng trình chứa bËc ba vµ luü thõa bËc ba

Phơng pháp: Biến đổi phơng trình dạng dx+e¿

+αx+β

√ax+b=c¿ víi ¿

d=ac+α

e=bc+β

¿{

đặt dy+e=√3ax+b phơng trình đợc chuyển thành hệ

dy+e=√3ax+b dx+e¿3+αx+β

¿ { dy+e=c

Ví dụ : Giải phơng tr×nh sau:

¿

1√33x −2+3√6−5x=8¿2¿√418− x+√4x −1=3¿3¿x√335− x3(x+√335− x3)=30¿4¿x3+1=2√32x −1¿5¿x2−√x+5=5¿6¿x+√5+√x −1=6¿7¿6−2x

√5− x+

6+2x

√5+x=

8 3¿8¿x

2−2x

=2√2x −1¿9¿2x2+4x=√x+3

2 ¿10¿2x

2−6x −1

=√4x+5¿11¿x2− x −1000√1+8000x=1000¿ Híng dÉn:

1) Đặt

3

3x 2=u

√6−5x=v ⇒

¿2u+3v=8

u3+2 =

6− v2

5

¿{

¿

2) §Ỉt

¿

4

√18− x=u

√x −1=v ⇒

¿u+v=3

u4+v4=17

¿{

3) Đặt

x=u

√35− x3 =v ⇒

¿uv(u+v)=30

u3+v3=35

¿{

4) Đặt

x=u

√2x −1=v ⇒

¿u3+1=2v

v3+1=2u

¿{

5) đặt

√x+5=a⇒

x2−a =5

a2− x=5

¿{

6) đặt

¿

a=√x −1

b=√5+√x −1 ⇒

¿a2+b=5

b2a=5

{

7) Đặt

¿

u=√5− x v=√5+x

⇒

¿u2+v2=10 2u2−4

u =

2v2−4

v

¿{

¿

Các phơng trình 8, 9, 10,11 cách giải đợc xây dựng xuất phát từ hệ phơng trình

αx+β¿2=ay+b

¿

αy+β¿2=ax+b

{

Từ phơng trình (2) cđa hƯ ta cã

αy+β=√ax+b

¿

αy+β=−√ax+b

¿

⇔

¿

y=1

α √ax+b − β α

¿

y=−1

α √ax+b − β α

Thay vào phơng trình (1) ta có

x+2=a

ax+b+b − aβ

α

¿

αx+β¿2=−a

α√ax+b+b − aβ

α

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Đến cách chọn α , β , a , b ta xây dựng đợc phơng trình vơ tỷ Cụ thể :

Với phơng trình (8) ta đặt y −1=√2x −1 ta đa hệ

¿

x2−2x=2(y −1)

y2−2y

=2(x −1)

¿{

¿

Với phơng trình (9) ta đặt y+1=√x+3

2 ta ®a vỊ hƯ

x+1¿2=y 2+

3

¿

y+1¿2=x 2+

3

¿ ¿{

¿ ¿

Với phơng trình (10) ta đặt 2y −3=√4x+5 ta đa hệ

2x −3¿2=4y+5

¿

2y −3¿2=4x+5

¿ ¿{

¿ ¿

Với phơng trình (11) ta đặt 2y −1=√1+8000x ta đa hệ

2x −1¿2=8000y+1

¿

2y −1¿2=8000x+1

¿ ¿{

¿ ¿

NÕu xÐt hÖ

αx+β¿3=ay+b

¿

αy+β¿3=ax+b

¿ ¿{

¿ ¿

cách tơng tự ta xây dựng đợc phơng trình

αx+β¿3=αa√3ax+b+b −aβα

Bằng cách xét hệ đối xứng khác ta tự xây dựng thêm số dạng ph ơng trình Qua ta tạo đợc nhiu toỏn hay

Bài tập tơng tự

¿

1x2−13x+5+√3x+1=0¿2¿√3 81x −8=x3−2x2+4

3x −2¿3¿

√6x+1=8x3−4x −1¿4¿15

2 (30x

−4x)=2004(√30060x+1+1)¿5¿√33x −5=8x3−36x2+53x −25¿

Phơng pháp 3: Phơng pháp đánh giá

D¹ng 1: Đánh giá hai vế phơng trình

Một số phơng trình đợc tạo từ dấu bất đẳng thức

¿

A ≥ m B ≤ m

¿{

¿

Ph¬ng trình

A = B xảy

¿

A=m

B=m

¿{

¿

Tổng quát số phơng trình đợc tạo từ ý tởng

¿

A ≥ f(x)

B ≤ f(x)

¿{

¿

A=B⇔

A=f(x)

B=f (x)

¿{ VÝ dơ : Gi¶i phơng trình sau

12x 3+52x=3x212x+142xx+1+3 x=2x2+13x2+2x+2x −1=√3x2+4x+1¿4¿√x −2+√4− x=x2−6x+11¿5¿ 2√2

√x+1+√x=√x+9¿6¿13√x 2− x4

+9√x2+x4=16¿ Híng dÉn:

Đối với phơng trình (1): áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có VT≤2 VP≥2 Đối với phơng trình (2) : áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có VT≤2√x2

+1 Phơng trình (2) xảy dấu ‘==’ bất đẳng thức Bunhia xảy

Đối với phơng trình (3) ta có: áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có VT≤√3x2

+4x+1 Phơng trình (3) xẩy dấu ‘= ‘ bất đẳng thức Bunhia xảy

Phơng trình (5) ta có 22

x+1+x=22

x+1+x+1

x

x+1x+9 Phơng trình (5) xảy

khi 2√2

√x+1=

√x

Dạng 2: Tìm nghiệm chứng minh nghiệm l nht

Ví dụ: giải phơng trình

√ 3− x+√

8 2− x=6

§iỊu kiƯn: x <

Ta có x=3

2 nghiệm phơng trình

Víi

x<3 2⇒√

6

3− x<2;√

8

2− x<4⇒VT<6 x>3

2⇒√

3− x>2;√

8

2− x>4⇒VT>6

Vậy phơng trình cho có nghiệm x=3

Phơng pháp 4: Phơng pháp hàm số

S dụng tính chất hàm số để giải phơng trình Ta thờng có hớng sau

H

íng 1: Thùc hiƯn theo c¸c bíc

Bíc 1: Chuyển phơng trình dạng f(x) = k Bớc 2: XÐt hµm sè y= f(x)

Bíc 3: XÐt biến thiên hàm số y= f(x)

Bớc 4: Dựa vào bảng biến thiên kết luận số nghiệm phơng trình f(x) = k

H

íng 2:Thùc hiƯn theo c¸c bíc

Bíc 1: Chun phơng trình dạng f(x) = g(x)

Bc 2: Dùng lập luận khẳng định f(x) g(x) có tính chất trái nghợc xác định x0 cho f(x0)= g(x0)

Bớc 3: Vậy phơng trình cã nghiƯm nhÊt lµ x0

H

íng 3: Thùc hiƯn theo c¸c bíc

Bíc 1: Chuyển phơng trình dạng f(u) = f(v)

Bc 2: Xét hàm số y= f(x), dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bớc 3: Khi f(u) = f(v) u=v

Ví dụ : Giải phơng trình sau

12x+1(2+4x2+4x+4)+3x(2+9x2+3)=022(x 2)(34x 4+2x 2)=3x −1¿3¿√4x −1−√4x2−1=1¿4¿√3− x+x2−√2+x − x2=1¿5¿√− x2−5x+24=x2+5x −36¿6¿√x4+x3− x −1−√1− x2=x3−5x2+7x −3¿7¿√3x+1+√x+√7x+2=4¿8¿√5x3−1+√32x −1+x=4¿9¿√3 x+2+√3x+1=√32x2+1+√2x2¿10¿√x+√x −1=1

Híng dÉn:

1) Phơng trình cho tơng đơng với

2x+1¿2+3

−3x¿2+3

(¿)=0⇔f(2x+1)=f(−3x) 2+√¿

(¿)=(−3x)¿

2+√¿

(2x+1)¿

XÐt hµm sè 2+√t2+3

f(t)=t¿ đồng biến R ta có x=

1 2)Chia hai vế phơng trình cho x –

XÐt hµm sè f(x)=2√3 4x −4+2√2x −2−

x −2−3 đồng biến với x Phơng trình cho có nghiệm x =

3) Xét hàm số f(x)=√4x −1+√4x2−1 ¿ có f’(x) > nên hàm số đồng biến

D vµ f(1

2)=1 Vậy phơng trình có nghiệm x= 4) đặt t=x2 – x phơng trình có dạng

√3+t −√2−t=1 XÐt hµm f(t)=√3+t=√2−t

đồng biến [2; 3], mà f(1) = Vậy phơng trình có nghiệm t =1

5) XÐt f(x)=x2−5x+36 trªn D ta cã f(x) < víi mäi x thuộc D mà vế phải phơng trình dơng nên phơng trình vô nghiệm

6) Tp xỏc nh phơng trình {−1;1} thay hai giá trị vào ta có phơng trình có nghiệm x =

7) Xét hàm số f(x)=√3x+1+√x+√7x+2 D có f’(x) > nên hàm số ln đơng biến Lại có f(1) = 4, dó x= nghiệm nht ca phng trỡnh

8) làm tơng tự ta có nghiệm phơng trình x =

Xét hàm f(t)=√3t3+1+t có f’(t) > nên phơng trình tơng đơng f(u) = f(v)  u=v ⇔2x2=x+1⇔

x=1

¿

x=−1

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

10) Xét hàm f (x)=√x+√x −1 hàm đồng biến D cịn hàm g(x)=1

x nghÞch

biến D Vậy phơng trình cho có nghiệm nhất, nhận thấy x = nghiệm phơng trình

V Một số dạng toán tìm nghiệm nguyên phơng trình bậc hai hai ẩn

Phơng trình bậc hai hai ẩn (x; y) phơng trình có dạng f(x , y)=ax2+by2+cxy+dx+ey+g=0

D¹ng 1:

a=0

¿

b=0

¿ ¿ ¿ ¿

Chẳng hạn b =0 phơng trình có dạng

f(x , y)=ax2+cxy+dx+ey+g=0⇔y(cx+e)=−ax2−dx− g NÕu cx+e=0 th× y bÊt kú

NÕu cx+e≠ th× y=−ax

+dx+g

cx+e T×m y Z VÝ dơ : Giải phơng trình sau

1x2+2 xy+4x+y+3=02y(x −1)=x2+2¿3¿(y+2)x2+1=y2¿4¿3y2−xy−2x+y+1=0¿5¿x2−xy− y+2=0¿

Híng dÉn:

(1)⇔y(2x+1)=−(4x2+4x+3)⇔ 2x+1=0

¿

2x+1≠0⇒y=−4x

+4x+3 2x+1

V×

y∈Z⇒2⋮(2x+1)⇔

x=0

¿

x=−1

¿

y=−3

¿

y=3

¿ ¿ ¿

⇒¿ ¿ ¿ ¿

(2)⇔

x=1

¿

x ≠1⇒ y=x

+2

x −1

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

D¹ng 2: Với ab>0, c=0, de0 Phơng trình có dạng

f(x , y)=ax2+by2+dx+ey+g=0

¿

⇔a(x2+d

ax+ d2 4a2)+by

2

+ey+g − d 4a=0 x+ d

2a¿

2

⇔by2+ey+4 ag− d 4a =− a¿

BiÖn luËn y Z t×m x Z

VÝ dơ : T×m nghiƯm nguyên phơng trình sau

1x2+4y2+6x+3y −4=0¿2¿2x2+5y2−8x+3y=0¿3¿4x4+3y4+3x2+6y2−10=0¿4¿2x4+5y4=12x2+7y2−12¿

Híng dÉn:

(1)  3(x2+2x+1)+4y2+3y-7=04y2 +3y-7=-3(x+1)2 ≤ 0 −7

4≤ y ≤1

V× y Z nªn

y=−1

¿

y=0

¿

y=1

¿

⇒(−1;1)

¿ ¿

D¹ng 3: Víi 4ab-c2 > ce≠0, d=0

f(x , y)=ax2+by2+cxy+ey+g=0

¿

⇔a(x2+· y+c 2y2 4a2)−

c2y2 4a +by

2

+ey+g=0

x+cy 2a¿

2

⇔ ab−c 4a y

2

+ey+g=−a¿

BiÖn ln y Z t×m x Z

VÝ dơ: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau:

1x¿2+2y2+2 xy+3y −4=0¿2¿8x2y2+x2+y2=10 xy¿3¿2x2+y2−2 xy+y=0¿4¿5x2− y2=17+2 xy¿

D¹ng 4: c2-4ab < vµ cd−2ac¿2≥(c2−4 ab)(d2−4 ag)

¿ ; cde≠

Phơng trình cho có dạng: ax2

+(cy+d)x+by2+ey+g=0 Coi phơng trình bậc hai ẩn x

cy+d¿

−4a(by2+ey+g)=(c2−4 ab)y2+2(cd−2 ae)y+d2−4 ag

Δ=¿

Xét ∆ ≥ để tìm y Z tìm x Z

Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau

¿

1x¿2+2y2−2 xy+3x −3y+2=0¿2¿x2+y2+1=x+y+xy¿3¿x2+2y2+2 xy+4x+9y+3=0¿4¿2(x+y)+xy=x2+y2¿

Ph¬ng pháp giải dạng áp dụng cho d¹ng 1, 2,

Ngồi dạng nói trờng hợp tìm nghiệm nguyên phơng trình bậc hai hai biến ta phải lu ý đến s nh lý v nghim nguyờn

Định lý nghiệm nguyên ph ơng trình bậc hai

Định lý 1: Phơng trình ax2 +bx +c = với hệ số nguyên c có nghiệm nguyên

x0 th× c chia hÕt cho x0

Định lý 2: Phơng trình x2 + bx +c =0 với hệ số nguyên có nghiệm nguyên khi

=b24c số phơng

Định lý 3: Phơng trình hệ số nguyên x2

+by2+cxy+dx+ey+g=0 có nghiệm nguyên cy+d

2

4(by2+ey+g)

= bình phơng số nguyên

Ví dụ1 : Giải phơng trình nghiệm nguyên x22(3y+1)+8y2+6y+6=0

Coi phơng trình bậc hai ẩn x ta có phơng trình có nghiệm nguyên chØ

3y+1¿2−(8y2+6y+6)=v2⇔y2− v2=5⇔(y − v)(y+v)=5

Vì y, v Z nên xảy

y − v=1

y+v=5 ⇔

¿y=3

v=2 ⇔

¿

x=12

y=3

¿ ¿ ¿

x=8

¿

y=3

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

y −v=5

¿

y+v=1

¿

⇔

¿ ¿y=3

¿

v=−2

¿ ¿ ¿ ¿

y − v=−1

¿

y+v=−5

¿

⇔

¿ ¿y=−3

¿

VÝ dô 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên 3x2

+y2+4 xy+4x+2y+5=0

Bài tập tơng tự: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau

x+y2

1y2x+x+y+1=x2+2y2+xy2x+xy+y=93x2+xy+y2=x2y242x52x3y+y264=05x23y2+2 xy2x 10y+4=06x3+y3=(7)2x6+y22x3y=320

Hớng dẫn:

Phơng trình (1) (x 1)(2y2+y+x)=1 Phơng trình (2) (x+1)(y+1)=10

Phng trỡnh (3): Đặt a = x+y, b=x.y phơng trình cho có dạng b2 +b- a2 =0.Để phơng

tr×nh cã nghiệm nguyên = 1+4a2=k2 (k 2a)(k+2a)=1

Phng trình (4) Coi phơng trình bậc hai ẩn x3 ta tìm y để phơng trình có

nghiệm

Phơng trình (5) (3y+x+1)(y x+3)=7 Phơng trình (6) ⇔(x+y)(x2−(y+1)x+y2− y)=0

Phơng trình (7): Coi phơng trình bậc hai ẩn y, ta tìm x để phơng trình có nghiệm Với cách giải só dạng phơng trình nghiệm nguyen trình bày ta áp dụng cho số phơng trình nghiệm nguyên bậc với hai ẩn số

Cơ thĨ:

Nếu hệ số hai ẩn, chẳng hạn x3 y3 đối ta tham số hố chúng bằng

cách đặt x = y+d y=x + d (d Z ) để đa phơng trình bậc hai theo ẩn x y Nếu hệ số x3 y3 ta đặt z = -y đa dạng Từ thiết lập điều kiện

để tìm d

VÝ dơ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình x3+27 xy+2009=y3

Lời giải: Đặt y=x+d (d Z ) Phơng trình trở thành (273d)x2+(27d 3d2)x d3+2009=0 Nếu d = phơng trình trở thành 1280 = ( vô lý)

Với d ≠ 9, điều kiện để phơng trình có nghiệm 27d −3d2¿2−4(27−3d)(−d3+2009)≥0

¿

Hay −3(d −14)(d −9)(d2+41d+574)≥0⇔9<d ≤14

Do d∈{10;11;12;13;14} Kiểm tra trực tiếp, ta nhận thấy phơng trình có nghiệm ngun d =14, x=-7, y=

VÝ dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình x3

+10x −1=y3+6y2 Lêi gi¶i:

Đặt x = y+d (d Z ) Khi phơng trình trở thành (3d −6)y2+(3d2+10)y+d3+10d −1=0

Nếu d ≠ điều kiện để phơng trình có nghiệm Δ=−3d4+24d3−60d2+252d+76≥0 Nếu d ≤−1 ∆ <

NÕu d ≥8 th× ∆ <

Do -1 < d <8 Vì x3− y3=6y2−10x+1 nên d số lẻ, suy d∈{1;3;5;7}

KiÓm tra trùc tiÕp ta cã d= 1, d=5 thoả mÃn Phơng trình có nghiệm x, y nguyên (6; 5) (2;-3)

Bài tập tơng tự: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau

1x3=y3+2y2+3y+12x3+x2+x+1=y33x3=y3+2y2+14x3=x2y 3x+2y+55x3 y3=xy+8

Đáp số:

1, (-1;-1) vµ (-1; 0)

2, (0;1) vµ (-1;0)

3, (-2; -3), (1;-2), (1;0)

4, (-1; -3), (5;5)

5, (2; 0), (0; -2)

VI Định lý vi et ứng dụng

1 Định lý: Cho phơng trình bậc hai ax2

+bx+c=0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 Khi

S=x1+x2=− b

a P=x1x2=c

a

Chú ý: Định lý Viet đợc sử dụng phơng trình bậc hai có hai nghiệm

2 Các ứng dụng định lý Viet

ứng dụng 2: Tình giá trị biểu thức đối xứng nghiệm

øng dơng 3: XÐt dÊu c¸c nghiệm phơng trình bậc hai

ứng dụng 4: Lập phơng trình bậc hai biết tổng tích nghiệm

ứng dụng 5: Tìm hai số biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng

ứng dụng 6: Giải toán liên quan đến nghiệm phng trỡnh bc hai

3 Các dạng toán th ờng gặp

Dạng 1: Tính giá trị biểu thøc chøa c¸c nghiƯm

Phơng pháp: - Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

- Biến đổi biểu thức nghiệm theo S, P

- áp dụng định lý Viet tìm S, P

- Suy kÕt qu¶ biĨu thức cần tính

Ví dụ:

1 Không giải phơng trình 2x26x 1

=0 hÃy tính

A=x13x2+x23x12x1x2

x12+x

22

2 Không giải phơng tr×nh x2

−7x+3=0 h·y tÝnh B=|2x1− x2|+|2x2− x1|

3 Không giải phơng trình x24

3x+8=0 hÃy tính C=

6x12+10x1x2+6x22

5x1x23+5x

13x2

Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để nghiệm phơng trình bậc hai thoả mãn số điều kiện

a, Điều kiện nghiệm biểu thức đối xng.

Phơng pháp:

ỏp dng định lý Viét tìm S, P

Thay vào biểu thức nghiệm để tìm giá trị tham số thoả mãn

Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình x2−

(2m+1)x+m2+2=0 cã hai nghiƯm tho¶ m·n

3x1x2−5(x1+x2)+7=0

Ví dụ 2: Tìm m để nghiệm phơng trình x2

+·ax+1=0 tho¶ m·n

x2 x1

¿2>7

x1 x2¿

2 +¿

Ví dụ 3: Cho phơng trình x2+(2m1)x m=0 Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình

Tìm m để A=x12+x22−6x1x2 có giá trị nhỏ

Ví dụ 4: Cho phơng trình x2

mx+m1=0 Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình Tìm

giá trị nhỏ giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc B= 2x1x2+3

x12+x22+2(x1x2+1)

Ví dụ 5: Cho phơng trình x4+2 mx2+4=0 Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt x1,

x2, x3, x4 tho¶ m·n x14+x24+x34+x44=32

Hớng dẫn: u cầu tốn đa Tìm m để phơng trình t2

+2 mt+4=0 cã hai ngiƯm d¬ng t1, t2 tho¶ m·n 2(t12+t22)−4t1t2=32

Ví dụ 6: Tìm m để phơng trình (x2−1)(x+3)(x+5)=m có nghiệm phân biệt thoả mãn

x1

+

x2+

1

x3+

1

x4=−1

Ví dụ 7: Cho phơng trình (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=m Biết phơng trình có nghiệm x1, x2,

x3, x4 Chøng minh x1x2x3x4=24-m

Trong ví dụ dừng việc xét biểu thức đối xứng nghiệm có dạng x12+x22, x13+x23, x14+x24 vấn đè đặt với x1n+x2n=?

aSn+1+bSn+cSn −1=0∀n ≥1

ThËt vËy: Ta cã

x1n+1+x

2n+1=(x1+x2)(x

1n+x

2n)− x1x2(x

1n−1+x

2n−1)

⇔Sn+1=−b

a Sn c

aSn 1aSn+1+bSn+cSn1=0

Công thức giúp ta giải số toán nhanh gọn

VÝ dơ 1: Cho x1, x2 lµ nghiƯm cđa phơng trình x22x 2=0 Tính x17+x27

Theo hệ thøc truy håi chøng minh ë trªn ta cã Sn+1=2Sn+2Sn −1

Mà theo định lý viêt ta có ¿

S1=2

S2=8 ¿{

¿

ta suy đợc S7= 1136

VÝ dô 2: TÝnh giá trị biểu thức

2326

2+326+

A=

2+3√2¿6 ¿

2−3√2¿6 ¿ ¿

B=1

¿

đặt x1=2+3√2

x2=2−3√2 x1, x2 nghiệm phơng trình x24x 14=0

Yêu cầu toán đa tính A= S6 vµ B=

A

146

VÝ dụ 3: Giả sử x1, x2 nghiệm phơng tr×nh x2−6x+1=0

Chøng minh r»ng Sn=x1n+x2n số nguyên không chia hết cho

Hớng dÉn: Chøng minh b»ng quy n¹p

Giả sử Sk, Sk-1 số nguyên theo hệ thøc truy håi ta cã Sk+1=6Sk−Sk −1⇒Sk+1∈Z

Theo hÖ thøc truy håi

Sn+1=6 Sn− Sn −1=6(6Sn−1− Sn −2)− Sn−1=35Sn −1−6Sn −2=35Sn −1−5Sn −2−Sn −2

Vậy Sn+1 -Sn-2 chia cho có số d… mà S0, S1, S2 không chia hết cho Vậy Sn

kh«ng chia hÕt cho

b Điều kiện nghiệm không biểu thức đối xứng

Khi gặp toán ta thờng giải theo hai híng

Hớng 1: Chuyển tốn biểu thức nghiệm có tính đối xứng

VÝ dụ: Gặp biểu thức x1 x2 ta thờng đa vÒ tÝnh (x1 – x2)2

x1=2x2⇒

x1+x2=3x2 ¿

2(x1+x2)=3x1

x1+x2¿2=9x1x2 ¿

⇒2¿

4x1+3x2=1⇒

x1=1−3(x1+x2)

¿

x2=4(x1+x2)−1

x1+x2¿2−1 ¿

⇒x1x2=7(x1+x2)−12¿

Hớng 2: Dựa vào định lý viet điều kiện nghiệm thiết lập hệ phơng trình Giải hệ phơng trình tìm giá trị thoả mãn

Ví dụ 1: Cho phơng trình mx2+2(m −4)x+m+7=0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1,

x2 tho¶ m·n x1-2x2 =

Ví dụ 2: Cho phơng trình x2+(m−1)x+5m−6=0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1

x2 tho¶ m·n 4x1+3x2=1

VÝ dơ 4: Cho phơng trình x25 mx4m=0 có hai nghiệm x1, x2

a, Chøng minh x12+5 mx2−4m>0

b, Tìm m để biểu thức P= m

x12+5 mx2+12m

+x22+5 mx1+12m

m2 đạt giá trị nhỏ

D¹ng 3: XÐt dÊu nghiệm phơng trình bậc hai

Vớ dụ 1: Cho phơng trình x2−2(m+7)x+m2−4=0 Xác định m

a, Phơng trình có hai nghiệm tr¸i dÊu

b, Phơng trình có hai nghiệm âm

Ví dụ 2: Cho phơng trình x2−2(m+2)x+6m+1=0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn

Ví dụ 3: xác định tham số a để phơng trình (a+1)x2−2(a+2)x+2a=0 có nghiệm lớn

VÝ dụ 4: Với giá trị a phơng trình ax4+2(a1)x2(a 2)=0 có nghiệm phân biệt

Ví dơ 5: Cho hµm sè y=1 3x

3−1

2(2m+1)x

+(3m+2)x −5m+2

a, Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (0 ; 1)

b, Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng có độ dài lớn

Híng dÉn

a, u cầu tốn tơng ng vi : tỡm m f(x)=x2(2m+1)x+3m+20,x(0;1)

Điều x¶y f(x) = cã hai nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n x1≤0<1≤ x2

⇔

x1x2≤0 (1− x1)(1− x2)≤0

b, u cầu tốn tơng đơng với tìm m để f(x) = có hai nghiệm x1, x2 cho

|x1 x2|>1

Dạng 4: Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm phơng trình VÝ dô 1: Cho a=√11+6√2

b=√11−6√2 Chøng minh a, b nghiệm phơng trình bậc hai với hƯ sè nguyªn

VÝ dơ 2: Cho c=3

63+10d=36310 Chứng minh c2, d2 nghiẹm phơng trình bậc

hai với hệ số nguyên

Vớ dụ 3: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1=y14+2y22x2=y24+2y12 Trong y1, y2

nghiƯm cđa phơng trình y2

+3y+1=0

4 Các ứng dơng kh¸c

1.ứng dụng định lý Viet việc giải số toán hàm số y=ax2

Ví dụ 1: Cho (P) y=x2 Gọi A, B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt -1, Viết phơng trình đờng thẳng AB

Đây toán dễ hầu hết học sinh nhiều tài liệu tốn có lời giải nh sau:

V×

¿

A∈(P)

xA=−1

⇒A(−1;1)

¿B∈(P)

xB=2

⇒B(2;4)⇒pt AB :y=x+2

¿{

¿

Tuy nhiên suy nghĩ đến việc sử dụng định lý Viet ta có lời giải:

Phơng trình đờng thẳng AB y = ax + b

Phơng trình hồnh độ giao điểm x2−ãax− b

¿

x1+x2=a

x1x2=− b ⇒

¿a=1

b=2 ⇒pt AB :y=x+2

¿{

¿

VÝ dô 2: Cho (P) y=x

4 Điểm A (P) có hồnh độ Tìm phơng trình tiếp tuyến A với (P)

Häc sinh thêng cã lêi gi¶i nh sau:

¿

A∈(P)

xA=2

⇒A(2;1)

¿{

¿

Phơng trình đờng thẳng cần tìm y = ax + b Vì A (P) nên 1= 2a + bb=1-2a Phơng trình hồnh độ giao điểm

4x

=ax+1−2a⇔x2−4 ax−4+8a=0

Đờng thẳng tiếp xúc với (P) phơng trình hồnh độ giao điểm có nghiệm kép ⇔Δ '=0⇔a=1⇒b=−1⇒pt(P):y=x −1

Nếu dùng định lý Viet ta có lời giải:

Phơng trình đờng thẳng (d) y = ax + b

Phơng trình hồnh độ giao điểm 4x

2

=ax+b⇔x2−4 ax−4b=0

X = nghiệm kép phơng trình mà theo định lý viet

¿

x1+x2=4a

x1x2=−4b ¿{

¿

Ví dụ 3: Cho parabon (P): y= x2 đờng thẳng (d) y = 2mx-m+1( m≠ 0) Tìm m cho

đ-ờng thẳng (d) cắt parabol (P) tai hai điểm A, B có hồnh độ x1, x2 thoả mãn |x1− x2|=2

Ví dụ 4: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol y=1 2x

2

điểm I(0; -2) ®iÓm M(m; 0)

( với m tham số, m ≠ 0) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qu hai điểm M, I Chứng minh đờng thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B với độ dài đoạn AB lớn

Bài tập tơng tự:

1) Tỡm phng trỡnh đờng thẳng qua điểm I (0; 1) cắt (P) y = x2 hai điểm phân biệt M, N

sao cho MN = 2√10

2) Cho (d) có phơng trình 2x y a2=0 (P) y=ax2(a>0)

a, Tìm a để đờng thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Chứng minh A, B nằm bên phải Oy

b, Gọi xA, xB hoành độ điểm A, B Tìm giá trị nhỏ biểu thức

T=

xA+xB

+

xAxB

3) Cho parabol (P): y = 3x2 đờng thẳng (d): y= 2-m+1 ( m≠ 0) Tìm giá trị m sao

cho đờng thẳng (d) cắt pảabol (P) hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ x1, x2 thoả mãn

|x1− x2|=5

4) Cho (P) y=x

4 vµ (d) y = mx +

a, Chứng minh với m đờng thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt

b, Gọi A, B hai giao điểm (d) (P) Tinh diện tích tam giác OAB theo m

5) Cho parabol y= x2 đờng thẳng (d) y = mx + ( m tham số).

a) Chứng minh đờng thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với giá trị m

6) Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm I(0; -4) cắt parabol y=1 x

2

hai điểm

phân biệt M, N cho độ dài đoạn thẳng MN=3√5

7) Cho parabol (P): y = x2 đờng thẳng (d): y = 2x + m ( m tham số)

a) Tìm giá trị m để đờng thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B

b) Tìm toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB theo m

2, øng dơng tam thøc bËc hai gi¶i hệ phơng trình đa hệ phơng trình bậc hai

Dạng 1: Hệ ph ơng trình đối xứng loại 1

Định nghĩa: Hệ phơng trình hai ẩn x, y gọi hệ đối xứng loại ta tráo đổi vai trò x y; phơng trình thành phần hệ khơng thay đổi

NghÜa lµ

¿

f(x , y)=0

g(x , y)=0 ⇔

¿f(x , y)=f(y , x)=0

g(x , y)=g(y , x)=0

¿{

¿

Để giải hệ đối xứng loi ta lm nh sau

B1: Đặt

¿

x+y=S xy=P

¿{

¿

®iỊu kiƯn S2

≥4P

Đa hệ cho hệ phơng trình với ẩn S, P

B 2: Giải hệ tìm S, P thoả mÃn

B 3: áp dụng định lý Viet đảo x, y nghiệm phơng trình X2−SX

+P=0

Chú ý : Đối với hệ đối xứng loại (x0, y0) nghiệm hệ (y0, x0)

nghiƯm cđa hƯ

ở không loại trừ khả giải hệ phơng pháp

Ví dụ 1: Gi¶i hƯ

¿

x3

+x3y3+y3=12

x+xy+y=0

{

Đáp số (13;1+3)(1+3;13)

Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình

x4+y4+x2+y2=110 xy=−6

¿{

¿

Hớng dẫn: đặt S = x+ y P = xy (S2 4P) ta cú P2 = 36.

Phơng trình (1) cđa hƯ x2+y2¿2−2x2y2+(x2+y2)=110

¿

Coi phơng trình bậc hai x2

+y2 Giải phơng trình ta đợc x2+y2=13

đến ta có hệ

¿

S2−2P=13

P=−6

¿{

¿

Giải hệ ta tìm đợc nghiệm hệ phơng trình (3; -2); (-2; 3); (-3; 2); (2; -3)

VÝ dơ 3: Gi¶i hƯ phơng trình

x2+x+y2+y=18

x(x+1)y(y+1)=72

{

¿

Hệ phơng trình cho viết lại

¿

[x(x+1)]+[y(y+1)]=18

[x(x+1)][y(y+1)]=72

¿{

¿

Do theo định lý Viet ta có x(x+1) y(y+1) nghiệm phơng trình X2−18X

(2;3); (2; -4); (-3; 3); (-3; -4); (3; 2); (3; -3); (-4; 2); (-4; -3)

VÝ dơ 4: Cho x, y, z lµ số thoả mÃn điều kiện

x+y+z=5 xy+yz+zx=8

¿{

¿

chøng minh r»ng

¿

1≤ x ≤7

3 1≤ y ≤7

3 1≤ z ≤7

3

¿{ {

¿

Híng dÉn: Vai trò x, y, z hệ nh nên không làm tính tổng quát

toán ta xemx, y ẩn z tham sè Ta cã

¿

x+y=5− z xy=8− z(x+y)

⇔

¿x+y=5− z xy=z2−5z+8

¿{

¿

Theo định lý Viet x, y nghiệm ca phng trỡnh t2(5 z)t+z25z+8=0 (*)

Phơng trình (*) cã nghiƯm vµ chØ Δ=3z2−10z+7≥0⇔1≤ z ≤7 Vì vai trò x, y, z nh nên ta có đpcm

Ví dụ 5: Giải hệ phơng tr×nh

¿

x+y+z=6 xy+yz−zx=7

x2+y2+z2=14

¿{ {

¿

⇔

x+y=z=6 xy+yz−zx=7

x+y+z¿2−2(xy+yz+zx)=14

¿ ¿ ¿

⇔

¿ ¿x+y+z=6

¿

xy+yz−zx=7

¿ ¿

xy+yz+zx=11

¿ ¿ ¿

áp dụng định lý viet ta có y (x+z) nghiệm phơng trình X2

−6X+9=0 Khi hệ

phơng trình cho tơng đơng với

¿

y=3

x+z=3 xz=2

¿{ {

¿

Tiếp tục áp dụng định lý viet ta có x, z nghiệm phơng trình y2

−3y+2=0 Hệ phơng trình cho có nghiệm (1; 3; 2) (2; 3; 1)

Dạng 2: Hệ ph ơng trình đối xứng loại 2

Định nghĩa: Hệ phơng trình hai ẩn x, y gọi hệ đối xứng loại tráo đổi vai trò x, y phơng trình tuỳ ý phơng trình biến thành phơng trình

NghÜa lµ hệ phơng trình có dạng

f (x , y)=0

f (y , x)=0

¿{

Phơng pháp:

B 1: Tr hai v phơng trình cho làm xuất phơng trình tích

Chú ý : hệ đối xứng loại (x0; y0) nghiệm hệ (y0; x0) nghiệm

hệ

Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình

¿

x2=3x − y

y2

=3y − x

¿{

¿

VÝ dơ 2: Gi¶i hệ phơng trình

2x2=y+1

y

2y2 =x+1

x

¿{

¿

VÝ dụ 3: Giải hệ phơng trình

x+2 y=√2

√y+√2− x=√2

¿{

¿

Híng dẫn:

Trừ hai vế phơng trình ta cã

√x −√y+√2− y −√2− x=0⇔√x −√2− x=√y −√2− y⇔ −2

√x+√2− x=

−2

√y+√2− y

XÐt f(t)=√t+√2−t trªn [0; 2]

Dạng 3: Hệ ph ơng trình đẳng cấp bậc hai

Dạng tổng quát

ax2+bxy+cy2=d

a ' x2+b 'xy+c ' y2=d '

¿{

¿

Phơng pháp giải:

Cỏch 1: Gii bng phng phỏp cộng, đại số

C¸ch 2:

B2: Đặt y=kx

B3: Đa hệ phơng trình dạng phơng trình bậc hai theo k T×m k, t×m x, t×m y

VÝ dụ 1: Giải hệ phơng trình

2x2+3 xy+y2=16

x2

+xy+2y2=8

¿{

¿

Đáp số: (22;0);(22;0);(

7;

√7);(

−6

√7 ;

−2

√7) Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình sau

2x2−xy+3y2=13

¿

x2

+4 xy−2y2=−6

¿

3x2−5 xy−4y2=−3 9y2

+11xy−8x2=6

¿

x3

+y3=1

x2y+2 xy2+y3=2

¿

{

¿ ¿ ¿

Bài tập tơng tự: Giải hệ phơng trình sau

¿

1x2+y2=1¿1999√x −1999√y=(2000√y −2000√x)(x+y+xx+2001)¿ ¿ ¿2¿ ¿ ¿x2+

y2+ x

y=3¿x+

1

y+ x

y=3¿ ¿ ¿3¿ ¿ ¿x+y=z

2

¿x=2(y+z)¿xy=2(z+1)¿ ¿{¿ ¿

¿

4(x+1)(y+1)=8¿x(x+1)=y(y+1)+xy=17¿ ¿ ¿5¿ ¿x2+y2+xy=1¿x3+y3=x+3y¿ ¿ ¿6¿ ¿¿x2+x −xy−2y2−2y=0¿x2+y2=1¿ ¿ ¿7¿ ¿ ¿6x2−3 xy+x=1− y¿x2+y2=1¿ ¿ ¿8¿ ¿ ¿x3+y3−xy2=1¿4x4+y4=4x+y¿ ¿ ¿9¿ ¿ ¿xz=x4¿2y2=7 xz−3x −14¿x2+z2=35− y2¿ ¿ ¿10¿ ¿ ¿ x

y2+2y+1+

y2 x2+2x+1=

1

2¿3 xy− x − y=1¿ ¿¿11¿ ¿ ¿x+2y

2

=6¿2x2+y2+1=2 xy+2x¿ ¿ ¿12¿ ¿ ¿x3+2y2x=24¿y3+2x2y=24¿ ¿{¿ ¿

Híng dÉn

1) §iỊu kiÖn x ≥0; y ≥0

Từ phơng trình (1) hệ ta có |x|≤1|y|≤1 x+y+xy+2001=(x+1)(y+1)+2000>0

Nếu x >y vế trái (2) lớn 0, vế phải nhỏ 0, vô lý

Nếu x< y vt(2) nhỏ 0, VP (2) lớn 0, Vô lý

Nếu x = y (2) thoả mÃn Vây hệ có nghiệm (

√2;

2) Cộng hai vế phơng rình ta đợc x+1y¿2+(x+1y)=6

Coi phơng trình bậc hai Èn

lµ x+1

y Ta có hệ phơng trình cho tơng đơng với

¿x+1

y=−3 x y=6

¿ ¿ ¿

x+1

y=2

¿

x y=1

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Giải hệ ta đợc hệ phơng trình cho có nghiệm (1; 1)

B §Þnh lý vỊ dÊu cđa tam thøc bËc hai I

Các định lý

1 §Þnh lý thuËn: Cho tam thøc bËc hai f(x)=ax2+bx+c(a ≠0) cã Δ=b2−4 ac NÕu Δ<0⇒af(x)>0∀x∈R

NÕu Δ=0⇒af(x)>0∀x ≠− b

2a ( af(x)≥0∀x∈R )

NÕu Δ>0⇒af(x)>0∀x∈(−∞ ; x1)∪(x2;+∞) vµ af(x)<0∀x∈(x1; x2)

2 Định lý đảo: Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c(a ≠0) α∈R Nếu af() < f(x) = có hai nghiệm phân biệt x1 <  <x2

¿

Δ>0

x1<α<x2 ⇔af(α)<0

¿{

¿

Hệ 2: Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c(a ≠0) có Δ=b2−4 ac Và hai số thực ,  điều kiện cần đủ để f(x) = có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm thuộc (,  ) nghiệm thuộc [,  ] f(α)f(β)<0

II.Các ứng dụng định lý dấu tam thức bậc hai

øng dông 1: Chứng minh phơng trình bậc hai có nghiệm

Để chứng minh phơng trình bậc hai có nghiệm ta cã thĨ dïng mét c¸c c¸ch sau:

C¸ch 1: Chøng minh ∆≥ C¸ch 2: Chøng minh a.c <

C¸ch 3: Chøng minh tồn số :af()<0

Cách 4: Chỉ tån t¹i hai sè α , β:f(α)f(β)<0

VÝ dụ: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm

¿

1x+1¿(x+3)+m(x+2)(x+4)=0¿2¿m2(x −2)+m(x −1)(x −2)+3(x −1)=0¿3¿(m2+1)x2−(m4+m2+1)x+m4− m2−1=0¿4¿2x2−(m2+m+4)x+1=0¿

ứng dụng 2: Tìm điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu miền

Tr

¿

f(x)>0∀x∈R⇔

a>0

Δ<0

¿

f(x)<0∀x∈R⇔

a<0

Δ<0

¿

f(x)≥0∀x∈R⇔

a>0

Δ≤0

¿

f(x)≤0∀x∈R⇔

a<0

Δ≤0

¿ ¿{

¿

VÝ dô:

1) Chøng minh r»ng F(x , y)=3x2+5y2+4 xy+8x −2y+9≥0∀x , y∈R

2) Xác định m để hàm số y=x+m3+√(m2−1)x2+2(m+1)x+5 có tập xác định R 3) Xác định m để f(x)=(m+1)x2−2 mx− m+3≥0 vô nghiệm

Tr

ờng hợp 2: Tam thức bậc hai không đổi dấu [,  ] Phơng pháp: Tính ∆, a Lập bảng xét du a v

Dựa vào bảng xÐt dÊu a, ∆ suy dÊu cña f(x)

Đặt , vào vị trí phù hợp với yêu cầu toán Đa hệ điều kiện

Giải hệ điều kiện, tìm giá trị tham số thoả mÃn toán

Ví dụ 1: Xác định m để f(x)=x2−(3m −1)x+m>0∀x∈[1;2]

Ví dụ 2: Tìm m để f(x)=(m−2)x2−2(m−6)x+m−1<0∀x∈(−1;0)

øng dơng 3: So s¸nh mét sè víi hai nghiệm phơng trình

Vớ d 1: vi giỏ trị m phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho

¿

a m+2¿x2−2(m+8)x+5(m−2)=0x1<−1<x2¿b¿(m+1)x2−2(2m−1)x+3(2m −1)=0x1<−1<1<x2¿c¿(m+2)x2−3x+m −1=0−1<x1<1<x2¿d¿(m−2)x2+2(4−3m)x+10−11=0−4<x1<x2<6¿

Ví dụ 2: Cho phơng trình (2m−1)x2−2 mx+1=0 Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0)

VÝ dơ 3: Víi gi¸ trị m phơng trình x4

+mx3+2 mx2+mx+1=0 cã nghiÖm