Sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số.. Chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ..[r]
(1)Trang 1/6 - Mã đề thi 001 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT KIM LIÊN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 02 NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn: Tốn 12
(Đề gồm trang) Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Mã đề thi 001 Họ tên học sinh: SBD:
Câu 1: Cho F x( )là nguyên hàm hàm số f x( )=sin3x.cosx F( )0 =π Tìm F π
A
2 F π = +π
B
1
2
F π = − +π
C F
π π
= −
D F
π π
=
Câu 2: Hàm số y=πx có đạo hàm là:
A πx B
ln
x π
π C ln
x
π π D x1
π −
Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S có phương trình
2 2
6 6
x +y +z − x+ y− z− = Phương trình mặt phẳng ( )P tiếp xúc với mặt cầu điểm ( 1; 3; 4)A − −
A. 4x+3z+16=0 B. 2x−6y+3z−28=0 C. 4x−3z+16=0 D. 4x−3y−5=0
Câu 4: Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(4; 4;2− ) qua gốc tọa độ có phương trình A (x+4)2+(y−4)2+(z+2)2 =6 B (x+4)2+(y−4)2+(z+2)2=36
C (x−4)2+(y+4)2+(z−2)2 =36 D (x−4)2+(y+4)2+(z−2)2 =6 Câu 5: Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau
Giá trị cực đại hàm sốđã cho
A. B.1 C. −3 D. −4
Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1 ,) B(4;3; , (5; 2;1)) C Phương trình mặt phẳng qua ba điểm , ,A B C có dạng ax+by+cz−2=0 Tính tổng S =a−b+c
A. S =10 B. S =2 C. S= −2 D. S = −10 Câu 7: Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị đường cong hình vẽ
Số nghiệm thực phương trình 3f x( )+4=0là
(2)Trang 2/6 - Mã đề thi 001 Câu 8: Tập nghiệm S phương trình
2
1
sin sin
12 12
x x x
π − π − −
=
là:
A S={2; 4− } B S= −{ }4 C S={ }2 D S= −{ 2; 4} Câu 9: Nếu ( )
2
1
3
f x dx
−
=
∫ ( )
5
2
2
f t dt= −
∫ ( )
5
1
f s ds
−
∫
A 1 B 5 C −5 D −1
Câu 10: Cho hàm số y= f x( ) liên tục [−1; 2] có đồ thị hình vẽ
Biết diện tích hình phẳng ( ) ( )K , H 12
8
3 Tính ( )
2
1
f x dx −
∫ A 37
12
− B
4
− C 37
12 D
9 Câu 11: Cho hàm số f x( ) liên tục có bảng xét dấu f '( )x sau
Sốđiểm cực tiểu hàm sốđã cho là:
A 2 B 1 C 0 D 3
Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : 2P x+my+3z− =5 vµ( ) :Q nx−8y−6z+2=0 song song với Tính tổng S=m n+
A S= −8 B S= −16 C S=8 D S=0
Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S có phương trình
2 2
(x−3) +(y+2) +z =25 Mặt phẳng cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến đường trịn có bán kính 3?
A 3x−4y+5z−18=0 B 4x−3y+5z−18 20 2+ =0 C 2x+2y−z+2=0 D x+y+ +z 2=0
Câu 14: Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên quay xung quanh trục Ox hình phẳng ( )H giới hạn đường y=(1−x)2, y=0, x=0 x=2
A 2
π
B π
C 2
π
D 2 Câu 15: Số nghiệm nguyên bất phương trình ln 2( x+1)≥ +1 ln(x−1)là:
(3)Trang 3/6 - Mã đề thi 001 Câu 16:Đồ thị hàm số có dạng nhưđường cong hình
A
1 x y x − + = + B 1 x y x − + =
+ C
x y
x − =
+ D
1 x y x − + = +
Câu 17: Cho (H) hình phẳng giới hạn Parabol: y= 3x2, cung trịn có phương trình
4
y= −x (với 0≤x≤2) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ bên) Khối trịn xoay tạo (H) quay quanh Ox
có thể tích Vđược xác định công thức sau đây? A
1
2
0
3
V =π∫ x dx+π∫ −x dx B
1
3
V =π− ∫ x dx
C ( )
2 2
2
0
4
V =π∫ −x − x dx D ( )
1
4
0
3
V = π∫x dx+π∫ −x dx
Câu 18: Cho tứ diện ABCD có cạnh a, M trung điểm CD Tính cosin góc hai đường thẳng AC BM,
A
6 B
3
2 C 0 D
2
Câu 19: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D, , AD=CD=a AB; =2a, SA
vng góc với mặt phẳng đáy Góc cạnh bên SCvà mặt phẳng (ABCD) 45o Gọi I trung điểm cạnh AB Tính khoảng cách từđiểm I đến mặt phẳng (SBC)
A a B
3
a
C
2
a
D
2
a
Câu 20: Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số
2
3 1 x x y x − − =
− là:
A 4 B 2 C 1 D 3
Câu 21: Có cách chọn học sinh từ lớp gồm 35 học sinh? A
35
A B C353 C 35 D 3 35 Câu 22: Cho đồ thị ba hàm số y=ax, y=bx y=cx
(a, b, c ba số dương khác cho trước) vẽ mặt phẳng tọa độ hình bên
Chọn khẳng định
(4)Trang 4/6 - Mã đề thi 001 Câu 23: Giá trị nhỏ hàm số f x( )= −x4+12x2+1 đoạn [−1; 2]
A 1 B 33 C 12 D 0
Câu 24: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S có phương trình x2+y2+z2−4x+2y−6z− =2 Tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu
A I(2; 1;3);− R= 14 B I( 2;1; 3);− − R= 14 C I(2; 1;3);− R=4 D I( 2;1; 3);− − R=4 Câu 25:Để dự báo dân số quốc gia, người ta sử dụng công thứcS = A e nr ; A là dân số năm lấy làm mốc tính, S dân số sau n năm , r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm Năm 2017 dân số Việt Nam 93.671.600 người (Tổng cục thống kê, Niên giám thống kê 2017, Nhà xuất Thống kê, Tr.79) Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi 0,81%, dự báo dân số Việt Nam năm 2030 người?
A 103.233.600 B 104.919.600 C 104.029.100 D 104.073.200 Câu 26: Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị hình vẽ bên
Hàm sốđã cho nghịch biến khoảng đây? A ( 2; 0).−
B (1;+∞) C ( 4; 2).− −
D (−2;1 )
Câu 27: Cho cấp số nhân ( )un với u1=2 u2 =6 Công bội cấp số nhân cho bằng:
A 4 B 3 C 8 D 12
Câu 28: Họ tất nguyên hàm hàm số ( ) x f x
x − =
+ khoảng(− +∞2; ) là: A x+3ln(x+2)+C B x−3ln(x+2)+C C
( )2
3
x C
x
+ +
+
D
( )2
3
x C
x
− +
+
Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x+y− +z 5=0 Một véc tơ pháp tuyến mặt phẳng là:
A n1(4; 2; 2− )
B n4(2;1;5)
C n3(2; 1; 1− − )
D n2(2;1;1)
Câu 30: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1;3− ) Phương trình mặt phẳng qua hình chiếu M ba trục tọa độ là:
A 3x−6y+2z−6=0 B 3x−6y+2z+6=0 C 3x+6y+2z−6=0 D −3x+6y−2z−6=0
Câu 31: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ sốđơi khác Chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất để sốđó có hai chữ số tận khơng có tính chẵn lẻ
A 4
9 B
5
9 C
3
5 D
2
Câu 32: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA=2a Tính thể tích V khối chóp S ABCD
A
3
V = a B
3
V = a C V =4a3 D
3 V = a
Câu 33: Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m cho phương trình:
1
4x−m2x+ +2m −27=0 có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có phần tử?
A 4 B 3 C 2 D 11
Câu 34: Cho tam giác ABCcạnh Gọi H trung điểm cạnh BC Diện tích xung quanh hình nón tạo thành quay tam giác ABCxung quanh trục AH
(5)Trang 5/6 - Mã đề thi 001 Câu 35: Cho đường thẳng y=2x Parabol y=x2+c
(c tham số thực dương)
Gọi S1 S2 diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi S1=S2 c gần với số sau đây?
A 3 B 2
C 0 D 1
Câu 36: Diện tích hình phẳng (H) giới hạn đường y x
= , y=3x−1, x=3 A 10 3ln 2− B 10 ln 3− C 10 ln 3− D 2 ln
3+
Câu 37: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có AB=1,AC=2,AA'=2 Gọi D trung điểm cạnh '
CC góc BDA'=90o Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC A B C ' ' '
A V=2 15 B V= 15 C V=3 15 D 15
2
V =
Câu 38: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Hình chiếu đỉnh S mặt phẳng đáy H cho AB=3AH
Góc cạnh SD mặt phẳng (ABCD) 450 Tính thể tích V của
khối chóp S HCD
A
2
a
V = B
3 10
a
V = C
3 10
a
V = D
3 10 18
a
V =
Câu 39: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân
, ; 90 ;
B AB=a SAB=SCB= cạnh bên SA tạo với mặt phẳng đáy góc 60o
Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A S =5πa2 B S =3πa2 C
4
S= πa D
3 S= πa
Câu 40: Có giá trị nguyên m thuộc đoạn[−10;10] để hàm số 2021 2021 x x y m − − + =
− đồng biến
trên khoảng (−∞; 0) ?
A 11 B 3 C 13 D 2
Câu 41: Cho hàm số f x( ) liên tục [−1;1] thỏa mãn ( ) 1( ) ( )
1
1 t
f x x e f t dt
−
− = ∫ + Tích phân
( )
1
x
I e f x dx
−
= ∫
A 2
3 e I e e + =
− + − B
2 3 e I e e + =
− + C
2 3 e I e e + =
− + − D
2 e I e e − = − + Câu 42: Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên:
Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f( x− +1 2)=m có hai nghiệm phân biệt?
(6)Trang 6/6 - Mã đề thi 001 Câu 43: Cho F x( )=xπ nguyên hàm hàm số f x( ).πx Tìm họ nguyên hàm hàm số
'( ) x f x π
A
'( ) x
f x π dx xπ xπ− C
= − + +
∫ B
'( ) x ln
f x π dx xπ π πxπ− C
= − + +
∫
C
'( ) x ln
f x π dx xπ π πxπ− C
= − +
∫ D
'( ) x
f x π dx xπ πxπ− C
= − + +
∫
Câu 44: Một bạn sinh viên muốn có khoản tiền để mua xe máy làm phương tiện làm sau trường Bạn lên kế hoạch làm thêm gửi tiết kiệm năm cuối đại học Vào đầu tháng bạn đặn gửi vào ngân hàng khoản tiền T(đồng) theo hình thức lãi kép với lãi suất 0, 56% tháng Biết đến cuối tháng thứ 24 bạn có số tiền 30 triệu đồng Hỏi số tiền T gần với số tiền số sau?
A 1.139.450 đồng B 1.219.000 đồng C 1.116.000 đồng D 1.164.850 đồng
Câu 45: Xét số thực không âm x y thỏa mãn 28x 2x1 43x y 2x 2
x y
+
+ + − + +
− + + − ≥ Giá trị nhỏ biểu thức P=x2+y2+6x+4y gần với số đây?
A 6 B 7 C 9 D 8
Câu 46: Cho vật thể có đáy hình trịn giới hạn 2
x +y =R Biết cắt vật thể mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (−R≤x≤R) thiết diện hình vng Để thể tích V vật thểđó 2021 (đơn vị thể tích) R thuộc khoảng sau đây?
A (6; 7) B (7;8) C (9;10) D (8;9) Câu 47: Cho hàm số f x( ) liên tục có đạo hàm [−2; 2] thỏa mãn
( ) ( )( )
2 2
64
2
3
f x f x x dx
−
− + = −
∫ Tính ( )
1
0
f x
I dx
x =∫
+
A ln 2
I=π− B ln
2
I =π − C ln
2
I=π + D ln 2 I =π +
Câu 48: Có tất giá trị nguyên m∈(0; 2021] cho đồ thị hàm số
( )
2022
2 2
x x
y
x m x
+ −
=
− − + có tiệm cận đứng?
A 2021 B 2015 C 2017 D 2016
Câu 49: Cho hàm số y= f x( ) liên tục , có bảng biến thiên hình vẽ
Sốđiểm cực đại hàm số y= f ( f x( )) là:
A 2 B 0 C 1 D 3
Câu 50: Cho hai đường thẳng x x y y' , ' chéo vng góc với Trên 'x x lấy cốđịnh điểm A, 'y y lấy cố định điểm B sao choAB vng góc với Ax By, AB=2020cm Gọi C, D hai điểm di chuyển hai tia Ax, By cho AC+BD=CD Hỏi bán kính R mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có giá trị nhỏ thuộc khoảng sau đây?
(7)ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ LẦN 2, MƠN TỐN NĂM HỌC 2020-2021
Mã 001 Mã 002 Mã 003 Mã 004
1 A 1 C 1 D 1 D
2 C 2 B 2 D 2 D
3 C 3 D 3 A 3 A
4 C 4 A 4 C 4 A
5 C 5 D 5 C 5 D
6 A 6 A 6 A 6 D
7 C 7 A 7 A 7 C
8 D 8 C 8 B 8 D
9 A 9 A 9 B 9 A
10 B 10 D 10 A 10 B
11 B 11 B 11 C 11 D
12 D 12 C 12 A 12 A
13 B 13 D 13 D 13 D
14 A 14 A 14 C 14 C
15 D 15 C 15 B 15 B
16 D 16 D 16 C 16 D
17 D 17 D 17 D 17 C
18 A 18 B 18 B 18 B
19 C 19 C 19 A 19 B
20 B 20 B 20 B 20 A
21 B 21 D 21 D 21 C
22 D 22 B 22 B 22 C
23 A 23 A 23 C 23 B
24 C 24 B 24 C 24 C
25 D 25 C 25 C 25 B
26 A 26 C 26 B 26 C
27 B 27 A 27 B 27 A
28 B 28 B 28 A 28 A
29 A 29 A 29 D 29 B
30 A 30 A 30 D 30 A
31 B 31 C 31 B 31 C
32 A 32 D 32 B 32 B
33 C 33 C 33 A 33 B
34 C 34 D 34 D 34 D
35 D 35 B 35 C 35 A
36 B 36 A 36 A 36 B
37 B 37 B 37 B 37 C
38 D 38 A 38 D 38 A
39 A 39 C 39 C 39 D
40 B 40 C 40 D 40 B
41 C 41 D 41 A 41 B
42 A 42 A 42 C 42 C
43 B 43 D 43 D 43 D
44 D 44 B 44 C 44 B
45 D 45 A 45 A 45 A
46 B 46 C 46 B 46 A
47 C 47 A 47 D 47 C
48 C 48 A 48 A 48 A
49 A 49 B 49 B 49 D
(8)10
1-A 2-C 3-C 4-C 5-C 6-A 7-C 8-D 9-A 10-B 11-B 12-D 13-B 14-A 15-D 16-D 17-D 18-A 19-C 20-B 21-B 22-D 23-A 24-C 25-D 26-D 27-B 28-B 29-A 30-A 31-A 32-A 33-C 34-C 35-D 36-B 37-B 38-D 39-A 40-B 42-A 43-B 44-D 45-D 46-B 47-C 48-C 49-A 50-B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu (TH)
Phương pháp:
Tính nguyên hàm phương pháp đổi biến, đặt t sin
Cách giải:
Đặt tsindxcosxdx
3 sin4
sin cos
4
t x
F x x xdx t dt C C
Mà F 0 C
1sin4 .
4
F x x
Vậy 1sin4 .
2 4
F
Chọn A Câu (NB) Phương pháp:
Sử dụng cơng thức tính đạo hàm hàm số mũ: ax 'axln a
Cách giải:
' ln
x x
y y Chọn C
Câu (TH) Phương pháp:
- Xác định tâm I bán kính R mặt cầu S
(9)11
- Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua điểm M x y z 0; ;0 0 nhận nA B C; ; làm vectơ pháp tuyến có
phương trình là: A x x 0B y y 0C z z 00
Cách giải:
Mặt cầu S có tâm I3; 3;1 , bán kính R 32 3 2 12 6 5.
Vì P tiếp xúc với mặt cầu điểm A 1; 3; 4 nên IA P P nhận IA 4;0;3 làm VTPT
phương trình mặt phẳng P : 4 x 1 3 z4 0 4x3z16 0.
Chọn C Câu (TH) Phương pháp:
- Tính bán kính mặt cầu 2 2.
I I I
R IO x y z
- Mặt cầu tâm I a b c ; ; , bán kính R có phương trình S : x a 2 y b 2 z c2 R2.
Cách giải:
Bán kính mặt cầu 2 42 4 22 6.
I I I
R IO x y z
Vậy phương trình mặt cầu là: x4 2 y4 2 z 22 36
Chọn C Câu (NB) Phương pháp:
Dựa vào BBT xác định giá trị cực đại hàm số giá trị hàm số điểm cực đại – điểm mà qua đóhàm
số liên tục đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm
Cách giải:
Dựa vào BBT yCD y 0 3
Chọn C Câu (TH) Phương pháp:
- Mặt phẳng ABC có VTPT n AB AC,
- Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua điểm M x y z 0; ;0 0 nhận nA B C; ; làm vectơ pháp tuyến có
phương trình là: A x x 0B y y 0C z z 00
(10)12
Ta có:
3; 2;1
, 1; 4;
4;1;0
AB
AB AC AC
ABC
có VTPT n AB AC, 1; 4;5
Phương trình mp ABC :1 x 1 4 y 1 5 z 1 x 4y5z 2
1, 4,
a b c
Vậy S a b c 1 4 10
Chọn A Câu (NB) Phương pháp:
Số nghiệm phương trình f x m số giao điểm đồ thị hàm số y f x đường thẳng y m
song song với trục hoành
Cách giải:
Ta có:
3
f x f x Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số
y f x đường thẳng
3
y song song với trục hoành
Đường thẳng
3
y cắt đồ thị y f x điểm
Vậy phương trình 3f x 4 có nghiệm thực
Chọn C Câu (TH) Phương pháp:
Giải phương trình mũ: f x g x
a a f x g x Cách giải:
2
1
sin sin
12 12
x x x
2
1
x x x
2
2
x x
4
x x
(11)13
Chọn D Câu (TH) Phương pháp:
Sử dụng tính chất tích phân: ,
b b b b c b
a a a a a c
f x dx f t dt f s ds f x dx f x dx f x dx
Cách giải:
Ta có:
5 5
1 1
f s ds f x dx f x dx f x dx
2
1
3
f x dx f t dt
Chọn A Câu 10 (TH) Phương pháp:
Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x y g x , , đường thẳng x a x b ,
b
a
S f x g x dx Cách giải:
Ta có:
0
1
2 2
0 0
5 12
8
3
K
H
S f x dx f x dx
S f x dx f x dx f x dx
Vậy
2
1
5
12
f x dx f x dx f x dx
Chọn B Câu 11 (NB) Phương pháp:
Điểm cực tiểu hàm số điểm mà qua hàm số liên tục đạo hàm đổi dầu từ âm sang dương
Cách giải:
Dựa vào BXD ta thấy hàm số cho đạt cực tiểu x0 Vậy hàm số có điểm cực tiểu
(12)14
Câu 12 (NB) Phương pháp:
Hai mặt phẳng P Ax By Cz D: 0 Q A x B y C z D: ' ' ' ' 0 song song với
' ' ' '
A B C D A B C D Cách giải:
Hai mặt phẳng P : 2x mt 3z 5 Q nx: 8y6z 2 song song với
4
8
2
m n
n m
Vậy S m n 0
Chọn D Câu 13 (TH) Phương pháp:
Áp dụng định lí Pytago: R2 r2d2 với R bán kính hình cầu, r bán kính hình trịn, d d I P , với I
là tâm mặt cầu
Cách giải:
Mặt cầu S có tâm I3; 2;0 , bán kính R5 Gọi r bán kính đường trịn giao tuyến r
Gọi d d I P , , áp dụng định lí Ta-lét ta có R2 r2d2 d 4
Xét đáp án có đáp án B thỏa mãn
2 2
4.3 18 20 20 2
,
5
4
d I P
(13)15
Thể tích khối trịn xoay tạo thành quanh hình phẳng giới hạn đường y f x y g x x a x b , , ,
xung quanh trục Ox là: 2 2
b
a
V f x g x dx Cách giải:
Thể tích cần tính là:
2
4
0
2
1
5
V x dx
Chọn A Câu 15 (TH) Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ
- Sử dụng công thức lna lnb lnaa b, 0
b
- Giải bất phương trình ln a
x a x e Cách giải:
ĐKXĐ 1
1
x
x x
ln 2x 1 ln x1
2
ln
1
x x
2
1
x e x
2x ex
2 e x e
1
e x
e
Kết hợp với điều kiện ta có 1;
2
e x
e
(14)16
Chọn D Câu 16 (TH) Phương pháp:
Dựa vào TCN TCĐ đồ thị hàm số điểm thuộc đồ thị hàm số
Cách giải:
Đồ thị hàm số có TCN y 1 nên loại đáp án B
Đồ thị hàm số có TCĐ x 1
Đồ thị hàm số qua điểm 0;1 nên loại đáp án A C
Chọn D Câu 17 (TH) Phương pháp:
Thể tích khối trịn xoay tạo thành quanh hình phẳng giới hạn đường y f x y g x x a x b , , ,
xung quanh trục Ox là: 2 2
b
a
V f x g x dx Cách giải:
Xét phương trình hồnh độ giao điểm 3x2 4x2 x 1.
Thể tích cần tính:
1 2 2
2
0 1
3 4
V x dx x dx x dx x dx Chọn D
Câu 18 (TH) Phương pháp:
- Gọi N trung điểm AD, chứng minh AC BM; MN BM;
- Tính cạnh tam giác BMN, sử dụng định lí Co-sin tam giác:
2 2
cos
2
BM MN BN BMN
BM MN
(15)17
Gọi N trung điểm AD,ta có MN/ /AC (MN đường trung bình ACD)
AC BM; MN BM;
,
ABD BCD
tam giác cạnh a nên
2
a BM BN
MN đường trung bình ACD nên
2
a MN AC
Áp dụng định lí Co-sin tam giác
2 2
2 2 3 3
4 4
: cos
2
2
2
a a a BM MN BN
BMN BMN
BM MN a a
Chọn A Câu 19 (TH) Phương pháp:
- Chứng minh
;; 12
d I SBC IB AB d A SBC
- Chứng minh ADCI hình vng BCSAC
- Trong SAC kẻ AH SC, chứng minh AH SBC
- Sử dụng tính chất tam giác vng cân tính AH
(16)18
Ta có
;; 12
d I SBC IB IA SBC B
AB d A SBC
Vì ADCI hình vng cạnh
2
aCI a AB ACB
vuông C ACBC
Ta có BC AC BC SAC
BC SA
Trong SAC kẻ AH SC ta có AH SC AH SBC d A SBC ; AH
AH BC
;
d I ABC AH
Ta có SAABCDAC hình chiếu vng góc SC lên ABCD
SC ABCD; SC AC; SCA 450
SAC
vuông cân
2
AC a
AAH a
Vậy ;
2
a d I SBC Chọn C
Câu 20 (TH) Phương pháp:
Sử dụng khái niệm đường tiệm cận đồ thị hàm số: Cho hàm số y f x
- Đường thẳng yy0 TCN đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện sau: xlimyy0
0
lim
(17)19
- Đường thẳng x x TCĐ đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện sau:
0
lim
xx y
0
lim
xx y
lim
xx y
lim
xxy Cách giải: Ta có: 2 2
3
lim lim
1 3
3
lim lim
1 x x x x x x y x y x x y x
TCN đồ thị hàm số
2
1
3
1 1
x x
x x x
x x x x
nên
1 lim lim x x y x y
TCĐ đồ thị hàm số
Vậy tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số
2
3
1 x x y x
Chọn B Câu 21 (NB) Phương pháp:
Sử dụng tổ hợp
Cách giải:
Số cách chọn học sinh từ lớp gồm 35 học sinh
35 C Chọn B
Câu 22 (NB) Phương pháp:
- Hàm số y a x đồng biến
a1 nghịch biến 0 a
- So sánh: log log
log log
a a
a a
x y x y a x y x y a
Cách giải:
Hàm số y a x đồng biến nên a1.
Hàm số y b y c x, x nghịch biến nên 1.
(18)20
Với giá trị y0 1 ta thấy
0
1
0
0 2
1
0
1
1 log
log
log
log
y x
b x
c
y b
b y x y x
x y
c y c
x
Vì 0 0
1
1
0 logy logy
x x c b
x x
Mà y0 1 nên c b
Vậy a c b
Chọn D Câu 23 (TH) Phương pháp:
- Tính f x' , xác định nghiệm xi 1; 2 phương trình f x' 0
- Tính f 1 , f , f xi
- KL:
1;2 1;2
min f x min f 1 ; f ; f xi , max f x max f 1 ;f ; f xi
Cách giải:
Hàm số cho xác định liên tục 1;
Ta có
3 1;
' 24
6 1;
x f x x x
x
Mà f 1 12, f 2 33,f 0 1
Vậy
1;2
min f x f
Chọn A Câu 24 (NB) Phương pháp:
(19)21
Cách giải:
Mặt cầu 2
4
x y z x y z có tâm I2; 1;3 , bán kính R 22 1 2 32 2 4.
Chọn C Câu 25 (NB) Phương pháp:
Sử dụng công thức S A e nr với A93.671.600,n2030 2017 13, r0,81%.
Cách giải:
Dự báo dân số Việt Nam năm 2030 là: S 93.671.600.e13.08.1%104.073.257 người.
Chọn D Câu 26 (NB) Phương pháp:
Xác định khoảng mà hàm số xuống theo chiều từ trái sang phải
Cách giải:
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số cho nghịch biến 2;1
Chọn D Câu 27 (NB) Phương pháp:
Sử dụng công thức SHTQ CSN:
1 n n
u u q Cách giải:
Ta có
2
1
6
u u u q q
u
Chọn B Câu 28 (TH) Phương pháp:
- Chia tử cho mẫu
- Sử dụng bảng nguyên hàm:
1 1 1
1 , ln
1
n
n x
x dx C n dx ax b C
n ax b a
- Sử dụng điều kiện x 2; để phá trị tuyệt đối
(20)22
Ta có 3
2 2
x x f x
x x x
3ln
2
f x dx dx x x C
x
Vì x 2; x
Vậy f x dx x 3lnx 2 C,
Chọn B Câu 29 (NB) Phương pháp:
- Mặt phẳng P Ax By Cz D: 0 có VTPT nA B C; ;
- Mọi vectơ phương với n VTPT P
Cách giải:
Mặt phẳng P : 2x y z 5 có VTPT n2;1; 1 n1 2n 4; 2; 2 VTPT mặt
phẳng P
Chọn A Câu 30 (TH) Phương pháp:
- Hình chiếu điểm M a b c ; ; lên trục tọa độ Ox Oy Oz, , a;0;0 , 0; ;0 , 0;0; b c
- Phương trình mặt phẳng qua điểm a;0;0 , 0; ;0 , 0;0; b c là: x y z
a b c Cách giải:
Hình chiếu điểm M2; 1;3 lên trục tọa độ Ox Oy Oz, , 2;0;0 , 0; 1;0 , 0;0;3
Phương trình mặt phẳng qua hình chiếu M ba trục tọa độ là:
1 6
2
x y z
x y z
Chọn A
Câu 31 (VD) Phương pháp:
(21)23
- Gọi A biến cố: “ số có hai chữ số tận khơng có tính chẵn lẻ”, tìm số cách chọn chữ số tận
cùng, số cách chọn chữ số lại áp dụng quy tắc nhân tìm số phần tử biến cố A - Tính xác suất biến cố A
Cách giải:
Gọi số tự nhiên có chữ số khác abcde
Số số tự nhiên có chữ số đôi khác
10 27216
A A
Chọn ngẫu nhiên số thuộc S Số phần tử không gian mẫu
27216 27216
n C
Gọi A biến cố: “số có hai chữ số tận khơng có tính chẵn lẻ”
TH1: ,d e khơng tính chẵn lẻ, de0
Số cách chọn ,d e 4.5.2! 40 cách
Số cách chọn , ,a b c
8 294 A A
TH1 có 40.294 11760 số thỏa mãn
TH2: ,d e khơng tính chẵn lẻ, de0
Chọn số lẻ có cách Số cách chọn ,d e 5.2 10 cách
Số cách chọn , ,a b c
8 336 A
TH2 có 10.336 3360 số thỏa mãn
11760 3360 112096
n A
Vậy xác suất biến cố A
1209627216 49
n A P A
n
Chọn A
Câu 32 (NB) Phương pháp:
Sử dụng công thức
3
chop day V S h Cách giải:
2
3
1
.2
3 3
S ABCD ABCD
V SA S a a a Chọn A
(22)24
- Đặt ẩn phụ t2x 0, đưa phương trình phương trình bậc hai ẩn t
- Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt phương trình bậc hai ẩn t có nghiệm dương phânbiệt
- Sử dụng định lí Vi-ét
Cách giải:
Đặt t2x0, phương trình cho trở thành t22mt2m227 *
Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt
2
2
' 27 3 3
3
2 0 3
2
2 27 3 6
2
2
m m m
S m m m
P m
m m
Mà S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m nên S 4;5
Vậy S có phần tử
Chọn C Câu 34 (TH) Phương pháp:
- Khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH ta hình nón có chiều cao ,
2
BC hAH r
- Tính độ dài đường sinh hình nón l h2r2.
- Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh ,l bán kính đáy r Sxq rl
Cách giải:
Khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH ta hình nón có chiều cao 3,
2
h AH
4
2
BC r
Độ dài đường sinh hình nón l h2r2 2 3 222 4.
Diện tích xung quanh hình nón tạo thành là: S rl.2.4
(23)25
Câu 35 (VD) Phương pháp:
- Giả sử nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm
2
0
x a x c x
x b
- Sử dụng: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x y g x , , đường thẳng x a x b ,
b
a
S f x g x dx để tính S S1,
- Giải phương trình S1S2 c2b b 2, giải phương trình tìm b sau tìm c.
Cách giải:
Xét phương trình hồnh độ giao điểm 2 0.
0
x a x c x
x b
Ta có
3
2 2
1
2
0
3
a a
x a
S x c x dx cx x ca a
3
2 2
2 3 3 3
b a
b
x b a
S x x c dx x cx b cb a ca a
Vì S1S2 nên ta có:
3 3
2 2
3 3
a b a
ca a b cb a ca
3
2 0
3
b b cb
2
0
b
b c
(do b0)
(24)26
2
3
2
3 0
b tm b
b b b
b ktm
Vậy
2
4
c b b gần với
Chọn D Câu 36 (VD) Phương pháp:
- Giải phương trình hồnh độ giao điểm - Vẽ đồ thị để xác định miền cần tính diện tích
- Sử dụng: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x y g x , , đường thẳng x a x b ,
b
a
S f x g x dx Cách giải:
Xét phương trình hồnh độ giao điểm
1
3 2
3
x
x x x x
x x
Dựa vào đồ thị ta thấy diện tích cần tính
3
1
3
2 21
3 2ln ln 10 2ln
1
2 2
x
S x dx x x
x
(25)27
Câu 37 (VD) Phương pháp:
- Áp dụng định lí Pytago tính ' , ' A B A D
- Áp dụng định lí Pytago tính BD, tiếp tục áp dụng định lí Pytago tính BC
- Sử dụng cơng thức Hê-rong tính diện tích tam giác ABC S: ABC p p AB p AC p BC , với p
nửa chu vi tam giác ABC
- Tính thể tích VABC A B C ' ' ' AA S' ABC
Cách giải:
Áp dụng định lí Pytago ta có:
2
' ' 20 21
A B AA AB
2
' ' ' '
A D A C C D
Vì A BD' vuông D nên BD A B' 2A D' 21 3.
Áp dụng định lí Pytago tam giác vng BCD ta có BC BD2CD2 12 5 7.
Gọi p chu vi tam giác ABC ta có
2
p
2
ABC
S p p AB p AC p BC
Vậy ' ' ' ' 15
ABC A B C ABC
V AA S Chọn B
(26)28
- Xác định góc SD ABCD góc SD hình chiếu SD lên ABCD
- Sử dụng tính chất tam giác vng cân tính SH
- Tính SHCD SABCDSAHD SBCH
- Tính
1
3
S HCD HCD
V SH S Cách giải:
Ta có SH ABCDHD hình chiếu vng góc SD lên ABCD
SD ABCD; SD HD; SDH 45 0
SHD
vuông cân
2
2 2 10.
3
a a H SH HD AD AH a
Ta có
2 1 . 1 .2 .
2 3
HCD ABCD AHD BCH
a a a
S S S S a a a
Vậy
2
1 10 10
3 3
S HCD HCD
a a a V SH S Chọn D
Câu 39 (VDC) Phương pháp:
- Gọi I trung điểm SB Chứng minh I tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S ABC
- Xác định góc SA ABC
- Đặt SB x x a , tính SA SM SH, , theo x
(27)29
- Giải phương trình
2
p p SB p BM p SM SH BM tìm x theo a suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
- Diện tích mặt cầu bán kính R
4
S R Cách giải:
Gọi I trung điểm SB
Vì SAB SCB900 nên
2
IA IC SB IS IBI tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S ABC
Gọi M trung điểm AC ta có ABC vng cân BBM AC
Lại có SAB SCB (cạnh huyền – cạnh góc vng) SA SC
SAC
vuông SSM AC,
AC SMB
Trong SBM kẻ SH BM ta có: SH BM SH ABC
SH AC
HA
hình chiếu vng góc SA lên ABC SA ABC; SA HA; SAH 60 ,0
Đặt SB x x a ta có SA SB2AB2 x2a2.
Vì ABC vng cân B có AB a nên 2,
2
a AC a BM
2
2 2 2 .
2
a a
SM SA AM x a x
Gọi p nửa chu vi tam giác SBM ta có
2
2
2 2
2
a a
x x
SB BM SM p
(28)30
Xét tam giác vuông SAH ta có .sin 600 2.
2
SH SA x a
2
SBM
S p p SB p BM p SM SH BM
1. 2. 3.
2 2
a p p SB p BM p SM x a
2
8 p p SB p BM p SM x a
2
64p p SB p BM p SM x a
5
x a
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
2
a R SB
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
2
2
4
2
S R a a
Chọn A Câu 40 (VD) Phương pháp:
- Đặt t2020 x
- Hàm số y ax b
cx d
nghịch biến m n;
' ;
y d
m n c
Cách giải:
Đặt t2020 ,x với x ;0 t 1; , ,t x ngược tính đơn điệu
Bài tốn trở thành: Tìm m để hàm số y t
t m
nghịch biến 1;
2
2
' 2
2
1 1;
m
y m
t m m
m m
Kết hợp điều kiện m 10;10 ta có m 2;1 Lại có m m 1;0;1
Vậy có giá trị m thỏa mãn
(29)31
Cách giải:
Ta có:
1
1 1
1 t t *
f x x e f t dt f x x f t dt e f t dt
Giả sử
1
1
, t 1
f t dt a e f t dt b f x xa b f x ax b
Thay vào (*) ta có:
1
1
1 t
ax b x at b dt e at b dt
1 1 t at
ax b x bt t e at b dt
1
1
1 1
2
t t
a a
ax b x b b at b e a e dt
2 2 1 1 1 ax b x b a b e a b e a e e
2 2 1 2 1
ax b x b b e a b e
2 2
1 1 3
a b a b
b b e a b e b b e b e
2 2 2 3 3 3 e a e e a b e
b e b e e e
b e e e e e e
Vậy
1
2
1
3
t x e
e f t dt e f x dx I e e Chọn C Câu 42 (VDC) Phương pháp:
- Đặt t x 1 2t2
- Từ BBT suy f x' , tính f x f x dx' , sử dụng f 1 4, f 3 2
(30)32
Cách giải:
Đặt t x 1 2t2 Khi ta có f t m có nghiệm (ứng với nghiệm t cho ta nghiệm x
tương ứng)
Từ BBT ta thấy hàm số có điểm cực trị x1,x3 nên f x' a x 1x 3 a x 24x3
' 4 3 2 3 .
3
f x f x dx a x x dx a x x x C
Có
4
1 4
3
3 2
2
C
f a C
a f C
2 3 2 3 9 27 2
2 2
f x x x x x x x
2
f
Dựa vào BBT ta thấy phương trình f x m có nghiệm 2 m
Mà m m 1;0;1
Vậy có giá trị m thỏa mãn
Chọn A Câu 43 (VD) Phương pháp:
Sử dụng phương pháp tích phân phần, đặt
'
x u
dv f x dx
Cách giải:
Đặt I f x' xdx
Đặt ln ' x x u du
dv f x dx v f x
ln
x x
I f x f x dx
Vì F x x nguyên hàm hàm số
' x x x F x f x f x
f x dx F x C x C
1
x
x x x f x f x
(31)33
1
ln
x x x
I x C
1
ln
I x x C
Chọn B Câu 44: Phương pháp:
- Tính số tiền nhận sau tháng, tháng suy số tiền nhận sau 24 tháng
- Giải phương trình tìm T
Cách giải:
Số tiền nhận sau tháng T1T 0,56% (đồng)
Số tiền nhận sau tháng
2 0,56%
T T T
0,56% 0,56%
T T
2
0,56% 0,56%
T T
…
Số tiền nhận sau 24 tháng là:
24 23
24 0,56% 0,56% 0,56%
T T T T
23 22
1 0,56% 0,56% 0,56%
T
1 0,56% 1 0,56% 24
1 0,56%
T
1 0,56% 1 0,56%24
0,56%
T
Theo ta có:
24 30000000
T
1 0,56% 1 0,56%24 30000000
0,56%
T
1.164.849
T
(đồng)
(32)34
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu hàm số
Cách giải:
Ta có:
1
8 2
2 x x 4 x y x 2x2y 3
1
8 2
2 x x x y x 2x 2y
1
8 1 2
2 x x 8x 2x x y x 6x 2y 2x *
Xét hàm số f t 2t t ta có f t' 2 ln 0t t , suy hàm số f t đồng biến
Do
* 8x2x1 1 6x2y2x14
3
2
2
x
x y y
Khi ta có
2 6 4 P x y x y
2
2 6 4.3
2
x x
P x x
2
2 12
6
4
x x
P x x x
2 33
2
4
P x x
2 1 65
2
4 16
P x x
2
1 65 65
2 8,125
4 8
P x
min
1
8,125
4
P x Chọn D
(33)35
Giả sử vật thể T giới hạn hai mặt phẳng x a x b , Cắt vật thể T mặt phẳng vng góc với trục
Ox điểm có hồnh độ x a x b thiết diện tích S x Khi thể tích vật thể T
b
T a
V S x dx Cách giải:
Giả sử vật thể hình trụ Thiết diện ABCD hình vng
Ta có DH OD2DH2 R2x2 CD2 R2 x2.
2 4 2 . ABCD
S CD R x
Khi thể tích vật thể là:
2 2
4
3
R R
R x V R x dx R x
R
3 3
3 16
4
3 3
R R R
R R
16
2021 7, 24 7;8
3
R
R
Chọn B Câu 47 (VDC) Phương pháp:
- Nhận xét
2
2
2
64
2 ,
3
x dx
áp dụng tính chất tích phân đưa biểu thức dấu tích phân dạng bình
(34)36
- Sử dụng
b
a
f x dx f x
Cách giải:
Ta có
2
2
2
64
3
x dx
nên
2
2
2
2 2
f x f x x dx x dx
2
2
2 2
f x f x x x dx
2
2
2
2
f x x dx f x x
Vậy
1
2
2 ln
1
x
I dx
x
Chọn C Câu 48 (VD) Phương pháp:
- Tìm ĐK để phương trình mẫu có nghiệm thỏa mãn ĐKXĐ
- Cơ lập ,m đưa phương trình dạng m f x
- Lập BBT hàm số y f x suy m
Cách giải:
ĐKXĐ: x 2 x
Để đồ thị có tiệm cận đứng phương trình x2 m2x 2 0 có nhiệm x2.
2
2
2 x
m x
x x
(do x2) *
Xét hàm số f x x 2x 2
x
ta có f x' 22 x
x
(35)37
Để phương trình * có nghiệm x2 m 2 m
Kết hợp với điều kiện đề m 5; 2021 Vậy có 2017 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán
Chọn C Câu 49 (VCD) Cách giải:
Đặt t f x Ta có BBT hàm số t f x
Dựa vào BBT hàm số y f x ta thấy:
Với
0;1 0;1
1;0 1;0
t f t t
t f t
Từ ta mơ hình dáng hàm số y f t sau:
Vậy hàm số cho có điểm cực đại
Chọn A Câu 50 (VDC) Phương pháp:
- Đặt ACx BD, y x y , 0CD x y
- Sử dụng định lí Pytago tìm xy
(36)38
- Áp dụng BĐT Cơ-si
Cách giải:
Ta có: AC BD AC ABD
AC AB
Đặt ACx BD, y x y , 0CD x y
Áp dụng định lí Pytago ta có:
2 20202 AD y
2 2
CD AC AD
2 2
2020
x y x y
2
2020
xy
Gọi I trung điểm CD
Ta có: BD AB BD ABC BD BC
BD AC
Vì ACD BCD, tam giác vuông ,A B nên
IA IB CD IC ID I tâm mặt cầu ngoại tiếp
khối chóp ABCD, bán kính
2
R CD
Ta có
2
1 2020
1428,355
2 2
x y
R CD xy Chọn B