Tìm m ñể ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị sao cho ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị tạo với hai trục tọa ñộ một tam giác có diện tích bằng 1.. Theo chương trình Chuẩn.[r]
(1)TRƯỜNG ðẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ðỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN - NĂM 2012 Mơn: TỐN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I.(2,0 điểm) Cho hàm số y= x3−3x2 +3mx+m+2
1 Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị hàm số ñã cho m=0
2 Tìm m ñể ñồ thị hàm số có hai điểm cực trị cho ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích
Câu II (2,0 ñiểm) Giải phương trình 3(sin2 cos ) sin
2
1 cos cos tan
x x x
x x
x
+ =
−
− +
2 Giải hệ phương trình ( , )
) )(
1 (
0 ) ( 2
R ∈
= + − + +
= + + −
y x y y
x x
y x y x
Câu III.(1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñồ thị hàm số
1
+ − =
x x
y y=1−x
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy hình thoi cạnh a, BAD =α với ,
4
cosα = cạnh bên AA'=2a Gọi M ñiểm thỏa mãn DM =k.DA N trung điểm cạnh A'B' Tính thể tích khối tứ diện C'MD'N theo a tìm k để C'M ⊥D'N
Câu V.(1,0 ñiểm) Cho số thực a, b, c thuộc đoạn [0;1] Tìm giá trị lớn biểu thức
1
2
2
2
3
3
+ + + + + + + + =
a c c
b b
a P
PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) Thí sinh ñược làm hai phần(phần a b) a Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC vng cân A, phương trình ,
0
: x−y− =
BC ñường thẳng AC ñi qua ñiểm M(−1;1), ñiểm A nằm ñường thẳng
0 : − + =
∆ x y Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh A có hồnh độ dương
2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2 =9 ñường thẳng
2 2
2
6
: = − = − −
−
∆ x y z Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(4;3;4), song song với ñường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S)
Câu VIIa.(1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn | |
1 ) )(
(
z i z i
z =
− − + + + b Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb (2,0 ñiểm) Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho đường thẳng ∆:5x−2y−19=0 đường trịn
0 :
)
( 2+ 2− − =
y x y x
C Từ ñiểm M nằm ñường thẳng ∆ kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường trịn (C) (A B hai tiếp điểm) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác AMB biết AB= 10 Trongkhông gian với hệ tọa ñộ Oxyz,cho mặt cầu (S):(x+1)2+(y−1)2+z2 =9 điểm A(1;0;−2) Viết phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) A tạo với trục Ox góc α có
10
1 cosα= Câu VIIb (1,0 ñiểm) Cho số phức z thỏa mãn
2 − −
z i z
số ảo Tìm giá trị lớn biểu thức
| | |
|z z i
T = − + −
(2)BÀI GIẢI
Câu I:
1/ Bạn đọc tự giải
2/ Tìm m ñể ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị cho ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị tạo với hai trục tọa ñộ tam giác có diện tích
Bài giải:
Ta có
'
y = x − x+ m (Dy’ = R)
ðể đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ⇔phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt y’ đổi dấu qua hai nghiệm
2
3x 6x 3m
⇔ − + = có hai nghiệm phân biệt ' 9m m
⇔ ∆ = − > ⇔ <
Gọi A x( A;yA) (,B xB;yB) tọa ñộ hai ñiểm cực trị ñồ thị
Ta có: ' 2( 1) 2( 1) 3
x
y= − y + m− x+ m+
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
' 2 2
3
= − + − + + ⇒ = − + +
A A A A A
x
y y x m x m y m x m
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
' 2 2
3
= − + − + + ⇒ = − + +
B B B B B
x
y y x m x m y m x m
( ) ( ) ( )
, : 2
A B d y m x m
⇒ ∈ = − + + ⇒ phương trình đường thẳng qua hai ñiểm cực trị
( )d :y=2(m−1)x+2(m+1)
Gọi M, N giao ñiểm ñường thẳng (d) với Ox, Oy
Tọa ñộ M nghiệm hệ phương trình: 2( 1) 2( 1) 1;
y m x m m
M m y
= − + + ⇒ +
= −
Tọa độ N nghiệm hệ phương trình: 2( 1) 2( 1) (0; 2)
y m x m
N m
x
= − + +
⇒ +
=
Ta có: 1;0 , (0; 2) 1, 2
1
m m
OM ON m OM ON m
m m
+ +
= = + ⇒ = = +
− −
Theo đề ta có: 1 1 2
2
OMN
m
S OM ON m
m ∆
+
= ⇔ = ⇔ + =
−
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
1
1
1 1
3
1 1 1
m m m
m
m m
m
m m m
− = + =
+
⇔ = ⇔ − = + ⇔ ⇔
= −
− − = − +
So sánh ñiều kiện m < Ta có m= ∨0 m= −3thỏa yêu cầu toán
Câu II: 1/ ðiều kiện:
cos sin
2
x
x
≠
≠
Phương trình sin cos cos cos (2sin 1 2sin)( ) cos
x x
x x x x
x
⇔ + − = + −
( ) ( )( )
sinx cos x cos 2x cosx 2sinx 1 sinx
⇔ − + − = + −
( ) ( )
sinx cos x cos x 3 cosx cos x
⇔ − + − = −
( )( )
4 cos sin cos
⇔ x− x− x+ =
2
2
3
cos
4 cos 2 5
2
3 cos sin
cos
6 2
2
π π
π π π
π π
= ± +
= ±
− =
⇔ ⇔ ⇒ = ± +
− = + =
= − +
x k
x x
x k
x x x
(3)So sánh điều kiện ban đầu Ta có nghiệm pt là: ( )
6
x= − +π k π∨ = −x π +k π k∈Z 2/ Giải hệ phương trình: ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
2
1
,
1 2
x y x y
x y R
x x y y
− + + =
∈
+ + − + =
Dễ thấy y = nghiệm hpt Chia hai vế pt (1),(2) cho y
Hpt
( )
( )( )
2
2
0
2
x
x y
y x
x y
y
+ − + =
⇔ +
+ − + =
ðặt
2
1
x a
y b x y
= +
= +
( ) ( )
0
1
2
a b b a
Hpt a b
a b a a
− = =
⇔ ⇔ ⇔ = =
− + = − + =
2
2
1
1 1
1
1
1
1
x x
x x
x x
x y
y y
y x
x y y x
+ = = = = −
+ = −
⇔ ⇔ ⇔ = − ⇒ ∨
= =
= −
+ = = −
Vậy nghiệm hệ phương trình: ( ) (0;1 , −1; 2) Câu III: TXð: D= −( 1;1]
Pt hồnh độ giao điểm hai ñường
2
1
x y
x
− =
+ y= −1 x
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
2
1 1 1
1
1
1 0
0
1
1 1
x
x x x x x
x
x l
x x
x n
x
x x n
− = − ⇔ − = − ⇔ − − − =
+
= −
− = =
⇔ ⇒ = ⇒
=
− − =
=
Với x∈[ ]0;1 ta có
2
1
1
x
x x
− ≥ −
+ Diện tích hp giới hạn hai ñồ thị hai hàm số trên:
( ) ( )
1 2 1
0 0
1 1
1 1
1 1
− − −
= − − = − + = − + + =
+ + +
∫ x ∫ x ∫ ∫ x
S x dx x dx x dx dx
x x x
1
1
2 2
0
0
1 1
2
− −
= − + + = − +
+ +
∫ ∫
x x x
x dx dx
x x
ðặt
1
0
1
x
I dx
x
− =
+
∫ ðặt sin , ; 2
x= t t∈ − π π
⇒dx=cos t dt ðổi cận:
0
1
2
π
= ⇒ =
= ⇒ =
x t
x t
( )
2 2
2 2 2
0 0 0
cos cos
1 sin cos sin
.cos sin
sin sin sin sin
π π π π π
− −
⇒ = = = = = − =
+ + + +
∫ t ∫ t t ∫ t ∫ t ∫
I t dt dt dt dt t dt
t t t t
( )2
cos
2
π π
= +t t = −
2
S π −
(4)Câu IV:
Gọi O giao ñiểm A1C1 B1D1 Gọi H hình chiếu D1 A1B1
Xét ∆vng A1HD1, ta có: 1 1
7
sin
4
HD a
HD A D
α = = ⇒ =
Ta lại có: ( )
1 1
,
7
N D C
a
d =HD = ( )
1 1
2 1
,
1 7
2
NC D N D C
a a
S∆ d D C a
⇒ = = =
Ta có: 1 1 ( ( )) 1 1
1
2
1 ,
1 7
3 12
C MD N M ND C ND C
a a
V = d S∆ = AA =
• Tìm k?
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ với O(0;0; 0)là gốc tọa ñộ Trong ∆A B D1 1, áp dụng định lí hàm số cos ta có:
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
3
2 cos
4 2
α
= + − ⇔ = + − = a ⇒ =a
B D A B A D A B A D B D a a a a B D
Ta có: cos cos(1 1 1) cos( ) cos
4 A D C
α = ⇒ = π α− = − α = −
Trong ∆A C D1 1 1, áp dụng định lí hàm số cos, ta có:
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 14
2 cos
4 2
= + − ⇔ = + + = a ⇒ =a
A C A D D C A D D C A D C A C a a a a A C
Ta có:
14 0; ;
4
a
A −
,
14 0; ;
4
a
C
,
2 ; 0;0
a
B −
,
2 ;0;
a
D
14 0; ;
4
a
A − a
,
14 0; ;
4
a
C a
,
2 ;0;
a
B − a
,
2 ; 0;
a
D a
,
2 14 ; ;
8
a a
N− −
2 14 ; ;
4
a a
DA
⇒ = − −
Gọi M x( M;yM;zM)
2
; ;
M M M
a
DM x y z a
⇒ = − −
C
A
B
D
A1
B1
C1
D1 O
x
y z
a
a
(5)Theo ñề bài:
DM =k DA
( )
( )
2 2
4 4
14 14 14
; ;
4 4
2
− = − = −
⇒ = − ⇒ = − ⇒ − −
− = =
M M
M M
M M
a a a
x k x k
a a a a
y k y k M k k a
z a z a
( ) ( )
1
2 14
1 ; ;
4
a a
C M k k a
⇒ = − − +
3 14
; ;0
8
a a
D N
⇒ = − −
Theo ñề C M1 ⊥D N1 ⇒C M1 ⊥D N1 ⇒C M D N1 1 =0
( ) ( )
2
3
1 3 7
16 16
⇔ − a −k + a +k = ⇔ − + k+ + k = ⇔ = −k
Vậy với
k = − C M1 ⊥D N1
Câu V: Cho số thực a b c, , ∈[ ]0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức
3 3
2 2
2 2
1 1
a b c
P
b c a
+ + +
= + +
+ + +
Vì a b c, , ∈[ ]0;1
3
3
3
a a
b b
c c
≤ ⇒ ≤
≤
( ) ( )
4 4 4 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
3
2 2
1 1
+ + + + + + + + + + + +
+ + +
⇒ ≤ + + =
+ + + + + + + + + +
a c c b b a a b c a b b c c a a b c
a b c
P
b c a a b c a b b c c a a b c
Ta có: 4 2 2 2
a c +c b +b a ≤a c +c b +b a
4 2
a +b +c ≤a +b +c
2 ( 2 2 2) 6≤ a b c +2 a b +b c +c a
Cộng vế theo vế ta có:
( )
4 4 4 2 2 2 2 2 2
6
a c +c b +b a +a +b +c ≤a +b +c + a b c + a b +b c +c a
( 2 2 2 2 2 2 )
2 2 2 2 2 2
6
6
a b c a b b c c a a b c
P
a b c a b b c c a a b c
+ + + + + + +
⇒ ≤ =
+ + + + + + +
6
MaxP
⇒ = ⇔(0; 0;0 , 1;0; 0) ( ) hốn vị
Câu VIa
1/ Gọi n a b( ; )
pháp vectơ ñường thẳng AC ðường thẳng BC có PVT n1(2; 1− )
Theo đề bài, ∆ABC vng cân A ⇒đường thẳng AC BC tạo với góc
45
2
2 1
cos 45
2
n n a b
n n a b
−
⇒ = ⇔ =
+
( )2 ( 2) 2
2 2a b a b 3a 8ab 3b
⇔ − = + ⇔ − − =
Chọn
( )
2
3 3;1
1 1 1
;1
3
a n
b a a
a n
= ⇒
= ⇒ − − = ⇒
= − ⇒ −
*Với n( )3;1
, ñường thẳng AC qua M(−1;1)và có PVT n( )3;1
có phương trình:
(6)Mặt khác A∈ ∆:x−4y+ =6 Suy tọa ñộ ñiểm A nghiệm hệ phương trình: 14
0
3 13 14 16;
4 16 13 13
13
x
x y
A
x y
y
= − <
+ + =
⇒ ⇒ −
− + =
=
Vì 14 16; 13 13
A
x > ⇒ A−
không thỏa
*Với 1;1
n−
, ñường thẳng AC qua M(−1;1) có PVT 1;1
n−
có phương trình:( ): 1( 1) ( 1) ( ):
3
AC − x+ + y− = ⇔ AC − +x y− =
Mặt khác A∈ ∆:x−4y+ =6 Suy tọa ñộ ñiểm A nghiệm hệ phương trình:
( )
3
2;
4
x y x
A
x y y
− + − = =
⇒ ⇒
− + = =
Vì xA > ⇒0 A(2; 2) thỏa
Tọa ñộ ñiểm C nghiệm hệ phương trình: ( )5;3
3
x y x
C
x y y
− − = =
⇒ ⇒
− + − = =
Gọi I hình chiếu A BC
Gọi (d) ñường thẳng qua A vng góc với BC
( ) (d : x 2) (2 y 2) ( )d :x 2y
⇒ − + − = ⇒ + − =
Tọa ñộ ñiểm I nghiệm hệ phương trình: ( )4;1
2
x y x
I
x y y
+ − = =
⇒ ⇒
− − = =
Vì ∆ABC vng cân A ⇒I trung điểm cạnh BC
( )
2
3;
2
B I C B
B I C B
x x x x
B
y y y y
= −
=
⇒ ⇒ ⇒ −
= − = −
Vậy tọa ñộ ba ñiểm A, B, C cần tìm là: A( ) (2; ,B 3; ,− ) ( )C 5;3 2/ Gọi n a b c( ; ; )
là PVT mặt phẳng (P) ðường thẳng ∆ có VTCP m(−3; 2; 2)
, mặt cầu (S) có tâm I(1; 2;3)và bán kính R=3 Mặt phẳng (P) qua M(4;3; 4)có PVT n a b c( ; ; )
có dạng:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
: 4
: 4
P a x b y c z
P ax by cz a b c
− + − + − =
⇔ + + − − − =
Mặt phẳng (P) song song với ∆ ⇒n m = ⇔ −0 3a+2b+2c=0(1) Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) ( ,( ))
2 2
2 4
3
I P
a b c a b c
d R
a b c
+ + − − −
⇔ = = ⇔ =
+ +
2 2
3
3
a b c
a b c
− − −
⇔ =
+ + (2) Thay c từ pt (1) vào pt (2), ta có:
2 2 2 2
2 2
3
9
2
3 3
4
3
a b a b
a a b a b ab a ab b
a b a b
− − − +
= ⇔ = + + + − ⇔ − + =
+ + −
Chọn ( )
( )
2
1
1 : 2 18
1 2
2 : 2 19
a c P x y z
b a a
a c P x y z
= ⇒ = ⇒ + + − =
= ⇒ − + = ⇒
= ⇒ = ⇒ + + − =
Vậy mp (P) cần tìm là: ( )
( )
: 2 18 : 2 19
P x y z
P x y z
+ + − =
+ + − =
(7)Câu VIIa
Số phức z có dạng: z= +a bi a b( , ∈R)
Phương trình ( )(1 ) 2
a bi
a bi i a b
i
− −
⇔ + + + + = +
−
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2 2
1
1
2
2 1
3
0
3 20
3
3
3
10 10 10 10
− − +
⇔ − + + + + + = +
⇔ − + + + + + + − + − − = +
⇔ − + + + + = +
− + = + + = = ⇒ = − ⇒ = −
⇔ ⇔ ⇒
= − ⇒ = − ⇒ = − − = − −
+ + =
a bi i
a b a b i a b
a b a b i a b a b i a b
a b a b i a b
a b z i
a b a b a a
a b z i
b a
a b
Vậy số phức cần tìm là: 10 10
z= − ∨ = −i z − i Câu VIb 1/ ðường tròn (C) có tâm I( )2;1 , bán kính R=
Theo đề AB= 10 =R ⇒ ∆IABvng cân I ⇒ tứ giác IAMB hình vng 10
IM AB
⇒ = = ( ) ( ) (2 )2
1 : 10
M C x y
⇒ ∈ − + − =
Mặt khác M∈ ∆: 5x−2y−19 0= ⇒ Tọa ñộ M nghiệm hpt:
( ) ( ) ( )
2
2 2 21 10
2 10 2 2
5 19 19
2
− + − =
− + − =
⇔
− − =
= −
x x
x y
x y
y x
( )
139
3 139 72
29 ; 3; 2
72 29 29
29
x
x
M M
y y
=
=
∨ ⇒ ∨ −
= −
=
Gọi I1là tâm đường trịn ngoại tiếp ∆MAB⇒I1 trung ñiểm ñoạn MI đường trịn có bán kính 10
2
AB
=
• Với
139 72 197 101
; ;
29 29 58 58
M ⇒I
ðường trịn ngoại tiếp ∆MAB có phương trình:
( )2 2
197 101
:
58 58
C x− +y− =
• Với (3; 2) 1 5; 2
M − ⇒I −
.ðường tròn ngoại tiếp ∆MAB có phương trình:
( )3 2
5
:
2 2
C x− +y+ =
Vậy đường trịn ngoại tiếp ∆MAB cần tìm là:
( ) ( )
2
2
2
3
197 101
:
58 58
5
:
2 2
C x y
C x y
− + − =
− + + =
2/ Gọi a∆(a b c; ; )
là VTCP ñường thẳng ∆ ðường thẳng chứa trục Ox có VTCP a1(1; 0;0)
Mặt cầu (S) có tâm I(−1;1;0)và bán kính R=3
(8)Ta có IA=(2; 1; 2− − )
Mp( )β qua A nhận IA=(2; 1; 2− − )
làm PVT
( ) (β : x 1) y 2(z 2) ( )β : 2x y 2z
⇒ − − − + = ⇔ − − − =
ðường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇒ ∆ ∈( )β ⇒a IA∆ =0 2a b 2c b 2a 2c
⇔ − − = ⇒ = − (1)
Mặt khác ∆ tạo với Ox góc 1
1
cos
3 10
a a
a a
α α ∆
∆
⇒ = =
2 2 2 2
2 2
1
90 89
3 10
a
a a b c a b c
a b c
⇔ = ⇔ = + + ⇔ − − =
+ + (2)
Thay (1) vào (2) ta có: ( )2 2 89a −4 a c− −c = ⇔0 85a +8ac−5c =0
Chọn
1
5
1 85
5 44
17 17
a b
c a a
a b
= ⇒ = −
= ⇒ + − = ⇒
= − ⇒ = −
Vậy phương trình đườngthẳng ∆ cần tìm là:
1
1
5 17
8 44
: :
5 17
2
x t x t
y t y t
z t z t
= + = −
∆ = − ∨ ∆ = −
= − + = − +
Câu VIIb
Số phức z có dạng z= +a bi (a b, ∈R)
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
a b i a bi
a b i a b a b a b i
z i
z a bi a b a b
+ − − −
+ − + − − − + −
−
⇔ = = =
− − + − + − +
Theo ñề 2
z i
z
−
− số ảo ( )
2 2
2 2
a b a b a b a b
⇒ + − − = ⇒ + = + ,(a b+ ≥0)
Ta có
( ) ( )2 ( )2 ( )
2 2 2
2
2
8
a b a b a b a b a b
a b
+ = + ⇔ + = + ≤ +
⇒ + ≤
Ta lại có ( )2 2 ( )2
1 1
T = − + − =z z i a− +b + a + b−
( ) ( )
( 2)2 ( )2 ( )2 ( )
2 2 2 2
1 1 2 20
2
2 2
T a b a b a b a b a b
T
MaxT a b z i
⇒ = − + + + − ≤ − + + + − = + + ≤
⇒ ≤