Là những phương trình bậc nhất hay bậc hai đối với một hàm sinx, cosx, tanx hay cotx.. Phương pháp: Đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc nhất hay bậc 2 với t1[r]
(1)Lượng giác Phần 1: Hàm số lượng giác
A Kiến thức cần nhớ
1 Các đẳng thức a) sin2x
+cos2x=1 b) tanx=cossinxx c) cotx=cossinxx d) 1+tan2x=
cos2x e) 1+cot
2
x=
sin2x f)
tanx cotx=1
2 Giá trị hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt
a) Hai cung đối b) Hai cung bù c) Hai cung khác
π
cos(− x)=cosx
sin(− x)=−sinx
tan(− x)=−tanx
cot(− x)=−cotx
sin(π − x)=sinx
cos(π − x)=−cosx
tan(π − x)=−tanx
cot(π − x)=−cotx
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
tan(x+2π)=tanx
cot(x+2π)=cotx
d) Hai cung khác π e) Hai cung phụ sin(π+x)=−sinx
cos(π+x)=−cosx
tan(π+x)=tanx
cot(π+x)=cotx
sin(π
2− x)=cosx ; cos(
π
2− x)=sinx tan(π
2− x)=cotx ; cot(
π
2− x)=tanx B Bài tập
1 Tìm giá trị α để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ A=
1+sinα ; B=
1 1−cosα Xét dấu biểu thức sau:
a) sin 123o−sin 132o b) cot 304o−cot 316o Rút gọn biểu thức sau:
a) tan 540o
+2 cos 1170o+4 sin 990o−3 cos540o b) sin25π
6 −3 tan 13π
4 +2 cos 19π
3 c) sin215o+sin235o+sin255o+sin275o
d) cos215o+cos235o+cos255o+cos275o e) sin2 π
12+sin 23π
12 +sin 25π
12 +sin 27π
12 +sin 29π
12 +sin 211π
12 f) cos2 π
12+cos 23π
12 +cos 25π
12 +cos 27π
12 +cos 29π
12 +cos 211π
12 g) sin(π+a)−cos(π
2+a)+cot(2π − a)+tan( 3π
2 +a) h) A=sin4a+cos2a+sin2a cos2a
i) B=(
sina 2+cos
a 2)
2 −1 tana
2−sin a cos
a j) C=cos
2696o
+tan(−260o) tan 530o−cos2156 tan2252o
(2)k) [tan17π +tan(
7π − b)]
2
+[cot13π
4 +cot(7π − b)]
l) (√1−sinx 1+sinx −√
1+sinx
1−sinx)(√
1−cosx 1+cosx−√
1+cosx
1−cosx) m) sin3a
(1+cota)+cos3a(1+tana)
n) tantanbb
+cotb
o) 1−cos
a −sin4a cos4a
p)
sin(x − π) cos(x −2π) sin(2π − x)
sin(π
2− x) cot(π − x) cot( 3π
2 +x) q) [sin(π
2− x)+sin(π − x)]
+[cos(3π
2 − x)+cos(2π − x)]
r) sin(π
3− a) tan( 2π
3 +a) cos( 5π
3 +a)+tan(π+a) tan( 3π
2 − a) s) cot(5,5π −a)+tan(b −4π)
cot(a−6π)−tan(b −3,5π)
t) tan 50o tan 190o tan 250o tan 260o tan 400o tan 700o Cho A, B, C ba góc tam giác ABC Chứng minh:
a) sin(A+B)=sinC; cos(B+C)=-cosA c) tan(A+C)=−tanB ; cot(A+B)=-cotC
b) sin A+B =cos
C ; cos
B+C
2 =sin A
2 d) tan
A+C
2 =cot B 2; cot
A+B
2 =tan C Tìm giá trị lớn hàm số: y= 2+cosx
sinx+cosx −2
6 Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số khoảng − π<x<π : y=cosx+2 sinx+3
2 cosx −sinx+4
7 Gọi a, b, c cạnh đối diện với góc tương ứng tam giác ABC a) Cho sin2B+sin2C=2 sin2A Chứng minh A ≤60o
b) 2(acosA+bcosB+ccosC)=a+b+c⇒ΔABC
c) Chứng minh: 0<sinA+sinB+sin C-sinA sinB-sinB sinC-sinC sinA<1 Phần 2: Các công thức lượng giác
I Công thức cộng
A Kiến thức cần nhớ
¿
1(a ± b)=sinacosb ±sinbcosa¿2¿cos(a ± b)=cosacosb∓sinasinb¿ 3¿tan(a ±b)=tana ±tanb
1∓tanatanb
B Bài tập
1 Chứng minh công thức sau: a) cosa+sina=√2 cos(π
4− a)=√2 sin( π 4+a) b) cosa −sina=√2 cos(π
4+a)=√2 sin( π 4− a) Rút gọn biểu thức:
a)
√2cosa −2 cos(π 4+a) −√2sina+2sin(π
4+a)
b) cos 10o+cos 11o cos 21o+cos 69o cos 79o
(3)3 Chứng minh tam giác ABC ta có: a) tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC b)
tan A tan
B 2+tan
B tan
C 2+tan
C tan
A 2=1
c) cotA.cotB+cotB.cotC+cotC cotA=1 d) cot A
2+cot B 2+cot
C 2=cot
A cot
B cot
C a) Cho a −b=π
4 , chứng minh:
1+tanb
1−tanb=tana
1−tana
1+tana=−tanb
b) Cho a+b=π
4 , chứng minh: (1+tana)(1+tanb)=2 (1−cota)(1−cotb)=2 c) Cho tan(x+a)=m
tan(a − y)=n Chứngminh: tan(x+y)=
a −b 1+ab
d) Cho tana=2
5 , tanb=
7 (0<a, b<1v) Tìm a + b e) Cho tana=−1
2 (
π
2<a<π) tanb=3 (0<b< π
2) Tìm a + b f) Cho tana=12
3 , tanb=
4 (0<a, b<1v) Tìm a - b g) Cho tana=
12 , tanb=
5 , tanb=
3 Chứng minh a + b + c = 45o Tìm giá trị hàm số lượng giác góc: 15o π
12 75o 5π 12 Cho α , β, γ thoả mãn điều kiện: α+β+γ=π
2 Tìm giá trị lớn biểu thức: A=√1+tanα tanβ+√1+tanβ tanγ+√1+tanγ tanα
7 Chứng minh góc tam giác A, B, C thoả mãn đẳng thức sau tam giác ABC cân:
a) cos 2A
+cos2B
sin2A
+sin2B =
1 2(cot
2
A+cot2B) b) sinsinBC=2 cosA
c) a+b=tan A
2 (atanA+btanB) d) tanA+2 tanB=tanA tan2B II Công thức nhân đôi nhân ba.
A Lý thuyết cần nhớ
sin 2a=2 sinacosa
cos 2a=cos2a −sin2a=1−2 sin2a=2 co \{s2a−1
tan 2a= tana
1−tan2asin 3a=3 sina −4 sin
acos 3a=4 cos3a −3 cosa
B Bài tập
1 Rút gọn biểu thức sau: a) sin(
π
4− a) sin( π 4+a) sin 3acosa −cos 3asina
b) tan 2π
8 −1 tanπ/8
c) cos 20o cos 40o cos 80o d) 2 sinacosa
(cos2a −sin2a)
e) cos4a −6 sin2acos2a
+sin4a f) cos2a −4 sin2a2cos2a2
g) 1−8 sin2acos2a h) cos 10ocos 20ocos 40o i) sin3acos 3a
+4 cos3asin 3a j) sin44a+sin22a k) cosπ
5cos 2π
5 l) cos 20ocos 40ocos 60ocos 80o
(4)n) sin
a+sin 3a
cos3a −cos 3a o)
cosa −cos 3a sina+sin 3a
2 Chứng minh: a) sinasin(π
3− a)sin( π 3+a)=
1
4sin 3a Áp dụng với a= π b) sin318
+8 sin218=1 c) 8+4 tanπ
8+2 tan π 16+tan
π 32=cot
π 32 d) tan236otan272o=5
e) cosacos(π
3−a)cos( π 3+a)=
1
4cos 3a Tính: cos π 18 cos
5π 18 cos
7π 18 f) tan 3a=3 tana −tan
3 a 1−3 tan2a g) tanatan(π
3− a)tan( π
3+a)=tan 3a Chứng minh: tan o
tan 54otan66o= √5−1
√10+2√5 a) Cho sinα=2√ab
a+b (a ,b>0) Tìm sin 2α , cos2α , tan 2α
b) Cho cosα= 2a
1+a2 Tìm sin 2α , cos 2α , tan 2α
c) Cho sinα+cosα=5
4 Tìm sin 2α , cos2α , tan 2α Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số sau:
a) y=sin(x+π
4)sin(x − π
4) b) y=cos4x −sin4x c)
y=1−8 sin2xcos2x
III Công thức hạ bậc Công thức viết hàm lượng giác theo t=tana
2 .
A Lý thuyết cần nhớ
1+cos 2a=2 cos2a
1−cos 2a=2sin2a sina=
2t
1+t2 cosa=
1− t2 1+t2
tana= 2t
1− t2
B Bài tập
1 Chứng minh biểu thức sau: a) sina −sin2a
2 sina+sin 2a=tan
2a
2 b)
1−sin 2a+cos 2a
1+sin 2a+cos 2a=tan(
π 4− a) c)
cosa+cosb¿2=4 cos2a+b
2 sina+sinb¿2+¿
¿
d) tana 2=cot
a
2−2 cota e) 11−+sinsinaa=cot2(π
4− a
2) f) tan 7o30'=(√3−√2)(√2−1) g) sina(sina+sinb)+cosa(cosa+cosb)=2 cos2a −b
2 h)
cosa −cosb¿2=4 sin2a −b
2 sina −sinb¿2+¿
¿
i) sin( π 4+
a 2)
√1−sina − sin(π
4− a 2)
√1+sina
(5)2 Rút gọn biểu thức sau: a) √1
2+ 2√
1 2+
1
2cosα (0<α ≤ π) b) √ 2−
1 2√
1 2+
1
2cosα (0<α ≤ π) c)
2cota 1+cot2a
2
d) cota
2−tan a cota
4+tan a e)
tana 1+tana
2
+
tana 1−tana
2
f)
1 1−tana
2
−
1+tana
2 g) 1−cosα+cos 2α
sin 2α −sinα h)
sin 2α 1+cos 2α
cosα 1+cosα
3 Tìm giá trị biểu thức a) sina
3−2cosa biết tan a
2=2 b)
tana+sina
tana −sina Biết tan a 2=
2 15 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số:
a) y=2 cos 2x+sin2x b) y=2 sin2x −cos 2x c)
sinx −cosx¿2
y=sin2(π
4− x)+¿
IV Công thức biến đổi tổng tích
A Lý thuyết cần nhớ
1 Cơng thức biến đổi tích thành tổng sinacosb=1
2[sin(a+b)+sin(a− b)] cosacosb=1
2[cos(a+b)+cos(a− b)] sinasinb=1
2[cos(a− b)−cos(a+b)] Công thức biến đổi tổng thành tích
sina+sinb=2 sin a+b
2 cos a − b
2 sina −sinb=2 cosa+b
2 sin a − b
2 cosa+cosb=2 cosa+b
2 cos a − b
2 cosa −cosb=−2 sina+b
2 sin a −b
2
tana+tanb=sin(a+b)
cosacosb tana −tanb=sin(a− b)
cosacosb cota+cotb=sin(a+b)
sinasinb cota −cotb=−sin(a − b)
sinasinb
B Bài tập
1 Rút gọn biếu thức
a) cosa+cos(a+b)+cos(a+2b)+ +cos(a+nb)(n∈N)
b) cossinaa −cos 3a+cos5a−cos7a
+sin 3a+sin5a+sin 7a c)
cosa+2cos 2a+cos 3a
sina+sin 2a+sin 3a
d)
cosa −
cos(2a −π
6)−cos(2a+ π 6) 2cosa
e)
cos(a+π
3)+cos(a − π 3) cota −cota
(6)f) cos 2acos2a −
4cos 4a−
2cos 2a g) cos23+cos21−cos cos h) sin 1o+sin 91o+2 sin 203o(sin 112o+sin 158o)
i) cos 35o
+cos125o+2 sin 185o(sin 130o+sin 140o)
j) sin 20osin 40osin 60osin 80o k) tan 20otan 40otan 60otan 80o Chứng minh:
a) sin 20osin 40osin 60osin 80o=
16
b) sina+sin 3a+sin5a+ +sin(2n −1)a
cosa+cos 3a+cos 5a+ +cos(2n−1)a=tan na
c) sina+sin 2a+sin 3a+ +sin na= sinna
2 sin
(n+1)a sina
2 d) cosa+cos 2a+cos 3a+ +cos na=
sinna cos
(n+1)a
2 sina
2 Chứng minh tam giác ABC ta có: a) sinA+sinB+sinC=4 cos A
2 cos B cos
C b) cosA+cosB+cosC=1+4 sin A
2 sin B
2sin C
2 c) sin2A
+sin2B+sin2C=2(1+cosAcosBcosC)
d) cos2A+cos2B+cos2C=1−2 cosAcosBcosC
e) sinA+sinB−sinC=4 sin A
2 sin B 2cos
C f) cosA+cosB −cosC=4 cos A
2 cos B sin
C 2−1 g) sin 2A+sin 2B+sin 2C=4 sinAsinBsinC
h) cos 2A+cos 2B+cos 2C=−1−4 cosAcosBcosC i) sin2A+sin2B −sin2C=2 sinAsinBcosC
4 Chứng minh bất đẳng thức: sinx+y ≥
1
2(sinx+siny) với 0<x , y<π Tính giá trị biểu thức sau:
a) sin4 π 16+sin
43π 16 +sin
45π 16 +sin
47π
16 b) tan 67o5' −cot 67o5'+cot 7o5' −tan 7o5' c) cos 5ocos 55ocos 65o d) cos π
11+cos 3π 11 +cos
5π 11 +cos
7π 11 +cos
9π 11 Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
a) √4 sin4x+sin22x+4 cos2(π
4− x
2) với π<x< 3π
2 b) cos4x+cos22x −4 cos2xcos 2x
c) cos2x
+cos2(π
3+x)+cos
(π3− x) d) sin2x
+sin2(2π
3 +x)+sin
(23π− x)
7 Điều kiện cần đủ để tam giác vuông A là: sinA=sinB+sinC
(7)8 Chứng minh góc ΔABC thoả mãn: cosA+cosB+cosC=3
2 tam giác
9 Chứng minh cạnh góc ΔABC thoả mãn hệ thức: cosA+cosB=b+c
a tam giác tam giác vng
10 Cho tam giác ABC tan A tan
B
2=1 Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b) Phần 3: Phương trình lượng giác
I Phương trình lượng giác bản
A Lý thuyết cần nhớ
1 Phương trình: sinx=sinα⇔ x=α+k2π
x=π − α+k2π Phương trình: cosx=cosα⇔
x=± α+k2π
2 Phương trình: tanx=tanα⇔α+kπ Phương trình: cotx=cotα⇔α+kπ
B Bài tập
1 Giải phương trình sau: a) sin(3x −π
6)=
√3
2 b) sin(3x - 2) = -1 c) √2cos(2x −
π 5)=1 d) cos(3x - 15o) = cos150o e) tan(2x + 3) = tanπ
3 f) cot(45o - x) = √ 3 g) sin3x - cos2x = h) sin(x+2π
3 )=cos 3x i) sin(3x − 5π
6 )+cos(3x+ π 4)=0 j) cosx
2=−cos(2x −30 o
) k) cos2x = cosx l) sin(π
4+x)=sin(2x − π 4) m) sin(x − π
12)=1 n) sin(12x+ π 6)=
1
2 o) cos(6x+
π 2)=√
3 p) cos(π −5x)=−1 q) tan(3π −6x)=1 r) tan(x −6π)=√3 s) tan(π
4−2x)=
√3 t) cot(
5π
6 +12x)=√3 u) cot( 12π
7 −5x)=
√3 v) sin(12π −3x)=√2
2 w) cos(2x − a)=sin 3x x) sin(3x − b)=cos 5x
y) tan(π
4− x)=cot( 5π
6 +x) z) cot(3π − x)=tan( 7π 12 +7x) II Phương trình bậc hàm số lượng giác
A Lý thuyết cần nhớ
Là phương trình bậc hay bậc hai hàm sinx, cosx, tanx hay cotx Phương pháp: Đặt ẩn phụ t giải phương trình bậc hay bậc với t
B Bài tập
1 Giải phương trình sau:
a) sin22x+7 cos 2x −3=0 b) cos2x+5 sinx −7=0 c) cos2x −5 sinx −3=0
d) cos 2x+cosx+1=0 e) 6 sin23x+cos 12x=14 f) sin4x+12cos2x=7 g) sin2x −cosx=5
2 Giải phương trình lượng giác: a) cot2
(x+π
5)=1 b) tan
2
(2x −π 4)=3
c) tanx −4 cotx=12 d) cot2x+(√3−1)cotx −√3=0
III Phương trình bậc sinx cosx
A Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình: asinx+bcosx=c
(8)Cách giải: Chia hai vế phương trình cho √a2
+b2 đặt: cosα= a
√a2+b2 ; sinα= b
√a2
+b2
Đưa phương trình dạng: cosαsinx+sinαcosx=sinβ⇔sin(x+α)=sinβ Giải tìm x
B Bài tập
1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: a) y=(2−√3)sin 2x+cos 2x b) sinx −cosx¿
2
+2 cos 2x+3 sinxcosx
y=¿
c) y=(sinx −2 cosx)(2 sinx+cosx)−1 d) y=cosx+2 sinx+3
2 cosx −sinx+4
2 Giải phương trình sau:
a) sinx −3 cosx=5 b) cosx+2√3 sinx=9
2 c) sin 2x+2 cos 2x=3 d) sin2x+3 cos 2x=√13 sin 14x e) sinx −3 cosx=2 f) sinx −√3 cosx=1
3 Tìm giá trị x∈(−3π
4 ; π) thoả mãn phương trình sau với m:
m2sinx − msin2x − m2cosx+mcos2x=cosx −sinx Tìm giá trị α để phương trình:
a) (cosα+3 sinα −√3)x2+(√3cosα −3 sinα −2)x+sinα −cosα+√3=0 có nghiệm x =
b) (2 sinα −cos2α+1)x2−(√3 sinα)x+2cos2α −(3−√3)sinα=0 có nghiệm x = √3
5 Giải phương trình:
a) 12 cosx+5 sinx+
12 cosx+5 sinx+14+8=0
b) sinx −5 cosx¿2−13(4 sinx −5 cosx)+42=0
¿
c) cosx+4 sinx+
3 cosx+4 sinx+1=6
IV Phương trình sinx cosx
A Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình: asin2x
+bsinxcosx+ccos2x=d
- Nếu cosx = Thế vào phương trình thử nghiệm
- Nếu cosx ≠0 Chia vế phương trình cho cos2x tiến hành giải phương trình bậc hai tanx: (a − d)tan2x+btanx+c − d=0
B Bài tập
1 Giải phương trình sau: a) sin2x −2 sinxcosx −3 cos2x
=0 b) sin2x+sinxcosx −cos2x=2
c) sin 2x −2 sin2x=2cos 2x d) sin22x −2sin 2xcos 2x+cos22x=2
e) sinxcos(x −π
2)+4 sin(π+x)cosx+2 sin( 3π
2 − x)cos(π+x)=1 f) sin2x −4 sinxcosx+2 cos2x=1
2 Giải phương trình sau:
a) sin3x+4 cos3x=3 sinx b) sin2x
2cos( 3π
2 + x
2)+3 sin 2x
2cos x 2=sin
x 2cos
2 x 2+sin
2
(x2+ π 2)
3 Số đo độ góc tam giác vng ABC nghiệm phương trình: sin3x+sinxsin 2x −3 cos3x=0 Chứng minh tam giác ABC vng cân
V Phương trình đối xứng sinx cosx.
A Lý thuyết cần nhớ
(9)Cách giải: Đặt t=sinx ±cosx , ta có: ¿t∨≤√2 →t2=1±2 sinxcosx=1±sin 2x Thay vào phương trình giải t
B Bài tập
1 Giải phương trình sau:
a) cotx −tanx=sinx+cosx b) sinx+cotx=2 sin 2x+1
c) cos3x −sin3x
=−1 d) ¿sinx −cosx∨+4 sin 2x=1 e) 1+sin32x+cos32x=3
2sin 4x f) (1+cosx)(1+sinx)=2 VI Một số dạng phương trình lượng giác khác
1 Giải phương trình lượng giác sau: a) cos 2x+cos3x
4 −2=0 b) sin
4
x+cos4x
sin 2x =
1
2(tanx+cotx) c) cos2x+3 tan2x −4√3 cosx+2√3 tanx+4=0 d) √1+sinx+√1−sinx=2 cosx
e) sinxcos 4x −sin22x=4 sin2(π
4− x 2)−
7
2 f)
1
2tanx − cosx +
5 2=0
g) (4−6m)sin3x+3(2m−1)sinx+2(m−2)sin2xcosx −(4m−3)cosx=0 (Biện luận theo m)
h) 1−tan2x=2 tanxtan 2x i) sin 4x=2cos2x −1 j) cos4x −cos 4x=1 k) 1+cos2x+sinx=2cos22x
l) sin22x
+sin24x=3
2 m) tanx+tan 2x=sin 3xcosx n) tanx −3 cotx=4(sinx+√3 cosx) o) sin3x
+cos3x=cos 2x
p) sin 4x=tanx q) sin 4x −4 sinx −(cos 4x −4 cosx)=1
r) 3(cotx −cosx)−5(tanx −sinx)=2 s) cos 7x −√3sin 7x=−√2 t) tanx −2√2 sinx=1 u) cos3x=sin 3x
v) tan2x=1+cosx
1−sinx w) sin
6
x+cos6x=5
6(sin
x+cos4x)
x)
sin42x
+cos42x
tan(π
4− x)tan( π 4+x)
=cos44x
y)
sin6x
+cos6x
tan(π
4− x)tan( π 4+x)
=−1
4 z) cos 2x+sin2x+2 cosx+1=0
2 Giải phương trình lượng giác sau: a) 1−tanx
1+tanx=1+sin 2x b) 2√2 sin(
π 4+x)=
1 cosx +
1 sinx c) sinx+6 cosx −3sin 2x+cos 2x=8 d) cos2x −cos 4x¿2=6+2sin 3x
¿
e) sin 5x
5 sinx=1 f)
cosxcosx 2cos
3x
2 −sinxsin x 2sin
3x =
1 g) sin24x −cos26x
=sin(10,5π+10x) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;π2)
h) sin8x
+cos8x=2(sin10x+cos10x)+5
4cos 2x i) √3 sin2x −2cos2x=2√2+2 cos 2x j) sin2x+sin22x+sin23x=3
2 k) √3 sinx+cosx=
1 cosx l) cot 2x
=tan 2x+2 tan 2x+1 m) cosx+√2 sin 10x=3√2+2 cos 28xsinx
n) sin 2x+2 cos 2x=1+sinx −4 cosx o) sin 2x+2 tanx=3
p) (√1−cosx+√cosx)cos2x=1
2sin 4x q)
1
tanx+cot 2x=
√2(cosx −sinx)
(10)r) sin3(π
4+x)=√2 sinx s) 8√2cos6x+2√2sin3xsin3x −6√2cos4x −1=0
t) cos3x+sin3x=sin 2x+sinx+cosx u) 3−4 cos2x=sinx(2 sinx+1)
v) 4√3 sinxcosxcos 2x=sin 8x w)
tan2xcot22xcot 3x
=tan2x −cot22x+cot 3x x) cos
4x −cos
2 x
√1−tan2x =0
y) sin(3x −π
4)=sin 2xsin( π 4+x) z) sinx+cosx=cos 2x
3 Giải phương trình lượng giác sau:
a) 9cotx+3cotx−2=0 b) cos2x+sinx+1=0
c) sin 3x+2 cos 2x −2=0 d) sin 3x −sinx+sin 2x=0 e) cos 2x+3 cosx+2=0 f) 3 cos 4x −2 cos23x=1
g) 1+3 cosx+cos 2x=cos 3x+2sinxsin2x h) tanx+tan 2x=−sin 3xcos2x
i) tan2x=1+cosx
cosx j) 1+sin
3
2x+cos32x=3
2sin 4x k) tanx+cotx=2(sin 2x+cos2x) l) 2√2(sinx+cosx)cosx=3+cos 2x
m) sin4x+sin4(x −π
4)+sin
(x+π
4)=
8 n)
sin 2x
1+sinx+2cosx=0
o) cos3x+sinx −3 sin2xcosx=0 p) sin3x+cos 2x=sinx
q) √3−cosx −√1+cosx=2 r) sinxcosx+2 sinx+2 cosx=2
s) cosxcos 2xcos 4xcos8x=
16 t) sin2x+sin23x=cos22x+cos24x u) sin 3x(cosx −2sin 3x)+cos 3x(1+sinx −2 cos 3x)=0
v) tan3x −tanx
+3(1+sinx)
cos2x −8 cos
(π4 − x 2)=0
w) cos3x=sin 3x x) cos 2x −√3 sin 2x −√3 sinx −cosx+4=0
y) cos 2x=cos2x√1+tanx z) cot2x+2√2sin2x=(2+3√2)cosx
4 Giải phương trình sau:
a) tanx −sin 2x −cos 2x+2(2 cosx −
cosx)=0 b) 4(sin 3x −cos 2x)=5(sinx −1) c) cos 2x+sin2xcosx+sinxcos2x=2(sinx+cosx)
d) tanxsin2x −2 sin2x
=3(cos 2x+sinxcosx) e) sin 2x(cotx+tan2x)=4 cos2x
f) 48− cos4x −
2
sin2x(1+cot 2xcotx)=0 g) sin6x+cos6x=cos 4x h) cos3x+cos2x+2sinx −2=0 i) 2+cosx=2 tan2x
j) cos 3x+√2−cos23x=2(1+sin22x) k) sinx+sin2x+sin 3x=0
l) cotx −tanx=sinx+cosx m) sin 3x+cos 2x=1+2 sinxcos 2x
n) cos 2x −8 cosx+7=
cosx o) cos 3xcos
3x −sin 3xsin3x
=cos34x+1
4 p) sinx+6 cosx −3sin 2x+cos 2x=8 q) sin3xcos 3x+cos3xsin3x=sin34x r) sinx+sin2x+sin3x+sin4x=cosx+cos2x+cos3x+cos4x
s) sin2x −sinxcosx −cos2x=−1 t) sin
2x+cos42x −1
√sinxcosx =0
u) sin3x −cos 2x
+cosx=0 v) 1+cos3x −sin3x=sin 2x w) 1+cosx+cos 2x+cos3x=0 x) cosx+cos 2x+cos 3x+cos 4x=0
(11)a) 2+cos 2x=−5 sinx b) sin3x+cos3x=2(sin5x+cos5x)
c) sin2x=cos22x+cos23x d) cos3(x+π3)=cos 3x
e) ¿sinx −cosx∨+¿sinx+cosx∨¿2 f) sinx+cotx=2 sin 2x+1
g) cos6x −sin6x=13
8 cos
2x h) 1+3 tanx=2 sin 2x i) sin 3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x) j) 9sin2x+9cos
2
x
=10
k) cos3x
+3√2 sin 2x=8 cosx l) 1−x
2 =cosx m) sin3(x+π
4)=√2 sinx n)
sin 3x
3 =
sin 5x VII Hệ phương trình lượng giác
1 Giải hệ phương trình lượng giác sau: a)
tanxtany=1
3 x+y=π
3
b) sinxcosy= tanx=tany
c)
x+y+z=π
tanxtany=3
tanytanz=6
d) sinx+siny=√2
cosx+cosy=√2 e)
sin2x=cosxcosy
cos2x=sinxsiny f)
tany −tanx −tanxtany=1
cos 2y+√3cos 2x=−1
g)
tanx+cotx=2 sin(π
4+y) tany+coty=2sin(x −π
4)
h)
sinx+cosy=√3
2 cos2x+sin2y=5
4 VIII Các dạng tập khác
1 Tìm tất nghiệm phương trình 1−5 sinx+2 cos2x=0 thoả mãn cosx ≥0 Tìm giá trị lớn hàm số y=sinx√cosx+cosx√sinx
3 Chứng minh tam giác ABC có ba góc thoả mãn: sin2A
+sin2B+sin2C=m Nếu m =
tam giác ABC vng, m > ba góc A, B, C nhọn m < tam giác có góc tù Cho góc tam giác ABC thoả mãn: sinA+sinB+sinC −2 sin A
2 sin B 2=2 sin
C
2 Chứng minh số đo góc C 120o.
5 Hai góc tam giác ABC thoả mãn điều kiện: tan A 2+tan
B
2=1 Chứng minh rằng:
4≤tan C
2<1
6 Biện luận theo tham số a số nghiệm PT: √2− x2sinx+√2+x2cosx=¿a+1∨+¿a −1∨¿
7 Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC có hệ thức:
sinA + sinB+
1
sinC −(cotA+cotB+cotC)=√3
8 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện: cos 2A+cos 2B+cos 2C+1=0 tam
giác tam giác vng
9 CMR: Trong tam giác có: (b2+c2)sin(C − B)=(c2− b2)sin(C+B) tam giác vng
cân
10 Tìm giá trị lớn hàm số: y=5 cosx −cos 5x [−π
4; π 4] 11 Cho phương trình: msinx −2
m−2 cosx=
mcosx −2 m−2sinx a) Giải phương trình m =
b) Khi m≠0 m≠ ±√2 , phương trình có nghiệm nằm đoạn [20π ,30π] 12 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 2b=a+c⇔cot A
2cot C
(12)13 Cho tam giác ABC có: tan A tan
B
2=1 Chứng minh rằng: 3c=2(a+b) 14 Tìm giá trị nhỏ hàm số sau: f(x)=2 sin2x+4 sinxcosx+√5
15 Tìm giá trị x∈(0,2π) cho cosx −sinx −cos 2x>0
16 Tìm t để phương trình sau có nghiệm x∈[0, π] : sinx+1 sinx+2 =t
17 Cho tam giác ABC Chứng minh: cotA+cotB+cotC=a
2
+b2+c2
4S
18 Chứng minh với 0<x<π
2 thì: 22 sinx+2tanx>2 2x+1 19 Cho tam giác ABC thoả mãn: acosA+bcosB+ccosC
a+b+c =
1
2 Chứng minh tam giác ABC 20 Tìm giá trị lớn hàm số: y=2(1+sin 2xcos 4x)−1
2(cos 4x −cos 8x) 21 Giải phương trình sau: 9cotx
+3cotx−2=0
22 Cho tam giác ABC thoả mãn: cosbB+ c
cosC= a
sinBsinC Chứng minh tam giác ABC vuông 23 Cho tam giác ABC, chứng minh ta ln ln có: cosA+cosB+cosC>1
24 Chứng minh tam giác ABC vuông cân
acosB −bcosA=asinA − bsinB
25 Chứng minh tam giác ABC có: tanA+tanB=2 cotC
2 tam giác ABC cân 26 Tìm giá trị lớn bé hàm số đoạn: y=sinx −cos2x+1
2 27 Cho y=sin25x Tính y(n)
28 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y=1+ 3sinx
2+cosx
29 Tìm giá trị lớn bé hàm số: y=sin 2x
1+x2+cos
4x 1+x2+1
30 Xác định m để phương trình sau có nghiệm (0;π
4) : mcos22x −4 sinxcosx+m−2=0 31 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P=cot4a+cot4b+2 tan2atan2b+2
32 Với giá trị a phương trình: 1+sin2na=cosx có nghiệm
33 Tìm m để bất phương trình: sin2x −mcosx −3≤0 nghiệm ∀x∈
(0;π 2) 34 Tính góc tam giác ABC góc thoả mãn: cos 2A+√3(cos 2B+cos 2C)+5
2=0 35 Cho tam giác ABC thoả mãn: atanA+btanB=(a+b)tan A+B
2 Chứng minh tam giác ABC cân 36 Chứng minh tam giác ABC tù cos2A+cos2B+cos2C>1
37 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn cosB+cosC=b+c
a tam giác ABC vng 38 Cho phương trình: cos3x+sin3x=ksinxcosx
a) Giải phương trình với k=√2
b) Với giá trị k phương trình có nghiệm
39 Giải biện luận phương trình: 2m(cosx+sinx)=2m2+cosx −sinx+3
2 40 Cho phương trình: cos 2x=m(cos2x)√1+tanx
a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có nghiệm đoạn 41 Chứng minh ∀x∈(0;π
2) ta có: cosx+sinx+tanx+cotx+ sinx +
(13)42 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y=sin20x+cos20x 43 Chứng minh cot A
2 ,cot B ,cot
C
2 theo thứ tự lập thành 1cấp số cộng cot A
2 cot C
2=3
44 Tìm giá trị nhỏ hàm số: y=
sinx+
cosx với x∈(0; π 2) 45 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn a+b=tanC