TOAN DAY SO

[r]

TỐN DÃY SỐ

Bµi Tính giá trị biểu thức A =

1 1

1.2 2.3 3.4   (n1).n Lêi gi¶i

Ta cã: A =

1 1 1

1 2 n n

     

     

     



     sau bá dÊu ngc ta cã:

A =

1

1 n

n n

  

Nhận xét: Ta thấy giá trị tử không thay đổi chúng hiệu hai thừa số mẫu Mỗi số hạng có dạng:

1

( )

m

b b m  b b m (HiÖu hai thõa sè ë mÉu lu«n b»ng

giá trị tử phân số ln viết đợc dới dạng hiệu hai phân số khác với mẫu tơng ứng) Nên ta có tổng với đặc điểm: số hạng liên tiếp đối (số trừ nhóm trớc số bị trừ nhóm sau liên tiếp), nh số hạng tổng đợc khử liên tiếp, đến tổng số hạng đầu số hạng cuối, lúc ta thực phép tính đơn giản

Bài Tính giá trị biểu thức B =

4 4

3.7 7.11 11.15   95.99 B =

4 4

3.7 7.11 11.15 95.99

 

   

 

 

vận dụng cách làm phần nhận xét, ta có: - = (đúng tử) nên ta có: B =

1 1 1 1

3 7 11 11 15 95 99

 

       

 

 =

1 32 99 99 Bài Tính giá trị biểu thức C =

2 2

7 7

2.9 9.16 16.23   65.72

NhËn xÐt: Ta thÊy: - = 72 tử nên ta ¸p dơng c¸ch lµm cđa c¸c

bài (ở tử chứa 72), giữ nguyên phân số ta khơng thể tách đợc

thành hiệu phân số khác để rút gọn tổng đợc Mặt khác ta thấy:

7 1 2.9 2 9, vì để giải đợc vấn đề ta phải đặt làm thừa số chung dấu ngoặc, thực bên ngoặc đơn giản

Vậy ta biến đổi: C=

7 7

7

2.9 9.16 16.23 65.72

 

   

 

 

=

1 1 1 1

7

2 9 16 16 23 65 72

 

       

 

  =

1 35 29

7

2 72 72 72

 

  

 

Bài Tính giá trị biểu thøc D =

3 3

1.3 3.5 5.7   49.51

Lêi gi¶i

Ta lại thấy: - = ≠ tử phân số tổng nên cách ta đa đa vào thay

Ta cã: D =

2 3 3

2 1.3 3.5 5.7 49.51

 

   

 

 =

3 2 2

2 1.3 3.5 5.7 49.51

 

   

 

=

3 1 1 1 1

2 3 5 49 51

 

       

 

  =

3 1 50 25 51 51 17

 

  

 

  

Bµi TÝnh giá trị biểu thức E =

1 1 1

7 91 247 475 775 1147    

Lêi gi¶i

Ta thÊy: = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 247 = 13.19 ; 475 = 19.25 775 = 25.31 ; 1147 = 31.37

Tơng tự tập ta có: E =

1 6 6 6

6 1.7 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37

 

    

 

 =

=

1 1 1 1 1 1 1

6 7 13 13 19 19 25 25 31 31 37

 

          

 

 =

1 1 36

1

6 37 37 37

 

    

Bài (Đề thi chọn HSG Toán - TX Hà Đông - Hà Tây ( Năm học 2002 - 2003)

So sánh: A =

2 2

60.63 63.66  117.120 2003 vµ B =

5 5

40.44 44.48 76.80 2003

Lời giải

Lại ¸p dơng c¸ch lµm ë bµi 4; ta cã: A=

2 3

3 60.63 63.66 117.120 2003

 

   

 

  =

2 1 1 1

3 60 63 63 66 117 200 2003

 

      

 

 

=

2 1 2

3 60 120 2003 120 2003

 

    

 

  =

1

180 2003 Tơng tự cách làm trªn ta cã:

B =

5 1 5 5

4 40 80 2003 80 2003 64 2003

 

      

 

 

Ta l¹i cã: 2A =

1 2 4

2

180 2003 180 2003 90 2003

 

    

 



Từ ta thấy B > 2A hiển nhiên B > A Bài (Đề thi chọn HSG Toán năm học 1985 - 1986)

So sánh hai biểu thức A B: A =

1 1

124

1.1985 2.1986 3.1987 16.2000

 

   

 

 

B =

1 1

1.17 2.18 3.19   1984.2000

Lêi gi¶i

Ta cã: A =

124 1 1 1

1984 1985 1986 1987 16 2000

 

       

 

 =

=

1 1 1

16 16 1985 1986 2000

   

      

   

 

   

 

Cßn B =

1 1 1

16 17 18 1984 2000

 

     

 

 

 

=

1 1 1

16 1984 17 18 2000

   

      

   

 

   

  =

1 1 1 1 1 1

16 16 17 18 1984 17 18 1984 1985 2000

     

             

     

 

     

 

=

1 1 1

1

16 16 1985 1986 2000

   

      

   

 

   

  VËy A = B

Bµi Chøng tá r»ng:  

2

1 1 1

5 13 25   n  n1 2

víi mäi n  N

Lêi gi¶i

Ta áp dụng cách làm tập trên, mà ta thấy:

1 2

; ;

52.4 134.6 256.8 ta phải so sánh: 2 ( 1)

n  n víi:

2 (2n n1) ThËt vËy: 2

1 ( 1)

n  n = 2

1

( 1) 2

n  n  n  n cßn

2 1

2 (2n n2)n n(2 2) 2n 2n

nªn hiĨn nhiªn 2 ( 1)

n  n <

2

2 (2n n1)  n N.

VËy ta cã:  

2

1 1 2 2

5 13 25   n  n1 2.4 4.6 6.8   2 (2n n2)

Mµ:

2 1 1 1 1

; ;

2.4 2 4.6 4 6.8 6 (2n n2)2n 2n2 nªn:

2 2 1 1 1 1

2.4 4.6 6.8   2 (2n n2)  2 4 6 8    2n 2n2 =

1 1

2 2 n22 lµ hiĨn nhiªn víi mäi sè tù nhiªn n

VËy: 2

1 1 1 1 1 1

5 13 25   n (n1) 2 4 6 8     2n 2n2 hay

2

1 1 1

5 13 25  n (n1)

Bài Tính giá trị cđa biĨu thøc M =  

2

2

3

(1.2) (2.3) ( 1)

n n n



  

 Lêi gi¶i

Ta cã ngay: M = 2 2 2 2

1 1 1 1

1  2   (n1)  n n  (n1) =

2

2

1 ( 1) 1

( 1) ( 1)

n

n n

 

 

 

2

2 2

( 1)( 1) 1 ( 2)

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

n n n n n n n n

n n n n

       

   

   

Bµi 10 TÝnh giá trị biểu thức N =

1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5   n n( 1)(n2)

Lêi gi¶i

Ta cã: N =

1 2 2

2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n.( 1)(n 2)

 

   

 

 

=

1 1 1 1 1

2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 n n.( 1) (n 1)(n 2)

 

       

 

  

  =

1 1

2 (n 1)(n 2)

 



 

Bài 11 Tính giá trÞ cđa biĨu thøc: H =

1 1

1.2.3.4 2.3.4.5  (n1) (n n1)(n2)

Lêi gi¶i

Ta cã: H =

1 3

3 1.2.3.4 2.3.4.5 (n 1) .(n n 1).(n 2)

 

    

  

 

=

1 1 1 1

3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 (n 1) .(n n 1) n n.( 1).(n 2)

 

     

 

   

 

=

1 1

3 n n( 1)(n 2)

 



 

 

 

Bµi 12` Chøng minh r»ng P =

12 12 12 12

1.4.7 4.7.10 7.10.12   54.57.602

Lêi gi¶i

Ta cã: P =

6 6

2

1.4.7 4.7.10 7.10.13 54.57.60

 

   

 

 

=

1 1 1 1

2

1.4 4.7 4.7 7.10 7.10 10.13 54.57 57.60

 

       

 

 =

=

1 854 427 427

2

4 57.60 3420 855 854

 

     

 

  VËy P <

1 Bµi 13 Chøng minh r»ng S = 2 2

1 1

1

2 100

     

Lêi gi¶i

Ta thÊy: 2 2

1 1 1 1

; ;

2 1.2 2.3 3.4 100 99.100 áp dụng cách làm tập ta cã:

S <

1 1 1

1 1

1.2 2.3 3.4 99.100 100

        

hay S <

Nh vậy, phần ta giải đợc lợng lớn tập dãy số dạng phân số Tuy nhiên tập nhìn chung khơng đơn giản Vì để áp dụng có hiệu cần linh hoạt việc biến đổi theo hớng sau:

1) Nếu mẫu tích cách biến đổi thành hiệu phân số, từ ta rút gọn đợc biểu thức tính đợc giá tr

2) T bi toỏn tính giá trị cđa d·y sè, ta cã thĨ mở rộng giải toán chứng

minh đẳng thức hay bất dẳng thức cỏch biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng