2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.. Xác định tâm và tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD.[r]
(1)Câu I (2 điểm)
Cho hàm số: y = x3 +mx +2
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
2) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm Câu II (2 điểm)
1) Giải phương trình: x2 +3(x −1) x2 + + −x 1 2x + =3 0 2) Giải hệ phương trình:
( ) ( )
2
2
2
1
log 16 log log xy
x
x x y y x y
y
+ + − =
+ = −
Câu III (1 điểm) Tính tích phân:
1 2
2
x x
dx x
+ −
+
∫
Câu IV (1 điểm)
Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng (BCD) AB =a Biết tam giác BCD
có BC =a BD, =a trung tuyến
a
BM = Xác định tâm tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Câu V (1 điểm)
Cho số thực dương a b c, , thỏa:
a + + =b c Đặt Pmin giá trị nhỏ biểu thức:
4
P = a+ +b c Tìm nghiệm phương trình: 121 (1 tan ) min cot
2 sin
x P x x
+
=
+
Câu VI (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho điểm A(2; 1− ) đường thẳng ( )d : 3x +5y− =7 Viết phương trình đường thẳng qua A tạo với ( )d góc 450
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;2) mặt phẳng
( )P :x + + + =y z Một mặt phẳng song song với ( )P cắt hai tia Ox Oy, B C, cho tam giác ABC có diện tích
2 (đvdt) Viết phương trình mặt phẳng Câu VII (1 điểm)
Tìm hệ số lớn hệ số khai triển (2 ) 7
n
x
+
************************************** ***************************************
Ghi chú: Học sinh phải trình bày rõ ràng, sạch sẽ
Khơng được dùng bút xóa, bút chì làm
Giáo viên soạn: Kiều Hòa Luân_luankieu@ymail.com
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THCS & THPT NGUYỄN KHUYẾN (CƠ SỞ IV)
KIỂM TRA KHỐI 12 MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút
(2)ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu I (2 điểm)
Cho hàm số: y = x3 +mx+2
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = (học sinh tự giải)
2) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm Hàm số: y = x3 +mx+2
Miền xác định: D =
Đạo hàm: y' = 3x2 +m có ' = −3a
Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm hàm số cho đơn điệu
hoặc đạt hai cực trị y y1, 2 phía với trục hồnh
( ) ( )
1
' '
y y
∆ ≤ ∆ > ⇔
>
Giải ( )1 : ∆ ≤ ⇔ −' 3m ≤ ⇔0 m ≥ Giải ( )2 : Gọi ;
3
a a
− −
− hai nghiệm y' =
Ta có :
( ) ( )
1
3 '
3
m
m m
y y f f
− >
∆ >
⇔
− −
> − >
( )
0
3
4
27 27
m
m m
<
⇔ ⇔ − < <
+ >
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm khi:
0
3
3
m
m m
≥
⇔ > −
− < <
Cách khác:
Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành là: x3 +mx+ =2 0
( )
3
3 2 x *
x mx m
x
+
⇔ + = − ⇔ = − (do x = không nghiệm)
Xét hàm số:
3
2
2
x
y x
x x
+
= = +
Miền xác định: D = \ 0{ } Đạo hàm: y' 2x 22
x
= −
Cho y' x 12 x y( )1
x
= ⇔ = ⇔ = ⇒ =
0
lim ; lim ; lim ; lim ;
x→−∞y = +∞ x→−y = −∞ x→+y = +∞ x→+∞y = +∞ Bảng biến thiên :
Số nghiệm phương trình ( )* số giao điểm đồ thị hàm số
3 2
x y
x
+
= với đường thẳng
y = −m
Từ bảng biến thiên ta suy đồ thị hàm số y = x3 +mx+2 cắt trục hoành điểm − < ⇔m m > −3
Vậy m ∈ − ∞( 3; ) thỏa yêu cầu toán Câu II (2 điểm)
1) Giải phương trình: x2 +3(x−1) x2 + + −x 2x + =3 '
y
x
y
−∞ −∞
−∞
+∞ +∞− + +∞
1
0 −
(3)Phương trình cho viết lại: (x2 + +x 1)+3(x −1) x2 + + −x 1 3x + =2 0 Đặt: t = x2 + +x 1;t ≥0
Phương cho trở thành: 3( 1) 3 2 0
2
t
t x t x
t x
=
+ − − + = ⇔ = −
Với t =1 ta có: x2 + + = ⇔x 1 x x( +1)= ⇔x = ∨ = −0 x Với t = −2 3x ta có:
( )
2
2
2 3
1
x
x x x
x x x
− ≥
+ + = − ⇔
+ + = −
2
8 13
x
x x
≤ ⇔
− + =
2
13 73 13 73
16 16
13 73 16
x
x x
x
≤
− −
⇔ = ⇔ =
+
=
Vậy phương trình cho có nghiệm là: 13 73 16
x = −
2) Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
1
log 16 log log xy
x
x x y y x y
y
+ + − =
+ = −
Điều kiện:
0;
0
x y
xy
> < ≠
⇔ < ≠
Ta có phương trình: ( )
4
2
2
2 log log
log
x y
xy
⇔ + = −
( )2
2 2
2
2
4
log log log log
log log
log
x y xy xy
xy xy
xy xy
⇔ + = − ⇔ = − ⇔ − =
⇔ = ⇔ =
Phương trình( )1 ⇔x3 +2x y2 +2xy2−5y3 = 0
Hệ phương trình cho tương đương: 3 2 2 3 ( )
4
*
2
xy
x x y xy y
=
+ + − =
Khi y = hệ phương trình ( )* vơ nghiệm Khi y ≠ ta có:
3
3 2 2 5 0 x 2 x 2 x 5 0
x x y xy y
y y y
+ + − = ⇔ + + − =
Đặt: t x y
= , phương trình viết lại: t3 +2t2 +2t− =5 0 ⇔(t−1)(t2 +3t+5)= 0
( )
2
1 0;
3
t
t t t t
t t
=
⇔ + + = ⇔ = + + > ∀ ∈
Với t =1 ta có: x x y
y = ⇔ =
Thay x =y vào ( )* ta được: x2 = 4 ⇔ x = ±2 So với điều kiện ta suy ra: x = =y
Vậy hệ phương trình cho có cặp nghiệm là: (2;2)
Câu III (1 điểm) Tính tích phân:
1 2
2
x x
dx x
+ −
+
(4)Ta biến đổi:
( )( )
( )
2
3 2
2 2 2
1 1 1
x x x x A B x C
x x x x x x x x x
+ − = + − = + − +
+ + − + + − + − +
( ) ( )
3
1
A B x A B C x A B C
x
+ − − − + − +
=
+
Đồng đẳng thức, ta được:
2 1
2
0
A B A
A B C B
C
A B C
+ = = −
− + + = ⇔ =
− + = − =
Khi đó:
3
2 2
1 1
x x x
x x x x
+ − = − + −
+ + − +
Do đó: ( )
1 2
3
0
2 2
1 1
x x x
dx dx
x x x x
+ − = − + −
+ + − +
∫ ∫ ( ) ( )
1 2
2
0
1
1
d x x d x
dx
x x x
− + +
= −
− + +
∫ ∫
( 2 )1
0
0
1
ln ln ln ln
1
x x
x x x
x
− +
= − + − + = =
+
Câu IV (1 điểm)
Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng (BCD) AB =a Biết tam giác BCD
có BC =a BD, =a trung tuyến
a
BM = Xác định tâm tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, qua O dựng đường thẳng ( )d vuông góc với mặt phẳng(BCD), ( )d trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ( )d song song với AB
Trong mặt (AB d; ) dựng đường trung trực () đoạn AB, () cắt ( )d I Ta có:
I d IB IC ID
IB IC ID IA
I IB IA
∈ ⇒ = =
⇒ = = =
∈ ⇒ =
Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Trong tam giác BCD, ta có:
( )
2 2 2 4
CD BC BD AM
• = + − 2( 3 2) 4.7 2
4
a a a a
= + − =
CD a
⇒ =
• cos 2 2 2 3
2 3
BC BD CD a a a
CBD
BC BD a a
+ − + −
= = = =
• Theo định lý hàm sin, ta có:
2 '
1
sin sin sin 2.
2
R BO CD a
CD BO a
CBD CBD CBD
= = ⇒ = = =
Gọi E trung điểm AB, tứ giác OAEI hình chữ nhật, suy bán kính mặt cầu
( )S là:
2
2 2
2
a a
R = IB = OB +BE = a + =
Thể tích khối cầu ( )S là: ( )
3
3 3
4 4
3 3
S
a
V πR πIA π πa
= = = = (đvtt)
B A
C
D E
M O
d
I
300 sin
2
CBD CBD
(5)Câu V (1 điểm)
Cho số thực dương a b c, , thỏa:
a + + =b c Đặt Pmin giá trị nhỏ biểu thức:
4
P = a+ +b c Tìm nghiệm phương trình: 121 (1 tan ) min cot
2 sin
x P x x
+ =
+
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:
( ) ( )( )
2
2 9
2 4a b 9c 4a b 9c
a b c a b c
+ + = + + ≤ + + + +
min 121
4a b 9c 1 9 4 121 P 121
a b c
⇒ + + ≥ = ⇒ =
+ +
Phương trình: 121 (1 tan ) min 121 (1 tan ) 121
1 cot cot
2 sin sin
x x
P
x x
x x
+ +
= ⇔ =
+ +
( )
1 tan
2 s in * cot
x
x x
+
⇔ =
+
Điều kiện:
sin cos cot
x x x
≠
≠
≠ −
Phương trình: ( )* cos sin sin sin
cos sin cos
x x x
x
x x x
+
⇔ =
+
sin
2 sin cos
x
x x
⇔ =
( ) sin
2 sin 2 cos
cos cos
2
x
x x
x x
=
⇔ − = ⇔ ⇔ =
=
(do sinx ≠ 0)
Với cos 2 ;( )
2
x = ⇔ x = ± +π k π k ∈
So với điều kiện suy ra: ;( )
4
x = π+k π k ∈
Vậy họ ngihệm phương trình cho là: ;( )
x = π+k π k ∈
Câu VI (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho điểm A(2; 1− ) đường thẳng ( )d : 3x +5y− =7 Viết phương trình đường thẳng qua Avà tạo với ( )d góc 450
Gọi k k1, 2 theo thứ tự hệ số góc (d') ( )d , ta có: 2
k = −
Đường thẳng (d') hợp với ( )d góc 2
1 2
45 tan 45
1
k k k k
k k k k
− −
⇔ = ⇔ = ±
+ +
1
1
1
1
3 4
1
5
1
3
1 4
5
k
k k
k
k k
− − = − =
⇔ ⇔
= −
− − = − +
Với k1 = ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2;
' : ' : ' :
4
qua A
d d y x d y x
hsg k
−
⇒ = − − ⇔ = −
=
(6)Với 1
k = − ta có ( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2;
1 1
' : 1 ' : ' :
4
4
qua A
d d y x d y x
hsg k
−
⇒ = − − − ⇔ = − −
= −
Vậy qua A kẻ hai đường thẳng thỏa mãn đầu là:
( ) ( )
' : 1 ' :
4
d y x
d y x
= −
= − −
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;2) mặt phẳng ( )P :x + + + =y z Một mặt phẳng song song với ( )P cắt hai tia Ox Oy, B C, cho tam giác ABC có diện tích
2 (đvdt) Viết phương trình mặt phẳng
Mặt phẳng cần tìm song song với ( )P nên có phương trình dạng ( )Q :x + + +y z m = Để ( )Q cắt hai tia Ox Oy, hai điểm B C, m <0, đó: B(−m; 0; ,) C(0;−m; 0) Ta có: BA =(1+m;1;2 ,) CA =(1;1+m;2)⇒(BA CA; )= −( 2 ; ;m − m m2 +2m)
Diện tích tam giác ABC là: ( ; ) 4 4 ( 2 )2
2
ABC
S∆ = BA CA = m + m + m + m
( )
( )( ) ( )
2
4
4 3
3
3
4 12 12
2
4 12 9 9 *
1
3 9
m m m m m m
m m m m m m m
m
m m m
⇔ = + + ⇔ + + =
⇔ + + − = ⇔ + + + − =
= −
⇔ + + − =
Xét hàm số: f m( )=m3 +3m2 +9m−9 với m <
Ta có: f'(m)= 3m2 +6m+ >9 ⇒hàm số f m( ) tăng ∀m ∈ −∞( ; 0)
Vì f( )0 = − < ⇒9 f m( )< 0;∀m ∈ −∞( ; 0)
⇒phương trình: m3 +3m2 +9m− =9 khơng có nghiệm (−∞; 0) Do (−∞; 0) phương trình ( )* có nghiệm là: m = −1 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm ( )Q :x + + − =y z
Câu VII (1 điểm)
Tìm hệ số lớn hệ số khai triển ( ) 40
7
x
+
Ta có: ( ) ( )
40 40
40
40
40 40
0
2 1
2
7 7
k k k k
x
x C x
=
+ = + = ∑
Hệ số tổng quát: 140 402
k k k k
a = C x với ≤ ≤k 40 Ta lập tỉ số:
( ) ( )
1 1 40
40
2 40! 40
2
2 39 ! !
k k k k
k k k k
a C x k
a C x k k k
+ + +
+ = = = −
− + +
Ta có: 1 2.40 26
1 k
k
a k
k
a k
+ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ ≤
+
Do đó:
{ }ak tăng 0≤ ≤k 26⇒(ak)max =a26
{ }ak giảm 27≤ ≤k 40 ⇒(ak)max =a27 Mà: 27
26
40 26
2
27
a a
−
= > nên ( ) 27 27 27
27 40 40
2
k max k
a =a =a = C x