Tìm các giá trị của x,y,z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất.[r]
(1)Tìm giá trị lớn biểu thức:
Mx = - 5x2 – 4x + với x số thực Bài 3
Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
Ax = Vói x số thực dương
Bài 4
Tìm giá trị lớn biểu thức:
Mx= với x thuộc tập hợp số thực. Bài 5
(2)Bài 6
Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Ax = với x > 0.
Bài 7
Tìm giá trị lớn biểu thức:
Bx = 16x3 - x6 với x thuộc tập hợp số thực dương Bài 8
(3)(4)Bài 10
Tìm giá trị lớn biểu thức :
Hx = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) với x số thực tuỳ ý Bài 11
Tìm giá trị m, p cho A = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 đạt giá trị nhỏ
nhất Tìm giá trị nhỏ
Bài 12
Tìm giá trị x, y cho F = x2 + 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59 đạt giá trị nhỏ
nhất Tìm giá trị nhỏ đó.
Bài 13
Tìm giá trị x, y,z cho P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5 Đạt giá
(5)Tìm giá trị x,y,z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ P = x2 + y2 +z2 Tìm giá trị nhỏ biết : x+y+z = 1995.
Bài 15
Cho biểu thức Q = Trong x,y,z đại lượng thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 169.Tìm GTLN Q.
Bài 16 (1 ®iĨm): Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x y = 50
Đ
áp án: §k: x; y Î Z, x; y ≥0
Ta có x y 5 => x, y đồng dạng với đặt x = a 2; y = b ( a; b số nguyên không âm) Ta đợc: a + b =
=> (a; b) = (0;5); (1;4); (2;3); (3;2) (4;1); (5;0)
=> (x;y) = (0;50); ( 2; 32); (8; 18); ( 18;8); (32;2); (50;0) (thoả mÃn điều kiện)
Bi 17Tỡm cặp số nguyên (x, y) thoả mãn phương trình: x7 y 3200 Câu IV: x7 y 3200 x y 10 32
Đặt x = a √2 y= b √2 với a, b số nguyên dương => 3a + 7b = 40 => b< Thử giá trị b = 1,2, 3,4,5 => b = a = => x = y = 32
b = a = 11 => x = 242 y =
-Bài 18Cho số dương a, b có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
4
1
a b
.
Câu IV: Sử dụng đẳng thức x2 – y2 = ( x – y)( x + y)
Biến đổi biểu thức thành A = (
2 2
(1 )(1 )(1 )(1 )
a b a b ab
ab ≤
2
(a b)
(6)
-Bài 19Tìm số ngun lớn khơng vượt
7 3
Câu IV: Đặt x = + , y = -
x + y = 14, x.y = => x, y nghiệm phương trình X2 - 14X + = 0
Đặt Sn = xn + yn => Sn+2 - 14Sn+1 + S = ( *)
=> Sn+2 = 14Sn+1 - S
S1 = x + y = 14 S2 = x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 194 S3 = 14S2 – S1 = 2702………
Tương tự ta tính S7 = 14S6 – S5 = 96970054
Ta có < y < => < yn < 1
=> xn + yn - < xn < xn + yn
=> Sn - < xn < Sn => Phần nguyên xn Sn -
Vậy số nguyên cần tìm S7 -1 = 96970053
Chú ý: Biểu thức ( *) chứng minh nhờ điều kiện X2 -14X +1 = 0
.( Xem Tốn phát triển thầy Vũ Hữu Bình)
-Bài 20: Xác định số hữu tỉ m, n, p cho (x + m)(x2 + nx + p) = x3 – 10x – 12.
Câu IV: Nhẩm nghiệm => f(x) = x3 -10x – 12 có nghiệm x = -2 nên x3 -10x – 12 = ( x + 2)( x2 – 2x – 6)
Đồng với đa thức dầu ta m =2, n = -2 p = -6
-Bài 21: Chứng minh (m 1)(m 2)(m 3)(m 4) số vô tỉ với số tự nhiên m.
Câu V : Giả sử số cho số hữu tỉ => (m+1)(m+2)(m+3)(m+4) = k2 , k số nguyên dương.
(m25m 6)(m 25m 4) k (a 1)(a 1) k 2, với a = m2 + 5m + nên a > (1)
<=> a2 – k2 = <=> ( a-k)(a+k) = <=> (a-k) (a +k) đồng thời -1 => a =1 (2)
(1) (2) => khơng có giá trị m thoả mãn điều giả sử => đpcm
Bài 22: Tìm số nguyên dương m để m2m 23 số hữu tỉ.
Câu V: Đặt m2 + m + 23 = k2 ( k ỴN) 4m24m 92 4k 4k2 (2m 1) 91
(2k 2m 1)(2k 2m 1) 91.
Vì 2k + 2m + > 2k – 2m -1 > nên xảy hai trường hợp sau TH 1: 2k + 2m + = 91 2k – 2m – =1 => m = 22
TH 2: 2k + 2m + = 13 2k – 2m – = => m =
Nhận xét: đầu yêu cầu m số nguyên 2k + 2m + chưa dương. Khi phải xét thêm trường hợp nữa.
Bài 23: Tính giá trị biểu thức: A =
5
4
x 3x 10x 12 x 7x 15
với
x
x x 14
Câu IV:
2
x
x 3x
x x và x 0
Thực phép chia đa thức ta có :
A =
5 3
4 2
x 3x 10x 12 (x 3x 1)(x 3x 5x 12) 21x 21x x 7x 15 (x 3x 1)(x 3x 15) 42x 42x
Bài 24: Gọi x1, x2, x3, x4 tất nghiệm phươ ng trình (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) = Tính: x1x2x3x4
(7)Bài 25: Tìm m để giá trị lớn biểu thức x 2.
Câu V: Theo đầu
2x m x
2 với x m
Ta có
2x m x ; , , ) ( 2 2
2 2
x x m x m x m m m m
Biểu thức đạt lớn m =
1 , x
Bài 26: Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy) cho điểm A(-3; 0) Parabol (P) có phương trình y = x2 Hãy tìm toạ độ của
điểm M thuộc (P) độ dài đoạn thẳng AM nhỏ
Câu V: M có toạ độ (a; a2) => MA2 = ( a + 3)2 + a4 = (a2 – 1)2 + 3( a + 1)2 + 6
MAmin = a + = a2 – = => a = -1
Câu V (1đ) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(-1 ; 2), B(2 ; 3) C(m ; 0) Tìm m cho chu vi tam giác ABC nhỏ
Câu V: C nằm Ox Gọi H điểm đói xứng B qua Ox => H (2; -3) Tam giác ABC có chu vi nhỏ C trùng với giao điểm AH Ox => m =
1
Bài 27: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng y = (2m + 1)x – 4m – điểm A(-2 ; 3) Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng lớn
Câu V: Điểm cố định đường thẳng D B( 2; 1) Khoảng c¸ch AH AB=> AH mãx H B
Đường thẳng cho vng góc với đường thẳng (AB) =
1 2x
=> m =
1 2.
Bài 28: Cho biểu thức B = ( 4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008
Tính giá trị B x =
1
2
Câu V: gt => x =
2
2
2 4
2 x x x
=> 4x5 + 4x4 = x3
=> 4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – = -1 => B = 2009.
Bài 29: ( điểm) Cho x,y thảo mãn: ( x + x22008)(y y22008) 2008. Tính x+ y Câu V: Xét điều kiện : ( x + x22008)(y y22008) 2008. (1)
(8)
-Bài 30: Cho x, y thoả mãn: x 2 y3 y 2 x3
Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = x2 + 2xy – 2y2 +2y +10.
Câu V: ĐK: x2;y2 Từ x 2 y3 y 2 x3 x3 - y3 + x2- y2 =0
(x-y)(x2 + xy + y2 ) + 2
x y
x y
= (x-y)( x2 + xy + y2 +
1
2
x y ) = x = y
Khi B = x2 + 2x + 10 = (x+1)2 + Vậy Min B = x = y = -1
Chú ý : Đa thức x2 + xy + y2+
1
2
x y > 0.
Bài 31: Chứng minh a3 + b3 ab a b( )với a,b0 áp dụng kết , chứng minh bất đẳng thức
3 3 3
1 1
1
1 1
a b b c c a với a, b, c số dương thỏa mãn a.b.c = 1.
Câu 5) a3 + b3 – ab(a + b) = ( a + b)( a – b )2 với a.b 0 => a3 + b3ab a b( )với a,b0.
áp dụng ta có: a3 + b3 +1 ab a b( ) 1
1
a b a b c
c c
Cm tương tự ta có:
3 3 3
1 1
1
1 1
c a b
a b b c c a a b c a b c a b c Dấu a = b = c = 1.
Bài 32: Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh
1
3 3
x y z
x x yz y y zx z z xy
Câu V-
Ta có (3x + yz) = (( x + y + z)x + yz )= ( x + y)(x + z ) ( x y x z )2 x ( y z)2
Dấu x = y = z =
Chứng minh tương tự ta => §pcm
Bài 33: Cho x, y, z thỏa mãn < x,y,z 1 Và x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
A =
2 2
(x 1) (y 1) (z 1)
z x y
Câu V) .4
) ( )
( 2
x z z x z z x
Dấu 2
) ( y x x z y x x z z z x
Chứng ming tương tự ta có A +
1 ) (
x y z A
Dấu x = y = z =
2
-Bài 34: Cho x, y, z ba số dương thoả mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng:
1
3
x y z
x x yz y y zx z z xy .
Từ
2
2
x yz 0 x yz 2x yz
(9)Từ (1), (2), (3) ta có x 3x yz y 3y zx z 3z xy Dấu “=” xảy x = y = z = 1